SKKN Phương pháp hàm số trong chứng minh bất đẳng thức đối xứng

PHẦN I: MỞ ĐẦU
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 - Trong chương trình toán THPT, phần khó khăn nhất khi giáo viên giảng dạy là phần bất đẳng thức các bài toán ở phần này đa dạng và rất khó , đa số học sinh khi được hỏi về phần này khi thi thì đều trả lời là khó không định hướng được cách làm , mặt khác tâm lý chung của các em đặc biệt là học sinh khối 12 khi thi đại học thì đều bỏ câu này vì quan niệm của các em đó là câu chốt lấy 10 điểm nên các em có học lực khá không mặn mà cho lắm nên các em có học lực khá trở xuống thường bỏ qua câu này.Tuy nhiên khi hỏi các em học sinh khi gặp các bài toán liên quan tới bất đẳng thức thì cách giải quyết của các em như thế nào thì đại đa số các em suy nghĩ tới việc xét hàm số để chứng minh bất đẳng thức, nhưng khó khăn ở chỗ mà các em đều trả lời là đưa bài toán ban đầu để đưa về một biến thì mới xét hàm số được với nhiều năm dạy phần này cho học sinh bắt đầu làm quen với bất đẳng thức . Chính vì thế mà phần sáng kiến kinh nghiệm của tôi nêu cho các em cách để đưa về hàm số dưới dạng một biến đơn giản,giúp cho học sinh không còn thấy chán nản khi làm bài phần này nữa . 
 II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 - Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi đã tổng hợp , khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề: “ Phương pháp hàm số trong chứng minh bất đẳng thức đối xứng’’
 - Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh phương pháp dùng hàm số trong việc chứng minh các bất đẳng thức đối xứng 2 biến, 3 biến và một số kỹ năng cơ bản và phát hiện được các tính chất của bất đẳng thức đối xứng . Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
 III/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :
	 - Chứng minh bất đẳng thức thông qua kỹ thuật đặt ẩn phụ để dùng phương pháp hàm số trong việc chứng minh bất đẳng thức
 IV/ PHẠM VI NGHIÊN CỨU :
 - Nội dung phần chứng minh bất đẳng thức đối xứng hai biến, ba biến cơ bản dùng cách đặt ẩn phụ để đưa về phương pháp hàm số gải quyết các bất đẳng thức 
 V/ NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI:
 - Xuất phát từ lý do chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực hiện nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức về dạng đơn giản, cơ bản và giải được một cách dễ dàng. Muốn vậy người giáo viên phải hướng cho học sinh biết kỹ năng nhận biết và sử dụng thành thạo phương pháp hàm số trong chứng minh bất đẳng thức - Yêu cầu của sáng kiến kinh nghiệm: Nội dung giải pháp rõ ràng không rườm rà lôgíc phù hợp với học sinh trường THPT Tĩnh gia 1, có sáng tạo đổi mới. Giới thiệu được cách đặt và sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh các bất đẳng thức
 - Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một số dạng bài toán thường gặp tương ứng các bài tập tự luyện. 
 VI/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Phương pháp: 	
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn 
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối và luyện thi đại học trong năm học từ 2004 đến 2018
 VII/ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU 
Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy và luyện thi đại học tại trường THPT Tĩnh Gia 1 từ năm 2004 đến nay.
PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI
CHƯƠNG 1: CỞ SỞ LÝ LUẬN
- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này. 
- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
 	- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức . Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh cách định hướng chứng minh bất đẳng thức mà trong đó sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về 1 biến nhằm sử dụng phương pháp hàm số,làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn và giúp cho học sinh tìm ra cách giải nhanh nhất 
CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
 Có thể nói phần bất đẳng thức là phần khó nhất trong chương trình sách giáo khoa ở THPT ,đây là phần mà yêu cầu học sinh phải có tư duy nhạy bén, có tố chất mới có thể làm được , mặt khác ngay cả trong đội ngũ các thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy cho học sinh thì cũng rất lúng túng khi phân loại và dạy cho các em dạng này , điều này cũng dễ hiểu đối với các thầy cô giáo dạy vì trong chương trình sách giáo khoa lượng bài tập cho phần BĐT không nhiều mặt khác bản thân học sinh không “ mặn mà” với phần này do để chứng minh được 1 bài toán cần phải rất khéo léo trong các khâu để đưa bài toán chứng minh bất đẳng thức thành quen thuộc
CHƯƠNG III: MỘT SỐ GIẢI PHÁP
	Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng gải quyết các vấn đề trên của học sinh với những giải pháp: Đưa ra một số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ năng khi biến đổi và cách chứng minh được các bất đẳng thức thông qua việc dùng phương pháp hàm số
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Đa thức được gọi là đối xứng đối với x và y nếu
. Mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn được qua cách đặt t= và v= 
Đa thức được gọi là đối xứng với x,y,z nếu 
Trong các bài toán dưới đây tôi xin trình bày một số bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức chứa hai biến, ba biến mà giả thiết hoặc biển thức đó thể hiện tính đối xứng .Từ đó giúp học sinh có cách nhìn nhận để đặt ẩn phụ chuyển bài toán thông qua xét hàm số
Tìm GTLN-GTNN của bất đẳng thức đối xứng có chứa hai biến
Bài toán 1: Cho . Tìm GTNN,GTLN của biểu thức sau
P= 
Phân tích: Do tính chất đối xứng của x,y nên ta có thể đặt t = x+y 
Hướng dẫn
Đặt t = x+y . Từ giả thiết ta có Ta có 
Khi đó biểu thức 
Do đó GTLN P = 4 khi t=2 hay x+y=2 và xy=1 suy ra (x;y) = (1;1)
 GTNN P = 0 khi t= 0 hay (x;y)= (0;0)
Bài Toán 2:
Cho thõa mãn . Gọi M là GTLN, m là GTNN của biểu thức . Khi đó M.n bằng
A. 	B. 	C. 	D. 1
Hướng dẫn
Đặt t = x+y từ giải thiết ta có 
Sử dụng bất đẳng thức nên ta có vậy 
Khi đó 
Ta xét hàm số với 
Lập bảng biến thiên ta có 
 t	-2/3 0 2
f’(t)	 - 0 + 
f(t)	 1/3	 1/3
 -1
Từ bảng biến thiên GTNN P = -1 đạt được khi (x;y) =(-1;1); (1;-1)
 GTLN P = 1/3 khi (x;y )= (-1/3;-1/3); (1;1)
Vậy M.n = chọn B
Bài Toán 3
Cho x, y là hai số thực khác không thoã mãn: ;
Tìm GTLN của biểu thức: A= .(KA:2006)
Phân tích: 
Do bất đẳng thức trên thõa mãn đ/k bất đẳng thức đối xứng hai biến, nên ta đặt t= x+y sau đó biểu thị xy qua t để đưa bài toán tới xét hàm số theo t
Hướng dẫn
Ta có ( do )
đặt x+y = t do nên ta có xy = , mặt khác ta có
 nên ta có .Ta xét hàm số hàm số này nghịch biến với nên vậy giá trị lớn nhất của A là 16 khi t=1 hay x=y=
Bài toán 4 Cho x,y > 0 thõa mãn . 
GTNN của biểu thức là
A. 	B. 4	C. 	D. 
Hướng dẫn
Đặt t = x+y ta có và t >1 áp dụng bất đẳng thức ta có 
Khi đó P = xét hàm số f(t) = với . Lập bảng biến thiên ta có GTNN P =. Vậy chọn A
Bài toán 5: : Cho x, y thõa mãn Tìm GTNN của biểu thức 
 ( KB- 2009)
Hướng dẫn
Ta biến đổi biểu thức A như sau
 Áp dụng bất đẳng thức ta có 
Lúc này ta đặt Xuất phát từ giả thiết ta có 
Ta lại có 
Xét hàm số với 
GTLN A = khi x= y= 1/2
Trong phần tiếp theo tôi xin trình bày một số dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chưá ba biến đối xứng bằng cách đặt ẩn phụ hoặc thế hai biến qua một biến còn lại. Từ đó chuyển bài toán về dạng tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Bài toán 7
Cho thõa mãn x+y+z = 1 . Chứng minh rằng 
Hướng dẫn
Đặt t = x+y. Từ giả thiết ta có và 0<t< 1
Áp dụng bất đẳng 
 Khi đó 
Xét hàm số 
Ta có 
 t	0 1/2 1	
 f’(t) - 0 + 
 f(t) 
 16 
 Từ bảng biến thiên ta có P dấu bằng sảy ra khi 
Bài toán 8 (IMO 1984)
Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng
 (1)
Hướng dẫn
Từ x+y+z=1 ta có x+y=1-z . Biến đổi (1) ta có ta có 
Xét hàm số f(z) = ta có 
Lập bảng biến thiên ta có GTLN của f(z)= hay A= dấu bằng sảy ra khi 
Bài toán 9 Cho . Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= . Khi đó M+ n bằng
A. 	 B. 2-	C. 2+	 D. 1
Phân tích:
Với bài toán trên ta không thể rút một trong ba biến x,y,z để thế ngay vào trong biểu thức cần chứng minh, do đó để có thể biểu thị được thì ta phải đưa số mũ của x,y,z về bậc 1, nên ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxiki ta có thể biến đổi như sau 
Hướng dẫn
Đặt t = x+y+z . Áp dụng BĐT Bunhiacopxiki ta có 
hay . Khi đó ta có
Xét hàm số 
Lập bảng biến thiên ta có 
GTLN của P = 1+ khi t = hay 
GTNN của P = -1 khi t =-1 hay và các hoán vị. Chọn A
chú ý : bài toán trên ta cũng có thể đặt theo hai biến bằng cách đặt t=x+y sau đây là một ví dụ ta có thể đặt ẩn phụ bằng phương pháp trên
Bài toán 11 ( Belarus 1999)
Cho các số thực dương a, b, c thõa mãn . Chứng minh rằng 
Phân tích: Với bài toán trên cũng tương tự như bài toán 9 ta dùng bất đẳng thức Bunhiacopxiki để đưa số mũ của a, b,c xuống bậc nhất sau đó ta có thể đặt ẩn phụ để xét hàm số 
Hướng dẫn : 
Từ giả thiết áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có 
Đặt a+b = t mặt khác và c 3-t do 
Vậy bất đẳng thức (1) trở thành 
Xét hàm số với ta có Lập bảng biến thiên ta có GTNNf(t) = khi t = 2 hay ta có dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Bài toán 11: Cho 3 số thực a,b,c thõa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Phấn tích :
Ta có 
 ,lúc này bất đẳng thức đã trở về 1 biến với ẩn là t = ab+bc+ca 
Hướng dẫn
Ta có 
 nên (a-2)(b-2)(c-2) = abc – 2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)-8
Do đó ab+bc+ca 
Có abc và a+b+c =3 
Đặt t= ab+bc+ca ( t) khi đó ta xét hàm số với ( t) khi đó 
 khi t= 2 . Vậy GTLN cuả M bằng khi (a,b,c)=(0;1;2) và các hoán vị 
Bài toán 12 Cho các số thực không âm a,b,c thõa mãn a+b+c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 ( KB.2010)
Hướng dẫn
Ta có 
Đặt t = ab+bc+ca ta có 
Xét hàm số trên ta có 
tacó hay f’(t) là hàm nghịch biến trên 
xét hàm số f’(t) với 
 với do hàm f’(t) nghịch biến nên do đó f’(t) là hàm đồng biến với 
ta lại có do hàm đồng biến 
Vậy GTNN của M = 2
Dấu bằng xảy ra 
CÁC BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1:Cho và x+y =1. tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
 (ĐH B.2009)
Bài 2:Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn: a+ b+ c= 1. CMR:
Bài 3:. Cho x,y,z là các số thực dương chứng minh rằng
 (THTT-số 356)
Bài 4: cho và . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 5: Cho a,b,c thõa mãn a+b+c=3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 6: Cho x,y >0 thõa mãn xy+y+x=3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 7: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
 	(ĐH A.2005)
Bài 8: Cho x,y,z thõa mãn x,y,z.Tìm giá trị nhỏ nhất của P= ( ĐH A.2011)
Bài 9: Cho a, b là các số thực dương thõa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (ĐH B. 2011)
Bài 10: Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn a+b+c=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1: Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là.
A: 7	 B. 8	 C. 9	D. 10
Bài 2: Cho là các số thực thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của 
A. GTLN = 1; GTNN = 	B. GTLN = 1; GTNN = 
C. GTLN = 2; GTNN = 1	D. GTLN = 1; GTNN = 2
Bài 3: Cho các số thực không âm thoả mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức .
A. 	 B. 14	C. 	D. 5
Bài 4: Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: . Giá trị lớn nhất của biểu thức: .
A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 5: Cho x, y, z > 0 thoả mãn x+ y + z =1 khi đó Giá trị lớn nhất của biểu: 
P = là 
A. 	B. 	 C. 	D. 
Bài 6. Cho a, b, c > 0 thoả mãn a+ b+ c= 1. Khi đó 
Giá trị của m là
A. m= 20	B. m=30	 C. m=40	D. m=50
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
 1/ Kết luận:
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng dạy tại trường THPT Tĩnh Gia 1
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán . Nhưng đối với học sinh lại là một mảng rất khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12 và đặc biệt là luyện thi Đại Học được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng sử dụng để giải quyết các bài toán CM bất đẳng thức Được các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình khá trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng chứng minh tốt hơn tôi lấy kết quả của Học sinh Khối 12 trong 2 năm gần đây 
Năm học
Lớp
Tổng số
Điểm 8 trở lên
Điểm từ 5 đến 8
Điểm dưới 5
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
2016
2017
12A3
38
7
18 %
20
53 %
11
29 %
12A2
36
5
14 %
17
47 %
14
39 %
2017
2018
12A2
39
11
28 %
22
57 %
6
15 %
12A3
42
9
21 %
23
55 %
10
24 %
 Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tôi khi dạy phần chứng minh BĐT giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.
 Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
 2. Kiến nghị và đề xuất: 
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
 - Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 + Sách giáo khoa đại số 12 - Nhà xuất bản giáo dục
 + Sáng tạo Bất Đẳng Thức (Phạm kim Hùng . Sách NXB Hà Nội)
 + Toán nâng cao đại số 12- Phan Huy Khải
 + Báo Toán học tuổi trẻ- Nhà xuất bản giáo dục
 + Các đề thi đại học các năm trước
+Kiến thức ôn tập kinh nghiệm làm bài thi đạt điểm cao ( Nguyễn Phú Khánh- Sách NXB Đại học sư phạm)
 + Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT và Thi ĐH- CĐ( nhà xuất bản Giáo Dục)
———— ––––
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 27 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)