SKKN Rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 12 giải nhanh các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng phương pháp liên kết tích phân

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Tích phân là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 12. Để hoàn thành tốt được kiến thức phần này thực sự không đơn giản. Đặc biệt nói đến tính phân các hàm số lượng giác là một dạng tích phân khó. Nếu đi sâu vào các hàm số lượng giác nữa thì lại càng khó. Trong các dạng tích phân về hàm số lượng giác ta thường gặp một số dạng: Mẫu số là dạng thuần nhất của sin, của cosin, đẳng cấp bậc nhất, bậc hai của sin và cosin... Để giải quyết cơ bản được các dạng toán này ta sử dụng phương pháp tích phân liên kết là một trong những phương pháp hữu hiệu nhất. Hơn nữa từ năm học 2016 – 2017 Bộ giáo dục và đào tạo có sự thay đổi lớn trong kỳ thi THPT Quốc gia trong đó môn Toán được thi dưới hình thức trắc nghiệm. Đây là vấn đề khó khăn cho học sinh. Vì ngoài việc giải quyết tốt bài toán còn đòi hỏi phản ứng nhanh, tính toán chính xác để đưa ra kết quả nhanh kịp với thời gian quy định. Do vậy với bản chất là một dạng toán khó, đòi hỏi sự lập luận, suy luận cao, tư duy lôgic cộng với việc tính toán nhanh thì đây chính là thách thức đối với học sinh lớp 12.
Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 12 giải nhanh các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng phương pháp liên kết tích phân’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2017 – 2018. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn. 	
1.2. Mục đích nghiên cứu
	Mục đích nghiên cứu của đề tài là hình thành cách tính nhanh, chính xác một số dạng toán nguyên hàm và tích phân khó trong chương trình Giải tích 12 nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:
	- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề.
	- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio).
	- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học.
	- Kỹ năng vận dụng kiến thức về các phương pháp tính tích phân.	
1.3. Đối tượng nghiên cứu
	Đối tượng nghiên cứu của đề tài là phương pháp tích phân liên kết - Chương III – Giải tích 12 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học của học sinh.
	1.4. Phương pháp nghiên cứu 
	Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm
	- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học phần nguyên hàm và tính tích phân ở trường THPT Triệu Sơn 3 để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng phương pháp tích phân liên kết trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
	 - Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh.
	 - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài. 
	2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
	2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng. Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán. Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với nội dung dạy học. Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh... là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên.
	Trong bài “Nguyên hàm và tích phân” sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đưa ra hai phương pháp tính nguyên hàm và tích phân là đổi biến số và từng phần. Đây là hai phương pháp cơ bản nhất, giải quyết được khá nhiều các bài tập nguyên hàm và tích phân. Tuy nhiên trong một số dạng bài tập tích phân khó, đặc biệt là tích phân hàm lượng giác thì hai phương pháp này không thể giải quyết được hoặc có thể giải quyết được nhưng vô cùng phức tạp. Vì vậy, tôi nhận thấy mình cần bổ sung thêm phương pháp tích phân liên kết, giúp học sinh dễ dàng giải quyết dạng toán này. 
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh là con em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp. Tư duy của học sinh chậm, điều kiện kinh tế còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả học tập của các em. 
Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy một điều đó là để làm tốt, nhanh phần nguyên hàm và tích phân thì cần phải nắm vững kiến thức, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phán đoán, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ năng trình bày chặt chẽ và tư duy logic cao, kỹ năng phân tích dạng toán. Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm yếu của không ít học sinh, kể cả học sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý chán, ngại làm các dạng tích phân khó. 
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Ôn tập một số kiến thức cần dùng cho học sinh.
+) Bảng nguyên hàm của hàm số sơ cấp, hàm số hợp
+) Tính chất của nguyên hàm và tích phân
+) Phương pháp đổi biến số
+) Công thức lượng giác	
+) Đạo hàm các hàm số lượng giác
2.3.2. Tìm hiểu tích phân liên kết.	
	Khi tính một số bài tích phân , việc tính trực tiếp tương đối khó và phức tạp, do vậy ta tìm đến tích phân , dựa vào hoặc kết hợp với để tìm ra tích phân . được gọi là tích phân liên kết với .
Từ các mối quan hệ ràng buộc giữa và ta lập được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: 
	Giải hệ phương trình ta tính được .
Một số trường hợp thường gặp:
 	 Trường hợp 1: Tính trực tiếp tích phân (với là tích phân đơn giản), từ đó suy ra I .
	Trường hợp 2: Biến đổi 
	Trường hợp 3: Tìm biểu thức liên hệ giữa để đạo hàm của mẫu bằng tử, khi đó ta lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và tìm .
	Việc tìm tích phân liên kết , đòi hỏi phải có năng lực phán đoán, khả năng tư duy linh hoạt đặc biệt là phụ thuộc vào kinh nghiệm của người học. Thông thường biểu thức các tích phân liên kết có tính cân xứng hoặc bổ sung cho nhau.
	Ta hiểu tích phân liên kết như là “Bạn chơi với ai tôi sẽ đoán được con người bạn như thế nào”.
2.3.3. Hướng dẫn và rèn luyện một số dạng nguyên hàm, tích phân liên kết thường gặp giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh gọn giảm bớt được tối đa thời gian. 
Dạng 1: Tích phân chứa ax
 Bài 1: Cho tích phân 
Đề minh họa lần 3 – BGD – 2017 
Tính giá trị của biểu thức: 
Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết 
Ta có: 
Vậy Đáp án C
Bài 2: Cho tích phân 
Tính giá trị của biểu thức: 
Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết 
Ta có: 
Vậy Đáp án D
Bài 3: Cho tích phân 
 Tính giá trị của biểu thức: 
Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết 
Ta có: 
Vậy Đáp án A
*Nhận xét: Tích phân liên kết là phần khuyết biểu thức chứa biến của tử trong mẫu. 
Một số dạng thường gặp:
1. 
2. 
3. 
4. 
Dạng 2: Tích phân hàm hữu tỷ:
Bài 1: Cho tích phân , là phân số tối giản. 
Tính giá trị của biểu thức: 
 Hướng dẫn: Ta có , xét tích phân liên kết 
Ta có : 
Vậy Đáp án B
Bài 2: Cho tích phân 
Tính giá trị của biểu thức: 
Hướng dẫn: Ta có , xét tích phân liên kết 
Ta có : 
Vậy Đáp án A
*Nhận xét: Tích phân liên kết là biểu thức liên hợp chứa biến của tử trong mẫu. 
Dạng 3: Tích phân hàm lượng giác.
Bài 1: Cho tích phân 
 	Tính giá trị của biểu thức: 
Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết 
Ta có 
Đặt 
Ta có 
Vậy Đáp án B
Bài 2: Cho tích phân 
Tính giá trị của biểu thức: 
Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết 
Ta có
Vậy Đáp án C
Bài 3: Cho tích phân 
	Giá trị của là:
Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết 
Ta có 
Mà Đáp án C
Bài 4: Cho tích phân là phân số tối giản.
Tính giá trị của biểu thức: 
Hướng dẫn:	Tích phân liên kết 
Ta có 
Vậy Đáp án D
Bài 5: Cho tính phân 
Tính giá trị của biểu thức: 
Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết 
Ta có
Vậy Đáp án C
Bài 6: Cho tính phân 
Tính giá trị của biểu thức: 
Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết 
 Ta có 
 Mặt khác 
Vậy Đáp án B
Bài 7: Cho tích phân 
Tính giá trị của biểu thức: 
Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết 
Ta có 
Vậy Đáp án B
Bài 8: Cho tích phân trong đó là phân số tối giản.
Tính giá trị của biểu thức: 
Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết 
Ta có 
 	 Vậy Đáp án A
Bài 9: Cho tích phân 
Tính giá trị của biểu thức: 
Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết 
Đặt , , 
Ta có 
Vậy Đáp án B
Tổng quát: 
Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết 
Đặt , 
Ta có 
*Nhận xét: Biểu thức của là biểu thức của trong đó: được thay bởi và ngược lại.
Một số dạng thường gặp:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Tích phân hàm lượng giác là một phần kiến thức khó và phức tạp đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác, bảng các nguyên hàm. Nhưng khi ta sử dụng tích phân liên kết thì việc biến đổi đã được giảm đi rất nhiều, bài toán trở nên đơn giản và dễ hiểu hơn.
2.3.4. So sánh cách giải khác ta thấy được tính ưu việt của phương pháp tính phân liên kết.
Ví dụ 1: Tính tích phân 
 Xét tích phân liên kết 
Ta có 
Cách giải khác: 
Giả sử
Ví dụ 2: Tính tích phân HSG Thanh Hóa năm 2010-2011
 Xét tích phân liên kết 
Ta có 
Cách giải khác (cách giải trong đáp án): 
Ta có: . 
(Điều này không phải dễ dàng có được, hoặc phải dùng hệ số bất định như ví dụ 1, hoặc phải là học sinh giỏi mới tính nhanh được biểu thức đó).
Suy ra 
*Nhận xét: Đây là các bài toán khó đối với nhiều học sinh, nếu giải bằng phương pháp khác thì học sinh gặp phải khó khăn là phải tách các biểu thức lượng giác để sử dụng được bảng các nguyên hàm.
Nhìn vào hai cách giải trên thì rõ ràng cách giải khác dài dẫn đến mất khá nhiều thời gian để giải quyết xong bài toán. Còn cách dùng tích phân liên kết nhanh và mang lại hiệu quả rất cao.
	Qua 2 ví dụ trên đã cho ta thấy tác dụng rất tích cực của phương pháp tích phân liên kết khi giải toán tích phân. 
	Trong các buổi sinh hoạt chuyên môn tại tổ chuyên môn, tôi đã đưa ra các bài tập để các đồng nghiệp thử giải và so sách các cách giải; kết quả là những bài toán có thể áp dụng được phương pháp này thì cho kết quả nhanh hơn rất nhiều so với các cách giải khác.
Các chuyên gia máy tính cũng cho rằng một bài tích phân mà có đến ba, bốn tham số trở lên thì ta nên làm tự luận thì nhanh hơn. 
2.3.5. Hệ thống bài tập sử dụng tích phân liên kết giúp học sinh rèn luyện.
Tính các tích phân sau:
Bài 1: . 	 HD: Tích phân liên kết . 
Bài 2: . 	 HD: Tích phân liên kết 
Bài 3: . 	 HD: Tích phân liên kết 
Bài 4: 	HD: Tích phân liên kết 
Bài 5: 	HD: Tích phân liên kết 
Bài 6: 	HD: Tích phân liên kết 
Bài 7: . 	HD: 
 Tích phân liên kết 
Bài 8: 
HD: 
Tích phân liên kết 
Bài 9: 	HD: Tích phân liên kết 
Bài 10: . HD:Tích phân liên kết 
Để học sinh hiểu sâu và thêm hứng thú, say mê với giải toán nguyên hàm và tích phân, đồng thời phát huy khả năng sáng tạo của các em tôi đã định hướng giúp học sinh dựa trên cơ sở các dạng nguyên hàm thường gặp (ở mục 2.3.3) xây dựng các bài nguyên hàm và tích phân mới bằng cách thay số, cận cụ thể. (Phụ lục 1)
Trong một số tiết luyện tập tôi đã yêu cầu một số em học sinh khá giỏi ra bài tập cho cả lớp cùng làm, các em rất hứng thú và nhiều em đã sáng tạo khi ra bài tập, có rất nhiều bài nguyên hàm và tích phân hay được các em đưa ra như em: Nguyễn Thị Linh, Nguyễn Thùy Dương, Vũ Thị Lan Anh... Cách làm như vậy khiến học sinh thật sự trở thành trung tâm của quá trình dạy học, các em chủ động tiếp thu kiến thức và tích cực hơn trong việc tự học trên lớp cũng như ở nhà.
	2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục
	Tôi đã cho 2 lớp làm bài kiểm tra ở hai thời điểm trước tác động (kiểm tra viết 45 phút lần 1) và sau khi tác động (kiểm tra viết 45 phút lần 2, hai đề lần 1 và lần 2 lượng kiến thức tương đương nhau) để thấy được hiệu quả của sáng kiến. 
	Đề kiểm tra (Phụ lục 2): Các bài tập trong đề kiểm tra được soạn từ sách tham khảo, đề thi thử THPT Quốc Gia của một số trường THPT. Kết quả bài khảo sát kiến thức về nguyên hàm và tích phân được thống kế như sau: 
2.3. Tổng hợp kết quả Bảng 1: Lớp thực nghiệm 12C6.
Số bài
Điểm
0 - 2
3
4
5
6
7
8
9
10
Trước tác 
động
41
sl
0
4
5
11
11
6
4
0
0
%
0,0
9,8
12,2
26,8
26,8
14,6
9,8
0,0
0,0
Sau tác 
động
41
sl
0
0
0
9
12
5
7
8
0
%
0,0
0,0
0,0
21,9
29,3
12,2
17,1
19,5
0,0
Bảng 2: Lớp đối chứng 12C5.
Số bài
Điểm
0 - 2
3
4
5
6
7
8
9
10
Trước tác 
động
41
sl
0
4
4
10
12
7
4
0
0
%
0
9,8
9,8
24,4
29,2
17,0
9,8
0,0
0,0
Sau tác 
động
41
sl
0
3
4
9
12
8
5
0
0
%
0,0
7,3
9,8
21,9
29,3
19,5
12,2
0,0
0,0
Bảng 3: Trước tác động.
Lớp đối chứng 
 Lớp thực nghiệm
Điểm trung bình
5,63
5,54
Chênh lệch điểm trung bình (SMD)
0,09
Bảng 4: Sau tác động.
Lớp đối chứng
Lớp thực nghiệm
Điểm trung bình
5,80
6,63
Chênh lệch điểm trung bình (SMD)
0,83
So sánh kết quả: Năm học 2017 – 2018 tôi đã áp dụng các giải pháp nêu trong đề tài vào thực tiễn dạy học, cụ thể:
	Lớp đối chứng 12C5 năm học 2017- 2018, sĩ số 41: tôi dạy chủ đề trên nhưng không sử dụng các giải pháp như đã nêu trong đề tài.
	Lớp thực nghiệm 12C6 năm học 2017- 2018, sĩ số 41: tôi dạy chủ đề trên bằng cách sử dụng các giải pháp như đã nêu trong đề tài.
	Bảng 3 và bảng 4 cho thấy, sau tác động sự chêch lệch giữa điểm trung bình của các lớp thực nghiệm và các lớp đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả điểm trung bình của các lớp thực nghiệm đều cao hơn điểm trung bình của các lớp đối chứng là không phải ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động.
	Năm học 2017 – 2018, SMD = 0,83 cho thấy mức độ ảnh hưởng của việc hướng dẫn học sinh khai thác kiến thức mới cho học sinh lớp 12 ở trường THPT Triệu Sơn 3 là lớn. Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của lớp thực nghiệm 12C6 là điểm trung bình = 6,63 và kết quả bài kiểm tra của lớp đối chứng 12C5 là điểm trung bình = 5.80. Độ chênh lệch điểm số giữa hai lớp là 0,83. 
	Kết quả cho thấy điểm trung bình của lớp thực nghiệm so với lớp đối chứng đã có sự tiến bộ rõ rệt, lớp được tác động 12C6 có điểm trung bình cao hơn lớp đối chứng 12C5.
Kết quả thu được là 
- Qua quan sát thực tế từ việc trực tiếp giảng dạy, tôi thấy học sinh lớp 12C6 giải khá nhanh và thuần thục các bài toán về nguyên hàm và tích phân được tôi sưu tầm từ các đề thi học sinh giỏi trong tỉnh và của các trường THPT trong cả nước. Còn lớp 12C5 đa số các em học sinh kỹ năng giải còn chậm, chưa linh hoạt. Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu cho đề tài có nhiều điểm tương đồng nhau về ý thức học tập, đặc biệt là năng lực học tập và kết quả điểm kiểm tra môn Toán trước khi tác động.
- Đã rèn luyện kỹ năng giải các bài toán tích phân, kỹ năng tính toán, kỹ năng tìm tích phân liên kết và phát huy tính sáng tạo tìm tòi lời giải cho một bài toán, một dạng toán.
- Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh trong lớp đã thực hiện các nội dung theo yêu cầu câu hỏi và có kết quả cụ thể.
Từ những kết quả trên tôi mạnh dạn khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa ra là hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học.
	 2.4.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng cách làm này đã góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy phần nguyên hàm và tích phân của bản thân, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán của nhà trường.
	 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
	3.1. Kết luận
	Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự giúp đỡ đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan đề tài đã hoàn thành và đạt được những kết quả chính sau đây:
+ Đề tài đã nêu lên thực trạng của việc dạy và học chủ đề “Nguyên hàm và tích phân” hiện nay.
+ Đề tài đã đưa ra giải pháp thiết thực trong việc rèn luyện kĩ năng tìm tích phân liên kết cho các bài toán khó mà đòi hỏi phải giải quyết trong thời gian ngắn.
+ Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải pháp.
+ Đề tài đã đưa ra một số bài tập áp dụng trên cơ sở các dạng bài tập quen thuộc và hệ thống các bài tập luyện tập được trích từ các đề thi học sinh giỏi, các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường THPT, của Sở giáo dục ở một số tỉnh, thành phố trên cả nước để học sinh được rèn luyện kỹ năng giải trắc nghiệm Toán.
	3.2. Kiến nghị
	Trên đây là một số sáng kiến và kinh ngiệm của tôi đã thực hiện tại đơn vị trong các năm học vừa qua. Rất mong đề tài này được xem xét, mở rộng hơn nữa để áp dụng cho mọi đối tượng học sinh, giúp học sinh yêu thích và say mê học Toán hơn.
	Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, trong nhà trường và các em học sinh đã giúp đỡ tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Người viết
Vũ Thị Phượng