SKKN Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT LƯU ĐÌNH CHẤT
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KĨ NĂNG 
GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
Người thực hiện: Vũ Thị Thanh Huyền
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2017
THANH HOÁ NĂM 2014
MỤC LỤC
Mục lục
Trang 2
1.1. Lí do chọn đề tài
Trang 3
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Trang 3
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trang 3
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Trang 3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trang 4
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Trang 4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trang 17
3.1. Kết luận.
Trang 17
3.2. Kiến nghị.
Trang 18
Tài liệu tham khảo
Trang 19
Danh mục các đề tài SKKN đã được đánh giá đạt từ loại C trở lên
Trang 19
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
	Kể từ năm 2016 trở về trước, số phức là một nội dung không khó và chiếm tỉ lệ nhỏ trong các đề thi THPT quốc gia. Song năm học 2016 – 2017, với việc thay đổi hình thức thi môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm, thì số phức lại là nội dung được khai thác nhiều và trải đều trên cả 4 mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao. Trong đó, bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) và giá trị lớn nhất (GTLN) của môđun số phức thường được khai thác ở mức độ vận dụng thấp đến mức độ vận dụng cao. 
	Thông thường, những bài toán này được giải quyết theo phương pháp đại số, mà chủ yếu là dùng bất đẳng thức và mỗi bài thường được đánh giá theo mỗi cách khác nhau. Cách làm này đòi hỏi học sinh phải có tư duy sáng tạo cao và vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức phần bất đẳng thức. Đối với học sinh có học lực trung bình khá trở xuống, mảng kiến thức này là một thách thức đối với các em. Chính vì vậy, trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy đa số học sinh thường có xu hướng bỏ qua các bài tập liên quan đến GTLN, GTNN của môđun số phức trong các đề thi. Tuy nhiên, bằng cách chuyển bài toán cực trị số phức sang bài toán cực trị hình học thì rất nhiều bài được giải quyết khá đơn giản, hiệu quả và có thể vận dụng cho nhiều bài tập khác.
	Có nhiều tài liệu tham khảo có đề cập đến bài toán cực trị số phức song chỉ đưa ra phương pháp đại số để giải quyết hoặc có đề cập đến phương pháp hình học nhưng rời rạc, không hệ thống. Do đó, học sinh vẫn lúng túng khi vận dụng, không biết cách chuyển bài toán cực trị số phức sang bài toán cực trị hình học và khi nào thì chuyển được.
	Để những học sinh không thuộc đối tượng học sinh khá, giỏi vẫn có thể giải quyết được các bài toán này, tôi lựa chọn nghiên cứu và triển khai thực hiện đề tài: “Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
	Đưa ra cho học sinh một phương pháp đơn giản và hiệu quả hơn để giải quyết bài toán cực trị số phức mà đa số học sinh có thể tiếp thu và vận dụng được.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
	Bài toán cực trị số phức và các cách giải quyết bài toán.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
	Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết và phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Để làm được bài toán cực trị số phức, ngoài kiến thức về số phức, học sinh cần được trang bị thêm một số kiến thức sau về mô đun số phức và cực trị hình học:
* Mô đun của số phức:
	 (với z ≠ 0)	[6] 
* Một số bài toán cực trị hình học:
Bài toán 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất [7] 
Bài toán 2: Cho đoạn thẳng AB và điểm I cố định, điểm M thay đổi trên đoạn AB. Khi đó:
+ Nếu tam giác ABI có tù hoặc tù thì MImin = Min {IA; IB}
	 MImax = Max {IA; IB}
+ Nếu tam giác ABI có đều không tù thì MImin = d(I; AB)
	 MImax = Max {IA; IB}[1]
Bài toán 3: Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R và điểm I cố định. Một điểm M thay đổi trên (C). Khi đó 
- Nếu I nằm ngoài (C) thì MImin = OI – R, MImax = OI + R 
- Nếu I nằm trong (C) thì MImin = R – OI, MImax = OI + R 
- Nếu I nằm trên (C) thì MImin = 0, MImax = 2R [2]
Vậy . 
Bài toán 4: Cho hai điểm A, B cố định. Gọi O là trung điểm AB. Một điểm M thay đổi trên elip (E) cố định có tiêu điểm là A và B. Giả sử (E) có độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục nhỏ là 2b. Khi đó, độ dài đoạn OM lớn nhất bằng a và nhỏ nhất bằng b
Bài toán 5: Cho đường thẳng d cố định và 2 điểm A, B cố định không nằm trên d. Một điểm M thay đổi trên d. Khi đó:
+ Nếu A, B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng d thì (MA + MB)min = AB khi M = AB Ç d.
+ Nếu A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d thì (MA + MB)min = A’B khi M = A’B Ç d với A’là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d [1]
Bài toán 6: Cho đường tròn (C) và đường thẳng d cố định. Một điểm M thay đổi trên (C) và một điểm N thay đổi trên d. 
Khi đó MNmin = 
Dấu “=” xảy ra khi M º H, N º K [2]
Bài toán 7: Cho hai đường tròn (C1) và (C2) cố định. Một điểm M chạy trên đường tròn và điểm N chạy trên đường tròn . Ta có:
+ Nếu (C1) và (C2) cắt nhau thì MNmin = 0, MNmax = R1 + R2 + I1I2
+ Nếu (C1) và (C2) ngoài nhau thì MNmin = I1I2 – R1 + R2 , MNmax = R1 + R2 + I1I2
+ Nếu (C1) và (C2) đựng nhau thì MNmin = , MNmax = R1 + R2 + I1I2 [2]
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
	Khi gặp bài toán cực trị số phức, đa số học sinh gặp khó khăn bởi thực chất bài toán tìm GTNN và GTLN của mô đun số phức chính là bài toán cực trị đại số - một nội dung rất khó trong chương trình toán THPT. Đây là nội dung thường được bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi. Nó đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và tư duy sáng tạo cao. Nếu đưa được về cực trị một biến thì học sinh còn có thể sử dụng phương pháp khảo sát hàm số. Song nếu là cực trị nhiều biến thì học sinh thường lúng túng vì không biết sử dụng bất đẳng thức để đánh giá như thế nào. Do đó, các em thường không giải quyết được bài toán hay nếu giải được thì cũng rất chật vật.
	Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường THPT Lưu Đình Chất nói riêng, tư duy logic và tư duy sáng tạo còn rất hạn chế. Vì vậy, khi gặp bài toán cực trị số phức trong các đề thi, các em thường có xu hướng bỏ qua, dẫn tới kết quả thi chưa cao.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
	Để khắc phục tình trạng trên, đầu tiên, tôi giới thiệu cho học sinh phương pháp chung để giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học. Sau đó, tôi chia các bài tập cực trị số phức thành các dạng cơ bản và sắp xếp hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần, bài tập sau kế thừa và khai thác kết quả bài tập trước. Với cách làm như vậy, học sinh không còn “ngợp” khi đứng trước bài toán cực trị số phức và từng bước nâng cao tư duy, kĩ năng giải quyết vấn đề, đến một mức nào đó, các em hoàn toàn có thể tự mình làm được những bài tập khó.
	Phương pháp chung:
-Bước 1: Từ điều kiện số phức z cho trước đưa ra biểu diễn hình học của số phức z.
-Bước 2: Chuyển yêu cầu tìm cực trị số phức sang tìm cực trị hình học của điểm biểu diễn hình học của z .
-Bước 3: Sử dụng kiến thức hình học để giải quyết bài toán.
	Thực chất của bước 1 và bước 2 là diễn đạt lại yêu cầu bài toán theo ngôn ngữ hình học. Hai bước này quyết định sự thành công của bài toán. GV cần phân tích cho học sinh hiểu được rằng: Có thể giả thiết của số phức z và yêu cầu tìm cực trị số phức là khác nhau song nếu biểu diễn hình học của nó là một thì cách giải các bài toán này là như nhau.
Cụ thể, tôi chia bài tập cực trị số phức thành các dạng cơ bản sau:
Dạng 1. Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng. Tìm số phức z có lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn:. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Hướng dẫn
Gọi điểm M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi (x,y ) thì 
Ta có: 
 Þ M thuộc đường thẳng (d): 
Þ nhỏ nhất Û OM nhỏ nhất 
Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn:. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Hướng dẫn
Gọi điểm M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi (x,y ) 
Gọi I(3; -1) thì 
Ta có: 
 Þ M thuộc đường thẳng (d): 
Þ nhỏ nhất Û IM nhỏ nhất 
Ví dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn:. Tìm giá trị nhỏ nhất của .[3] 
Hướng dẫn
Gọi điểm M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi (x,y ) 
Ta có: 
 (1)
Ta lại có: (2)
Đặt N(y; x), I(1; 0) thì từ (1) và (2) Þ IN = và N thuộc đường thẳng 
(d): 
Þ nhỏ nhất Û IN nhỏ nhất 
Vậy 
Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Hướng dẫn
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y ) thì 
Ta có: 
Þ Þ M thuộc đường thẳng d: x – y + 4 = 0 
Þ nhỏ nhất Û OM nhỏ nhất 
Ví dụ 5. Cho số phức z thỏa mãn:. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Hướng dẫn
Gọi điểm M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi (x,y ) , I(0; -1) thì 
Ta có: 
* Û z = -2i Û z + i = -i Þ 
* 
Þ nhỏ nhất Û IM nhỏ nhất 
Từ 2 trường hợp Þ 
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đoạn thẳng. Tìm số phức z có lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 6. Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Tính M + m.
Hướng dẫn
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi Þ .
Đặt A(1; 1), B(3; 2). Khi đó Þ M thuộc đoạn thẳng AB. 
Ta có: 
Þ , Þ 
Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .
Hướng dẫn
Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi. 
Gọi A(-2; 1), B(4; 7), I(1; -1) Þ 
Ta có: M thuộc đoạn thẳng AB.
Ta lại có: nhọn
Þ 
Phương trình đường thẳng AB: x – y + 3 = 0 Þ 
Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn. Tìm số phức z có lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 8. Cho số phức z thỏa mãn:. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Hướng dẫn
Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi thì . Ta có: 
Þ M thuộc đường tròn (C) tâm I(3; -4) bán kính 
Ví dụ 9. Cho số phức z thỏa mãn:. Tìm giá trị nhỏ nhất của [4] 
Hướng dẫn
Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi Þ N(x; - y) là điểm biểu diễn của 
Gọi A(- 1; - 1) Þ 
Ta có: 
Þ N thuộc đường tròn (C) tâm I(2; 3) bán kính R = 1
Ví dụ 10. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
Hướng dẫn
Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi thì . 
Ta có: 
Þ M thuộc đường tròn (C) tâm I(0;-3) bán kính 
Ví dụ 11. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
Hướng dẫn
Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi thì . 
Ta có: 
Þ Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn (C) tâm I(3; - 4) bán kính 
Þ Min và Max 
 Ví dụ 12. Cho số phức z thỏa mãn:. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 
Hướng dẫn
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y ) 
Gọi A(3; -5) Þ 
Ta có: 
* 
* Þ M thuộc đường tròn (C) tâm I(3; 4), bán kính R = 2 Þ 
Từ 2 trường hợp trên Þ 
Ví dụ 13. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
Hướng dẫn
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y ) , gọi A(3; 2) Þ N(y; x) là điểm biểu diễn của và 
Ta có: 
 Þ N thuộc đường tròn (C) tâm 
Dạng 4: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một elip. Tìm số phức z có lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 14. Cho số phức z thỏa mãn . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của lần lượt là
	A. 10 và 4	B. 5 và 4	C.4 và 3	D. 5 và 3 [8] 
Hướng dẫn
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z. Đặt A(-4; 0), B(41; 0).
Khi đó và .
Do MA + MB = 10 Þ M thuộc elip (E) có tiêu
điểm là A(-4; 0), B(4; 0) và độ dài trục lớn là 
2a = 10.
(E) có tiêu cự 2c = AB = 8 Þ c = 4 Þ Þ (E) có độ dài trục nhỏ 2b = 6
Khi đó , Þ đáp án D
Nhận xét: GV cần lưu ý phân biệt cho học sinh điều kiện: MA + MB = 2a với 2a = AB và 2a < AB để tránh nhầm lẫn dạng 2 và dạng 4
Ví dụ 15. Cho số phức z thỏa mãn. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .
Hướng dẫn
Giả sử z = x +yi Þ 
Gọi M(y; x), A(1; -1), B(-1; 1) Þ (1) Û MA + MB = 4 
Þ M thuộc elip (E) có tiêu điểm là A, B, độ dài trục lớn 
2a = 4, tiêu cự 2c = AB = , có tâm O(0; 0) là trung 
điểm AB.
Ta có: b2 = a2 – c2 = 2 Þ Þ độ dài trục nhỏ 
Ta lại có OM = 
Þ , 
Ví dụ 16. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .
Hướng dẫn
Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z. Đặt A(-4; 3), B(8; 5) Þ I(2; 4) là trung điểm của AB.
Khi đó và .
Do MA + MB = Þ M thuộc elip (E) có tiêu điểm là A, B và độ dài trục lớn là 2a =, tâm là I(2; 4) 
(E) có tiêu cự 2c = AB = , có độ dài trục nhỏ 2b = 2 (trong đó ) 
Khi đó , 
Bài tập vận dụng.
Ví dụ 17. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .
Ví dụ 18. Cho số phức z thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của là:
	A. 3	B. 4	C. 5	D. 6
Dạng 5: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng. Tìm số phức z có lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 19. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y ) 
Ta có: 
Þ M thuộc đường thẳng (d): x + y – 2 = 0
Gọi A(3; 1), B(4; -1) thì 
Bài toán trở về: Tìm điểm M (d): x + y – 2 = 0 sao cho P = MA + MB nhỏ nhất
Ta thấy A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d.
Þ P = MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B.
Dấu “=” xảy ra khi M º M’ = A’B Ç d
Gọi H = AA’ Ç d Þ H Î d và H là trung điểm AA’.
Do H Î d Þ H(x; -x + 2) Þ 
Þ Pmin = A’B = 3.
Ví dụ 20. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y ) 
Ta có: 
Þ M thuộc đường thẳng (d): x - 2y + 1 = 0
Gọi A(0; 2), B(1; - 2) thì 
Bài toán trở về: Tìm điểm M (d): x - 2y +1 = 0 
sao cho P = MA + MB nhỏ nhất
Ta thấy A, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d 
Þ P = MA + MB ≥ AB. Dấu “=” xảy ra khi M º M’ = AB Ç d
Þ Pmin = AB 
Ta còn có thể mở rộng bài toán như sau: 
Ví dụ 21. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Hướng dẫn
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y ) 
Ta có: 
Þ M thuộc đường thẳng (d): x - 2y + 1 = 0
Gọi A(0; 2), B(1; - 2) thì 
Bài toán trở về: Tìm điểm M (d): x - 2y +1 = 0 sao cho lớn nhất
Ta thấy A, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d.
Þ 
 Dấu “=” xảy ra khi M º M’ = A’B Ç d
Gọi H = AA’ Ç d Þ H Î d và H là trung điểm AA’.
Do H Î d Þ H(2y – 1; y) Þ 
Þ Pmax = A’B = .
Dạng 6: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là các đường (C1), (C2). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 
Ví dụ 22. Cho hai số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Hướng dẫn
Giả sử là điểm biểu diễn của số phức , là điểm biểu diễn của số phức 
Ta có 
Þ M thuộc đường tròn và N thuộc đường thẳng .
Ta thấy đường thẳng d không cắt và . 
Bài toán trở thành: Cho M chạy trên đường tròn và N chạy trên đường thẳng . Tìm giá trị nhỏ nhất của MN.
Đường tròn (C) có tâm I(-5; 0), bán kính R = 5.
Gọi d’ là đường thẳng qua I, vuông góc với d, cắt đường tròn (C) lần lượt tại K, L. Ta có: MN nhỏ nhất khi M º K, N º H. Khi đó: MNmin = d(I, d) – R = 7,5 – 5 = 2,5
Ví dụ 23. Cho hai số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Hướng dẫn
Giả sử là điểm biểu diễn của số phức , là điểm biểu diễn của số phức 
Ta có 
Þ M thuộc đường tròn và N thuộc đường thẳng d: 5x + 7y + 12 = 0
Ta thấy đường thẳng d cắt và . 
Bài toán trở thành: Cho M chạy trên đường tròn và N chạy trên đường thẳng . Tìm giá trị nhỏ nhất của MN.
Đường tròn (C) có tâm I(0; -1), bán kính R = 5
Gọi d’ là đường thẳng qua I, vuông góc với d, cắt đường tròn (C) lần lượt tại K, L. Ta có: MN nhỏ nhất khi M º K, N º H. Khi đó: MNmin = R - d(I, d) = 
Ví dụ 24. Cho hai số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của [5]
Hướng dẫn
Giả sử là điểm biểu diễn của số phức , là điểm biểu diễn của số phức 
Ta có 
Þ M thuộc đường tròn 
và N thuộc 
và 
Bài toán trở thành: Cho M chạy trên đường tròn và N chạy trên đường tròn . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của MN.
Đường tròn có tâm I1(-3; 4), bán kính R1 = 1.
Đường tròn có tâm I2(-6; 1), bán kính R2 = 5
Do R2 – R1 < I1I2 < R2 + R1 nên hai đường tròn cắt nhau tại A, B. 
Khi đó: MNmin = 0 Û M º N º A hoặc M º N º B
 	 MNmax = R2 + R1 + I1I2 = 6 + Û M º C, N º D
Þ 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy tại trường THPT Lưu Đình Chất, bước đầu đã thu được một số kết quả khả quan. Học sinh có sự tiến bộ rõ rệt, thể hiện qua chất lượng các kì thi khảo sát. Đa số học sinh trung bình khá trở lên đã có thể giải quyết được các bài toán cực trị số phức. Các em đã bắt đầu yêu thích, hào hứng chinh phục các bài toán khó về cực trị số phức, không còn tâm lí bỏ qua khi gặp dạng toán này. Học sinh khá, giỏi không chỉ dừng lại ở những dạng bài tập được giới thiệu mà đã biết cách áp dụng cách tư duy “quy lạ về quen” để giải quyết được những bài toán phức tạp hơn, từng bước nâng cao tư duy và khả năng vận dụng linh hoạt kiến thức đã học. Thông qua đó, chất lượng giảng dạy bộ môn Toán nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung ngày càng được nâng cao.
Đề tài đã được thảo luận, đánh giá ở tổ chuyên môn và đã được đồng nghiệp áp dụng trong công tác giảng dạy. Tất cả đều có phản hồi rất tích cực về hiệu quả của đề tài. Không chỉ vậy, việc giải quyết những nội dung còn hạn chế của đề tài lại là nguồn cảm hứng cho đồng nghiệp trong việc nghiên cứu khoa học. Từ đó, phong trào nghiên cứu khoa học, trau dồi kiến thức, bồi dưỡng nghiệp vụ ngày càng được chú trọng.
III. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận.
 Qua đề tài này tôi thu được một số bài học:
- Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều bài toán với những cách giải khác nhau.
- Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán để tìm lời giải tối ưu nhất.
- Rèn luyện cho học sinh cách trình bày một cách chặt chẽ, cô đọng. 
Thông qua việc quy các bài toán lạ, phức tạp của cực trị số phức về các bài tập hình học đơn giản, quen thuộc, học sinh sẽ dần khắc phục được tâm lí “sợ” các bài toán cực trị số phức, tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng sáng tạo trong học tập.
	Sử dụng phương pháp cực trị hình học để giải các bài tập cực trị số phức có thể biến các bài tập phức tạp thành các bài tập đơn giản hơn đối với học sinh, đặc biệt là đối với học sinh không thực sự có tính sáng tạo cao, tư duy không thật tốt, đối với học sinh có lực học trung bình khá trở xuống, từng bước cải thiện điểm số của các em. Đặc biệt, đề tài rất hữu dụng với những học sinh đặt mục tiêu điểm 8, 9 trong kì thi THPT Quốc gia. Nó cũng là tài liệu tham khảo hữu ích đối với giáo viên khi dạy ôn chuyên đề số phức.
3.2. Kiến nghị.
	Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên trong phạm vi bài viết, tôi cũng chỉ mới giải quyết một số dạng toán. Vẫn còn một số dạng cực trị số phức mà tôi chưa thể chuyển qua bài toán cực trị hình học được. Mong các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để có cách khác thác tốt hơn cho các bài toán thuộc thể loại này. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 18 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác 
Vũ Thị Thanh Huyền
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Bài tập toán 7 tập 2 – Tôn Thân – Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản giáo dục.
[2] Bài tập toán 9 tập 1 – Tôn Thân – Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản giáo dục.
[3] Đề thi thử lần 2 chuyên đại học Vinh năm 2017
[4] Đề thi thử THPT Kim Liên – Hà Nội năm 2017
[5] Đề thi thử THPT Hưng Nhân – Thái Bình năm 2017
[6] Giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục.
[7] Toán 7 tập 2 – Nhà xuất bản giáo dục.
[8] Đề thi thử số 5 – Toán học và tuổi trẻ
Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp phòng GD&ĐT, Cấp Sở GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên.
STT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại ( Sở, Tỉnh...)
KQĐG 
XL (A, B, C)
Năm được đánh giá xếp loại
Rèn luyện cho HS kĩ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa
Sở GD & ĐT
C
753/QĐ – SGD&ĐT – 3/11/2014