SKKN Phát triển tư duy hàm cho học sinh qua các bài toán về hệ phương trình

TÊN ĐỀ TÀI
PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH QUA CÁC 
BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài
	Như chúng ta đã biết, chuyên đề về hệ phương trình, chiếm một lượng khá lớn trong chương trình toán học phổ thông. Tuy nhiên trong số các bài tập đó có một lượng lớn các bài tập mà ta không thể giải được bằng phương pháp thông thường hoặc có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn và phức tạp.
	Nhưng ta đã biết giữa hệ phương trình và hàm số có mối liên hệ chặt chẻ với nhau, khi định nghĩa phương trình người ta đã dựa trên khái niệm hàm số, nên nếu chúng ta biết sử dụng kiến thức về hàm số để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình thì chúng ta được những lời giải nhanh gọn và đơn giản hơn rất nhiều. Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng có thể sử dụng hàm số để giải nhưng những ứng dụng đạo hàm của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, là rất lớn. chính vì vậy tôi chon đề tài “ Phát triển tư duy hàm cho học sinh qua các bài toán hệ phương trình ” nhằm giúp các em học sinh có thêm một phương pháp nữa khi khi giải các bài toán về hệ phương trình cũng như tìm điều kiện cho hệ phương trình có nghiệm.
II. Mục đích yêu cầu
-Trang bị cho học sinh một phương pháp giải hệ phương trìnhỉ và tìm điều kiện cho hệ phương trình có nghiệm mang lại hiệu quả cao.
-Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khã năng tư duy, sáng tạo khi giải toán.
III. Đối tượng nghiên cứu
-Các dạng toán về hệ phương trình trong chương trình toán học phổ thông.
- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp chung của dạng bài tập này: Sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Các mệnh đề và tính chât thường dùng
1) Cho phương trình xác định trên 
Nếu một trong hai hàm số hoặc là hàm đơn điệu, hàm còn lại là hàm hằng số hoặc đơn điệu ngược lại với hàm kia thì phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
2)Nếu hàm số đơn điệu trên D và tồn tại D sao cho thì .
3)Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số 
y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m.
4) Các hệ phương trình có thể giải được bằng cách làm xuất hiện hàm đại diện . Khi đó hàm đại diện của phương trình là với trong đó lần lượt là miền giá trị của các biến u và v. Có nghĩa là tập giá trị của biến t phải được xác định là hợp của tập giá trị của biến u và tập giá trị của biến v. Trong đó ta chứng minh được f là hàm đơn điệu trên T (T là một khoảng, hoặc nửa khoảng ) Khi đó ta có u = v.
Còn nếu thì phải chỉ ra được u và v cùng thuộc hoặc cùng thuộc 
1. LOẠI 1. Biến đổi một phương trình nào đó của hệ để đưa về hàm đại diện
Bài 1. Giải hệ phương trình 
Lời giải
ĐK : 
PT(1) : 
Hàm số : , ta có nghịch biến trên [0;4] mà .Thay vào phương trình (2) ta được KQ : (0;2)
Bài 2. Giải hệ phương trình 
Lời giải 
Coi (2) là pt bậc 2 đối với x, rồi đối với y và sử dụng điều kiện có nghiệm của pt bậc hai ta được (3)
PT(1) : 
Xét hàm với x,y thỏa mãn (3) suy ra 
Khi đó 
KQ : 
Bài 3. Giải hệ phương trình 
Lời giải
ĐK 
PT(1) .
Hàm số suy ra f đồng biến trên [1;+∞)
Thế vào pt(2) ta được 
 Nếu sử dụng máy tính để giải (3) ta thấy có một nghiệm lẻ và nhỏ hơn 2. Do đó ta không giải trực tiếp (3) mà ta sẽ chứng minh rằng (3) vô nghiệm trên [2;+∞)
Thật vậy xét hàm có 
Mà g(2) = 13 nên do đó (3) vô nghiệm trên [2;+∞)
KQ (3 ;1).
Bài 4. Giải hệ phương trình 
Lời giải 
Đk . 
Pt (1) đưa về dạng 
Hàm số có nên f đồng biến trên R thế vào (2) : . 
Lại xét hàm với 
Xét ta có 
. KQ (1/2;2)
Bài 5. Giải hệ phương trình 
Lời giải ĐK 
PT(1) có dạng với 
Hàm đại diện có 
Vậy (1) thế vào (2) ta có
 (do x > 1 nên G(x) > 0)
Bài 6. Giải hệ phương trình 
Lời giải 
Ta thấy x = 0 không thỏa mãn.
Xét phương trình (1) : 
Hàm số đồng biến. . Thế vào (2) ta có kq : 
Bài 7. Giải hệ phương trình 
Lời giải
ĐK 
PT(1) . Hàm đại diện 
Dễ thấy suy ra 
Thế vào pt(2) ta có 
Ta có 
Suy ra 
KQ : (1 ;-1)
Bài 8. Giải hệ phương trình 
Lời giải 
Đk : 
Phương trình (2) : 
Hàm số : có 
Suy ra hàm f nghịch biến trên (0;+∞). KQ (4;2).
Bài 9. Giải hệ phương trình 
Lời giải 
Đk 
Phương trình (1) : 
Hàm số : có 
Suy ra hàm số đồng biến trên R . KQ (-1; -1)
Bài 10. Giải hệ phương trình 
Lời giải
Đk 
phương trình (1) : 
Hàm có 
KQ : (1/2 ;1/2).
Bài 11. Giải hệ phương trình 
Lời giải
PT(1) tương đương với 
(1) suy ra 
Hàm số : . Dễ thấy f’ > 0 nên f đồng biến. 
PT thế vào (2) : . Vì hàm số đồng biến trên (0 ;+∞) mà g(1) = 10 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
KQ : (1 ;1/3).
Bài 12. Giải hệ phương trình: 
Lời giải Điều kiện 
Nhận thấy không thỏa mãn hệ phương trình.
Xét : Ta có 
Xét hàm số có 
Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên mỗi khoàng và .
Từ (1) ta thấy 2x+1 và y cùng dấu, tức là cùng thuộc khoảng hoặc cùng thuộc khoảng . Do đó . 
Lại thế vào (2), ta được :
Do 
Suy ra 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là và 
Bài 13. Giải hệ phương trình 
Lời giải
ĐK : 
Phương trình (1) 
Xét hàm đặc trưng : trên 
Có với 
 đồng biến trên 
 Mà : có dạng 
Thế vào (2) ta được : 
 (t/m)
Vậy : hệ có nghiệm 
Bài 14. Giải hệ phương trình 
Lời giải ĐK 
Nếu thì nên hệ vô nghiệm
Nếu y 0. Khi đó
. 
Xét hàm 
suy ra f đồng biến trên R mà thế vào (1) ta có 
(4)
Xét hàm 
suy ra hàm số đồng biến trên (-∞ ;0) mà g(-3) = 0 nên y = -3
KQ : (1/3 ;-3)
Bài 15. Giải hệ phương trình ( Lê Minh)
Lời giải Ta thấy y ≠ 0
PT(1) 
hàm đại diện có 
. Bảng biến thiên
-∞ +∞
 0 +
ta có suy ra hàm f đồng biến từ đó 
KQ 
Nhận xét : Đây là bài toán rất hay và khá khó khi mà hàm đại diện phải sử dụng đạo hàm bậc hai mới chứng minh được tính đơn điệu.
2.Nhóm 2. Phối hợp cả hai phương trình (cộng đại số, thế) để tạo ra hàm đại diện
Loại 1. Hệ đối xứng loại 2 
PP : Ta cộng hoặc trừ hai phương trình để làm xuất hiện hàm đại diện.
Bài 1. Giải hệ phương trình 
Lời giải ĐK 
Trừ hai phương trình theo vế ta được
Xét hàm 
Dễ thấy . Do đó x = y.
Ta có phương trình 
Lại xét hàm có 
Do đó g(t) đồng biến trên mà g(0) = 0
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (0;0)
Bài 2. Giải hệ phương trình 
Lời giải
ĐK . Ta thấy không là nghiệm của hệ
Với 
Trừ hai phương trình rồi xét hàm ta được x = y
Phương trình 
Hàm số có 
g(1) = 0
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;1)
Loại 2. Hệ tổng hợp
Bài 1. Giải hệ phương trình 
Lời giải 
Cộng hai phương trình ta có 
Xét hàm . Mà 
Thay vào (2) ta được KQ : (1/2;-1/2), (3/4;1/4).
Bài 2. Giải hệ phương trình 
Lời giải 
ĐK : 
Phương trình (1) tương đương với : . Thay vào phương trình (2) ta có : 
Hàm số : có nên f đồng biến trên R. KQ : (5/2;3/2).
Bài 3. Giải hệ phương trình 
Lời giải 
Đk 
(1) – (2) ta có : 
Xét hàm số : , . Với ta có
Suy ra hàm f đồng biến trên (-1 ;+∞). Từ đó Kq : 
Bài 4. Giải hệ phương trình 
Giải 
PT(2) – 3xPT(1) ta được 
Hàm đại diện 
KQ (1 ;-1) 
Bài 5. Giải hệ phương trình ( Lê Minh)
Lời giải
ĐK y > 1
Từ phương trình thứ hai ta có
x-1(3y-2)2+1=0
→x<1 và 3y-2=11-x
Từ phương trình đầu : x3=1y3-3y+2+yy-1
Hay x3=1y3-11-x+yy-1↔x3+11-x=1y3+11-1y
Xét hàm số y=ft=t3+11-t , t<1. có 
y'=3t2+121-t(1-t)>0 ∀t<1
Vậy x=1/y. Ta giải pt : 3x-2=11-x được x=3/4 suy ra y = 4/3.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (3/4;4/3).
3. Một số sai lầm thường gặp khi sử dụng hàm đại diện 
Bài 1. Giải hệ phương trình 
Ta xét lời giải sau : 
đk . Ta thấy 
Phương trình (2) : 
Hàm số . Do mà (*)
Có đúng không ? 
Không đúng. Ta có hàm số f đồng biến trên các khoảng (- và (0 ;+∞) nhưng ta chưa khẳng định và có cùng thuộc một trong hai khoảng không ?
Nếu y > 0 thì (*) đúng.
Nếu y < 0 thì chưa thể khẳng định (*) đúng.
Do đó ta phải tìm cách khác.
Bài 2. Giải hệ phương trình 
Lời giải
ĐK 
Xét hàm có suy ra hàm f đồng biến trên R\{0}
Do đó từ PT(1) suy ra thế vào (2)
Hỏi lời giải trên có đúng không ? vì sao ?
Trả lời : lời giải trên là sai bởi vì ta chỉ kết luận được hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ∞,0) và (0;+∞) chứ không được kết luận hàm f đồng biến trên R\{0}
Do đó : nếu x và y cùng âm hoặc cùng dương thì mới suy ra x = y, còn nếu x, y trái dấu thì từ f(x) = f(y) không suy ra x = y.
Bài 3. Giải hệ phương trình 
Lời giải
ĐK . PT(1) 
Hàm đại diện có suy ra f đồng biến trên tập xác định. Do đó
PT(1) ? 
Đúng không nhỉ ?
Ta xét tiếp một bài toán sau
Bài 4. Giải hệ phương trình 
Một bạn giải như sau
Lời giải
Đk . Xét hàm số ta có nên hàm f đồng biến trên [1 ;+ ∞)
Do đó (1) suy ra x = y. từ đó thế vào (2) giải được x và y.
Liệu lập luận trên có đúng không ? vì sao ?
4. Hệ sử dụng hàm nhưng không đưa về hàm đại diện
Một số hệ tuy không sử dụng hàm đại diện nhưng lại sử dụng công cụ hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm một biến để giải
Các hệ này thường có dạng 
Trong đó từ (2) ta tìm được điều kiện ràng buộc của x,y (sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2) rồi xét các hàm f(x), g(y)
Bài 1. Giải hệ phương trình 
Lời giải 
Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn x, phương trình bậc hai ẩn y và sử dụng điều kiện có nghiệm ta có 
Hàm số đồng biến trên [1;+)
(1) 
Vậy nghiệm của hệ là (2;1)
 Bài 2. Giải hệ phương trình 
Lời giải
ĐK . Viết phương trình (1)
 (3)
Từ (2) ta có Và 
Xét hàm số khi đó suy ra f nghịch biến trên [-1;1]
Phương trình (3) : 
Mặt khác . Vì vậy (3) 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (
Bài 3. Giải hệ phương trình 
Lời giải
Từ phương trình (2) sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ta có
Xét hàm số . Ta tìm max, min của hàm số trên đoạn này
Ta có và 
Suy ra với 
Tiếp theo ta xét hàm số 
Có 
Ta có 
Suy ra 
Do đó thử lại phương trình (2) ta được
 KQ 
Bài 4. Giải hệ phương trình 
Lời giải
Bài 5. Giải hệ phương trình 
Lời giải
Bài 6. Giải hệ phương trình 
Lời giải
Bài 7. Giải hệ phương trình 
Lời giải
Bài 8. Giải hệ phương trình 
-------------------------------------------
Sau khi các em nghiên cứu kỹ phần trình bày trên, giờ là lúc các em áp dụng để giải các hệ tương tự. Nhớ rằng mỗi bài toán có những thú vị riêng nên các em phải giải hết và trình bày cẩn thận vào vở chuyên đề nhé.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải hệ phương trình 
Bài 2. Giải hệ phương trình 
Bài 3. Giải hệ phương trình 
Bài 4. Giải hệ phương trình 
Bài 5. Giải hệ phương trình 
Bài 6. Giải hệ phương trình
Bài 7. Giải hệ phương trình 
Bài 8. Giải hệ phương trình 
Bài 9. Giải hệ phương trình 
Bài 10. Giải hệ phương trình 
Bài 11. Giải hệ phương trình 
Bài 12. Giải hệ phương trình 
Bài 13. Giải hệ phương trình 
Bài 14. Giải hệ phương trình 
Bài 15. Giải hệ phương trình 
Bài 16. Giải hệ phương trình 
Bài 17. Giải hệ phương trình 
Bài 18. Giải hệ phương trình 
Bài 19. Giải hệ phương trình 
Bài 20. Giải hệ phương trình 
Bài 21. Giải hệ phương trình 
Bài 22. Giải hệ phương trình 
Bài 23. Giải hệ phương trình 
Bài 24. Giải hệ phương trình 
Bài 25. Giải hệ phương trình 
Bài 26. Giải hệ phương trình 
---------------------------
C. KẾT LUẬN
Hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là sử dụng vào việc giải hệ phương trình cũng như tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiêm.
 Đề tài đã nêu được phương pháp giải cho các dạng toán về các loại hệ phương trình , đồng thời cũng đưa ra được hệ thống bài tập tương đối đầy đủ với các mực độ khác nhau.
 Tuy vậy do nhiều nguyên nhân khác nhau, chủ quan cũng như khách quan nên đề tài không tránh khỏi những sai sót nhất định. Rất mong nhận được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp, hội đồng khoa học trường THPT Nông Cống 1, Hội đồng khoa học sở GD & ĐT Thanh Hoá để đề tài được hoàn thiện hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
 TÁC GIẢ
 LÊ TRỌNG VŨ
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Tuyển tập phương trình – Hệ phương trình
Tác giả: Nguyễn Văn Nho – NXB ĐHQG Hà Nội
- Rèn luyện tư duy sáng tạo qua các bài toán phương trình – Hệ phương trình
Tác giả: Nguyễn Kim Chung – NXB TP Hồ Chí Minh – 2013
- Các bài toán phương trình – Hệ phương trình chọn lọc
Tác giả: Lê Hồng Đức – Lê Đình Hùng – NXB ĐHQG Hà Nội