SKKN Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy

MỤC LỤC
 Nội dung Trang
I. MỞ ĐẦU
2
1. Lý do chọn đề tài.
2
2. Mục đích nghiên cứu
2
3. Đối tượng nghiên cứu
2
4. Phương pháp nghiên cứu.
2
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2
II.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2
II.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm...
3
II.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề..
4
3.1.Dạng toán 1..
4
3.2.Dạng toán 2 .
5
3.2.Dạng toán 3
6
3.2.Dạng toán 4..............
8
3.5.Dạng toán 5:.......................................
10
II.4. Hiệu quả sáng kiến đối với họat động dạy và học.....................
13
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ...........
14
1. Kết luận 
14
2. Kiến nghị ..
14
 I. MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
 Đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán khó người làm toán luôn đặt ra phương hướng giải quyết. Tuy nhiên đối với người ham mê toán còn đi tìm các cách giải quyểt khác nhau, nhất là tìm được cách giải hay ngắn gọn và mới lạ thì lại càng kích thích tính tò mò khám phá và lòng say mê môn học .
 Trong chương trình toán THPT chúng ta thường gặp bài toán về dãy số trong đó có dạng toán về việc tìm giới hạn của dãy số cho bằng công thức truy hồi . Đây là các dạng toán thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh và quốc gia.
 Có nhiều phương pháp để giải dạng bài toán này, nhưng với học sinh phổ thông sử dụng kỹ thuật biến đổi để đưa về dãy số quen thuộc trong chương trình toán trung học : Cấp số cộng, cấp số nhân để tìm giới hạn là dễ hiểu và thiết thực cho học sinh ứng dụng.
 Nhằm phát triển tư duy sáng tạo và giúp học sinh biết cách tìm tòi trong quá trình học toán đặc biệt với những em học khá, giỏi. Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh tôi luôn hướng cho các em tìm ra nhiều cách giải một bài toán, mục đích là nhằm phát triển tư duy sáng tạo và kỹ năng làm toán. Với những lí do như trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tôi đã tiến hành thực hiện đề tài sáng kiến kinh nghiệm cho năm 2018 với nội dung “Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy ”
Mục đích nghiên cứu
 Với việc nghiên cứu đề tài “Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy ”sẽ giúp học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh học ở mức độ khá, giỏi có thể tìm giới hạn của dãy một cách nhanh hơn, mới lạ hơn và sáng tạo hơn.
Đối tượng nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến là áp dụng cho học sinh ở mức độ trung bình khá trở lên lớp 11, 12 -THPT Trần Phú –Thanh Hóa. Tất nhiên với từng đối tượng lớp mà sẽ có những ví dụ minh họa hoặc các bài toán áp dụng sẽ là khác nhau.
4. Phương pháp nghiên cứu
 Sáng kiến kinh nghiệm này được trình bầy các dạng bài toán tổng quát theo thứ tự từ đơn giản đến phức tạp có ví dụ minh hoạ điển hình và một số bài tập áp dụng .Qua đó mong muốn khai thác thêm được cái hay cái đẹp của toán học và đồng thời góp phần tăng thêm kỹ năng giải toán cho học sinh.
 II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
II.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 Trong chương trình toán lớp 11 học sinh đã được học về dãy số, giới hạn của dãy số, có nhiều bài toán về tìm giới hạn của dãy số, nhất là giới hạn của dãy được cho bởi công thức truy hồi, học sinh thường coi đây là dạng toán khó. Tuy nhiên với một dãy số mà cho ở dạng số hạng tổng quát hay đưa chúng về được số hạng tổng quát thì làm việc trên chúng sẽ đơn giản hơn.
 Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (cả cơ bản và nâng cao) đều dạy lý thuyết cho học sinh hai dãy số đặc biệt và quan trọng là cấp số cộng và cấp số nhân, định nghĩa, các định lí, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, dãy số có giới hạn vô cực
 Xin nhắc lại số hạng tổng quát của cấp số cộng ( SGK Đại số & Giải tích NC lớp 11 trang 111 mục 3 định lí 2) và cấp số nhân (SGK Đại số & Giải tích NC lớp 11 trang 118 mục 3 định lý 2) là lý thuyết cơ bản nhất để tìm số hạng tổng quát của dãy, là cái cốt lõi để từ đó tìm giới hạn của dãy:
- Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu và công sai thì số hạng tổng quát của nó được xác định bởi công thức sau : 
- Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội thì số hạng tổng quát của nó được xác định bởi công thức sau : 
II.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Trong một đợt thi chọn đội tuyển học sinh đi thi học sinh giỏi cấp tỉnh trường THPT Trần Phú- Nga Sơn tôi đã ra cho học sinh bài toán sau:
Bài toán: Tìm giới hạn của dãy số () xác định bởi :
*Kết qủa thu được 
 Khi chấm bài của các em tôi thấy nhiều em không làm được bài này, chỉ một số ít em làm được song bằng cách mò mẫm và dài dòng không khoa học .
 Thực ra đây là bài toán không khó, nếu ta biết sử dụng phương pháp phù hợp mà cụ thể là : “Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy ”
Cụ thể như sau (Đây chính là dạng toán 1 đề cập dưới đây)
 Gọi là dãy số xác định bởi :.
Khi đó : .
Vậy là cấp số nhân có công bội và . Từ đó ta suy ra .
Vậy số hạng tổng quát của dãy là : 
 (với )
Do đó: . Vậy 
 Như vậy phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số thông qua số hạng tổng quát của cấp số nhân để tìm giới hạn của dãy ta có cách giải ngắn gọn tự nhiên và rõ ràng.
 Sau những năm trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, học sinh dự thi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh tôi đã đi tìm tòi các cách giải phù hợp trong đó “Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy ” là những phương pháp như thế và tôi đã mạnh dạn cải tiến phương pháp này đồng thời áp dụng sáng kiến này trong các năm học từ 2005- 2006 đến nay ở trường THPT Trần Phú Thanh Hoá.
 II.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Để làm sáng tỏ điều này tôi xin đưa ra 5 dạng toán cơ bản, 9 ví dụ điển hình và các bài tập áp dụng cho mỗi loại như sau : 
3.1.Dạng toán 1: Tìm giới hạn của dãy số với :
 và .
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Trường hợp 1 : Nếu thì dãy là một cấp số cộng, công sai .
Trường hợp 2 : Nếu ,ta quy dãy thành dãy là một cấp số nhân ,công bội như sau :
Đặt . Khi đó là cấp số nhân .
Thật vậy : 
Nên : là một cấp số nhân công bội và 
Từ đó suy ra số hạng Suy ra : 
Vậy số hạng tổng quát dãy số là : với 
Từ đó ta được giới hạn của dãy 
Ví dụ 1 :Tìm giới hạn của dãy số xác định bởi : 
Giải 
Ta có bằng quy nạp ta có được 
Từ giả thiết suy ra : Đặt khi đó ta được : 
với (*). Đặt (*) trở thành : với .
Như vậy là một cấp số nhân có công bội bằng 3 và nên Suy ra 
Vậy dãy số có số hạng tổng quát là : 
Do đó : . Vậy 
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm giới hạn của dãy số của các dãy số cho bởi 
a. b.
2. Tìm giới hạn của dãy số của xác định bởi : 
3.2.Dạng toán 2 :
 Tìm giới hạn của dãy số của các dãy số với : 
với và là một đa thức theo .
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Trường hợp 1 : ta có 
Cho lần lượt nhận các giá trị thì ta được : 
Trong đó được tính thông qua các tổng : 
Trường hợp 2 : . Đặt trong đó bậc của g(n) bằng bậc của f(n) và g(n) được xác định thông qua phương pháp hệ số bất định đồng thời thoả mãn : 
 Ta quy dãy thành dãy thành một cấp số nhân có công bội .
Ví dụ 2 : Tìm giới hạn của dãy số xác định bởi : 
Giải 
Theo đề bài ta có : 
Thay lần lượt bằng và cộng đẳng thức ta được :
Vậy .
Do đó . Vậy 
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Xác định giới hạn của các dãy số được xác định bởi các công thức sau :
3.3.Dạng toán 3 : Tìm giới hạn của dãy số xác định bởi 
 và > 0.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Trường hợp 1 : ta có 
Cho lần lượt nhận các giá trị thì ta được : . 
Trong đó được tính thông qua các tổng cấp số nhân có số hạng đầu và công bội.
Trường hơp 2 : .
 Ta quy bài toán về dạng toán 1 bằng cách đặt với đồng thời g(n) là hàm số thảo mãn :
+ Nếu thì 
+ Nếu thì 
Trong đóđược xác định thông qua phương pháp hế số bất định.
Dãy được xác định theo cấp số nhân và từ đó suy được và giới hạn của dãy.
Ví dụ 3
Tìm giới hạn của dãy số được xác định bởi : 
Giải
Theo đề ta có : 
Thay lần lượt bằng và cộng đẳng thức ta được :
Vậy ta được : Khi đó : 
Ví dụ 4 . Tìm giới hạn của dãy được xác định bởi :
Giải
 Ta thấy nên ta đặt với .
Khi đó .
Suy ra : 
Ta được : 
Khi đó 
Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân ta được .
Ta được: .
Vậy 
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Tìm giới hạn của dãy số xác định bởi : 
2. Tìm giới hạn của dãy số xác định bởi :
3.4.Dạng toán 4:
Tìm giới hạn của dãy số xác định bởi : theo 
 Giải
Xét phương trình : .
Trường hợp 1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt : khi đó ta được một hằng số để cho : 
Thật vậy : 
Nên : ( với 
Ta đặt . Từ đó áp dụng cấp số nhân ,tìm được , suy ra được và giới hạn của dãy.
Trường hợp 2 : Phương trình (*) có nghiệm kép : .
Tương tự như trên ta tìm được để có : 
Ta đặt : .
Áp dụng cấp số cộng ta tính được và suy ra và giới hạn của dãy.
Ví dụ 5
Tìm giới hạn của dãy số xác định bởi : 
Giải 
Ta có : 
 Nên 
Đặt thì có và 
Áp dụng cấp số nhân ta có .
Từ suy ra được : .
Vậy số hạng tổng quát của dãy trên là : 
Từ đó ta có : Vậy 
Ví dụ 6
Tìm giới hạn dãy số xác định bởi : .
 Giải
Ta có 
Nên .
Đặt thì ta có và 
Áp dụng cấp số cộng được .
Suy ra hay 
Ta được số hạng tổng quát của dãy số là : với .
Vì vậy .
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Tìm giới hạn của dãy số xác định bởi : 
2. Tìm giới hạn của dãy số xác định bởi :
3.5.Dạng toán 5:
 Tìm giới hạn của dãy số xác định bởi : 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Ta có : 
Đặt với 
Ta được : là cấp số nhân công bội b với 
Từ (*) ta lần lượt bằng : :
 ( đẳng thức )
Cộng các đẳng thức trên cho ta :
Suy ra : 
Nêu thì :
 với .
Nếu thì với .
Từ đó ta tìm được giới hạn của dãy.
Ví dụ 8
Tìm giới hạn của dãy số xác định bởi : 
 Giải
(Áp dụng bài toán 5 với )
Ta có 
Đặt với 
Ta được : ; là cấp số nhân công bội với 
Suy ra :
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là : với 
Do đó giới hạn của dãy là : 
 Ví dụ 9
 Tìm giới hạn của dãy số xác định bởi :
 Giải
Đặt với 
Ta được : ; là cấp số nhân công bội với 
Thay n lần lượt bởi vào (*)
Ta được : 
 đẳng thức
Cộng đẳng thức trên suy ra : 
Nên ta được : 
Ta có 
Là tổng của cấp số nhân với côn bội nên 
Vậy ta có : 
Do đó : 
Ví dụ 8
Tìm giới hạn của dãy số xác định bởi : 
 Giải
(áp dụng cách giải như dạng toán 5 với )
Ta có 
Đặt 
Ta được : ; là cấp số nhân công bội 3 với 
Vậy số hạng tổng quát của dãy là : với 
Do đó : 
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Cho dãy số : 
Hãy tìm giới hạn của dãy.
2.Cho dãy số : 
Hãy tìm giới hạn của dãy.
3. Cho dãy số thoả mãn điều kiện : .
Hãy tính theo và . Tìm .
4. Cho là hai số cho trước với và các số hạng của dãy được xác định bởi hệ thức : với mọi .
Hãy biểu diễn qua và . Tìm .
 II.4.Hiệu quả của sáng kiến đối với các hoạt động dạy và học
 Nội dung sáng kiến này đã được trình bày tùy theo đối tượng ở các khối lớp nhưng chủ yếu dành cho các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi Toán 11, 12. Sự hứng thú và tự tin của học sinh đối với việc học Toán, đặc biệt là loại toán về dãy số, thật sự được cải thiện đã góp phần vào thành tích chung trong các kì thi của nhà trường trong các năm học qua.
 Sau hơn mười năm được phân công trực tiếp giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi ở trường THPT Trần Phú –Thanh Hóa, tôi đã áp dụng sáng kiến này trong việc giảng dạy đại trà ở lớp, bồi dưỡng học sinh khá giỏi, ôn luyện các đội tuyển và tôi đã rút ra kết luận sau : 
* Kết quả kiểm nghiệm trong quá trình giảng dạy cho các nhóm lớp:
( Lớp 11A ,11C,11G trường THPT Trần Phú Thanh Hoá)
Lớp
Sĩ số
(theo nhóm)
Số học sinh làm được bài dạng này khi chưa dạy phương pháp
Số học sinh làm được bài dạng này khi đã dạy phương pháp
Số lượng
Phần trăm
Số lưọng
Phần trăm
11A
14
2
14 %
10
71 %
11C
15
3
20 %
12
80 %
11G
17
4
23 %
14
82 %
* Kết quả kiểm nghiệm về tính hiệu quả cho học sinh khi dạy sử dụng phương pháp:
 - Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán để tìm mối liên hệ với các kiến thức đã được học, từ đó áp dụng để giải các bài toán tương tự, có liên quan.
 - Làm cho học sinh yêu thích hơn và gây sự thích thú tò mò khám phá về môn học.
 - Có cách giải hợp lí, hay, ngắn gọn đồng thời khai thác được dạng tổng quát của mỗi bài toán để áp dụng làm các bài toán cụ thể.
 - Sau khi sử dụng phương pháp này vào việc giảng dạy tôi nhận thấy số học sinh khá giỏi ngày càng được tăng lên ở các năm và học sinh không còn ‘‘ e ngại’’ khi gặp các bài toán về dạng này.
* Bài học kinh nghiệm rút ra:
 Sau một thời gian đưa vào sử dụng , bồi dưỡng học sinh tôi đã rút ra một số kinh nghiệm sau: 
 - Giáo viên phải nghiên cứu kỹ kiến thức sách giáo khoa, tài liệu tham khảo.
 - Lựa chọn đúng phương pháp giảng dạy bộ môn phù hợp với đối tượng học sinh.
 - Để áp dụng và làm tốt các bài tập cần cho học sinh nắm vững cơ sở lý thuyết của vấn đề tránh được những thiếu sót và không chặt chẽ trong quá trình giải bài tập của học sinh.
 - Khi cho bài tập cần nâng cao dần về mức độ khó.
 - Sau mỗi bài tập cần chốt lại cái cơ bản của vấn đề và nhận xét nhằm lôi cuốn học sinh có lòng say mê học toán.
III.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1.Kết luận 
 Trên đây là sáng kiến của tôi trong quá trình trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi. Sau nhiều năm tôi đã hệ thống thành chuyên đề về : “Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy ”. Đây là phương pháp rất hữu ích giúp học sinh biết chuyển từ bài toán phức tạp thành bài toán đơn giản để giải quyết và đặc biệt làm cho học sinh không còn “ngại” khi học loại toán về dãy số. Dạng toán này cũng là một chuyên đề quan trọng giúp cho giáo viên bồi dưỡng các kỳ thi học sinh giỏi hàng năm.
2. Kiến nghị
 Mặc dù bản thân đã dành thời gian nghiên, tuy vậy thời gian nghiên cứu còn hạn chế , bản thân kinh nghiệm chưa nhiều nên bài viết không tránh khỏi những thiếu sót . Mong được sự góp ý chân thành của quý Thầy Cô giáo.
 Tôi xin chân thành cảm ơn !	 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
 Thanh hóa,ngày 24 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan trên đây là SKKN của mình, không sao chép nội dung 
người khác
Trịnh Văn Hoan
TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khao Đại số và giải tích 11 nâng cao – Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) –NXB Giáo dục Việt Nam-Năm 2007
- Sách giáo khao Đại số và giải tích 11 – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) –NXB Giáo dục Việt Nam-Năm 2007
- Toán Đại số bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – Hàn Liên Hải (Chủ biên) –NXB Hà Nội -Năm 2002
- Giải toán đại số và giải tích – Trần Thành Minh (Chủ biên) –NXB Giáo Dục -Năm 2003
- Báo toán học và tuổi trẻ năm 2007
- Báo toán học và tuổi trẻ năm 2008
DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT ĐÁNH GIÁ
 Tên đề tài Loại
- Phương pháp lượng giác hóa để giải các phương trình vô tỷ
C
- Phương pháp tọa độ để giải và biện luận phương trình chứa tham số
B
- Sử dụng phương pháp tọa độ, để giải các bài toán bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
C
- Phương pháp tọa độ để tính khoảng cách trong bài toán hình học không gian
C