SKKN Rèn kĩ năng giải toán hình học cho học sinh trung học cơ sở huyện Quảng Xương nhằm phát triển tư duy, sáng tạo nâng cao chất lượng giáo dục

 MỤC LỤC
1. Mở đầu...2
1.1 Lý do chọn đề tài.2
1.2 Mục đích nghiên cứu..2
1.3 Đối tượng nghiên cứu..2
1.4 Phương pháp nghiên cứu.2
2. Nội dung Sáng kiến kinh nghiệm..3
2.1 Cơ sở lý luận...2
2.2 Thực trạng việc dạy và học giải toán hình học trong trường THCS huyện Quảng Xương....3
2.2.1. Đối với giáo viên 3
2.2.2. Đối với học sinh .	4
2.3 Các giải pháp rèn kỹ năng giải toán hình học cho học sinh THCS huyện Quảng Xương4
2.3.1 Rèn kỹ năng vẽ hình cho học sinh4
2.3.2 Rèn kỹ năng tính toán.. 6
2.3.3 Rèn kỹ năng suy luận và chứng minh..7
2.3.3.1 Rèn kỹ năng nhận dạng và thể hiện định lý..7
2.3.3.2 Rèn kỹ năng sử dụng quy tắc suy luận..8
2.3.3.3 Rèn kỹ năng suy ngược và suy xuôi11
2.3.3.4 Rèn kỹ năng khái quát hóa..12
2.4 Hiệu quả của Sáng kiến.15
3. Kết luận, kiến nghị..15
3.1 Kết luận.15
3.2 Kiến nghị...15
Tài liệu tham khảo..17
 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Thực hiện đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung học cơ sở (THCS) nhằm nâng cao hiệu quả quá trình dạy học, việc đổi mới phương pháp dạy học giải toán có tầm quan trọng đặc biệt, góp phần phát triển tư duy, sáng tạo cho học sinh. Việc giải bài toán, toán học là một bộ phận không thể tách rời của quá trình tri thức và chuẩn bị cho hành động, vì nó đảm bảo cho học sinh không những hiểu lý thuyết toán học một các vững chắc và có ý thức hơn mà biết vận dụng những tri thức toán học vào thực hành 
Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy học môn toán ở trường THCS.
Đối với học sinh có thể nói rằng hoạt động giải toán là hoạt động chủ yếu trong học tập môn Toán.
Giải toán hình học là một hình thức rất tốt để rèn luyện các kĩ năng: Kĩ năng tính toán, kĩ năng vẽ hình, kĩ năng suy luận, kĩ năng toán học hoá các tình huống. Việc tìm tòi lời giải các bài toán rèn luyện cho học sinh phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong việc giải quyết các vấn đề. Qua đó rèn luyện trí thông minh sáng tạo, phát hiện năng lực và các phẩm chất trí tuệ của học sinh.
	Giáo viên biết lựa chọn các bài toán và chú ý hướng dẫn học sinh giải toán thì có thể không những truyền thụ được kiến thức, rèn luyện được kĩ năng mà còn phát huy được tác dụng giáo dục phát triển trí tuệ, bồi dưỡng nhân cách, rèn kỹ năng sống cho học sinh.
	Như vậy trong quá trình giảng dạy, người thầy giáo cần thông qua hệ thống câu hỏi, hệ thống bài tập để học sinh hiểu và nắm vững được khái niệm, định nghĩa, tính chất, của các hình, có kỹ năng thành thạo vận dụng những kiến thức đã học khi giải, đặc biệt giúp các em tránh được những sai lầm trong khi giải bài tập. Vì vậy tôi chọn đề tài: "Rèn kĩ năng giải toán hình học cho học sinh trung học cơ sở huyện Quảng Xương nhằm phát triển tư duy, sáng tạo nâng cao chất lượng giáo dục "
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu, tìm hiểu những hạn chế cơ bản của giáo viên và học sinh trong việc dạy và học giải toán hình học tại các trường THCS huyện Quảng Xương. Đề ra những biện pháp rèn kỹ năng giải toán hình học cho học sinh THCS nhằm phát triển tư duy, sáng tạo nâng cao chất lượng giáo dục.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu quá trình dạy - học phân môn hình học của giáo viên và học sinh trung học cơ sở (những điểm mạnh, những hạn chế); nêu ra những biện pháp rèn kĩ năng giải toán hình học cho học sinh.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Điều tra
- Phân tích, so sánh
- Khai quát
- Tổng hợp
	- Hội thảo
 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận 
Quá trình dạy học là một hệ thống cơ bản gồm:
- Khái niệm khoa học
- Hoạt động dạy. 
- Hoạt động học.
 * Khái niệm khoa học là nội dung và đối tượng của sự lĩnh hội (học) là yếu tố khách quan thứ nhất quyết định logic của bản thân quá trình dạy - học về mặt khoa học ; quá trình khoa học vừa là điểm xuất phát của học vừa là điểm kết thúc của học.
 * Hoạt động dạy là hoạt động của người thầy, có vai trò chỉ đạo với chức năng tổ chức, điều khiển hoạt động và truyền đạt thông tin. Chức năng “Kép”
 Quá trình dạy - học là một quá trình vận động của tư duy và ý thức - một quá trình diễn ra và trải qua các giai đoạn nhất định, là một quá trình vận động, phát triển liên tục, nhờ đó mà những kinh nghiệm xã hội, lịch sử kho tàng văn hoá nhân loại, dần dần hình thành lý tưởng, niềm tin thế giới quan và giá trị văn hoá riêng của mỗi học sinh. Trên cơ sở đó hình thành những phẩm chất của nhân cách học sinh .
 Các thành tố quá trình dạy – học liên quan chặt chẽ và tác động qua lại với nhau , chính nhờ tác động này mà quá trình tồn tại và phát triển.
 Quá trình dạy học là tác động vào các yếu tố để làm cho quá trình phát triển theo mục tiêu điều kiện, tuỳ tình hình tuỳ thời gian mà lựa chọn tác động cho thích hợp tạo hiệu quả giáo dục cao nhất mà giáo viên phải nắm được.
* Hoạt động học: Khi nói đến hoạt động học cần làm rõ khái niệm học và khái niệm hoạt động học. Trong cuộc sống đời thường con người luôn luôn có quá trình tích tiếp thu, tích luỹ những kinh nghiệm sống, trên cơ sở đó tạo nên những tri thức tiền khoa học, làm cơ sở tiếp thu những khái niệm khoa học ở trong nhà trường. Đó chính là việc học, là cách học theo phương pháp của cuộc sống thường ngày, giống như con người khi sinh ra đến khi chết học ăn học nói học gói học mở, đi một ngày đàng học một sàng khônTrên thực tế, chỉ có phương thức đặc thù( phương thức nhà trường) mới có khả năng tổ chức để cá nhân tiến hành hoạt động đặc biệt đó là hoạt động học, qua đó hình thành ở cá nhân những tri thức khoa học, năng lực mới phù hợp với đòi hỏi của thực tiễn; và trong tâm lý học sư phạm, hoạt động học là khái niệm chính được dùng để chỉ hoạt động học diễn theo phương thức đặc thù, nhằm chiếm lĩnh tri thức, kĩ năng, kĩ xảo.
2.2. Thực trạng việc dạy và học giải toán hình học trong trường THCS của huyện Quảng Xương
2.2.1. Đối với giáo viên
2.2.1.1. Thiên về cung cấp bài giải cho học sinh tiếp thu một cách thụ động; chưa chú trọng trong việc dạy học sinh giải toán hình học.
2.2.1.2. Thường bằng lòng và kết thúc công việc giải một bài toán hình học khi tìm được một cách giải nào đó, chưa chú ý hướng dẫn học sinh suy nghĩ tìm cách giải khác, cách giải hay hơn hoạc khai thác thêm ở bài toán vừa giải để phát huy tư duy linh hoạt và sáng tạo của học sinh; thường chú ý số lượng hơn là chất lượng bài giải. 
2.2.1.3. Giáo viên thường chú trọng mặt đề cao kiến thức và coi nhẹ mặt bảo đảm kiến thức, cái cơ bản theo yêu cầu chuẩn kiến thức của chương trình.
2.2.2. Đối với học sinh:
2.2.2.1. Lúng túng trước đề bài toán hình học; Không biết làm gì, bắt đâù từ đâu, đi theo hướng nào  
2.2.2.2. Suy luận hình học kém, chưa hiểu thế nào là chứng minh, cho nên lý luận thiếu căn cứ, không chính xác, không chặt chẽ, lấy điều phải chứng minh làm giả thiết
2.2.2.3. Trình bày bài giải hình học không tốt: hình vẽ không chính xác, không rõ ràng, ngôn ngữ ký hiệu tuỳ tiện, lập luận thiếu căn cứ, khoa học, logic.
2.3. Các giải pháp Rèn kĩ năng giải toán hình học cho học sinh THCS huyện Quảng Xương
	Trong quá trình dạy học giải toán ở trường THCS ta cần đặc biệt chú ý luyện cho học sinh kĩ năng giải toán.
Các kĩ năng cần rèn luyện cho học sinh trong việc dạy học giải toán hình học là:
+ Kĩ năng vẽ hình
+ Kĩ năng tính toán
+ Kĩ năng suy luận và chứng minh
2.3.1. Rèn kĩ năng vẽ hình cho học sinh
	Hình vẽ đóng một vai trò quan trọng trong quá trình giải toán. Hình vẽ chính xác trực quan giúp cho học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải của bài toán. Học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn trong quá trình vẽ hình, thông thường các em vẽ hình theo thứ tự đầu bài đã cho, cho nên nhiều khi hình vẽ không chính xác hoặc không vẽ hết các trường hợp xảy ra.
Ví dụ1: Cho tam giác ABC ( AB < AC) có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh NP là đường trung trực của đoạn AH và MNPH là một hình thang cân.
Khi giải bài tập này học sinh thường vẽ trường hợp H nằm giữa B và C, không nói gì đến các trường hợp khác. Trong khi đó điểm H có thể trùng với B hoặc nằm ra ngoài đoạn BC. Vì vậy, trong khi vẽ hình giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh vẽ đầy đủ cả ba trường hợp có thể xảy ra ( hình 1a, 1b, 1c)
A
B
C
P
N
H
M
A
B
C
N
M
P
A
H
B
M
N
P
C
 Hình 1a Hình 1b Hình 1c
Ví dụ 2.
 	Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và dựng một đường tròn đường kính MC. Nối BM kéo dài gặp đường tròn tại D. Đường thẳng DA gặp đường tròn tại S. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc SCB. 
Khi giải bài toán này học sinh thường vẽ một tam giác ABC vuông ở A. Sau đó lấy một điểm M trên AC và dựng đường tròn đường kính MC. Cách vẽ như vậy sẽ gặp khó khăn vì không xét hết các khả năng có thể xảy ra.
Với cách vẽ sau đây việc tìm lời giải bài toán sẽ gặp thuận lợi hơn:
Vẽ đường tròn đường kính MC, trên tia CM lấy một điểm A ( M nằm giữa C và A) và dựng Ax vuông góc với AC, trên Ax lấy điểm B, tuỳ thuộc vào vị trí của điểm B mà có thể xảy ra các trường hợp sau:
+ Điểm S nằm giữa điểm A và điểm D (Hình 2a)
+ Điểm D nằm giữa điểm A và điểm S (Hình 2b)
+ Điểm D trùng với điểm S ( Hình 2c)
A
B
C
M
D
S
A
B
C
M
D
S
A
B
C
M
S, D
(Hình 2a)
(Hình 2b)
(Hình 2c)
	2.3. 2. Rèn kĩ năng tính toán
	 Trong quá trình giải toán, học sinh có thể đi đến kết quả chính xác và ngắn gọn hay không, điều đó phụ thuộc vào khả năng tính toán.
Nhiều khi các em không biết thiết lập mối liên hệ giữa những đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết, giữa những đại lượng chưa biết với nhau, giữa những đại lượng đã biết với nhau.
	Sau đây là một bài toán tương đối đơn giản, nhưng nhiều học sinh gặp khó khăn trong quá trình tìm lời giải.
Ví dụ 3 
Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng đường cao AH, biết rằng AH = 4,8cm, BH = 3,6cm. Tính diện tích tam giác ABC.
	Có thể hướng dẫn học sinh tính diện tích tam giác ABC theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn trước hết tính độ dài cạnh huyền BC: 
Ta có ( hình 3)
C
A
B
H
AH2 = BH . CH
(4,8)2 = 3,6 . CH Þ CH = 6,4(cm)
BC = 3,6 + 6,4 = 10(cm)
 (Hình 3)
Diện tích tam giác ABC là 10 x 4,8 : 2 = 24 (cm2)
	Có thể có học sinh tính toán như sau:
AB2 = AH2 + BH2 Þ AB2 = 4,82 + 3,62 = 23,04 + 12,96 = 36 Þ AB = 6(cm)
. Thay số ta có Þ AC = 8 (cm).
Diện tích tam giác ABC là 6 x 8: 2 = 24 (cm2).
Ví dụ 4
	Cho một góc đỉnh B, trên cạnh thứ nhất của góc đó lấy hai đoạn thẳng BA và BD ( BA < BD), trên cạnh thứ hai lấy hai đoạn thẳng BC và BE. Xét xem các đường thẳng AC và DE có song song với nhau không nếu 
B
A
D
C
E
 (Hình 4)
Điều mấu chốt khi giải bài toán này ( Hình 4) là bằng cách tính được các tỉ số BA/BD và BC/BE hoặc BA/AD và BC/EC từ các điều kiện đã cho
	Để tính được các tỉ số trên nhanh gọn và chính xác học sinh cần biến đổi thành thạo các tỉ lệ thức.
2.3. 3. Rèn kĩ năng suy luận và chứng minh 
	Việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy luận và chứng minh có tầm quan trọng khá đặc biệt. Vì học sinh cần có kĩ năng này không những chỉ khi giải các bài toán về chứng minh mà cả khi giải các bài toán về quĩ tích ( Chứng minh phần thuận và phần đảo); các bài toán về dựng hình ( phần chứng minh) và một số bài toán về tính toán.
Có thể rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy luận và chứng minh theo các hướng sau đây:
- Tăng cường cho học sinh tiến hành các hoạt động nhận dạng các định lí và thể hiện định lí.
- Hướng dẫn học sinh suy luận theo qui tắc suy diễn ( qui tắc kết luận) và qui tắc qui nạp ( hoàn toàn)
- Rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy ngược và suy xuôi ( suy luận theo phương pháp phân tích và phương pháp tổng hợp)
- Hướng dẫn học sinh khái quát hoá các bài toán khi có điều kiện.
2.3. 3. 1. Rèn kĩ năng nhận dạng và thể hiện định lí
 	Việc rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh hình học cho học sinh nên bắt đầu bằng việc cho học sinh tiến hành các hoạt động nhận dạng định lí và thể hiện định lí.
	Nhận dạng một định lí là phát hiện xem một tình huống cho trước có ăn khớp với một định lí nào đó hay không, còn thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống học tập ăn khớp với định lí trước.
Ví dụ 5
Cho tam giác ABC. Dựng các tam giác đều MAB, NBC, PCA thuộc miền ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng MC = NA = PB .
A
B
C
N
P
M
Trên (hình 5) tam giác ABC có 3 góc nhọn
Để chứng minh MC = NA = PB trước hết ta chứng minh MC = NA.
Để chứng minh MC = NA ta xét hai tam giác MBC và ABN, ta có:
MB = AB ( tính chất tam giác đều)
ÐMBC = ÐABN ( cùng bằng 600+ ÐABC)
BC = BN ( tính chất tam giác đều)
 	 (Hình 5)
Đến đây học sinh sẽ thấy rằng tình huống này ăn khớp với đinh lí sau (nhận dạng định lí):
Nếu hai tam giác ABC và A/B/C/ có AB = A/B/; ÐA = Ð A/, AC = A/C/ thì hai tam giác đó bằng nhau.
Muốn chứng minh NA = PB ta củng có thể vận dụng định lí trên.
Chú ý rằng ta chỉ mới xét trường hợp tam giác có 3 góc nhọn. Học sinh còn phải tiếp tục xét các trường hợp khác: Tam giác ABC có một góc tù và chi tiết hơn, góc tù đó lớn hơn 1200; bằng 1200; bé hơn 1200.
Ví dụ 6
	Cho H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua AC. Chứng minh rằng: H’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Trên ( hình 6) tam giác ABC có 3 góc nhọn
Để chứng minh H’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức là bốn điểm H’, A, B, C cùng nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh ÐA1 = ÐC2 (1) (nhận dạng định lí).
	Quĩ tích các điểm M tạo thành với hai mút đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo không đổi bằng a ( 00 < a < 1800) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc a dựng trên đoạn thẳng AB .
Ta lại có ÐC1 = ÐC2 ( Tính chất đối xứng)
Để chứng minh (1) ta cần chứng minh ÐC1 = Ð A1 (2).
Để chứng minh (2) ta cần chứng minh tứ giác AKTC nội tiếp .
Điều này học sinh dễ nhận thấy vì K và T cùng nhìn AC dưới một góc vuông. ( hoặc ÐC1 = Ð A1 góc có cạnh tương ứng vuông góc)
A
B
C
H’
I
K
H
T
1
2
1
2.3. 3. 2. Rèn kĩ năng sử dụng qui tắc suy luận
Khi dạy giải bài tập, giáo viên nên chú ý dạy cho học sinh các qui tắc suy luận. Trong quá trình giải toán, ta thường gặp hai qui tắc suy luận sau:
- Qui tắc suy diễn là suy luận từ cái chung đến cái riêng, từ qui luật tổng quát đến trường hợp cụ thể.
 - Qui tắc qui nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung, từ trường hợp cụ thể rút ra kết luận tổng quát.
Qui tắc suy diễn thường gặp nhất là qui tắc kết luận. Qui tắc kết luận có sơ đồ sau:
A Þ B được gọi là tiên đề lớn, A được gọi là tiên đề nhỏ, B được gọi là kết luận.
Ví dụ 7:
Chứng minh rằng trong một tam giác cân hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.
Gọi tam giác cân là ABC ( AB = AC) và hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên là BM và CN ( Hình 7)
Để giải bài toán này ta dùng qui tắc kết luận:
* Tiên đề lớn
Nếu hai tam giác ABC và A/B/C/ có AB = A/B/; ÐA = ÐA/; AC = A/C/ thì hai tam giác đó bằng nhau.
* Tiên đề nhỏ: Tam giác BCN và tam giác CBM có BC chung, 
ÐB = ÐC, BN = CM
Kết luận: DBCN = DCBM
* Tiên đề lớn:
A
C
B
M
N
 Nếu hai tam giác bằng nhau thì các cạnh tương ứng bằng nhau
*Tiên đề nhỏ:
DBCN = DCBM
Kết luận: BM = CN
 (Hình 7)
Qui tắc qui nạp thường dùng là qui tắc qui nạp hoàn toàn. Khi ta sử dụng qui tắc qui nạp hoàn toàn, ta phải xét hết các trường hợp có thể xảy ra. Trong quá trình giải toán nhiều khi ta cần phải phân chia ra các trường hợp riêng, nhưng hầu hết học sinh chỉ xét trong một trường hợp rồi đi đến kết luận hoặc có phân chia nhưng không đầy đủ các trường hợp. Vì vậy trong quá trình dạy học giải toán giáo viên cần chú ý bồi dưỡng cho học sinh năng lực phân chia ra các trường hợp riêng.
Ví dụ 8 
Cho tam giác ABC, Điểm E nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh rằng AE nhỏ hơn đoạn lớn nhất trong hai đoạn thẳng AB và AC.
Không mất tính tổng quát giả sử AB < AC ta cần chứng minh AE < AC.
Kẻ AH vuông góc với BC. Để giải bài toán này ta cần xét 3 trường hợp:
Trường hợp 1: góc B bằng 900 (Hình 8a)
Trường hợp 2: góc B lớn hơn 900 (Hình 8b).
- Trường hợp 3: góc B nhỏ hơn 900 (Hình 8c).
A
C
H B
A
B
C
E
A
B
H
E
C
 (Hình 8a) (Hình 8b)
 (Hình 8c1)
- Trường hợp 3: Góc B nhỏ hơn 900 
Trong trường hợp này có ba khả năng sau:
+ Điểm E nằm giữa hai điểm H và C (Hình 8c1).
+ Điểm E trùng điểm H (Hình 8c2). 
+ Điểm E nằm giữa hai điểm B và H (Hình 8c3). 
 E H
C
B
A
A
H
B
E
C
 (Hình 8c2) (Hình 8c3)
Ví dụ 9
Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC và về phía ngoài tam giác dựng hai tam giác vuông cân tại A là ABE và ACD. Chứng minh rằng BD = CE ( tài liệu chuyên toán lớp 6 - 7)
Khi giải bài toán này, phải xét 3 trường hợp:
Góc A là góc nhọn( hình 9a)
Góc A là góc vuông( hình 9b)
Góc A là góc tù( hình 9c)
D
B
C
A
E
B
C
A
E
D
A
B
E
D
Hình 9a
Hình 9b
Hình 9c
C
Sau khi xét cả 3 trường hợp ta mới kết luận.
2.3.3.3. Rèn kĩ năng suy ngược và suy xuôi
	Khi giải các bài toán về chứng minh, phép suy ngược thường được dùng để tìm lời giải, phép suy xuôi thường được dùng khi trình bày lời giải. Vì vậy trong quá trình dạy học giải toán, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy ngược và suy xuôi.
Ví dụ 10
	Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của cạnh AB, F là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh hai đoạn thẳng DE và BF chia đường chéo AC thành ba đoạn thẳng bằng nhau.
A
B
C
D
E
F
M
N
Gọi giao điểm của DE và BF với đường chéo AC là M, N ( hình 10)
Ta phải chứng minh: AM = MN = NC
Trước hết ta tìm cách chứng minh AM = MN. Ta dùng suy ngược để tìm lời giải. Để chứng minh AM = MN ta hãy chứng minh EM // BN (1)
 (Hình 10)
Để chứng minh (1) ta hãy chứng minh tứ giác DEBF là hình bình hành (điều này dễ thấy).
Ta có lời giải như sau ( suy xuôi)
Vì E là trung điểm của AB, F là trung điểm của DC nên ta có: EB = DF.
Tứ giác EBFD là hình bình hành. Suy ra ME // BN. E là trung điểm của AB nên ME là đường trung bình của tam giác ABN hay nói cách khác M là trung điểm của AN: AM = MN
2.3. 3.4. Rèn kĩ năng khái quát hoá
	Muốn rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy luận và chứng minh, trong một số trường hợp có thể hướng dẫn cho học sinh khái quát hoá các bài toán. 
Có hai dạng khái quát hoá thường gặp là:
+ Khái quát từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát
+ Khái quát từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn
Ví dụ 11
Cho tam giác ABC và gọi D là điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có độ dài AD = 2cm và BD = 4cm. Tính tỉ số khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC 
Lời giải 
B
D
A
C
H
K
Từ B và D kẻ BH và DK vuông góc với AC ( hình 11). Ta có: BH // DK
Áp dụng định lí Talét ta có:
Vì tỉ số giữa DK và BH bằng tỉ số giữa AD và AB vì vậy ta có thể khái quát hoá bài toán trên như sau:
Hình 11
Bài toán 1.
Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có độ dài AD = a và BD = 2a. Tính tỉ số khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC ( Ta có đáp số DK / BH = 1/3)
	Ta cũng có thể khái quát bài toán trên một cách khác như sau:
Bài toán 2.
Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có độ dài AD = m và BD = n. Tính tỉ số khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC ( Ta có đáp số DK / BH = m/m+n).
Ví dụ 12.
Trên cạnh của hình vuông ABCD và ở miền ngoài của hình vuông đó, vẽ bốn hình vuông. Chứng minh các tâm đối xứng của chúng là đỉnh của một hình vuông khác.
 	Lời giải tóm tắt: ( hình 12)
A
B
C
D
O1
O2
O3
O4
Các tam giác cân ABO1; BCO2; CDO3; ADO4 bằng nhau. Có thể chứng minh được rằng:
A thuộc đoạn thẳng O1O4
D thuộc đoạn thẳng O3O4
C thuộc đoạn thẳng O2O3
B thuộc đoạn thẳng O1O2
ÐAO1B = ÐBO2C = ÐCO3D = 900. Do đó O1O2O3O4 là một hình vuông.
Ta có thể khái quát hoá bài toán trên bằng cách thay “hình vuông ABCD” bằng “hình chữ nhật ABCD”
Hình 12
 Trên hình 12, ta thay giả thuyết hình vuông ABCD bằng hình chữ nhật ABCD và kết luận như cũ ta có bài toán mới)
( Với lời giải tương tự cho ta điều phải chứng minh)
 *Bằng cách tiếp tục thay đổi giả thuyết bài toán ta sẽ được những bài toán mới bằng kỹ năng "khái quát hoá"
VD: Ta thay giả thuyết hình vuông ABCD bằng hình thoi ABCD( Hoặc hình bình hành ABCD) và kết luận như cũ ta có bài toán mới.
Sau đây xét hướng dẫn giải cho trường hợp ABCD là hình bình hành
DO4AO1 = DO2BO1 vì O4A = O1B, 
Ð O4AO1 = Ð O2BO1; AO1 = BO2.
Từ đó suy ra: O4O1 = O1O2