SKKN Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc khai thác một bài toán hình học

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 Chúng ta đều thừa nhận rằng, quá trình dạy học không phải chỉ cung cấp tri thức một cách đơn thuần cho học sinh mà thông qua quá trình dạy học để:
 	Hình thành và bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất năng lực nhất định, chẳng hạn như hình thành và bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy sáng tạo gồm: tính nhuần nhuyễn, tính mềm dẻo và tính linh hoạt. 
	 Hình thành và bồi dưỡng cho học sinh những năng lực cần thiết như: năng lực huy động tri thức, năng lực giải quyết vấn đề....
 	 Hình thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: tính độc lập, tính sáng tạo:
	- Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được.
	- Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới, cái mới thường nảy sinh, bắt nguồn từ cái cũ .
 Với cương vị là một giáo viên dạy toán, cũng như nhiều giáo viên khác tôi luôn suy nghĩ làm gì để phát triển được tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua một số bài toán cơ bản. Bên cạnh đó, tôi đã có nhiều cơ hội tiếp cận học sinh khá, tôi thường tìm cách tiếp cận, định hướng cho các em khai thác sâu hơn về nhiều khía cạnh của một bài toán, thay đổi các dự kiện bài toán hay xuất phát từ một bài toán cơ bản có thể xây dựng được bài toán mới hoặc phát triển bài toán theo nhiều định hướng khác nhau có hệ thống từ dễ đến khó. 
 Trong quá trình giảng dạy, tôi say mê, mày mò nghiên cứu nhằm giúp cho học sinh thấy được một hệ thống vấn đề xảy ra rất logic trong quá trình tư duy, việc sáng tạo và nhìn nhận khá linh hoạt để tạo ra một hệ thống các bài toán trong 
đó có những bước tổng quát lên và cả một số kinh nghiệm trong quá trình giải toán hình học tôi cảm thấy có nhiều nét thú vị. Chính vì vậy, chọn đề tài: “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc khai thác một bài toán hình học”
 1.2. Mục đích nghiên cứu
 -Trong phạm vi đề tài này, tôi khai thác một bài toán hình học của sgk để xây dựng một lớp các bài toán hay và khó qua đó nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Kiến thức chương hình học lớp 11 và bất đẳng thức trong chương trình đại số 10.
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải các bài toán hình học mà đề tài khai thác.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm.
- Phương pháp tổng hợp.
- Phương pháp thống kê, so sánh.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Những kiến thức cơ bản :
1. Bất đẳng thức Cô-si đối với n số không âm (n N*, n 2)
Với n số thực không âm , ta có
 (*).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Chú ý 1:
i. .
ii. .
2. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki đối với 2n số thực (n N*, n 2)
Với 2n số thực , ta có 
(**).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (Hai bộ số và tỉ lệ với nhau).
Chú ý 2:
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Đối với giáo viên
	- việc giảng dạy không chỉ đơn thuần là truyền đạt tri thức, phương pháp quan trọng của toán học là quy lạ về quen, hơn thế nữa với đối tượng khá, giỏi người thầy phải biết cách dẫn dắc để các em sáng tạo ra bài toán mới, tránh việc học sinh thụ động chỉ giải những bài toán do thầy đặt ra. 
 - Hiện tại với đề án thi mới của bộ giáo dục thì người học là trung tâm, kiểm tra đánh giá năng lực của hs mà đối với học sinh khá giỏi thì đó là năng lực sáng tạo.
2.2.2. Đối với học sinh
- Với lớp bài toán vận dụng , vận dụng cao các em thường thụ động trong việc tiếp cận và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa có ý thức tìm tòi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải các bài toán.
- Qua đề tài này tôi muốn gợi mở cho các em xây dựng hệ thống bài toán hay xung quanh bài toán gốc.
2.3. Giải pháp giải quyết vấn đề
2.3.1. Bài toán gốc
Bài toán: “Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: ”.
 (Bài 4b – Sách giáo khoa Hình học cơ bản lớp 11 – NXBGD) 	
O
B
A
C
H
.
c
a
b
K
Đây là một bài toán dễ và có nhiều cách giải. Tôi xin trình bày một cách chứng minh cho bài toán:
(Hình vẽ bên)
Gọi K là giao điểm của AH và BC.
 Dễ dàng ta chứng minh được OAOK, 
OHAK và OKBC. Từ hệ thức 
trong tam giác vuông ta có (1)
 (2). 
Từ (1) và (2) ta suy ra được .
Nếu ta đặt OA = a, OB = b, OC = c, OH = h thì ta có (*).
	Nếu chúng ta dừng ở đây thì khả năng sáng tạo của các em học sinh sẽ phần nào bị hạn chế. Ta thử ‘‘dẫn dắt’’ các em đi tìm những điều thú vị xung quanh bài toán này .
2.3.2 Các bài toán khai thác được thông qua bài toán gốc : 
Áp dụng BĐT Cô-si ta có
 , suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 
Ta thu được bài toán sau
Bài 1. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với nhau. Biết OA = a, OB = b, OC = c và độ dài chiều cao kẻ từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng . Chứng minh . 
BĐT Cô-si, ta có . Hay là . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 
Ta thu được bài toán sau
Bài 2. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với nhau. Biết OA = a, OB = b, OC = c và độ dài chiều cao kẻ từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng . Chứng minh .
*Theo BĐT Cô-si, ta có . Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 
Ta thu được bài toán sau	
Bài 3. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với nhau. Biết OA = a, OB = b, OC = c và độ dài chiều cao kẻ từ O đến 
mặt phẳng (ABC) bằng . Chứng minh .
*Áp dụng BĐT Bunhiacôpski, ta có . Từ đó suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 
Ta thu được bài toán sau
Bài 4. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với nhau. Biết OA = a, OB = b, OC = c và độ dài chiều cao kẻ từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng . Chứng minh . 
Nhận xét: Các bài toán thu được ở trên là sự kết hợp cơ bản giữa đẳng thức trong bài toán gốc và BĐT Cô-si. Việc tìm ra các bất đẳng thức đó không mấy khó khăn nhưng vấn đề ở đây là hướng giải quyết chúng thì liệu các em học sinh có suy nghỉ đến việc sử dụng đẳng thức hay không ? Thiết nghĩ trước hết chúng ta phải giới thiệu cho các em một số đẳng thức trong Tứ diện vuông, từ đó các em em có kiến thức cơ sở để huy động trong quá trình giải toán. 
*Gọi I, R, r lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại 
tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta tính được: , và .
Từ các kết quả trên ta thấy . Mặt khác , suy ra .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ta thu được bài toán sau
Bài 5. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với nhau. Gọi lần lượt là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) và 
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh .
BĐT quen thuộc , ta có . 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Ta thu được bài toán sau
Bài 6. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với nhau. Gọi lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh .
Nhận xét: Hai bài toán tìm được ở trên là khá mới mẽ và khá hay, chúng đòi hỏi kĩ năng tính toán khá nhiều và kết hợp với một sự so sánh đơn giản trong khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: . Để có được bài 6 thì chúng ta phải liên tưởng đến một BĐT trong tam giác: .
*Từ đẳng thức (*) ta suy ra (3).
Mặt khác (4). 
Từ (3) và (4) ta suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ta thu được bài toán sau
Bài 7. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với nhau. Gọi lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh . 
 (Bài T7/405 - THTT năm 2011)
*Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của các tam giác OAB, OBC, OCA.
Ta có S1, S2, S3. Suy ra S1 + S2 + S3.
Mặt khác từ đẳng thức (*) và BĐT Cô-si, ta có .
Từ đó suy ra .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Vậy là ta thu được bài toán sau
Bài 8. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với nhau. Gọi lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) và diện tích của các tam giác OAB, OBC, OCA. Tìm GTLN của tỉ số .
 (Bài đề nghị - Olympic 30/4 năm 2010)
	Nhận xét: Hai bài toán thu được có mặt trong hai tài liệu tham khảo khá hay và hấp dẫn đối với giáo viên và học sinh. Nhìn quá trình sáng tạo ra các bài toán đó chúng ta thấy cũng không có vấn đề gì khó khăn, phức tạp. Nhưng để đạt được kết quả đó là một ‘‘chặng đường’’ khá dài để tìm tòi, suy nghĩ và hướng đích. Chúng ta phải tăng cường giới thiệu những cách sáng tạo như thế này để xóa bỏ dần quan niệm ‘‘quá sức, quá khó với chúng em’’ khi giáo viên đề cập đến bài toán trên Báo Toán học và tuổi trẻ hay đề thi Olimpic 30/4,... 
*Gọi rC là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. Sử dụng công thức 
 ta tính được
.
Mặt khác theo BĐT Bunhiacôpski, ta có . 
Suy ra , tức là .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ta thu được bài toán sau
Bài 9. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với nhau. Gọi lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) và bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. Chứng minh rằng . 
*Gọi I, rC lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Ta có VOABC = VI.ABC + VI.OAB + VI.OBC + VI.OCA
Suy ra .
Hay là . Mặt khác theo bài 2 ta có . Từ đó ta thu được . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ta thu được bài toán sau
Bài 10. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với nhau. Gọi lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng . 
Nhận xét: Để sáng tạo hai bài toán trên chúng ta đã huy động khá nhiều kiến thức về hình học không gian. Điểm mấu chốt trong bài 9 là biến đổi và sử dụng BĐT Bunhiacôpski, từ đó làm xuất hiện đại lượng để thay thế bởi , bài 10 là sự kết hợp giữa đẳng thức và BĐT . Đây là những bài toán hay và khó, việc sáng tạo ra chúng là không hề đơn giản, 
tìm hướng giải quyết khác cho những bất đẳng thức đó lại càng khó hơn. 
*Xét tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với 
O
B
A
C
H
.
c
a
b
K
nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng ABC. 
Đặt OA = a, OB = b, OC = c. 
(Hình vẽ bên) 
Trong tam giác vuông HKO ta có (5).
Mặt khác, tam giác OAK vuông tại O nên ta có
 (6). Từ (5) và (6) ta suy ra được
.
Suy ra (do ).
Tương tự ta có: và . 
Từ đó ta suy ra (*).
Kết hợp đẳng thức (*) với bài 10 ta có .
Hay là . Ta thu được bài toán sau
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). Biết SA = a, SB= b, SC = c. Chứng minh rằng .
 (Bài T8/429 – THTT năm 2013)
z
C
y
x
A
B
O
Nhận xét: Đây là một bài toán hay, để sáng tạo ra nó đòi hỏi chúng ta phải có sự linh hoạt, tinh tế và tư duy sáng tạo. Phải chăng tác giả của bài toán đã sáng tạo ra nó theo mạch suy luận như trên ? Có thể có những hướng khác nhau để giải quyết bài toán này, nhưng quá trình lập luận như trên phải có sự tìm tòi, sáng tạo nhất định. Chúng ta cần giới thiệu tới các em học sinh để các em suy nghĩ, nắm bắt ý tưởng và học hỏi. 
*Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho toạ độ các điểm 
là : O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), 
B(0; b; 0) và C(0; 0; c) cho các bài toán sau. 
 (Hình vẽ bên)
*Gọi G là trọng tâm của tứ diện OABC. 
Ta có G, suy ra . 
Mặt khác ta có .
Do đó . 
Theo BĐT Cô-si, ta có.
Từ đó ta suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ta thu được bài toán sau
Bài 12. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với nhau. Gọi lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) và trọng tâm của tứ diện OABC. Chứng minh . 
*Gọi K, RC là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Dễ có K, suy ra .
Do đó ta có được .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ta thu được bài toán sau
Bài 13. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với nhau. Gọi lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng 
(ABC) và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Chứng minh .
*Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác OAB, OBC, OCA; giả sử M là một điểm bất kì di động trên mặt phẳng (ABC).
z
C
y
x
A
B
O
.G2
.G3
.G1
Ta có G1, G2, G3.
Ta có 
Cộng ba BĐT cùng chiều trên vế theo vế ta được
 (a). 
Mặt khác (b).
Từ (a) và (b) suy ra .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi điểm M trùng với trọng tâm của tam giác ABC và .
Vậy là ta thu được bài toán sau
Bài 14. Cho tứ diện OABC thay đổi có ba cạnh OA, OB, OC từng đôi một vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc mặt phẳng chứa tam giác ABC. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác OAB, OBC, OCA. Đặt OA = a, OB = b, OC = c. Chứng minh .
 (Bài T8/402 – THTT năm 2010)
	Nhận xét: Ba bài toán có đề cập đến tọa độ trong không gian khá hay và mới mẽ. Lập luận để có được bài 14 là không đơn giản, phải cần đến một khả năng sáng tạo thực sự. Một lần nữa chúng ta thấy được vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua hoạt động khai thác đẳng thức nói riêng và các kiến thức cơ bản khác của Toán học nói chung. 
 2.4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm
Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào quá trình nghiên cứu và giảng dạy đã mang lại những kết quả tích cực trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Đối với bản thân tôi sau khi nghiên cứu kĩ những kiến thức ,tìm tòi để từ những bài toán cơ bản của sách giáo khoa qua đó xây dựng được lớp các bài toán mới qua đó phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
- Với các đồng nghiệp, việc sử dụng tài liệu nhỏ này như một tài liệu để tham khảo và hướng dẫn cho học sinh khi khai thác một bài toán.
- Đối với học sinh sau khi được tiếp cận cách khai thác bài toán kiểu này sẽ giúp học sinh khá và giỏi phát triển tư duy sáng tạo
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
	 Như vậy điều cốt lõi trong đề tài trên là thông qua 1 bài toán hình học và các bất đẳng thức cơ bản tôi đã phát triển thành hệ thống suy luận tương đối logic tạo nên một lớp các bài toán mới. Điều này tạo nên tính mới mẻ trong cái nhìn về những ý tiềm tàng trong các bài toán đó. Các bài toán gốc ứng dụng khá rộng rãi với việc nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau bằng cách biến đổi các điều kiện của các biến số mở ra một lớp các bài toán khá hay và đẹp cũng được ứng dụng trong rất nhiều kỳ thi chọn học sinh giỏi và các kỳ bồi dưỡng học sinh khá giỏi, kỳ thi vào Đại học - Cao đẳng...
 Qua việc vận dụng đề tài đã nghiên cứu vào trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi đã thu đươc những kết quả tích cực. Đề tài đã giúp cho giáo viên rất nhiều trong việc truyền đạt tư tưởng, phương pháp và kiến thức cho học sinh. Bản thân học sinh khi được giảng dạy thông qua đề tài đã giúp các em phát triển được tư duy, biết định hướng để giải và sáng tạo một bài toán từ bài toán gốc.
3.2. Kiến nghị
	Đối với sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa: Thông qua việc chấm sáng kiến kinh nghiệm hàng năm, lựa chọn những đề tài có chất lượng và cần phổ biến rộng rãi cho các trường trong tỉnh để những trường có điều kiện tương đồng triển khai áp dụng hiệu quả. Nên đưa những SKKN có chất lượng vào mục “tài nguyên” của sở để các giáo viên toàn tỉnh có thể tham khảo một cách rộng rãi.
	Đối với trường THPT Hàm Rồng : Mỗi sáng kiến kinh nghiệm được lựa chọn cần được phổ biến rộng rãi trong phạm vi tổ, nhóm. Cần có những bản lưu trong thư viện để giáo viên và học sinh tham khảo.
	Đối với tổ chuyên môn: Cần đánh giá chi tiết những mặt đạt được, những hạn chế và hướng phát triển của đề tài một cách chi tiết cụ thể để hoàn thiện sáng kiến hơn nữa.
	Đối với đồng nghiệp: Trao đổi ý tưởng, kinh nghiệm và hỗ trợ trong việc áp dụng rộng rãi sáng kiến trong mỗi lớp học của mình. Phản hồi những mặt tích cực. những mặt hạn chế của sáng kiến.
	Đề tài nghiên cứu trong thời gian hạn chế, rất mong Hội đồng khoa học Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa nghiên cứu, góp ý bổ sung để sáng kiến hoàn thiện hơn nữa.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 02 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của tôi, không sao chép nội dung của người khác
 Người viết sáng kiến
	Gv: Trịnh Hữu Đại
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1].. SGK Hình học 11 cơ bản – Nhà xuất bản giáo dục 2009
[2]. Sách bài tập Hình học 11 cơ bản – Nhà xuất bản giáo dục 2009
[3]. Sáng tạo bất đẳng thức . Phạm Kim Hùng
[4]. Những con đường khám phá lời giải bất đẳng thức.
 Trần Phương-Nguyễn Đức Tấn-Nguyễn Anh Hoàng-Tạ Hoàng Thông
[5]. Tuyển tập đề thi olympic 30/4 lần thứ XVI-2010.
[6]. Tuyển tập đề thi olympic 30/4 lần thứ XVII-2011.
[7]. Báo toán học tuổi trẻ.