SKKN Phối hợp kỹ thuật kwl và kỹ thuật mảnh ghép trong giảng dạy một số bài toán tích phân hàm ẩn

MỤC LỤC
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2.Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.5. Không gian nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1 Các tính chất và phương pháp tính tích phân 
2.1.2 Kỹ thuật dạy học KWL và kỹ thuật mảnh ghép.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các giải pháp tiến hành để giải quyết vấn đề
2.3.1 Chuyên đề tích phân hàm ẩn
2.3.2 Áp dụng phối hợp kỹ thuật KWL và kỹ thuật mảnh ghép để giảng dạy chuyên đề Tích phân hàm ẩn
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
1. MỞ ĐẦU
1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
 Trong chương trình Toán lớp 12, bài toán Tích phân là một trong những bài toán khó đối với đa số học sinh. Đặc biệt những năm gần gần đây, Bộ giáo dục và đào tạo đã sử dụng hình thức trắc nghiệm trong kỳ thi THPT Quốc gia đối với môn Toán với số lượng 50 câu hỏi, thời gian làm bài là 90 phút thì các vấn đề toán ở chương trình phổ thông, đặc biệt là lớp 12 ngày càng được khai thác một cách triệt để. Nhiều dạng Toán mới xuất hiện, buộc người học phải có tư duy sáng tạo mới có thể hoàn thành tốt bài thi trong thời gian quy đinh. Các bài Toán Tích phân cũng vậy, các dạng toán của nó ngày càng phong phú hơn, trong đó có các bài toán Tích phân dưới dạng hàm ẩn. Để giải quyết bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các tính chất trong tích phân từ đó hình thành tư duy khái quát để giải quyết các bài toán Tích phân hàm ẩn một cách tốt nhất.
 Thực tế tại trường THPT Bỉm Sơn hiện nay các giáo viên ngày càng quan tâm nhiều đến tất cả khâu trong chu trình lên lớp như thiết kế bài giảng, chuẩn bị bài lên lớp, các phương pháp và kĩ thuật lên lớp, quản lí học sinh trên lớp, hướng dẫn học sinh chủ động học tậpTuy nhiên phần lớn các hoạt động giảng dạy vẫn theo phương pháp dạy học truyền thống, tập trung cả lớp học dưới sự truyền đạt của giáo viên. Học sinh học tập dưới một áp lực lớn, thụ động, hạn chế tư duy sáng tạo, chưa phát huy được hết khả năng bản thân, chưa có điều kiện rèn luyện được các kỹ năng sống cần thiết sau này.
 Trước tình hình đó tôi luôn có ý thức đổi mới phương pháp giảng dạy, đổi mới hình thức giảng dạy trong từng tiết học phù hợp với điều kiện cho phép có thể. Ngoài việc dạy tốt từng tiết học theo thời khóa biểu, mỗi tháng tôi cố gắng thực hiện tổ chức một đến hai buổi học bồi dưỡng hoàn toàn theo phương pháp dạy học tích cực tại lớp hoặc hội trường, giúp các em thay đổi không khí học tập, tạo điều kiện cho các em thể hiện và rèn luyện bản thân một các toàn diện, tạo hứng thú, khơi dậy sự say mê đối với môn Toán học. Và đó là lý do đề tài “PHỐI HỢP KỸ THUẬT KWL VÀ KỸ THUẬT MẢNH GHÉP TRONG GIẢNG DẠY MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN” ra đời với mong muốn các em học sinh không chỉ có thêm tự tin giải quyết các bài toán Tích phân hàm ẩn mà qua đó còn rèn luyện cho học sinh nhiều kỹ năng sống quan trọng.
1.2 MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI:
- Giúp học sinh hình thành khả năng phân tích, tìm mối liên hệ giữa giả thiết và yêu cầu bài toán từ đó xác định cách giải quyết bài toán một cách chuẩn xác, nhanh gọn.
- Hình thành cho học sinh khả năng đánh giá tình huống, biến những bài toán lạ, chưa có cách giải về những bài toán quen thuộc đã biết cách giải.
- Giúp các em học sinh thay đổi không khí học tập, phát triển kỹ năng làm việc tập thể, khả năng thuyết trình, thể hiện mình trước đám đông, tạo điều kiện cho các em vượt qua nỗi sợ hãi và rèn luyện bản thân một cách toàn diện, tạo hứng thú, khơi dậy sự say mê đối với môn Toán học.
1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
- Nghiên cứu các tính chất cơ bản, quan trọng trong tích phân, các phương pháp tính tích phân, các phương pháp xử lý một số bài toán tích phân hàm ẩn.
- Nghiên cứu và vận dụng kỹ thuật KWL và kỹ thuật mảnh ghép trong dạy học.
1.4 KHÔNG GIAN NGHIÊN CỨU
Hai lớp 12A2, 12A3 của trường THPT Bỉm Sơn Thanh hóa.
- Lớp 12A2 không áp dụng đề tài nghiên cứu
- Lớp 12A3 thường xuyên áp dụng đề tài nghiên cứu.
1.5 THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
Từ tháng 12 năm 2018 đến tháng 3 năm 2019.
2. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI:
2.1 Cơ sở lý luận của đề tài
2.1.1 Về tích phân hàm ẩn:
- Xét phương trình , nói chung không giải ra đối với y, trong đó là một hàm số xác định. Nếu thì (1) có nghiệm duy nhất . Khi đó y được gọi à hàm ẩn theo biến số trên .
- Các tính chất tích phân, các phương pháp tính tích phân là công cụ, là cơ sở cho lời giải các bài toán tích phân hàm ẩn. Nắm vững các tính chất này, học sinh sẽ có thể tự tin mở ra nhiều con đường để đi đến lời giải chính xác
 Tính chất của tích phân: 
 Cho hàm số liên tục trên . Ta có các tính chất sau:
 +) 
 +) 
 +) , với là hằng số.
 +) 
 +) Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số và các cận mà không phụ thuộc biến số hay : 
 +) 
 +) So sánh giá trị của tích phân
 i. Nếu thì 
 ii. Nếu thì 
 iii. Nếu thì 
 iv. . Dấu đẳng thức xảy ra khi hoặc 
 Các phương pháp tính tích phân
- Phương pháp đổi biến số:
+) Tính tích phân mà không có trong bảng các nguyên hàm cở bản: Đặt , vi phân hai vế . Khi đó, ta có :
+) Trong đó, có đạo hàm liên tục trên miền K, hàm số liên tục và sao cho hàm hợp xác định trên miền K; a và b là hai số thuộc miền K và là một nguyên hàm của .
-Phương pháp tích phân từng phần
+) Công thức tích phân từng phần: 
Giả sử các hàm có đạo hàm liên tục trên miền K và a,b là hai số thuộc K. Khi đó, ta có công thức tích phân từng phần:
+) Nhận dạng : Hàm số dưới dấu tích phân là hai loại hàm số khác nhau.
* Chú ý: Cần phải chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính v đồng thời tích phân đơn giản hơn tích phân .
2.1.2 Kỹ thuật KWL và kỹ thuật mảnh ghép.
2.1.2.1 Kỹ thuật KWL:
K: What we know ( Chúng ta biết gì)
W: What we want to learn (Chúng ta muốn học cái gì)
L: What we learn (Chúng ta học cái gì)
 Sơ đồ KWL là một công cụ để tổ chức tư duy nhằm giúp người học liên hệ các kiến thức đã biết liên quan đến bài học, các kiến thức muốn biết và các kiến thức học được sau mỗi bài học.
Cách tiến hành:
Bước 1: Sau khi giới thiệu bài học, mục tiêu cần đạt được của bài học, giáo viên phát phiếu học tập sau:
PHIẾU HỌC TẬP
Tên bài học (hoặc chủ đề)
Tên học sinh (hoặc nhóm).Lớp..
“SƠ ĐỒ KWL”
K
Những điều em đã biết
W
Những điều em muốn biết
L
Những điều e đã học được
Bước 2: Hướng dẫn học sinh điền các thông tin vào phiếu
- Yêu cầu học sinh viết vào cột K những gì mà em cho là đã biết liên quan đến bài học
- Sau đó khuyến khích học sinh suy nghĩ và viết vào cột W những gì mà các em cho là cần phải biết, phải học để có thể đạt được mục tiêu bài học
-Sau khi học song bài học, học sinh điền vào cột L của phiếu những gì vừa học được. Lúc này, các em xác nhận sự chính xác về những điều các em đã viết ở 2 cột và so sánh với những gì các em vừa học được về bài học.
Một số điểm cần lưu ý:
Tổ chức: Có thể sử dụng kỹ thuật này cho học sinh học cá nhân hoặc học theo nhóm 2-5 học sinh
Công cụ: Ngoài các đồ dùng học tập theo yêu cầu của bài học cần có phiếu học tập cho cá nhân hoặc cho nhóm
Ưu điểm và hạn chế:
Ưu điểm: Áp dụng được cho tất cả các môn học. Dễ thực hiện, không tốn kém. 
Giúp học sinh biết cách tự học thông qua việc xác định những kiến thức, kỹ năng đã có, xác định mục tiêu học tập cá nhân cũng như nhìn lại quá trình học tập. Nếu kỹ thuật này được tiến hành theo nhóm cũng giúp nâng cao các mối quan hệ, giao tiếp, cộng tác giữa các học sinh trong nhóm. học sinh học cách chia sẻ và tôn trọng lẫn nhau.
Hạn chế: Không có
Một số lưu ý tại cột K
Chuẩn bị những câu hỏi để giúp học sinh động não. Đôi khi để khởi động, học sinh cần nhiều hơn là chỉ đơn giản nói với các em : "Hãy nói những gì các em đã biết về..."
Khuyến khích học sinh giải thích. Điều này rất quan trọng vì đôi khi những điều các em nêu ra có thể là mơ hồ hoặc không bình thường.
Hỏi học sinh xem các em muốn biết thêm điều gì về chủ đề. Cả giáo viên và học sinh ghi nhận câu hỏi vào cột W. Hoạt động này kết thúc khi học sinh đã nêu ra tất cả các ý tưởng. Nếu học sinh trả lời bằng một câu phát biểu bình thường, hãy biến nó thành câu hỏi trước khi ghi nhận vào cột W.
Một số lưu ý tại cột W
Hỏi những câu hỏi tiếp nối và gợi mở. Nếu chỉ hỏi các em : "Các em muốn biết thêm điều gì về chủ đề này?" Đôi khi học sinh trả lời đơn giản "không biết", vì các em chưa có ý tưởng. Hãy thử sử dụng một số câu hỏi sau :
"Em nghĩ mình sẽ biết thêm được điều gì sau khi em đọc chủ đề này?"
Chọn một ý tưởng từ cột K và hỏi: "Em có muốn tìm hiểu thêm điều gì có liên quan đến ý tưởng này không?"
Chuẩn bị sẵn một số câu hỏi của riêng bạn để bổ sung vào cột W. Có thể bạn mong muốn học sinh tập trung vào những ý tưởng nào đó, trong khi các câu hỏi của học sinh lại không mấy liên quan đến ý tưởng chủ đạo của bài đọc. Chú ý là không được thêm quá nhiều câu hỏi của bạn. Thành phần chính trong cột W vẫn là những câu hỏi của học sinh.
Yêu cầu học sinh đọc và tự điền câu trả lời mà các em tìm được vào cột L. Trong quá trình đọc, học sinh cũng đồng thời tìm ra câu trả lời của các em và ghi nhận vào cột W.
Học sinh có thể điền vào cột L trong khi đọc hoặc sau khi đã đọc xong.
Một số lưu ý tại cột L
Ngoài việc bổ sung câu trả lời, khuyến khích học sinh ghi vào cột L những điều các em cảm thấy thích. Để phân biệt, có thể đề nghị các em đánh dấu những ý tưởng của các em. Ví dụ các em có thể đánh dấu tích vào những ý tưởng trả lời cho câu hỏi ở cột W, với các ý tưởng các em thích, có thể đánh dấu sao.
Đề nghị học sinh tìm kiếm từ các tài liệu khác để trả lời cho những câu hỏi ở cột W mà bài đọc không cung cấp câu trả lời. (Không phải tất cả các câu hỏi ở cột W đều được bài đọc trả lời hoàn chỉnh)
Thảo luận những thông tin được học sinh ghi nhận ở cột L
Khuyến khích học sinh nghiên cứu thêm về những câu hỏi mà các em đã nêu ở cột W nhưng chưa tìm được câu trả lời từ bài đọc.
2.1.2.2 Kỹ thuật Mảnh ghép:
Kỹ thuật mảnh ghép là gì?
Kỹ thuật “Mảnh ghép” là một trong số các kỹ thuật học hợp tác, trong đó kết hợp giữa hoạt động cá nhân, hoạt động nhóm và liên kết giữa các nhóm
Cách tiến hành:
Cách tiến hành kĩ thuật "Các mảnh ghép"
VÒNG 1: Nhóm chuyên gia
- Hoạt động theo nhóm 3 đến 8 người [số nhóm được chia = số chủ đề x n (n = 1,2,)]
- Mỗi nhóm được giao một nhiệm vụ [Ví dụ : nhóm 1 : nhiệm vụ A; nhóm 2: nhiệm vụ B, nhóm 3: nhiệm vụ C,  (có thể có nhóm cùng nhiệm vụ)]
- Mỗi cá nhân làm việc độc lập trong khoảng vài phút, suy nghĩ về câu hỏi, chủ đề và ghi lại những ý kiến của mình
- Khi thảo luận nhóm phải đảm bảo mỗi thành viên trong từng nhóm đều trả lời được tất cả các câu hỏi trong nhiệm vụ được giao và trở thành “chuyên gia” của lĩnh vực đã tìm hiểu và có khả năng trình bày lại câu trả lời của nhóm ở vòng 2.
Kỹ thuật "Các mảnh ghép"
VÒNG 2: Nhóm các mảnh ghép
- Hình thành nhóm 3 đến 6 người mới (1 – 2 người từ nhóm 1, 1 – 2 người từ nhóm 2, 1 – 2 người từ nhóm 3)
- Các câu trả lời và thông tin của vòng 1 được các thành viên trong nhóm mới chia sẻ đầy đủ với nhau
- Khi mọi thành viên trong nhóm mới đều hiểu được tất cả nội dung ở vòng 1 thì nhiệm vụ mới sẽ được giao cho các nhóm để giải quyết
- Các nhóm mới thực hiện nhiệm vụ, trình bày và chia sẻ kết quả
Một vài ý kiến cá nhân với kĩ thuật "Các mảnh ghép"
- Kĩ thuật này áp dụng cho hoạt động nhóm với nhiều chủ đề nhỏ trong tiết học, học sinh được chia nhóm ở vòng 1 (chuyên gia) cùng nghiên cứu một chủ đề.
- Phiếu học tập mỗi chủ đề nên sử dụng trên giấy cùng màu có đánh số 1,2,,n (nếu không có giấy màu có thể đánh thêm kí tự A, B, C, ... . Ví dụ A1, A2, ... An, B1, B2, ..., Bn, C1, C2, ..., Cn).
- Sau khi các nhóm ở vòng 1 hoàn tất công việc giáo viên hình thành nhóm mới (mảnh ghép) theo số đã đánh, có thể có nhiều số trong 1 nhóm mới. Bước này phải tiến hành một cách cẩn thận tránh làm cho học sinh ghép nhầm nhóm.
- Trong điều kiện phòng học hiện nay việc ghép nhóm vòng 2 sẽ gây mất trật tự. Tuy nhiên kỹ thuật mảnh ghép tạo điều kiện cho học sinh có môi trường học tập tích cực, buộc phải tập trung tối đa, chủ động lĩnh hội kiến thức để trở thành chuyên gia trong vòng 1; sau đó ở vòng 2 học sinh được rèn luyện kỹ năng thuyết trình trước đám đông, kỹ năng chia sẻ những hiểu biết của mình, kỹ năng lắng nghe và nhanh chóng lĩnh hội kiến thức trong khoảng thời gian ngắn Điều đó giúp học sinh dần vượt qua sự sợ hãi của bản thân, tự tin và năng động trong các hoạt động trước tập thể.
- Giáo viên nên sắp xếp bố trí thời gian để có bài tests nhanh, kiểm tra và đánh giá hiệu quả làm việc của một vài cá nhân bất kỳ trong lớp.
2.2 Thực trạng vấn đề cần giải quyết
- Trong quá trình giảng dạy khả năng học tích phân của học sinh còn chưa tốt. Đa số học sinh khi gặp bài toán tích phân thường dùng máy tính bỏ túi trong khi đó trong các đề thi THPT của những năm gần đây xuất hiện rất nhiều câu tích phân hạn chế sử dụng máy tính. Do vậy học sinh rất lo ngại và tỏ ra sợ hãi trước nhưng câu hỏi không thể dùng máy tính để giải quyết. Một trong cách cho bài toán như vậy là yêu cầu học sinh làm việc với các hàm số ẩn, không cho định nghĩa hàm số đó một cách tường minh mà chỉ cho những tính chất đặc trưng, buộc người học phải giải bằng chính hiểu biết và năng lực bản thân.
- Học sinh ít chú ý đến các tính chất cơ bản của tích phân, không nắm rõ mục tiêu, bản chất của các phương pháp tính tích phân. Đối với học sinh, nếu việc giải các bài tích phân với các hàm số được cho một cách tường minh là đã khó thì việc sử lý các bài tích phân hàm ẩn lại càng khó khăn rất nhiều lần. Do đó các em mất nhiều thời gian làm bài mà hiệu quả lại không cao.
- Việc học quá nhiều môn gây cho các em học sinh cảm giác chán nản, không tập trung trong học tập. Các hình thức dạy học truyền thống làm hạn chế sự phát triển kỹ năng sống toàn diện ở học sinh, học sinh giảm hứng thú và thiếu sự say mê trong học tập nói chung và môn Toán nói riêng.
2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết
- Thông qua việc giải quyết một số bài toán minh họa, giúp học sinh rút ra cách nhận diện bài toán tích phân hàm ẩn, cách sử lý sao cho gọn gàng, tránh dài dòng lê thê, mất thời gian. 
- Phối hợp sử dụng kỹ thuật dạy học: kỹ thuật KWL và kỹ thuật mảnh ghép để thay đổi không khí học tập, giúp học sinh hào hứng hơn, tiếp thu kiến thức một cách tự nhiên, không gò ép đồng thời rèn luyện cho học sinh các kỹ năng sống một cách toàn diện.
2.3.1 Một số bài toán Tích phân hàm ẩn:
 Thông qua việc giải quyết một số bài toán minh họa dưới đây, ta rút ra cách nhận diện bài toán tích phân hàm ẩn, cách sử lý bài toán sao cho gọn gàng, tránh dài dòng lê thê, mất thời gian.
Bài toán 1: Cho hàm số liên tục trên đoạn . chứng minh rằng:
Chứng minh (1): Xét tích phân . 
Đặt dễ thấy . Với ta được , Với ta được 
Khi đó . 
Vậy 
Chứng minh (2): Ta có: 
Nhận xét: 
Dấu hiệu đặc trưng của bài toán tích phân là xuất hiện hàm số với a, b là hai cận của tích phân. 
Sau đây là một kết quả được trực tiếp suy ra từ bài toán 1:
Cho các hàm số liên tục trên đoạn với , ta có :
 1. 
 2. 
 3. Nếu chẵn trên thì 
 4. Nếu lẻ trên thì 
Bài toán 2: (Bất đẳng thức Holder trong tích phân)
Chứng minh rằng nếu và là hai hàm số liên tục trên đoạn thì ta có: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi tồn tại sao cho 
Chứng minh: 
Với mọi ta có: 
Suy ra 
Điều này tương đương với 
Hay 
Rõ ràng dấu đẳng thức xảy ra khi tồn tại sao cho . Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 3: Cho các hàm số liên tục trên đoạn , có đạo hàm và liên tục trên đoạn . Biết và . Tính ?
Phân tích: 
Cơ sở để sử lý bài toán này là xuất phát từ nguyên tắc tính đạo hàm của tích hai hàm số và . Ta đã biết nếu và cùng có đạo hàm trên D thì: 
Từ đó ta sẽ tìm cách biến đổi biểu thức về dạng đạo hàm của một hàm số nào đó rồi áp dụng công thức nguyên hàm, tích phân thích hợp.
Lời giải bài toán 3:
- Tìm là một nguyên hàm của hàm số , từ đó timg hàm số 
- Nhân hai vế của biểu thức với ta được:
Vì vế trái của (1) là đạo hàm của hàm số do đó ta viết lại
- Lấy tích phân hai vế của (2) trên đoạn ta có: . từ đó ta tìm được một cách dễ dàng
Bài toán 4: Cho hàm số liên tục trên đoạn , hai hàm số có đạo hàm trên tập D và có tập giá trị thuộc đoạn . Xét hàm số . Khi đó đạo hàm của hàm số trên tập D được xấc định như sau: 
Chứng minh:
Gọi là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn tức là 
Ta có 
Suy ra . Ta có điều phải chứng minh.
Các ví dụ vận dụng:
Ví dụ 1: Cho hàm số liên tục trên đoạn thỏa mãn và . Tính 
*) Lời giải khi chưa áp dụng cách giải nhanh
Xét tích phân 
Đặt suy ra . Đổi cận: 
Thay vào ta có 
Vì tích phân không phụ thuộc tham số nên ta có 
Cộng hại tích phân ở (1) và (2) ta được 
Từ đó suy ra 
*) Lời giải khi áp dụng cách giải nhanh: Trong lời giải trên, đoạn lấy tích phân là và có sự xuất hiện của hàm số nên ta áp dụng kết quả đã được chứng minh trong bài toán 1 để sử lý. Lời giải như sau:
Ví dụ 2: Cho hàm số liên tục và . Biết rằng và với mọi . Tính tích phân 
Phân tích: Trong bài toán yêu cầu tính tích phân trên đoạn và có sự xuất hiện của hàm số nên ta sử dụng kết quả của bài toán 1
Dễ dàng nhận thấy 
Lời giải chi tiết: 
Nhận xét: lời giải rất đơn giản, nhanh gọn, phù hợp với trắc nghiệm và tâm lý học sinh.
Ví dụ 3: Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn . Biết và với mọi . Tính tích phân 
Phân tích: - Trong tích phân cần tính có sự xuất hiện của hàm số với nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên nên ta suy ra một nguyên hàm của là . Từ đó áp dụng phương pháp tích phân từng phần để biến đổi về tích phân dễ tính hơn
 - Có sự xuất hiện của hàm số , hơn nữa cận tích phân là nên ta áp dụng kết quả của Bài toán 1 để giải quyết bài toán.
Lời giải:
- Vì và nên ta tính được 
-nBằng phương pháp tích phân từng phần ta có:
- Áp dụng kết quả bài toán 1:
Ví dụ 4: (Đề minh họa Toán THPT Quốc gia 2018)
Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn thỏa mãn và . Tính tích phân 
Phân tích: Dấu hiệu đặc trưng của bài toán này là giả thiết đưa ra hai tích phân. Một tích phân của một hàm số dạng , tích phân còn lại thông qua phương pháp tính tích phân từng phần sẽ thu được một tích phân “liên quan” với tích phân đầu tiên. Từ đó ta sẽ có lời giải bài toán như sau:
Lời giải:
Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có:
Kết hợp với giả thiết suy ra: 
Bình phương hai vế của (1) và áp dụng bất đẳng thức ở bài toán 2: Ta có:
Vậy dấu đẳng thức đã xảy ra, suy ra sự tồn tại sao cho 
Thay vào (1) ta thu được và d đó 
Từ đó dễ dàng có Vậy 
Bình luận:
Một cách khác để chứng minh 
Xét phương trình 
Vì và nên ta có phương trình:
 giải ra tìm được 
Mặt khác biến đổi tương đương phương trình (*) ta được:
 mà 
Do đó hay . Vậy 
*) Sắp xếp các bài toán tích phân theo tiến trình như trê sẽ giúp học sinh hình thành các bước cần thiết để giải quyết bài toán. Tránh loay hoay đi sai hướng.
Ví dụ 5: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn và . Biết . Tính tích phân 
Lời giải: 
- Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có:
- Kết hợp với giả thiết , suy ra: 
- Bình phương hai vế của (1) và áp dụng bất đẳng thứ ở bài toán 2, ta có:
- Vậy dấu đẳng thúc đã xảy ra, suy ra tồn tại sao cho 
- Thay vào (1) ta thu được và do óó 
 Vậy 
Ví dụ 6: Cho hàm số có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn và thỏa mãn ; . Tính 
Phân tích: 
- Vế trái bài toán chưa có dạng như trong bài toán tổng quát nhưng xét trên ta sẽ đưa về dạng trên bằng cách chia hai vế cho x
- Khi đó áp dụng cách giải như Bài toán 3 để giải quyết bài toán.
Lời giải: Ta có: 
- Xét ; chọn một nguyên hàm của là 
 suy ra 
- Nhân hai vế của (1) với ta sẽ thu được 
- Từ đó ta có . Vậy 
Nhận xét: 
- Đối với đại đa số học sinh, đây là bài toán khó. Rất khó khăn cho các em khi phải tìm xem, phải đưa giả thiết bài toán về dạng đạo hàm của hàm số nào.
- Thông qua cách xây dựng bài toán mẫu, giáo viên sẽ định hướng học sinh những bước cần thiết để hình thành lời giải nhanh chóng, cụ thể hóa các việc cần làm, đưa bài toán khó thành bài toán dễ dàng hơn.
Ví dụ 7: Cho hàm số có đạo, liên tục trên đoạn thỏa mãn và . Giá trị , với . Tính .
Lời giải: 
- Ta có tương đ