SKKN Phương pháp giải tích phân hàm ẩn cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN HÀM ẨN
CHO HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI THPT QUỐC GIA
Người thực hiện: Trần Tuấn Ngọc
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Thiệu Hóa
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
I. MỞ ĐẦU
1
 1.1. Lí do chọn đề tài.....
1
 1.2. Mục đích nghiên cứu. ....
1
 1.3. Đối tượng nghiên cứu.....
1
 1.4. Phương pháp nghiên cứu........
1
II. NÔI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.........
1
 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm. ..
1
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2
 2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để
 giải quyết vấn đề. ....
2
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo 
 dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường. 
19
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ...
20
3.1. Kết luận. ......
20
3.2. Kiến nghị. ....
20
Tài liệu tham khảo: ..
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình SGK giải tích lớp 12, các dạng tích phân được tính bằng các tính chất của tích phân và tính chất của hàm số (ở đây tôi tạm gọi là hàm ẩn) xuất hiện rất ít, chính vì vậy khả năng thực hành tính toán của học sinh còn nhiều hạn chế hay chưa nói đến là gặp rất nhiều khó khăn.
Trước đây, trong các kì thi từ thi tốt nghiệp THPT đến các kỳ thi Đại học, Cao đẳng hầu như không xuất hiện các dạng tích phân hàm ẩn, vì vậy sự quan tâm của giáo viên và học sinh về vấn đề này là không có.
Từ khi Bộ GD&ĐT chuyển hình thức thi môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm (ngay năm đầu tiên năm 2017) thì dạng tích phân này đã có trong đề thi đã xuất hiện không dưới 2 câu đã tạo cho nhiều học sinh (không chuyên) phải ngậm ngùi sau kì thi.
Từ những lý do trên cộng thêm niềm đam mê khám phá, học hỏi tôi đã quyết định chọn đề tài này với mục tiêu dẫn dắt học sinh biết vận dụng những kiến thức cơ bản, kết hợp các phương pháp được tiếp cận từ sách giáo khoa để tạo được một thói quen mới, một phương pháp mới cho dạng toán Tích phân hàm ẩn .
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Với mục tiêu đã nêu trên, sau khi hoàn thành đề tài này tôi có thể sử dụng đề tại này, vận dụng kiến thức đã được nghiên cứu, đúc kết và sắp đặt có hệ thống vào giảng dạy cho học sinh. Ngoài ra có thể chia sẻ với đồng nghiệp để cùng khai thác nội dung đề tại, truyền thụ được kiến thức đến đông dảo học sinh, nhiều đối tượng học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này nghiên cứu, tổng kết về các phương pháp giải bài toán tích phân hàm ẩn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Trong đề tài này, tôi chủ yếu sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu. 
Xuất phát từ các phương pháp tính tích phân cơ bản học sinh đã được học trong sách giáo khoa và các bài toán tích phân được sưu tầm từ đề thi THPT QG năm 2017 và các để thi thử của các trường THPT, các Sở GD & ĐT trên cả nước tôi phân chia thành từng dạng để có phương pháp riêng giải cho mỗi dạng, các dạng được sắp xếp từ dễ đến khó để phụ vụ cho việc giảng dạy với nhiều đối tượng học sinh
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong các dạng toán tích phân được trình bày trong sách giáo khoa và các bài toán tích phân học sinh được tiếp cận, chủ yếu là các bài với hàm số là các biểu thức cho trước ( hàm tường mình ).
 Trong các dạng toán, chủ yếu học sinh phải làm là dựa vào biểu thức của hàm số đã cho để quyết định phương hướng và lựa chọn phương pháp. Tuy nhiên với tích phân hàm ẩn thì không có hàm số tường minh để dựa vào đó được.
Và vấn đề đặt ra ở đây là học sinh làm như thế nào để nhận dạng và áp dụng phương phán giải hợp lý cho bài toán. Vấn đề đó tôi xin được trình bày trong phần nội dung của đề tài này. 
 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Trước khi SKKN được áp dụng, tôi thấy đa số các em học sinh khi giải một bài toán thì theo kiểu “ tù mù”. Biến đổi, hay đổi biến, hay dùng từng phần! Và như vậy học sinh sẽ đánh mất phương hướng, mất nhiều thời gian cho một hướng giải quyết mù mịt (không biết có ra hay không) dẫn đến mất niền tin và khả năng của mình và từ đó cảm thấy không còn hứng thú trong việc học Toán.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 Trên cơ sở kiến thức cơ bản về tích phân đã được trình bày trong sách giáo khoa Giải tích. Tôi đã chia thành các dạng toán cơ bản sau và trên cơ sở đó để thực hiện mục đích của mình đó nhận biết dạng toán để chọn phương pháp phù hợp.
 Nội dung đề tài được trình bày cụ thể như sau:
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Định nghĩa tích phân
Cho là hàm số liên tục trên . Giả sử là một nguyên hàm của trên . Hiệu số được gọi là tích phân từ đến của hàm số (hay tích phân xác định trên ), kí hiệu là .
Ta còn dùng kí hiệu để chỉ hiệu số .
Vậy .
Ta gọi là dấu tích phân, là cận dưới, là cận trên, là biểu thức dưới dấu tích phân và là hàm số dưới dấu tích phân.
1.2 Tính chất của tích phân
Tính chất 1: ( là hằng số).
Tính chất 2: .
Tính chất 3: , .
1.3 Các phương pháp tính tích phân
1.3.1 Phương pháp đổi biến
Để tính tích phân ta thực hiện phép đổi biến như sau:
Bước 1: Đặt .
Đổi cận: ,
Bước 2: . 
1.3.2 Phương pháp tích phân từng phần
 Cho hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên . Khi đó 
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN
2.1 Dùng tính chất của tích phân
Phương pháp giải: 
- Khi đề bài cho kết quả của các tích phân có cùng cận (trên và dưới) của một hay nhiều hàm số và yêu cầu tính tích phân (cận không thay đổi) của tổng, hiệu các hàm số đó thì ta dùng tính chất 1 và 2 của tích phân để giải.
- Khi đề cho kết quả các tích phân của cùng một hàm số và yêu cầu tính tích phân (chỉ khác các tích phân đã cho về cận) của hàm số thì ta dùng tính chất 3 của tích phân.
Ví dụ 1: Cho , . Tính . 
(THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - lần 1 năm học 2017-2018)
Lời giải
Ta có . 
Ví dụ 2: Biết và . Tính tích phân .
(THPT Trần Quốc Tuấn năm học 2017-2018)
Lời giải
Ta có 
 	 .
2.2 Dùng phương pháp đổi biến
Phương pháp giải: 
- Khi gặp các tích phân dạng thì ta dùng phương pháp đổi biến: 
đặt .
- Khi đề yêu cầu tính tích phân hàm biết (với là hàm số cho trước) ta có thể đổi biến .
Ví dụ 1: Cho . Tính theo . 
(THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh – lần 1 năm học 2017-2018)
Nhận xét: Ta thấy có là hàm hợp của hàm số , với nên ta dùng phương pháp đổi biến để tính I theo biến , sau đó dùng tính chất tích phân không phụ thuộc vào biến ta tính được I heo.
Lời giải
Đặt 
Đổi cận: , . 
Khi đó: . 
Ví dụ 2: (THPT Tứ Kỳ - Hải Dương năm học 2017-2018) Cho hàm số liên tục trên và . Tính . 
Nhận xét: Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân là hàm hợp nên ta biến đổi nó bằng cách đặt .
Lời giải
Đặt .
Đổi cận : , 
Khi đó .
 . Vậy . 
Ví dụ 3: (THPT chuyên Phan Bội Châu – lần 3 năm học 2017-2018) Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn . Tính tích phân .
Nhận xét: Bằng cách đặt , ta có . Do đó lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế của ta sẽ tính được .
Lời giải
Đặt . Đổi cận : , 
Suy ra 
Từ giả thiết ta có 
. 
2.3 Dùng phương pháp từng phần
Phương pháp giải: Khi đề bài cho và yêu cầu tính (với là một biểu thức cho trước) hoặc ngược lại thì ta biến đổi bằng cách dùng phương pháp từng phần, đặt và . 
Ví dụ 1:(THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và , . Tính .
Nhận xét: Đề cho và yêu cầu tính nên ta biến đổi theo bằng cách dùng phương pháp từng phần.
Lời giải
Đặt 
Ta có .
Ví dụ 2: (THPT chuyên Thái Bình năm học 2017 - 2018) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn , thỏa mãn và . Tính .
Nhận xét: Đề cho và yêu cầu tính nên ta biến đổi làm xuất hiện bằng cách dùng phương pháp từng phần.
Lời giải
Đặt 
Ta có 
 . 
2.4 Phối hợp phương pháp đổi biến và từng phần
Phương pháp giải: 
Dạng 1: Khi đề bài cho và yêu cầu tính (với 
 là một biểu thức cho trước): ta biến đổi bằng cách dùng phương pháp từng phần: đặt và để biến đổi theo . Sau đó dùng phương pháp đổi biến để biến đổi theo .
Dạng 2: Khi đề bài cho và yêu cầu tính (với là một biểu thức cho trước): ta biến đổi bằng cách dùng phương pháp đổi biến để biến đổi theo . Sau đó dùng phương pháp từng phần: đặt và để biến đổi theo . 
Ví dụ 1: Cho hàm số liên tục trên và , . 
Tính . 
Nhận xét: Đây là bài toán dạng 1.
Lời giải
Đặt .
Khi đó , với .
Đặt . Khi đó .
Vậy . 
Ví dụ 2: (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định 2017-2018) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn , . Tính .
Nhận xét: Đây là bài toán dạng 2.
Lời giải
- Đặt 
Đổi cận: ; 
Ta có 
Do đó .
- Đặt , .
Vậy .
2.5 Tính tích phân hàm số bằng cách xác định hàm số dựa vào điều kiện cho trước
2.5.1 Xác định hàm số khi biết đẳng thức liên hệ giữa và 
Phương pháp giải: Từ đẳng thức liên hệ giữa và ta thay bởi và ngược lại ta được đẳng thức thứ hai. Từ đẳng thức ban đầu và đẳng thức thứ hai ta sẽ tìm được hàm .
Ví dụ 1: Xét hàm số liên tục trên và thỏa mãn . Tính tích phân .
Lời giải
Thay bởi và ngược lại vào (1) , 
ta có (2)
Từ (1) và (2) ta có 
Lấy (4) trừ (3) vế với vế ta có .
Suy ra . 
Ví dụ 2: Cho hàm số liên tục trên và . Tính . 
Lời giải
Thay bởi và ngược lại vào , ta có 
Từ (1) và (2) ta có 
Lấy (3) cộng (4) vế với vế ta có .
Khi đó .
2.5.2 Xác định hàm số khi biết đẳng thức liên hệ giữa và 
Phương pháp giải: Từ đẳng thức liên hệ giữa và ta có thể biến đổi theo hai hướng sau:
- Hướng 1: Cô lập và về một vế sau đó lấy nguyên hàm hai vế để tìm hàm .
- Hướng 2: Nếu không cô lập được và về một vế thì ta biến đổi 
đẳng thức liện hệ và sao cho một vế là đạo hàm có dạng tích, 
thương của hàm chứa , sau đó lấy nguyên hàm hai vế để tìm hàm .
Ví dụ 1: Cho hàm số liên tục và đồng biến trên thỏa mãn và , . Tính tích phân . 
Nhận xét: Vế trái của đẳng thức có nhân tử chung là nên ta đặt làm thừa số chung rồi cô lập và .
Ta có 
 .
Lời giải
Vì hàm số liên tục và đồng biến trên nên ta có , và , .
Do đó 
.
Mà nên . Do đó .
Vậy .
Ví dụ 2: Cho hàm số thỏa mãn và , . Tính .
Nhận xét: Ta không cô lập được và từ đẳng thức vì vế trái của nó không có thừa số chung. Do đó ta tìm cách giải theo hướng thứ hai: 
 Ta có(*), ta thấy vế trái của (*) có dạng . 
Lời giải
Ta có 
Mà nên . Do đó 
Vậy .
2.5.3 Xác định hàm số bằng cách tạo ra hàm số dưới dấu tích phân có dạng bình phương của tổng (hoặc hiệu) sao cho tích phân đó có kết quả bằng 0 (gọi tắt là tạo bình phương cho hàm dưới dấu tích phân)
Phương pháp giải: Đối với các bài toán này ta thường gặp ba dạng sau:
Dạng 1: Cho , (với cho trước). 
Tính .
 Với dạng này ta có thể xác định hàm số bằng cách tạo bình phương cho hàm dưới dấu tích phân dạng (với ) theo các bước như sau:
Bước 1: Tính 
Bước 3: Tìm số thực sao cho 
Từ đó suy ra . 
Dạng 2: Cho , (với cho trước) .Tính .
Với dạng này ta có thể xác định hàm số bằng cách tạo bình phương cho hàm 
dưới dấu tích phân dạng (với ) theo các bước như 
sau:
Bước 1: Biến đổi làm xuất hiện bằng cách dùng phương pháp từng phần: đặt 
Bước 2: Tính 
Bước 3: Tìm số thực sao cho 
Từ đó suy ra . 
Dạng 3: Cho ba tích phân , (với là biểu thức cho trước) , và yêu cầu tính tích phân từ đến của hàm số có chứa .
 Với dạng này ta có thể xác định hàm số bằng cách tạo bình phương cho hàm dưới dấu tích phân dạng (với 
). Ta tìm hai số thực , sao cho . Từ đó suy ra .
Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa 
mãn . Biết và . Tính .
Nhận xét: Đây là bài toán dạng 1. Bài toán cho và nên để tính ta tìm hàm số bằng cách tạo bình phương cho hàm dưới dấu tích phân dạng .
Lời giải
Ta có .
Do đó .
hay . Suy ra .
Vậy .
Ví dụ 2: ( Đề minh họa của Bộ giáo dục và đào tạo năm 2018) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tính tích phân . 
Nhận xét: Đây là bài toán dạng 2 nên ta giải theo các bước đã nêu trên.
Lời giải
- Đặt , .
Ta có 
 .
Ta có .
- Ta tìm hằng số sao cho 
.Thay vào (1) ta có 
. 
Mà nên . Do đó .
Vậy .
Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục trên đoạn thỏa mãn . 
Biết và . Tính tích phân .
Nhận xét: Đây là bài toán dạng 3: đề bài cho ba tích phân , và nên ta tìm hàm số bằng cách tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân dạng . 
Để có thì . 
Từ đó ta có lời giải:
Lời giải
Ta có 
.
Vậy .
2.6 Dùng kỹ thuật chọn hàm
Phương pháp giải: Ta chọn một hàm thỏa mãn từng đẳng thức dữ kiện của bài toán theo hướng sau: Đề cho đẳng thức dữ kiện thì chọn hàm số có tham số tương ứng. Chẳng hạn:
Đề cho một đẳng thức thì ta chọn , .
Đề cho hai đẳng thức thì ta chọn , .
Đề cho một đẳng thức và hàm chẵn thì ta chọn , .
Đề cho hai đẳng thức và hàm chẵn thì ta chọn , .
Đề cho một đẳng thức và hàm lẻ thì ta chọn , .
Đề cho hai đẳng thức và hàm lẻ thì ta chọn , .
Ví dụ 1:(THPT Tứ Kỳ - Hải Dương năm học 2017-2018) Cho hàm số liên tục trên và . Tính . 
Nhận xét: Đề cho một đẳng thức nên ta chọn ,
. Sau đó ta tìm thỏa mãn .
Lời giải
Chọn , .
Suy ra . Vậy .
Ví dụ 2: (THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa năm 2017-2018)Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và , . Tính .
Nhận xét: Đề cho hai đẳng thức : và nên ta chọn , . Sau đó ta tìm thỏa mãn , .
Lời giải
Chọn .
Ta có (1)
 (2)
Từ (1) và (2) ta có .
Do đó .
Vậy .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
 Với nội dung và ý tưởng của đề tài này tôi hy vọng SKKN này được phổ biến rộng rãi đến đồng nghiệp, học sinh và các bạn đọc khác, góp phần truyền đạt cho học sinh cách tiếp cận những kiến thức mới của môn Toán dựa trên nền tảng kiến thức cơ bản đã biết.
Kết quả đạt được :
 Sau khi đưa vào áp dụng và giảng dạy cho học sinh trong mùa thi THPT Quốc Gia năm 2018 đã có nhiều em giải được câu tích phân hàm ẩn . 
 Và trong mùa thi sắp tới (năm 2019) các em đã làm được nhiều bài như vậy từ các để thi thử của các trường THPT, các trường chuyên và các Sở GD & ĐT, các em cũng đã sẵn sàng cho kì thi cuối cùng này của các em.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận 
 Trên đây là những kinh nghiệm thực tiễn trong quá trình giảng dạy, tìm tòi và đúc rút kinh nghiệm của bản thân, với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp các em học sinh tự tin hơn trong việc giải một bài toán tích phân hàm ẩn .
3.2 Kiến nghị
 Với nội dung có hạn của đề tài tôi đã nghiên cứu, tôi xin được kiến nghị đến Sở GD & ĐT, nhà trường và đồng nghiệp đưa vào ứng dụng và tiếp tục cùng tôi mở rộng thêm nội dung đề tài này cho rất rất nhiều các nội dung khác của môn Toán như: Hàm số, Số phức, hình học tổng hợp, hình học tọa độ.Từ đó tạo được niền đam mê học Toán cho học sinh. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Trần Tuấn Ngọc
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1)	Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Tuất, Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2008;
2)	Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh, Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm toán 12, NXB Đại học quốc gia Hà Nội;
3)	Các đề minh họa và đề thi THPT quốc gia năm 2017, 2018 của Bộ giáo dục và đào tạo;
4)Các đề thi thử THPT quốc gia của các trường, các Sở giáo dục và đào tạo trên toàn quốc.