SKKN Phương pháp tích hợp toán học trong giải bài tập di truyền học lớp 12

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1-Lý do chọn đề tài : 
Trong quá trình giảng dạy sinh học lớp 12, Tôi nhận thấy rằng nếu vận dụng kiến thức toán học để giải các bài tập sinh học phần di truyền học thì việc giải các bài tập di truyền trở nên nhanh gọn hiệu quả hơn. Vì vậy, khi dạy các kiến thức sinh học mà có liên quan đến toán tổ hợp, xác suất Tôi đã liên hệ với các kiến thức về tổ hợp, xác suất mà các em đã được học trong chương II – Tổ hợp và xác suất ở chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 hướng dẫn các em vận dụng các kiến thức đó vào để giải các bài tập phần di truyền học. 
Kết quả Tôi thấy rằng học sinh rất dễ hiểu và đặc biệt khi ra các bài tập có liên quan đến dạng toán này các em đều làm được. 
Mặt khác hiện nay bộ Giáo dục và Đào tạo đang đổi mới chương trình dạy học do đó việc tích hợp toán học trong sinh học là cần thiết. Vì thế Tôi mạnh dạn chọn đề tài: ”Phương pháp tích hợp toán học trong giải bài tập di truyền học lớp 12” để giới thiệu với các đồng nghiệp. Đây chỉ là kinh nghiệm nhỏ của Tôi trong giảng dạy xin được chia sẻ với các đồng nghiệp và mong được sự đóng góp thêm.
2. Mục đích của đề tài
Giúp cho học sinh lớp giải tốt và nhanh các bài tập sinh học có liên quan đến tổ hợp và xác suất.
3. Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp sử dụng một số kiến thức về tổ hợp và xác suất trong dạy học phần di truyền học sinh học 12 đạt hiệu quả cao.
4. Nhiệm vụ 
Giải quyết các bài tập sinh học thuộc phần di truyền học có liên quan đến tổ hợp và xác suất.
5. Phạm vi và giới hạn nghiên cứu
Nghiên cứu ở học sinh lớp 12C1 và 12C2 (năm học 2018 - 2019) của trường THPT Lê Văn Hưu thuộc huyện Thiệu Hóa, tỉnh Thanh Hóa. 
6. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình thực hiện Tôi đã sử dụng phương pháp đối chứng song song, kiểm tra đánh giá, sau đó dùng thống kê toán học.
PHẦN II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận 
Tôi đã sử dụng các kiến thức toán học về quy tắc cộng, quy tắc nhân, tổ hợp, nhị thức Newton vào để giải các bài tập di truyền.. 
1.1. Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể thực hiện được theo một trong k phương án A1, A2, ..., Ak. Có n1 cách thực hiện phương án A1, n2 cách thực hiện phương án A2, nk cách thực hiện phương án Ak. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n1+n2+...+nk cách.
1.2. Quy tắc nhân
Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2, ..., Ak. Có n1 cách thực hiện công đoạn A1, n2 cách thực hiện công đoạn A2, nk cách thực hiện công đoạn Ak. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n1x n2 x...x nk cách.
1.3. Tổ hợp
Cho một tập A có n phần tử và số nguyên k (1 ≤ k ≤ n). Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A). Số tổ hợp chập k của A được kí hiệu là 
Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là: 
1.4 Nhị thức Newton
 = 
(quy ước a0=b0=1)
2. Thực trạng về dạy và học môn sinh học lớp 12 ở trường THPT Lê Văn Hưu
Được sự quan tâm của ban giám hiệu nhà trường, đồ dùng dạy học tương đối đầy đủ. Đội ngũ giáo viên môn sinh học có chuyên môn vững vàng. 
Bộ môn sinh học là bộ môn thuộc khối B có rất ít trường để cho các học sinh lựa chọn thi cử nên sự quan tâm học môn này ở các phụ huynh và học sinh còn hạn chế. Phần lớn các học sinh không chú ý học môn học này do đó những kiến thức cơ bản ở chương trình lớp 9 tạo tiền đề cho chương trình lớp 12 các em đều không nắm được. Nên khi giải các bài tập về phần di truyền học lớp 12 hầu hết các em học sinh đều cảm thấy khó hiểu và tỏ ra sợ hãi khi học môn học này. 
Hơn nữa đối với giáo viên sinh học, kiến thức về toán tổ hợp và xác suất là một loại kiến thức khó. Vì vậy khi giải các bài tập di tuyền học mà có liên quan đến kiến thức này giáo viên thường tỏ ra rất lúng túng. 
3. Một số ví dụ ứng dụng của việc tích hợp toán học trong giải bài tập sinh học.
 Ví dụ 1: Bài tập có tích hợp phép cộng và nhân xác suất trong qui luật phân li.
 Bài tập 1: 
Ở đậu Hà lan gen A qui định hoa đỏ, gen a qui định hoa trắng. Khi cho lai hai thứ đậu với nhau thu được F1 dị hợp một cặp gen. Tính xác suất để F2 có 
Kiểu gen aa ?
Kiểu gen Aa?
 Bước 1 : Giáo viên yêu cầu học sinh giải bài tập bằng phương pháp thông thường viết sơ đồ lai thống kê kiểu gen, kiểu hình ra giấy kiểm tra rồi chấm và thống kê kết quả.
Sơ đồ lai:
 F1 	 Hoa đỏ x Hoa trắng
 	 Aa Aa
 	 G 1/2 A ; 1/2 a	 1/2 A ; 1/2 a
 	Lập khung punnett ta có:
 ♀ ♂
1/2A
1/2a
1/2A
1/4AA
1/4Aa
1/2a
1/4Aa
1/4aa
 F2 Tỉ lệ kiểu gen: 1/4 AA : 2/4 Aa : 1/4 aa
=> Xác suất để F2 có kiểu gen aa là 1/4
=> Xác suất để F2 có kiểu gen Aa là 1/2
Bước 2 : Giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng qui tắc nhân và cộng xác suất vào để giải bài tập như sau: 
Để F2 có kiểu gen aa là sự kết hợp của 2 giao tử bố và mẹ đều mang alen a (♀ a x ♂ a) 
Cơ thể F1 dị hợp có kiểu gen Aa thì xác suất để trứng (hoặc tinh trùng) mang alen a là 1/2. Như vậy, theo qui tắc nhân xác suất thì xác suất để xuất hiện cơ thể mang kiểu gen aa ở F2 là 1/4 (Minh hoạ theo bảng trên): 
 b- Để có F2 kiểu gen Aa thì có hai cách là sự kết hợp của 2 giao tử bố mang alen A và mẹ mang alen a hay ngược lại. (♀ A x ♂ a) và (♀ a x ♂ A) 
Xác suất để con nhận A từ cha và a từ mẹ là x=
Xác suất để con nhận a từ cha và A từ mẹ là: x=
Áp dụng quy tắc cộng để tính xác suất 1 sự kiện xảy ra theo cách luân phiên ta có Xác suất để F2 có kiểu gen Aa là kết quả 1/4 +1/4 = 1/2 (Theo bảng trên).
Bước 3 : Sau khi giải bài tập, giáo viên cho học sinh so sánh 2 cách làm và đưa ra một số câu hỏi giúp học sinh hiểu sâu và nắm chắc kiến thức:
 1.Điều kiện để xuất hiện cây đậu có kiểu aa là gi?
 (Là sự kết hợp của 2 giao tử bố và mẹ đều mang alen a (♀ a x ♂ a) 
 2. Xác suất cho xuất hiện cây đậu có kiểu aa khi lai hai cơ thể có kiểu gen Aa là bao nhiêu?
 ( Xác suất để một trứng có alen a là 1/2, xác suất để một tinh trùng có alen a là 1/2. Theo quy tắc nhân, xác suất để hai alen a đều xuất hiện trong sự thụ tinh là 1/2 x 1/2 = 1/4)
 3. Có mấy khả năng tạo ra cây có kiểu gen Aa ? 
 (Có hai sự kết hợp của 2 giao tử (♀ A x ♂ a) và (♀ a x ♂ A) 
 4. Khi nào thì sử dụng phép nhân xác suất, khi nào sử dụng phép cộng xác suất?
 Bước 4 : Giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập vận dụng ra giấy kiểm tra rồi chấm thống kê kết quả và kết luận: 
Bài tập vận dụng: Ở cừu, gen qui định màu lông nằm trên NST thường. Gen A qui định màu lông trắng là trội hoàn toàn so với alen a qui định lông đen. Một cừu đực được lai với một cừu cái, cả hai đều dị hợp tử. Cừu con sinh ra là một cừu đực trắng. Nếu tiến hành lai trở lại cừu con đực trắng với cừu mẹ thì xác suất để có một con cừu cái lông đen là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải: 
+ Cừu con trắng à 1 trong 2 kiểu gen: AA(1/3) hoặc Aa(2/3) 
+ Vì mẹ dị hợp Aa, để lai lại với mẹ cho được cừu đen (aa) thì cừu con trắng phải có kiểu gen Aa (2/3)
+ Phép lai : Aa x Aa cho cừu cái đen = 1/4.1/2
+ Vậy xác suất để được cừu cái lông đen = 2/3 x 1/4 x 1/2 = 1/12
 * Kết luận: Như vậy với việc vận dụng toán xác suất học sinh không cần viết sơ đồ lai kẻ khung punnett vẫn có thể giải bài tập 1 cách nhanh chóng chính xác. Học sinh hiểu bài hơn, số điểm đạt khá giỏi tăng điểm yếu kém giảm.
Ví dụ 2: Bài tập có tích hợp phép cộng và nhân xác suất trong qui luật phân li độc lập.
Bài tập 2: 
Cho phép lai sau: P: AaBbDdEe x AaBbddee . Các alen A,B,D,E là trội hoàn toàn so với a,b,d,e. Hãy xác định tỷ lệ các kiểu gen, kiểu hình sau ở F1: 
a- Kiểu gen AabbDdEe 
b- Kiểu hình A- B- ddee.
c- Các kiểu gen mang 3 cặp dị hợp.
d- Các kiểu hình mang 2 tính trạng trội.
 Cũng tiến hành 4 bước như trên cho học sinh giải bài tập theo hai cách:
Cách 1: Viết sơ đồ lai lập bảng punnett với 64 tổ hợp giao tử của bố mẹ thống kê tỷ lệ kiểu gen, kiểu hình.
Cách 2: Giáo viên gợi ý: Vì mỗi cặp alen tập hợp theo cách độc lập với nhau, nên có thể xem sự lai bốn cặp alen này như bốn sự lai đơn riêng rẽ và yêu cầu học sinh. Hãy vận dụng qui tắc nhân và cộng xác suất để giải bài tập?
Sự phân ly của mỗi cặp alen nằm trên các nhiễm sắc thể là một sự kiện độc lập nên ta có thể áp dụng quy tắc nhân và cộng xác suất để tính xác suất cho cá thể con như sau:
 P : AaBbDdEe x AaBbddee 
-> (Aa x Aa) (Bb x Bb) (Dd x dd) (Ee x ee)
- Phép lai Aa x Aa, xác suất xuất hiện kiểu gen dị hợp Aa là 1/2, Kiểu gen đồng hợp là 1/2 . kiểu hình trội A- là 3/4, kiểu hình lặn aa là 1/4
- Phép lai Bb x Bb, xác suất xuất hiện kiểu gen dị hợp Bb là 1/2 , kiểu gen bb là 1/4, kiểu hình trội B- là 3/4, kiểu hình lặn bb là 1/4
- Phép lai Dd x dd, xác suất xuất hiện kiểu gen Dd = dd là 1/2, kiểu hình trội D- bằng kiểu hỉnh lặn dd là 1/2
- Phép lai Ee x ee, xác suất xuất hiện kiểu gen Ee = ee là 1/2, kiểu hình trội E- bằng kiểu hình lặn ee là 1/2
- Xét chung 4 cặp ta có:
 a- Tỉ lệ kiểu gen AabbDdEe = 1/2 x 1/4 x 1/2 x 1/2 = 1/32
 b- Tỉ lệ kiểu hình A-B-ddee = 3/4 x 3/4 x 1/2 x 1/2 = 9/64
 c- Các kiểu gen mang 3 cặp dị hợp: 
1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x = 1/16 x 4 = 1/4
 (Có 4 cặp mà có 3 cặp dị hợp thì phải có 1 cặp đồng hợp, là số trường hợp xảy ra có 3 vị trí dị hợp trong 4 vị trí)
 d- Các kiểu hình mang 2 tính trạng trội: là tổng xác suất của các trường hợp: 
A-B-ddee +A-bbD-ee + A-bbddE- + aaB-D-ee + aaB-ddE- + aabbD-E- 
 -> (3/4 x 3/4 x 1/2 x 1/2) + (3/4 x 1/4 x 1/2 x 1/2) x 4 + (1/4 x 1/4 x 1/2 x 1/2) = 22/64 = 11/32
*Kết luận: Như vậy với việc tích hợp toán xác suất:
- Nếu ta biết các kiểu gen của cha mẹ, ta có thể xác định được xác suất cho xuất hiện kiểu gen bất kì trong số các con.
- Áp dụng các quy tắc xác suất vào sự phân ly và tập hợp độc lập, ta có thể giải những vấn đề di truyền phức tạp hơn.
- Đối với các phép lai giữa các cơ thể dị hợp nhiều cặp gen, việc áp dụng các qui tắc xác suất sẽ rút ngắn thời gian giải bài tập. Tiết kiệm được thời gian lập bảng punnett với rất nhiều các tổ hợp giao tử của bố mẹ dễ gây nhầm lẫn.
 - Giúp học sinh có những hướng giải bài tập nhanh chóng và chính xác. Rèn luyện kỹ năng tư duy và kỹ năng giải quyết vấn đề trong thực tiễn cuộc sống.
Ví dụ 3: Bài tập có tích hợp phép cộng và nhân xác suất trong qui luật tương tác.
Bài tập 3 :
 Ở một loài thực vật, cho giao phấn giữa cây hoa đỏ thuần chủng với cây hoa trắng được F1 toàn hoa đỏ. Tiếp tục cho F1 lai với cơ thể đồng hợp lặn được thế hệ con có tỉ lệ 3 cây hoa trắng : 1 cây hoa đỏ. Cho 1 cây F1 tự thụ phấn được F2 , Xác suất để F2 có đúng 3 cây hoa đỏ trong 4 cây con là bao nhiêu ?
Tiến hành theo 4 bước như trên.
+ Yêu cầu học sinh xác định qui luật di truyền chi phối: cho F1 lai với cơ thể đồng hợp lặn được 3 hoa đỏ: 1 hoa trắng = 4 kiểu tổ hợp = 4 x 1 (đồng hợp lặn lai cho 1 loại giao tử) -> F1 dị hợp tử 2 cặp gen -> tuân theo quy luật tương tác bổ trợ: F1 AaBb x aabb 
Qui ước: AaBb : hoa đỏ
Aabb
aaBb Hoa trắng
aabb
 F1 x F1 : AaBb x AaBb
 F2 9/16 AaBb : hoa đỏ
3/16 Aabb
3/16 aaBb Hoa trắng
1/16 aabb
+ Yêu cầu học sinh giải bài tập theo hai cách:
Cách 1: Viết sơ đồ lai lập bảng punnett thống kê tỷ lệ kiểu gen, kiểu hình ? 
Cách 2: Sử dụng toán xác suất? 
( Chỉ cần tính sát xuất xuất hiện 1 cây hoa đỏ là 7/16, một cây hoa trắng là 7/16
Xác suất để F2 có đúng 3 cây hoa đỏ trong 4 cây là 3 cây đỏ và 1 cây trắng
9/16 x 9/16 x 9/16 x 7/16 x = 0,31146 ) 
*Kết luận: Giải bài tập theo cách này trở nên nhanh gọn đơn giản chính xác hơn. 
Ví dụ 4: Bài tập có sử dụng tổ hợp để xác định tỉ lệ (tần số) kiểu gen có chứa số lượng nhất định các alen trội hoặc lặn trong qui luật phân li độc lập và qui luật tương tác.
 Bài tập 4:
 Chiều cao cây do 3 cặp gen phân li độc lập, tác động cộng gộp quy định. Sự có mặt mỗi alen trội trong tổ hợp gen làm tăng chiều cao cây lên 5cm. Cây thấp nhất có chiều cao = 150cm. Cho cây có 3 cặp gen dị hợp tự thụ. 
Hãy xác định:
 a. Xác suất có được tổ hợp gen có 1 alen trội ; 4 alen trội.?
 b. Khả năng có được một cây có chiều cao 165cm ?
 + Tiến hành theo 4 bước như trên và cho học sinh giải bài tập theo hai cách:
 Cách 1: Viết sơ đồ lai lập bảng punnett thống kê tỷ lệ kiểu gen, kiểu hình ? 
 Cách 2: Sử dụng toán xác suất? 
 + Đối với loại toán này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh thấy được: Trường hợp cả bố và mẹ đều có n cặp gen dị hợp phân li độc lập (hoặc cơ thể có n cặp dị hợp, tự thụ)
- Vì n là số cặp gen dị hợp → số alen trong một kiểu gien = 2n
- Số tổ hợp gen = 2n x 2n = 4n
- Gọi số alen trội ( hoặc lặn) là a
→ Số alen lặn ( hoặc trội) = 2n – a 
- Vì các cặp gen phân li độc lập tổ hợp ngẫu nhiên nên ta có:
 (T + L) (T + L) (T + L) = (T + L)n (Kí hiệu: T: trội, L: lặn)
 n lần
- Số tổ hợp gen có a alen trội ( hoặc lặn ) = 
 Từ đó đưa ra công thức tổng quát: Nếu có n cặp gen dị hợp, phân li độc lập, tự thụ thì tần số xuất hiện tổ hợp gen có a alen trội ( hoặc lặn ) = / 4n 
 + Yêu cầu học sinh vận dụng toán tổ hợp để giải bài tập trên 
 a. Xác suất có :
- Tổ hợp gen có 1 alen trội = / 4n = / 43 = 6/64
- Tổ hợp gen có 4 alen trội = / 4n = / 43 = 15/64
 b. Cây có chiều cao 165cm hơn cây thấp nhất = 165cm – 150cm = 15cm 
→ có 3 alen trội ( 15: 5 =3)
 Vậy khả năng có được một cây có chiều cao 165cm = / 43 = 20/64 
*Kết luận: Trong quy luật tương tác gen, có những tính trạng do nhiều gen quy định. Việc xác định tỷ lệ kiểu hình của các thế hệ sau thường dựa vào tỷ lệ kiểu gen, nhưng với những tính trạng do nhiều gen quy định việc xác định được tỷ lệ kiểu gen là rất khó khăn, rất mất thời gian và dễ gây nhầm lẫn với người học. Việc tích hợp sử dụng toán tổ hợp vào bài toán này sẽ mang lại hiệu quả to lớn, giúp học sinh rút ngắn thời gian giải bài tập, mang lại kết quả nhanh chóng và chính xác. 
Bài tập 5 : 
Trong quần thể xét 3 gen. Gen thứ nhất và thứ hai có 2 alen, gen thứ ba có 3 alen. Hỏi có bao nhiêu kiểu gen mang 4 gen trên? Biết rằng mỗi gen nằm trên mỗi NST khác nhau.
 + Tiến hành theo 4 bước như trên và cho học sinh giải bài tập theo hai cách:
Cách 1: Viết sơ đồ lai lập bảng punnett thống kê tỷ lệ kiểu gen, kiểu hình ? 
Cách 2: Sử dụng toán xác suất? 
Khi dạy về sự đa dạng kiểu gen trong quần thể giao phối, học sinh đã biết công thức tính số kiểu gen trong quần thể là:
Trong đó n là số gen, r là số alen của một gen
Để giúp học sinh khắc sâu vấn đề này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh chứng minh được công thức, mở rộng thêm công thức và lưu ý các em công thức trong SGK chỉ đúng đối với trường hợp các gen nằm trên NST thường (tương đồng) .
* Với mỗi gen: 
Phân tích và chứng minh số kiểu gen dị hợp, số kiểu gen đồng hợp, số kiểu gen của mỗi gen, chỉ ra mối quan hệ giữa 3 yếu tố đó với nhau và với số alen của mỗi gen:
- Số alen của mỗi gen có thể lớn hơn hoặc bằng 2 nhưng trong kiểu gen luôn có mặt chỉ 2 trong số các alen đó.
- Nếu gọi số alen của gen là r thì :
+ Số kiểu gen đồng hợp (ĐH) luôn bằng số alen = r
+ Số kiểu gen dị hợp (DH) = Cr2 = r( r – 1)/2
+ Tổng số kiểu gen = số ĐH + số DH = r +r( r – 1)/2 = r( r + 1)/2
* Với nhiều gen: 
Do các gen phân li độc lập nên kết quả chung = tích các kết quả riêng. 
+ Học sinh vận dụng làm bài tâp trên: Áp dụng xác suất của các biến cố độc lập:
Số kiểu gen mang gen thứ nhất và thứ hai là 
Số kiểu gen mang gen thứ ba là 
Vậy số kiểu gen mang cả 3 gen trên là: 9 x 6 = 54
Bài tập 6 : 
Gen I và II lần lượt có 2, 3 alen. Các gen phân li độc lập. Xác định trong quần thể: 
 a. Có bao nhiêu kiểu gen?
 b. Có bao nhiêu kiểu gen đồng hợp về tất cả các gen?
 c. Có bao nhiêu kiểu gen dị hợp về tất cả các gen?
 d. Có bao nhiêu kiểu gen dị hợp về một cặp gen?
 e. Có bao nhiêu kiểu gen ít nhất có một cặp gen dị hợp? 
 Áp dụng xác suất của các biến cố độc lập và dựa vào công thức tổng quát ta có:
 a. Số kiểu gen trong quần thể: 
 Số kiểu gen = r1(r1+1)/2 . r2(r2+1)/2 = 2(2+1)/2 . 3(3+1)/2 = 3.6 = 18
 b. Số kiểu gen đồng hợp về tất cả các gen trong quần thể: 
 Số kiểu gen đồng hợp= r1. r2 = 2.3 = 6
 c. Số kiểu gen dị hợp về tất cả các gen trong quần thể: 
 Số kiểu gen dị hợp về tất cả các gen= r1(r1-1)/2 . r2(r2-1)/2 = 1.3 = 3
 d. Số kiểu gen dị hợp về một cặp gen: Kí hiệu : Đ: đồng hợp ; d: dị hợp
 Ở gen I có: (2Đ+ 1d) ; Ở gen II có: (3Đ + 3d) 
 → Đối với cả 2 gen là kết quả khai triển của : 
(2Đ + 1d)(3Đ + 3d) =2.3ĐĐ + 1.3dd+ 2.3Đd + 1.3Đd
 - Vậy số kiểu gen dị hợp về một cặp gen = 2.3 + 1.3 = 9
 e. Số kiểu gen dị hợp về ít nhất một cặp gen:
 -Vậy số kiểu gen trong đó ít nhất có một cặp dị hợp 
 = số kiểu gen – số kiểu gen đồng hợp = 18 – 6 = 12 
*Kết luận: Việc tích hợp toán học trong phần này giúp học sinh nhanh chóng tính toán được số kiểu gen hình thành mà không cần viết sơ đồ lai mặc dù gen đó có rất nhiều alen.
Đối với gen có 2 hoặc 3 alen, việc xác định số kiểu gen và viết được các kiểu gen là tương đối dễ dàng. Tuy nhiên, trong quần thể, một gen có thể có rất nhiều alen. Kiểu gen là sự sắp xếp các alen (không quan tâm đến thứ tự). Vì vậy, ta có thể áp dụng công thức tổ hợp để xác định số kiểu gen trong quần thể một cách nhanh chóng chính xác. 
Ví dụ 5: Bài tập có tích hợp phép cộng và nhân xác suất trong qui luật liên kết gen.
Bài tập 7: 
Cho 2 cá thể ruồi giấm có kiểu hình thân xám, cánh dài giao phối với nhau thu được F1 có 4 kiểu hình, trong đó ruồi thân đen, cánh dài chiếm tỉ lệ 4,5 % . Tính xác suất xuất hiện ruồi đực F1 mang kiểu hình lặn ít nhất về 1 trong 2 tính trạng trên.
 Tiến hành theo 4 bước và cho học sinh giải bài tập theo hai cách như trên :
+ Xác định qui luật di truyền chi phối tính trạng
Tỉ lệ ruồi thân đen, cánh dài ở F1 là 4,5 %. Đây là tỉ lệ của quy luật hoán vị gen, chứng tỏ đã xảy ra hoán vị gen trong quá trình phát sinh giao tử ở ruồi giấm cái= > P có kiểu gen dị hợp và thân xám cánh dài là trội so với thân đen cánh cụt.
Mặt khác F1 có 4 kiểu hình nên P có kiểu gen là AB/ab
-> giao tử cái aB x ab = 4,5% - > aB = 0,09 -> tần số hoán vị gen = 18% 
 (Hoán vị gen chỉ xảy ra ở con cái). 
+Áp dụng toán xác suất để giải bài tập: có thể làm theo 2 cách:
Cách 1: Sử dụng phép cộng xác suất: Có 2 kiểu hình lặn về 1 trong 2 tính trạng trên và 1 kiểu hình lặn về 2 tính trạng trên là: 
A-bb = 1/2 x 0,09 x 1/2 = 0.0225
aaB- = 1/2 x 0,09 x 1/2 = 0.0225
aabb = 1/2 x 0,41 x 1/2 = 0,1025
-> Xác suất xuất hiện ruồi đực mang ít nhất 1 tính trạng lặn ở F1 là : 
 0,0225 + 0,0225 + 0,1025 = 0, 1475 = 14,75%
Cách 2: sử dụng hai biến cố xung khắc A, B thì xác suất để A hoặc B xảy ra là 
Nếu A và là hai biến cố đối thì P(A)= 1- P()
Tỉ lệ ruồi F1 trội cả 2 tính trạng là: A- B- = 0,705 => tỉ lệ ruồi đực F1 kiểu hình mang ít nhất 1 tính trạng lặn là (1- 0,705 ) x 1/2 = 0, 1475 = 14,75%
*Kết luận: Nếu sử dụng toán xác suất chúng ta vẫn có thể dễ dàng xác định được kiểu hình của F2 mà không mất thời gian viết giao tử và kết hợp các giao tử với nhau, thống kê kiểu gen, kiểu hình.
Ví dụ 6: Bài tập có sử dụng nhị thức Newton..
Bài tập 8: 
Một cặp vợ chồng sinh 3 người con thì xác suất để có hai con trai, một con gái là bao nhiêu?
Cách 1: Đặt p là xác suất để xuất hiện một con trai ở một lần sinh. q là xác suất để có một con gái ở một lần sinh (q=1-p).
Mỗi lần sinh là một sự kiện hoàn toàn độc lập, và có 2 khả năng có thể xảy ra: hoặc đực hoặc cái với xác suất bằng nhau và = 1/2 do đó: p = q = 1/2
Có 8 tổ hợp về giới tính (trai và gái) có thể xảy ra trong số 3 đứa con sẽ sinh ra: 1 tổ hợp cho 3 trai; 3 tổ hợp cho 2 trai, 1 gái; 3 tổ hợp cho 1 trai, 2 gái; 1 tổ hợp cho 3 gái. Tổng cộng các xác suất của 8 tổ hợp ấy phải bằng 1
-> (p + q)4 = p3+3p2q+3pq2+q3=1
Xác suất để có 2 con trai và 1 con gái là: 3p2q= 3(1/2)21/2=3/8
Ký hiệu: T: trai; G: gái ta có bảng sau:
Các trường hợp
Thứ tự sinh
Xác suất
Tổng
Lần 1
Lần 2
Lần 3
3 trai
T
T
T
p x p x p = p3 = (1/2)3 = 1/8
1/8
2 trai, 1 gái
T
T
G
p x p x q = p2q= (1/2)3 = 1/8
1/8+1/8+1/8 = 3/8
T
G
T
p x q x p = p2q = (1/2)3 = 1/8
q x p x p = p2q = (1/2)3 = 1/8
G
T
T
1 trai, 2 gái
G
G
T
q x q x p = pq2 = (1/2)3 = 1/8
q x p x q = pq2 = (1/2)3 = 1/8
p x q x q = pq2 = (1/2)3 = 1/8
1/8+1/8+1/8 =3/8
G
T
G
T
G
G
3 gái
G
G
G
q x q x q = q3 = (1/2)3 = 1/8
1/8
Tổng
1
Như vậy, xác suất để trong 3 người con có 2 con trai và một con gái là 3/8.
Cách 2: Sử dụng toán tổ hợp:
- Số khả năng xảy ra trong 3 lần sinh = 23
- Số