SKKN Rèn luyện kĩ năng tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật cho học sinh lớp 6

MỤC LỤC
STT
Nội dung
Trang
1
1. Mở đầu
1
2
Lý do chọn đề tài
1
3
Mục đích nghiên cứu
1
4
Đối tượng nghiên cứu
1
5
Phương pháp nghiên cứu
2
6
Nội dung của sáng kiến
2
7
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến
2
8
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
 4
9
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
5
10
2.4. Hiêu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân đồng nghiệp và nhà trường
17
11
Kết luận, kiến nghị
18
12
Kết luận
18
13
Kiến nghị
19
14
Tài liệu tham khảo
20
1. Mở đầu:
1.1. Lý do chọn đề tài: 
Toán học là một trong những môn học được coi trọng hàng đầu trong chương trình giáo dục phổ thông. Bởi vì, không những Toán học được vận dụng và phục vụ rộng rãi trong đời sống và trong khoa học mà các kiến thức và phương pháp Toán học còn là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác. 
Trong dạy học môn Toán thì giải toán có vai trò đặc biệt quan trọng, đó là một việc mà cả người học và người dạy thường xuyên phải làm. Đối với học sinh phổ thông, giải toán là hình thức chủ yếu để học toán. Các bài toán luôn được coi là phương tiện có hiệu quả để giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo. 
Trong chương trình Số học ở trường THCS học sinh được biết đến dạng toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật. Trong dạng toán này lại được chia thành nhiều dạng nhỏ khác nhau như: dãy tổng các số nguyên cách đều, dãy tổng của các tích có các thừa số cách đều viết theo quy luật; dãy tổng của các lũy thừa cùng cơ số nguyên có số mũ cách đều; dãy tổng các phân số viết theo quy luật,... Đây đều là các dạng toán khó đối với học sinh các lớp đại trà vì phần lý thuyết không có trong sách giáo khoa, phần bài tập cũng chỉ có một vài bài trong sách bài tập. Tuy nhiên trong chương trình bồi dưỡng và nâng cao Số học cho học sinh THCS nói chung, cho học sinh khá giỏi lớp 6 nói riêng lại không thể thiếu dạng toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật. Thực tế là có yêu cầu đối với học sinh khá giỏi, vì trong bài kiểm tra cuối học kì, trong các đề thi học sinh giỏi lớp 6 đều có dạng toán đó. Tuy nhiên nhiều học sinh khá giỏi khi mới bắt đầu gặp dạng toán này cũng bị lúng túng, nhiều bài không tìm ra cách giải. Trong khuôn khổ và thời gian không cho phép tôi chỉ xin trình bày những sáng kiến của mình trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn toán 6 ở phần tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật mà trên nền tảng là khai thác từ bài tập 87 chương III- Sách bài tập. Đề tài có tên: “ Rèn luyện kĩ năng tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật cho học sinh lớp 6” 
1.2. Mục đích nghiên cứu: 
Tôi chọn đề tài này nhằm phát triển tư duy toán cho học sinh lớp 6, góp thêm một cách làm có hiệu quả đối với việc rèn luyện kĩ năng tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật. Góp phần tạo sự tự tin, chủ động kiến thức cho các học sinh trong quá trình giải bài tập, trong thi cử, kiểm tra, đặc biệt là trong các kì thi học sinh giỏi.
1.3. Đối tượng nghiên cứu: 
 	Trong đề tài này, tôi nghiên cứu về:
+ Nội dung bài tập 87 chương III- Sách bài tập. Các hướng khai thác bài toán để vận dụng vào các dãy phân số tương tự. 
+ Các dãy phân số viết theo quy luật thường gặp
+ Các kĩ năng biến đổi cần có để tính tổng dãy phân số viết theo quy luật.
+ Vận dụng kĩ năng biến đổi dãy phân số viết theo quy luật vào giải dạng toán tìm x, chứng minh bất đẳng thức,...
1.4. Phương pháp nghiên cứu: 
Khi lên ý tưởng và hoàn thiện đề tài tôi đã sử dụng các phương pháp:
+ Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu ý tưởng và nội dung bài 87 chương III- Sách bài tập để tìm ra quy luật làm chung của dạng toán tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật.
- Nghiên cứu các dãy phân số viết theo quy luật thường gặp trong các đề thi.
+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập số liệu thông tin: Điều tra, khảo sát lớp 6A trường THCS Cẩm Phong thông qua bài kiểm tra.
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. 
Sau nhiều năm giảng dạy các lớp đại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy dạng toán tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật là dạng toán khá khó đối với học sinh đại trà, còn đối với học sinh giỏi giai đoạn đầu khi các em mới tiếp cận cũng rất khó khăn. Tuy nhiên bằng hướng dẫn khéo léo của giáo viên, chỉ ra nguyên tắc làm chung cho dạng toán này thì chỉ sau một buổi những học sinh trội hơn đã có thể tự làm các bài tương tự, những học sinh khá và trung bình khá cần hướng dẫn thêm vài lần ở các buổi sau thì các em cũng làm được.
+ Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động:
Qua quá trình giảng dạy cũng như quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy những dạng toán nào mà có quy tắc làm chung thì học sinh cũng làm tốt hơn. Như dạng toán tính tổng dãy phân số viết theo quy luật, lúc đầu học sinh còn chưa định hướng được cách giải nhưng sau khi làm theo các bước gợi ý của bài tập 87 sách bài tập và theo hướng dẫn của giáo viên tôi thấy học sinh dần làm tốt hơn và thành thạo hơn. Các học sinh trung bình khá cũng đã biết làm.
2. Nội dung của sáng kiến
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
	Trong chương trình Số học ở trường THCS nói chung, Số học 6 nói riêng dạng toán tính tổng dãy phân số viết theo quy luật có vai trò quan trọng vì nó rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh rất nhiều, không những thế nó còn giúp học sinh học tốt dạng toán tìm x có chứa dãy phân số viết theo quy luât, dạng toán chứng minh bất đẳng thức mà một vế là tổng dãy phân số viết theo quy luật, dạng toán so sánh ,... Ngoài ra nó còn vận dụng vào tính tổng các phân thức viết theo quy luật và giải phương trình ở lớp 8. Tuy dạng toán tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật không phải là dạng khó của phần Số học song nhiều học sinh vẫn chưa làm được vì chưa nắm được bản chất của nó cũng như các phép tính về phân số còn chưa thành thạo. Trong khi đó qua theo dõi tôi thấy dạng toán tính tổng dãy phân số viết theo quy luật hoặc toán phải vận dụng dãy phân số viết theo quy luật thường xuyên có trong các kì thi hết học kì II, kì thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 ở huyện Cẩm Thủy và các huyện khác trong tỉnh Thanh Hóa và các tỉnh khác trong nước. Thế nhưng sách giáo khoa thì không đề cập một bài toán nào về dãy phân số viết theo quy luật, sách bài tập thì chỉ có hai bài là bài 87 và bài 95 (trong cả chương III - Phân số). Bài 87 có thể coi là bài toán gốc của dạng toán tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật, phải biết vận dụng linh hoạt nội dung bài 87 thì mới làm được bài 95 và các bài tập khác. Từ thực tế đó trong quá trình giảng dạy tôi luôn chú trọng rèn luyện kĩ năng tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật mà điểm xuất phát là khai thác bài toán 87. Từ việc giải theo trình tự các câu của bài tập 87 tôi xây dựng cho học sinh kĩ năng quan sát, nhận xét, đánh giá các dãy phân số tương tự, đặc biệt là kĩ năng vận dụng toán.	
2.1.1.Muốn rèn luyện kĩ năng tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật cho học sinh lớp 6 thì trước tiên các em phải nắm được các công thức cơ bản sau: 
a,Định nghĩa phân số :
Ta gọi với a,b Î Z, b≠ 0 là một phân số, a là tử số, b là mẫu số của phân số.
b,Tính chất cơ bản của phân số 
+ Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì được phân số mới bằng phân số đã cho. 
	 ( với m ; m 0 ) 
+ Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số với một ước chung của chúng thì đươc một phân số mới bằng phân số đã cho
	 ( với n ƯC(a ; b ) )
c,Rút gọn phân số : 
+ Quy tắc rút gọn phân số : Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của nó với một ước chung của chúng ( ước chung này khác 1 và – 1) 
+ Phân số tối giản là phân số không còn rút gọn được nữa. Ước chung của tử và mẫu chỉ có thể là 1 hoặc – 1 
+ Muốn rút gọn một phân số đến tối giản ta chia cả tử và mẫu của chúng với ước chung lớn nhất của chúng.
d, Cộng hai phân số
+Cộng hai phân số cùng mẫu
+ Cộng hai phân số không cùng mẫu : Ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung 
e) Trừ hai phân số: 
f) Nhân hai phân số: 
g) Chia hai phân số: = 
k) Tính chất cơ bản của phép nhân phân số :
* Giao hoán : 
* Kết hợp : 
* Nhân với số 1: 
* Phân phối giữa phép nhân với phép cộng:
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Để khảo sát mức độ tự học và khả năng tư duy vận dụng của học sinh, sau khi học xong bài “Phép nhân phân số” tôi yêu cầu học sinh làm bài tập 87- chương III- sách bài tập toán 6 tập II trong thời gian 15 phút. Nội dung đề như sau:
 a. Cho hai phân số và (n Î Z, n > 0). Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng. (4 điểm)
Áp dụng kết quả trên để tính giá trị của các biểu thức sau: 
A = . + . + . + . + . + . + . (3 điểm)
B = + + + + + + (3 điểm)
Khảo sát từ lớp 6B trường THCS Cẩm Phong năm học 2017 - 2018 (Một lớp có hơn 90% học sinh khá, giỏi môn Toán của học kì I) tôi thu được kết quả như sau: 
Tổng số
 Kết quả
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu, kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
 34
0
0
6
17,6
9
26,5%
19
55,9%
 	Cần chú thích thêm là: Không có học sinh nào tính được giá trị biểu thức B bằng cách vận dụng kết quả câu a (6 học sinh đạt điểm khá cũng chỉ biết áp dụng câu a vào tính giá trị biểu thức A), một số học sinh tính giá trị biểu thức B bằng cách quy đồng mẫu số các phân số nên chưa ra đến kết quả cuối cùng (không kịp thời gian). 
Qua kết quả khảo sát cho thấy mặc dù tỉ lệ học sinh khá, giỏi học kì I trong lớp rất cao, song khả năng tự học và tư duy linh hoạt với dạng toán này còn rất nhiều hạn chế. Vì vậy trong các tiết luyện tập, ôn tập và các buổi dạy thêm tiếp theo tôi phải chữa bài và hướng dẫn học sinh khai thác lại bài tập 87, đồng thời soạn thêm nhiều bài tập về dạng toán tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật để hướng dẫn học sinh tự giải. Với cách làm này qua khảo sát và đối chứng lại tôi thu được kết quả khá tốt. Cụ thể trong bài thi học sinh giỏi lớp 6 cấp huyện của huyện Cẩm Thủy vừa qua 4 học sinh của tôi đã làm được trọn vẹn hai bài toán có liên quan đến tính tổng dãy phân số viết theo quy luật. 
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Tổ chức và hướng dẫn học sinh làm lại bài tập 87- chương III- Sách bài tập, khai thác để rút ra cách làm chung cho những dãy phân số tương tự.
Bài tập 87- Chương III- SBT toán 6 tập hai:
a. Cho hai phân số và (n Î Z, n > 0). Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng.
b. Áp dụng kết quả trên để tính giá trị của các biểu thức sau:
A = . + . + . + . + . + . + . 
B = + + + + + + 
* Hướng dẫn học sinh tìm hiểu và giải bài toán:
a. Bài toán yêu cầu chứng minh tích của hai phân số đã cho bằng hiệu của chúng, tức là ta cần chứng minh đẳng thức:
 . = - 
Quy đồng mẫu, ta được: - = = = . 
. = - 
 Vậy: (1)
b. Trong tổng A: Mỗi tích của tổng A là dạng cụ thể của . . Như vậy ta chỉ cần viết mỗi tích trong tổng thành hiệu 2 phân số như trong công thức (1), ta có:
 A = . + . + . + . + . + . + . 
A = - + - + - + - + - + - + - 
A = - = 
	- Trong tổng B: Mỗi phân số chưa có dạng . . Vậy em hãy tìm cách đưa mỗi phân số về thành tích hai phân số đều có tử là 1và hai mẫu số là hai số tự nhiên liên tiếp để sử dụng công thức (1)? 
Chẳng hạn: = . = - 
Với cách gợi ý này của tôi học sinh đã biến đổi tương tự được các phân số còn lại.
Yêu cầu một học sinh trình bày hoàn chỉnh:
B = + + + + + + 
B = + + + + + + 
B = . + . + . + . + . + . + . 
B = - + - + - + - + - + - + - 
B = - = 
GV: Vì . = nên nếu đề bài cho các phân số có dạng thì ta có thể áp dụng ngay công thức (1) mà không cần biến đổi sang dạng . nữa. Như trong tổng B ở trên ta có thể biến đổi từ đề bài đến bước 1, bỏ qua bước 2 để đến bước 3 luôn cho nhanh gọn.
= - 
Vậy, tổng quát ta có : (2) 
* Khai thác bài toán: 
+ Quan sát công thức (2) ta thấy: Nếu một phân số có mẫu là tích của hai số tự nhiên liên tiếp (cách nhau 1 đơn vị), có tử số bằng 1, đúng bằng khoảng cách giữa hai thừa số ở mẫu thì phân số đó viết được thành hiệu hai phân số có tử đều bằng 1, hai mẫu số lần lượt là hai thừa số ở mẫu của phân số đã cho. Nhờ cách làm đó ta đã biến dãy cộng thành dãy cộng, trừ đan xen để ước lược các số hạng đối nhau. Chẳng hạn - và + ;
 - và + ;  Do đó bài toán được giải quyết nhanh chóng , chứ nếu quy đồng mẫu các phân số trên chắc chắn sẽ gặp nhiều khó khăn (như một số bạn đã làm). Đó là chưa kể đến có bài cần tính tổng của dãy gồm cả trăm , cả nghìn phân số thì việc quy đồng mẫu số là không thể.
Từ công thức tổng quát và nhấn mạnh bằng lời, yêu cầu học sinh làm một số bài tập vận dụng sau:
Bài 1: Hãy tính các tổng sau:
a) A = 
b) B = (với n 1; n N).
* Lời giải: 
a) Học sinh tự làm
b) B =
 B = 1 - + - + - +  + - = 1- = 
Bài 2: Không quy đồng, hãy tính nhanh các tổng sau:
a) 
b) S = 
Hướng dẫn: 
a) Đặt (-1) làm thừa số chung và biến đổi các mẫu thành tích 2 thừa số liên tiếp.
B = - ( + +)
B = - ( + +)
B = - (1- ) = 
b) Học sinh giải tương tự câu a)
S = 
S = - ()
S = - ()
S = - (
Bài 3 (Bài 95- Chương III - SBT toán 6 tập hai). Tính nhanh: 
M = 
Khi gặp bài toán này một số học sinh của tôi đã rất lúng túng và mắc sai lầm như sau (vì làm tương tự bài 1, bài 2 một cách máy móc.):
M = 
M = + 
M = - = 
 Từ cách làm trên tôi đã chỉ ra cho học sinh thấy được sai lầm của các em và phân tích bài toán, hướng dẫn cách giải bài tập này như sau. Hai thừa số ở mẫu hơn kém nhau hai đơn vị, đúng bằng tử số nên ta thử tính:
 ,
Vậy: M = + 
 M = - = 
Bài 4 . Tính:
C = 
Tương tự bài 3 học sinh làm được:
C = 
C = 1 + 
C = 1 = 
Bài 5: Tính tổng: S = + + +  + 
Hướng dẫn: Tử số bằng 3 đúng bằng khoảng cách của hai thừa số ở mẫu. Vậy hãy thử làm tương tự bài 3, 4 .
Lời giải: S = + + +  + 
 S = - + - + - + + - 
 S = - 
 S = 
* Giáo viên: Như vậy ở các bài toán trên ta thấy các hạng tử trong tổng đều là những phân số có dạng: tử là một số đúng bằng khoảng cách của hai thừa số ở mẫu.Vậy với những dãy phân số có tử không bằng khoảng cách của hai thừa số ở mẫu thì ta làm thế nào? 
Bài 6: Tính tổng 
a) A = 
b) B = 
Hướng dẫn: 
a) Đặt 2 làm thừa số chung để đưa về dãy phân số có mẫu là hai thừa số tự nhiên liên tiếp, tử là 1 đúng bằng khoảng cách của hai thừa số ở mẫu. 
A = 2
A= 2. (1 )
A = 2.(1-= 2. 
b) Khi gặp bài toán này một số học sinh của tôi đã mắc sai lầm như sau (vì làm tương tự bài 1, bài 2 một cách máy móc.):
B = 
B = 1 - 
B = 1 - = (kết quả này là sai đáng tiếc)
 Từ cách làm trên tôi đã chỉ ra cho học sinh thấy được sai lầm của các em đó là 1- ≠ ; ;  
Như vậy, vì ; ;  nên ta phải biến đổi B như sau:
B = 
B =+
B = -
B = (1- ) = = 
Bài 7. Tính tổng sau bằng cách nhanh nhất mà không dùng máy tính: 
S = + + + + 
Tương tự bài 6b) ta có: S = - ( + + + + )
S = - ( + + + + ) 
S = - ( + + + + )
S = - (1- +)
S = - (1- = - . = 
Bài 8 .
Tính giá trị biểu thức: C = 
Lời giải: 
C = 2. ()
C = )
C = 
C = 
Bài 9: Tính tổng:
a) A =
b) B = 
Lời giải: 
a) A =
b) B = 
Vậy B = 
Bài 10: Tính nhanh các tổng sau:
a) A = 
b) B = 
Hướng dẫn:
a) Bài này học sinh của tôi đem đặt thừa số chung là 10 nên khi phân tích các mẫu thành tích hai thừa số thì giữa các mẫu không có quy luật gì cả. Tôi hướng dẫn học sinh trước hết rút gọn mỗi phân số cho 2 để được các phân số có mẫu quen thuộc và có quy luật: 
A = =
 = 
 = 
 Vậy A= 
b) Bài này tử bằng 1 nhưng khi tách các mẫu thành tích của hai thừa số thì giữa các mẫu không có quy luật gì cả. Tôi gợi ý học sinh quan sát các mẫu xem có liên hệ gì với các mẫu của câu a) không thì có học sinh phát hiện ra được.
Lời giải: 
B = 
B = 
B = 2()
B = + )
B = .(1- + )
B = (1- ) = = 
2.3.2. Vận dụng kĩ năng tính tổng của dãy phân số có mẫu là tích hai thừa số viết theo quy luật vào tính tổng của dãy phân số có mẫu là tích của 3, 4 thừa số viết theo quy luật.
Giáo viên: Nếu mẫu là tích của 3, 4 số tự nhiên cách đều nhau thì sao?
Bài 11: Rút gọn biểu thức sau:
a) A =
b) B = + + +  + 
c) C = + +
 Hướng dẫn: a) Ở bài toán này, mẫu là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, tử bằng 1 cũng đúng bằng khoảng cách giữa các thừa số ở mẫu, các em thử xem có viết được mỗi phân số thành hiệu của hai phân số nào không mà giữa các phân số phải có mối liên hệ? 
Giáo viên hướng dẫn học sinh thử: 
; ;
Vậy: A =
 = +)
 = )
 = = = 
b) Là dãy tổng quát của dãy ở câu a )
B = + + +  + 
 = ( + + +  + )
 =. ( - + - + - + + - ) 
 = - ) = . 
c) Vẫn theo nguyên tắc phải tách mỗi phân số thành hiệu hai phân số.Vận dụng cách thử tương tự câu a) ta có:
 ; ;
Vậy:
 C = + +
 = + +)
 = +-++
 = = . = 
Bài 12: Rút gọn: A =
Hướng dẫn: ; ; .
Vậy: A =
 = +)
 = )
 = = = 
2.3.3. Vận dụng phương pháp tính tổng dãy phân số viết theo quy luật vào dạng toán so sánh, chứng minh.
Bài 13: Chứng minh rằng : S =+++...+<1
Hướng dẫn: Ta đã biết tính tổng A=
Hãy so sánh mỗi số hạng trong tổng S với mỗi số hạng trong tổng A ta sẽ giải quyết được bài toán.
Lời giải: Ta có <=-
 <=-
 ...
 <=- 
Suy ra: ++...+ <- +-+ ...+-
 S < 1-= <1 
 Vậy S< 1 
Bài 14: Cho S =. Chứng minh rằng 
Tương tự bài 13 giáo viên để học sinh tự phát hiện
Lời giải:
+ Ta có:>
 Suy ra: 
 Vậy: S > (1)
+Ta lại có:<
 Suy ra: < 
 Vậy: S < (2)
 Từ (1) và (2) ta có 
Bài 15 .
Cho A= +. Chứng tỏ rằng A <
Hướng dẫn: Ta khó có thể quy đồng mẫu các phân số này, vậy hãy xem các mẫu đó viết theo quy luật nào?
Học sinh viết được: A = + 
Giáo viên: Hãy tính tổng A xem kết quả có so sánh được với không?
Học sinh tính được: 
A = + 
A = 
A = . (1-)
A = . (1) < (Vì 1<1)
 Vậy A < 
Bài 16 .
Cho A = . Chứng minh A < 
Hướng dẫn: 
Giáo viên: Thử tính xem các mẫu của các phân số trong tổng có đặc điểm gì?
Học sinh tính được: A = + 
 Hay: A = + 
Giáo viên: Hãy so sánh tổng A với một tổng quen thuộc mà ta có thể tính được tổng đó?
 Học sinh làm được: A < 
 A < + -
 A < + < + =
 Vậy A <
2.3.4. Vận dụng phương pháp tính tổng dãy phân số viết theo quy luật vào dạng toán tìm x
Bài 17 . Tìm số nguyên x biết: 
 (1)
Mặc dù học sinh đã được va chạm dạng bài 2, bài 10 ở trên nhưng đến khi gặp bài này nhiều học sinh vẫn mắc vì vừa phải biết đặt thừa số chung là x, vừa phải biết đưa tổng dãy phân số về dạng có quy luật. Giáo viên phải gợi ý để đi đến lời giải:
Nhân hai vế của (1) với ta được:
x.) = 
x. + ) = 
x. 
x. 
x 
x = 11
Vậy: x = 11
Bài 18.
Tìm x biết: 
Tương tự bài 17, giáo viên để học sinh tự làm.
Lời giải: 
 (x - 2) = 
 (x - 2) = 
(x - 2) 
(x - 2). = 
(x - 2).2 = 16
x - 2 = 8
x = 10
Bài 19: Tìm số tự nhiên x biết : 
Hướng dẫn : Có nhận xét gì về tổng các phân thức trong dấu ngoặc ?
Học sinh nhận ra các phân thức trong dấu ngoặc viết theo quy luật từ đó biến đổi được:
 2. 
 2. 
 : 2
 -
 x + 1= 18 
 x = 17
 Bài 20. 
Tìm x biết: +  + ).x = 
Vì học sinh đã biết tính tổng các phân số trong ngoặc ở trên từ bài 11c) nên học sinh tôi vận dụng làm tốt bài này như sau:
 + +).x 
 + -+ + .x = ( ). x = 
 . x = 
 . x = 1 
 x = 3 
 Vậy: x = 3 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
 	Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi về rèn luyện kĩ năng tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật được đúc rút từ thực tế giảng dạy (đặc biệt là trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá, giỏi) ở trường THCS Cẩm Phong. Sau khi dạy xong phần này tôi cũng đã cho học sinh làm lại bài kiểm tra 15 phút để có số liệu đối chứng. Đề kiểm tra 15 phút như sau (đề dài hơn và phải vận dụng nâng cao hơn đề 15 phút ban đầu): 
Bài 1: (4 điểm) Tính các tổng sau bằng cách hợp lý nhất:
a, A = 
b, B = 
Bài 2: (3 điểm)
Tìm x biết: x - ...- 
Bài 3: (3 điểm) 
Cho A =. Chứng minh rằng: A < 2. 
Với đề bài như trên tôi thu được được kết quả như sau: 
Tổng
 số
Kết quả
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu, Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
34
10
29,4
15
44,1
9
26,5
0
0
Kết quả trên là rất khả quan vì chỉ còn 9 học sinh có điểm trung bình. Trong một bài kiểm tra nhanh của một chủ đề nâng cao thì việc những học sinh có học lực