SKKN Phương pháp sử dụng điểm đặc biệt trong bài toán tính khoảng cách

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài...2
1.2 Mục đích nghiên cứu....2
1.3 Đối tượng nghiên cứu...3
1.4 Phương pháp nghiên cứu..3
2. NỘI DUNG
2.1 Cơ sơ lí luận.4
2.2 Thực trạng của đề tài6
2.3 Biện pháp thực hiện..7
2.4 Kết quả nghiên cứu.18
3. KẾT LUẬN
Kết luận20
Tài liệu tham khảo................20
MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học sinh phổ thông. Nhiều học sinh thấy khó và trở nên chán nản khi học môn học này. Các em hầu như phát biểu rằng “ Trong giờ lí thuyết em hiểu bài nhưng lại không áp dụng lí thuyết vào để tự làm được bài tập”. Vì vậy, khi dạy học sinh phần hình học không gian, người giáo viên đặc biệt phải quan tâm, kiên nhẫn hướng dẫn các em từng bước cách tìm ra hướng giải cho từng loại bài toán và để các em tự làm được chứ không áp đặt kết quả hoặc cách làm cho học sinh.	
 Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao và cơ bản đều viết bài “ Khoảng cách” rất đơn giản nhưng bài tập yêu cầu với học sinh thì lại không đơn giản đối với học sinh. Nếu người dạy chỉ đưa ra định nghĩa như sách giáo khoa và cho học sinh làm bài tập ví dụ thì chắc chắn nhiều học sinh sẽ rất lúng túng khi làm bài tập.
Trong cấu trúc đề thi trung học phổ thông quốc gia hiện nay luôn có một câu hình học không gian và “ khoảng cách” là vấn đề rất hay được hỏi đến trong các đề thi này. Điều này cũng làm cho không ít học sinh và giáo viên lo lắng. Đây là bài toán tương đối khó đối với tất cả các học sinh, vì nó sử dụng kiến thức tổng hợp của bài toán giải tam giác và các tính chất của hình học không gian. 
Để giải quyết cho những khó khăn nêu trên, dựa trên kinh nghiệm dạy học và ôn thi đại học nhiều năm của mình, tác giả đã đưa ra một số định hướng tương đối hiệu quả và dễ hiểu cho học sinh, đó là đề tài ”Phương pháp sử dụng điểm đặc biệt trong bài toán tính khoảng cách”.
 Mục đích nghiên cứu
 	Để giải bài toán này chúng ta thường sử dụng các phương pháp như: Phương pháp tính trực tiếp, phương pháp sử dụng công thức tính thể tích, phương pháp tọa độ,..tuy nhiên người sử dụng các phương pháp đó dưới mỗi góc độ và cách nhìn khác nhau. Trong các phương pháp nêu trên thì phương pháp tính trực tiếp là phương pháp cơ bản, sử dụng được cho cả học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi đại học, cao đẳng. Và để tính trực tiếp khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chúng ta thường phải xác định được hình chiếu của điểm đó lên mặt phẳng rồi tính đoạn thẳng nối từ điểm đó đến hình chiếu của nó. Tuy nhiên, việc xác định và tính không phải lúc nào cũng đơn giản, nên khi gặp bài toán khó học sinh rất khó để định hướng cho việc tìm lời giải.
Qua thực tế giảng dạy, tác giả rút ra được một số kinh nghiệm nhỏ về việc hướng dẫn học sinh xác định các loại khoảng cách. Một thao tác rất quan trọng mà học sinh cần có là tìm đúng hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng xác định,
gọi là “điểm đặc biệt” của bài toán. Vì vậy, trong bài viết này tác giả giúp học sinh phát hiện, xác định “điểm đặc biệt” của bài toán và kĩ năng quy khoảng cách cần tìm về tính khoảng cách đối với “điểm đặc biệt”. 
 Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu một số vấn đề như sau:
 Nêu hướng giải quyết các bài toán tìm khoảng cách trong không gian:
1.3.1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
1.4.1 Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập ở một số trường trong tỉnh.
Nghiên cứu tài liệu.
Thực nghiệm.
1.4.4 Nhận xét.
NỘI DUNG
 Cơ sở lí luận 
Để đơn giản cho việc hiểu và vận dụng phương pháp, trước tiên bài viết xin đưa ra khái niệm “ điểm đặc biệt” và đưa vào một số tính chất cơ bản nhằm sử dụng để quy khoảng cách cần tìm về khoảng cách đối với điểm hình chiếu.
“Điểm đặc biệt” trong phương pháp
 “ Điểm đặc biệt” của mặt phẳng là điểm mà dễ tính được khoảng cách từ nó đến mặt phẳng .
 Ví dụ 1: Nếu hai mặt phẳng và vuông góc với nhau thì mọi điểm thuộc mà không nằm trên đều là điểm đặc biệt của .
Ví dụ 2: Cho hình chóp . Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng . Khi đó là điểm đặc biệt của mặt phẳng .
2.1.2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và một mặt phẳng
 	Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đến đường thẳng ) là khoảng cách giữa hai điểm và , trong đó là hình chiếu của trên mặt phẳng (hoặc trên đường thẳng ).
 (Định nghĩa 1- SGK Hình học nâng cao 11- trang 113).
 2.1.3 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.
 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với là khoảng cách từ một điểm nào đó của đến mặt phẳng . 
(Định nghĩa 2- SGK Hình học nâng cao 11- trang 113).
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
(Định nghĩa 3- SGK Hình học nâng cao 11- trang 114).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.(Định nghĩa 4- SGK Hình học nâng cao 11- trang 115).
Một số tính chất cần lưu ý
Tính chất 1: 
Nếu ,, thẳng hàng,thuộc mặt phẳng và thì ta có .
Tính chất 2:
 Nếu song song với mặt phẳng thì .
Tính chất 3:
Nếu đường thẳng nằm trong mặt phẳng và là đường thẳng song song với mặt phẳng thì , với là điểm tùy ý thuộc .
Tính chất 4:
Nếu đường thẳng nằm trong mặt phẳng , đường thẳng nằm trong mặt phẳng và mặt phẳng song song với mặt phẳng thì , với là điểm tùy ý thuộc .
2.2 Thực trạng của đề tài
Như tác giả đã trình bày ở trên, hình học không gian là bài toán khó, đặc biệt là bài toán tính khoảng cách. Nhiều học sinh không biết bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào, tại sao lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia Một số học sinh khá hơn thì mày mò tìm ra được cách giải bài toán có khi được có khi không. Một số học sinh khác gần như không có “lối đi” cho loại bài toán này. Đề tài này tác giả mong muốn giúp các em từng bước giải quyết vấn đề trên.
2.3 Biện pháp thực hiện 
2.3.1 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . Chúng ta thực hiện các bước suy luận như sau:
Tìm điểm đặc biệt của mặt phẳng .
Tìm cách quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng về tính khoảng cách từ điểm đặc biệt đến mặt phẳng . (nhờ tính chất 1, 2).
Ví dụ 1:
Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên vuông góc với mặt đáy và cạnh bên tạo với đáy một góc bằng . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng theo .
Phân tích:
 Trong trường hợp này điểm chính là điểm đặc biệt của mặt phẳng . Nên ta thực hiện việc xác định hình chiếu của điểm lên mặt phẳng và tính. Cụ thể ta có lời giải như sau:
Giải:
 Gọi là trung điểm , là hình chiếu của lên .
Ta có . Suy ra , do đó 
Nên . Mặt khác do vuông góc với đáy.
Nên , và .
Suy ra 
Ví dụ 2: ( Đề thi đại học khối A năm 2014).
 	Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm cạnh . Tính theo khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Phân tích:
Trường hợp này điểm không là điểm đặc biệt của mặt phẳng nên sẽ gặp khó khăn cho việc tìm hình chiếu của điểm lên . Nếu gọi là hình chiếu của lên , thì điểm mới chính là điểm đặc biệt của mặt phẳng . Nên ta tìm cách quy việc tính khoảng cách từ đến mặt phẳng về tính khoảng cách từ điểm đặc biệt đến mặt phẳng , (nhờ tính chất 1,2). Cụ thể lời giải như sau:
Giải:
 Gọi là trung điểm của , khi đó điểm là hình chiếu của lên . Do là trung điểm của nên .
Gọi là hình chiếu của điểm lên , là hình chiếu của lên .
Ta có , do đó 
Suy ra .
Mặt khác: 
 và . Suy ra . Vậy .
Ví dụ 3: ( Đề thi đại học khối D năm 2011)
 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , ; 
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Biết và . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo 
Phân tích:
 Trường hợp này điểm cũng không là điểm đặc biệt của mặt phẳng , nên đầu tiên ta cần tìm điểm đặc biệt của mặt phẳng . Giả sử là hình chiếu của lên đáy thì là điểm đặc biệt của mặt phẳng . Nên bước tiếp theo ta tìm cách quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng về tính khoảng cách từ đến mặt phẳng , (nhờ tính chất 1,2). Cụ thể ta có lời giải như sau:
Giải:
Gọi là hình chiếu của lên , do .
Ta có nên .
Gọi là hình chiếu của lên , là hình chiếu của lên .
Ta có do đó .
Suy ra 
Mặt khác, sử dụng tính chất đồng dạng của hai tam giác và ta có 
. Suy ra .
Vậy .
Ví dụ 4:
 Cho lăng trụ có đáy là tam giác vuông tại , , . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trọng tâm của tam giác , góc giữa đường thẳng với mặt đáy bằng 600. Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Phân tích:
 Ở ví dụ này không phải là điểm đặc biệt của mặt phẳng , mà điểm đặc biệt của mặt phẳng này là trọng tâm của tam giác . Như vậy, để tính được khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (AA’C’C) ta cần thực hiện liên tiếp các bước quy từ việc tính khoảng cách điểm B’ về điểm B, rồi tiếp là về điểm đặc biệt G.
(nhờ tính chất 1, 2). Cụ thể ta có lời giải như sau:
Giải:
Gọi là trọng tâm của tam giác , khi đó . 
Ta có .
Gọi là hình chiếu của lên , H là hình chiếu của G lên A’I.
Khi đó .
Mà , suy ra .
Mặt khác GI song song AB nên 
Gọi M là trung điểm BC, ta có .
Do CC’ song song AA’ và .
Suy ra . Vậy .
Ví dụ 5: (Đề thi đại học khối D năm 2007).
 Cho hình chóp có đáy là hình thang, .Cạnh bên vuông góc với mặt đáy và . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Tính theo a khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Phân tích:
Tương tự như ví dụ 4, để tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) chúng ta thực hiện liên tiếp các bước quy về việc tính khoảng cách từ điểm H về điểm B, rồi tiếp đến là về điểm đặc biệt A, nhưng ở mức độ khó hơn ví dụ 4. Cụ thể lời giải như sau:
Giải: 
Ta có .
Do đó .
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD, ta có B là trung điểm AI.
Suy ra 
Gọi M là trung điểm AD. Ta có .
Gọi K là hình chiếu của A lên SC. Khi đó .
Mà , suy ra .
Mặt khác: . Vậy .
Ví dụ 6: ( Đề thi đại học khối B, năm 2011).
 Cho lăng trụ có đáy là hình chữ nhật, . Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trùng với giao điểm của và . Tính theo a khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Phân tích:
 Do mặt phẳng nên mọi điểm nằm trong mặt phẳng đáy đều là điểm đặc biệt của mặt phẳng (A’BD). Nên ta sẽ quy việc tính khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) về một điểm nào đó trong mặt phẳng (ABCD), ở ví dụ này ta có thể quy về tính khoảng cách từ A hoặc C đến mặt phẳng (A’BD), tác giả sẽ trình bày lời giải quy khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) về tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (A’BD). Cụ thể lời giải như sau:
Giải:
Do B’C song song A’D nên B’C song song mặt phẳng (A’BD).
Do đó .
Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra .
Gọi E là hình chiếu của C lên BD suy ra .
Mà . Vậy . 
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và . Chúng ta sẽ thực hiện các bước suy luận như sau:
 Tìm cách quy việc tính khoảng cách giữa hai dường thẳng chéo nhau về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ( nhờ tính chất 3,4).
 Bước tiếp theo là tiếp tục công việc của bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng như trình bày ở mục 2.3.1.
Ví dụ 7: ( Đề thi THPT Quốc gia năm 2015)
 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, vuông góc với mặt phẳng , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 450. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng .
Phân tích:
 Đây là bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng này không vuông góc với nhau nên ta cần quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nhờ tính chất 3 hoặc 4. Ta chọn một mặt phẳng (P) chứa SB và song song với AC để quy bài toán về tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) vì mặt phẳng (P) này có điểm đặc biệt A. Từ đó ta có lời giải cụ thể như sau:
Giải:
Gọi d là đường thẳng qua B và song song với AC.
 Ta có AC song song mặt phẳng (SB,d), suy ra .
Gọi M là hình chiếu của A lên d, H là hình chiếu của A lên SM.
Ta có .Do đó 
Vì nên .
Mà . Vậy .
Ví dụ 8: ( Đề thi đại học khối A, năm 2012).
 Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là điểm thuộc cạnh sao cho . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo a.
Phân tích:
 Trường hợp này ta cũng chọn một mặt phẳng (P) chứa SA và song song với BC để quy bài toán về tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng BC đến (P). Vì điểm đặc biệt của mặt phẳng (P) là điểm H nên ta có thể chọn điểm B thuộc đường thẳng BC để dễ dàng quy về điểm H. Từ đó ta có lời giải cụ thể như sau:
Giải:
Gọi d là đường thẳng qua A và song song với BC.
Gọi N, K lần lượt là hình chiếu của H lên d và SN. 
Theo giả thiết HA = 2HB nên .Khi đó 
Ta có . Suy ra . 
Gọi là trung điểm , có .
Mà.
Vậy .
Ví dụ 9:
 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, . Gọi là trung điểm của . Hình chiếu của lên mặt phẳng trùng với giao điểm của và . Biết góc giữa đường thẳng với đáy bằng 600. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng và.
Phân tích:
 Đây là bài toán tìm khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau SC và AN, ta cần tìm một mặt phẳng chứa đường này và song song với đường kia để đưa bài toán về tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Ở ví dụ này ta sẽ chọn mặt phẳng (SMC) vì mặt phẳng này chứa điểm S đã biết hình chiếu và sẽ lấy điểm hình chiếu này làm điểm đặc biệt. Lời giải cụ thể như sau:
Giải:
Gọi E là trung điểm của SC, ta có AMEN là hình bình hành, suy ra AN song song ME nên AN song song mặt phẳng (SMC).
Do đó .
Gọi H là giao điểm của AC và DM, ta có .
Gọi I là hình chiếu của H lên MC và K là hình chiếu của H lên SI
Ta có .
Suy ra .
Mặt khác: .
Suy ra . Vậy .
Ví dụ 10: 
 Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật, . Các cạnh bên của hình chóp bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Phân tích:
 Đây là bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau MN và SP, đối với bài toán này ta cần tìm hai mặt phẳng song song lần lượt chứa MN và SP. Sau đó sử dụng tính chất 4 để quy bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Giải:
Gọi H là giao điểm của AC và BD, do SA = SB = SC = SD nên H là hình chiếu của S lên (ABCD).
Gọi E là trung điểm của AB, khi đó NE song song với AD, EM song song với SA.
Suy ra .
Gọi I là trung điểm của AD, K là hình chiếu của H lên SI.
Khi đó .
Suy ra .
Mặt khác: 
Vậy . 
Bài tập đề xuất
Bài 1: ( Đề thi đại học khối B năm 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm SA đến mặt phẳng (SCD).
Bài 2: ( Đề thi đại học khối A năm 2010)
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC.
Bài 3: ( Đề thi khảo sát chất lượng 12 năm học 2015- 2016 của Sở GD & ĐT Thanh Hóa)
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD là đáy lớn, AD = 2a, AB = BC = CD = a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho HC = 2HA. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD.
Bài 4:
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC tạo với đáy một góc bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SCD).
Bài 5: 
 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CC’. Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’N).
Bài 6:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và . Gọi M là trung điểm của AB. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM.
2.4. Kết quả nghiên cứu
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy, tác giả thấy có hiệu quả đáng kể. Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch khi khảo sát tình hình giải bài toán tính khoảng cách trong hình không gian như sau:
2.4.1 Về mặt định lượng:
 Trước khi sử dụng phương pháp điểm đặc biệt trong bài toán tính khoảng cách
Lớp 11A2 – sĩ số 38
Số lượng
Phần trăm
Không giải được
28
74%
Giải đúng
10
26%
%
Sau khi sử dụng phương pháp điểm đặc biệt trong giải bài toán tính khoảng cách
Lớp 11A2 – sĩ số 38
Số lượng
Phần trăm
Không giải được
12
32%
Giải đúng
25
68%
%
2.4.2. Về mặt định tính
Tác giả thăm dò ý kiến của HS và GV sau khi sử dụng phương pháp như sau:
- Các em học sinh được hỏi ý kiến đều cho biết phương pháp sử dụng điểm đặc biệt vừa dễ hiểu vừa dễ nhớ vừa tạo ra hứng thú trong học tập và rèn luyện cho các em kĩ năng tự lập suy nghĩ giải quyết các vấn đề trong học tập.
- Các giáo viên đánh giá cao về hiệu quả của bài viết.
KẾT LUẬN
Bài viết đã đưa ra khái niệm “ điểm đặc biệt” nhằm khắc sâu định hướng cho phương pháp đồng thời đưa vào một số tính chất cơ bản nhằm sử dụng để rèn luyện kĩ năng quy khoảng cách cần tìm về tính khoảng cách của điểm đặc biệt. Đồng thời đưa ra một hệ thống ví dụ với sự sắp xếp thứ tự từ các kĩ năng đơn giản đến phức tạp và tương đối đầy đủ cùng với sự phân tích, nhận xét của từng trường hợp giúp cho học sinh dễ hiểu và dễ vận dụng. Đề tài đã được tác giả áp dụng dạy ở lớp 11A2 và thấy kết quả rất khả quan, học sinh rất hứng thú, tiếp thu nhanh và vận dụng có hiệu quả. Đồng thời với cách định hướng của phương pháp giúp cho bản thân tôi dễ dàng hơn khi tiếp xúc cũng như định hướng cho học sinh giải các bài toán về khoảng cách. Bài viết cũng đã được sự đồng tình và ủng hộ rất cao của các giáo viên trong tổ chuyên môn khi triển khai trình bày ở tổ.
Do phương pháp sử dụng các kĩ năng và kiến thức cơ bản nên có thể áp dụng cho cả học sinh lớp 11 và ôn thi THPT Quốc gia cũng như tất cả các đối tượng học sinh từ trung bình đến học sinh giỏi. Đồng thời dựa trên định hướng của phương pháp mà giáo viên có thể sáng tạo ra các bài toán từ dễ đến khó tùy vào mức độ phức tạp của các bước quy khoảng cách cần tìm về tính khoảng cách điểm đặc biệt.
Mặc dù đã cố gắng, nhưng chắc chắn bài viết này sẽ không tránh khỏi những thiếu xót nhất định. Tác giả rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý, bổ sung từ các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, để đề tài được hoàn thiện hơn, nhằm nâng cao năng lực dạy toán cho học sinh.
Xin chân thành cảm ơn! 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình, không sao chép nội dung của người khác.
Trần Thị Hường
Tài liệu tham khảo:
[1]. Bộ sách giáo khoa và bài tập. Hình học 11 (Ban cơ bản 2007. NXBGD).
[2]. Bộ sách giáo khoa và bài tập. Hình học 11 (Ban nâng cao 2007. NXBGD).
[3]. Các đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng từ năm 2002 đến 2015.