SKKN Phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán số học lớp 6

	MỤC LỤC
MỤC LỤC :....................................................................................................1
1.MỞ ĐẦU: ...................................................................................................2
1.1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:...........................................................................2
1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:....................................................................3
1.3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:.................................................................3
1.4.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:...........................................................4
2. NỘI DUNG: ..............................................................................................4
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: .............................4
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: .................................5
2.2.1. Thuận lợi: ...........................................................................................5
2.2.2. Khó khăn :...........................................................................................5
2.2.3. Khảo sat học sinh ...............................................................................6
2.3. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI :............................7
2.3.1. Giải pháp thực hiện đề tài ..................................................................7
2.3.1.a. Giải pháp chung :.............................................................................7
2.3.1.b. Giải pháp cụ thể :.............................................................................7
2.3.2. Tổ chức thực hiện đề tài: ....................................................................7
2.3.2.a. Bài toán mở đầu về một số dãy số đơn giản:...................................7
2.3.2.b. Tính tổng một số dãy số dạng phân số :.........................................13
2.3.2.c. Tìm tích của dãy số :.......................................................................18
2.4. HIỆU QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI: .................................................20
3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT :..................................................................21
- KẾT LUẬN: .............................................................................................21
- KIẾN NGHỊ: ............................................................................................22
TÀI LIỆU THAM KHẢO:..........................................................................24
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN..25
1. MỞ ĐẦU
1.1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục luôn đổi mới không ngừng. Các nhà trường luôn chú trọng đến chất lượng toàn diện bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục. Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.
Dạy toán là một hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là công việc chủ yếu. Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, ngoài việc trang bị tốt hệ thống kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng kết quả những bài toán đơn giản và xây dựng bài toán gốc để giải một loạt các bài toán liên quan. Điều này giúp học sinh tự tìm tòi suy nghĩ ra những bài toán mới và có những cách giải sáng tạo.
Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình.
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh, trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tư duy Toán học.
Với mong muốn nâng cao hiệu quả công tác giảng dạy nói chung và công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 nói riêng. Tôi nhận thấy chương trình toán 6 có rất nhiều nội dung hay và hấp dẫn, cách tính tổng theo quy luật và tìm tích là một trong những nội dung thú vị, phong phú, đa dạng. Để giải các bài toán dạng này thông thường ta biến đổi để làm xuất hiện các số hạng đối nhau sau khi thu gọn ta được một số ít số hạng mà ta dễ dàng tính được hoặc làm xuất hiện các dãy số mà ta dễ dàng tính được hoặc là ta phải phân tích các phân số thành một tích như thế nào đó để có thể rút gọn được. Nhưng biến đổi như thế nào để xuất hiện các hạng tử đối nhau hoặc các dãy số dễ dàng tính được lại là vấn đề không đơn giản mà học sinh hay mắc phải. Tôi xin đưa ra đề tài: “Phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán số học lớp 6”. Ở đề tài này tôi xin đưa ra vài bài toán mang nội dung tính tổng theo quy luật và một số bài toán tìm tích để giới thiệu cách khai thác kết quả, mở rộng bài toán và xây dưng bài toán gốc (bài toán tổng quát) để giải một loạt các bài toán tương tự nhằm mục đích phát huy trí tuệ sáng tạo của học sinh, rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh. 
1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
 Qua nhiều năm giảng dạy ,đứng lớp chuyên khối toán 6,thực sự rất tâm huyết và rút ra được nhiều kinh nghiệm qua từng bài giảng, lần giảng,bản thân thấy môn toán 6 rất thú vị . Đối với các em mới bước vào đầu khối đang còn bỡ ngỡ cả về kiến thức và phương pháp học,như chúng ta đã biết:
 Mọi vật thể đều được cấu tạo từ chất và mọi chất được cấu tạo từ những phân tử nhỏ. Trong Toán học cũng vậy mọi bài toán đều bắt nguồn từ những chi tiết nhỏ nhặt và những bài toán đơn giản hơn. Đối với học sinh lớp 6 cũng vậy, bước đấu làm quen với môn Toán học, việc tiếp thu môn Toán học bước đầu còn nhiều khó khăn.Vì vậy để học sinh giỏi môn Toán học không những phải yêu cầu học sinh nắm vững và biết vận dụng các bài toán cơ bản mà còn phải biết cách phát triển nó thành những bài toán mới có tầm suy luận cao hơn, nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh. Cách dạy học như vậy mới đi đúng hướng đổi mới giáo dục hiện nay. Có như vậy mới tích cực hóa hoạt động của học sinh, khơi dậy khả năng tự lập, chủ động, sáng tạo của học sinh. Nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tế, tác động đến tâm lí, tình cảm, đem lại niềm say mê và hứng thú học tập cho học sinh.
1.3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
 Đối tượng nghiên cứu của đề tài là Phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán số học lớp 6.
1.4.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
 Tìm ra những phương pháp tổ chức học tập một cách có hiệu quả,giúp người học phát huy được tính tích cực,tự giác, chủ động ,tư duy sáng tạo,bồi dưỡng năng lực tự học tự rèn luyện,đó là các phương pháp:
-Phương pháp nghiên cứu lý thuyết.
-Phương pháp thực hành. 
-Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động. 
-Phương pháp nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm.
-Phương pháp thống kê.
2. NỘI DUNG
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:
 Trước đây việc dạy học toán thường sa vào phương pháp đọc chép áp đặt kiến thức, học sinh lĩnh hội kiến thức một cách bị động, người giáo viên thường chú trọng đến số lượng bài tập. Nhiều học sinh chỉ hiểu bài thầy dạy mà không tự giải được bài tập. Việc phát triển bài toán ít được học sinh quan tâm đúng mức. Phần nhiều học sinh cảm thấy sợ môn số học, giải bài tập số học. Thực tiễn dạy học cho thấy: HS khá - giỏi thường tự đúc kết những tri thức, phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm, còn học sinh trung bình hoặc yếu, kém gặp nhiều khó khăn hoặc không thể nắm được bài.
 Để có kĩ năng giải bài tập số học cần phải qua quá trình luyện tập. Tuy rằng, không phải cứ giải bài tập nhiều là có kĩ năng, việc luyện tập sẽ có hiệu quả, nếu như học sinh nắm chắc được lí thuyết và biết khéo léo khai thác từ một bài tập này sang một loại bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, rèn luyện một phương pháp học tập nào đó cho mình.
 Nếu người thầy giáo biết hướng cho học sinh cách học chủ động thì học sinh không những không có ái ngại với môn số hoc mà còn hừng thú với việc học số học. Học sinh không còn cảm thấy học số học nói riêng và toàn học nói chung là gánh nặng, mà còn ham mê học toán, có được như thế mới là thành công trong việc dạy học môn toán.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
 2.2.1. Thuận lợi.
- Qua nhiều năm giảng dạy Toán 6 và bồi dưỡng, nâng cao chất lượng cho học sinh khá giỏi lớp 6 đã giúp tôi nhận thấy được một số điểm yếu trong cách tư duy, khai thác bài toán của các em học sinh.
- Thư viện nhà trường luôn có một số sách bồi dưỡng toán nâng cao và các tài liệu có liên quan.
- Nhà trường luôn tạo điều kiện thuận lợi để tôi viết đề tài.
- Các em học sinh học giỏi toán thì không nhiều nhưng các em rất chăm ngoan, chịu khó học tập, biết tiếp thu và nghe lời thầy cô giáo.
- Gia đình học sinh luôn tạo điều kiện để các em học tốt môn toán cũng như các môn học khác.
2.2.2. Khó khăn.
Qua công tác giảng dạy môn toán nhiều năm liên tục chuyên khối 6 nói chung và số học lớp 6 nói riêng trong những năm qua tôi thấy đa số học sinh:
Không nắm được phần lí thuyết cơ bản của bài học hoặc nắm nội dung bài học một cách thụ động,hoặc thuộc lý thuyết nhưng không biết vận dụng vào bài tập, nên trong quá trình làm bài tập còn gặp nhiều khó khăn, lúng túng.
Không chịu đề cập bài toán theo nhiều hướng khác nhau, không sử dụng hết các dữ kiện của bài toán mà đề bài đưa ra.
Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài toán giải mẫu hoặc áp dụng phương pháp giải một cách thụ động.
Không chịu suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hay mở rộng lời giải tìm được cho các bài toán khác, do đó hạn chế trong việc rèn luyện năng lực giải toán hình học.
Đặc biệt cách lập luận bài toán của học sinh không chặt chẽ logíc nghĩ gì viết đó,dài dòng và không bám sát vận dụng được kiến thức vừa học .
2.2.3. Khảo sát học sinh
 Trước khi triển khai chuyên đề tôi đã tiến hành kiểm tra sự hiểu biết của các em học sinh khối lớp 6 của nhà trường trong việc khai thác cách giải và giải một số bài toán sau.
ĐỀ BÀI	
(Thời gian làm bài 60 phút)
	* Thực hiện tính các tổng sau:
 1)	
	2)	
 	3)	
4)	 
* Tìm số tự nhiên x biết rằng :
5) 	
ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM
	1) 	2 điểm	2) 	2 điểm
	3) 	2 điểm	4) 	2,5 điểm
	5) x = 1999	1,5 điểm
THỐNG KÊ KẾT QUẢ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI
Tổng số học sinh khối 6
Yếu kém
Trung bình
Khá
Giỏi
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
65
15
20%
31
48%
12
20%
7
12%
 Sau khi kiểm tra các em học sinh khối lớp 6 của nhà trường tôi thấy trong cách tư duy của các em còn tồn tại một số điểm sau:
- Học sinh có nhiều em chưa biết cách giải một số bài toán đơn giản về dãy số dạng như bài kiểm tra, lời giải còn trình bày dài dòng, rắc rối.
- Học sinh chưa phát huy được tư duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòi kiến thức mới. 
2.3. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
2.3.1. Giải pháp thực hiện đề tài:
	Để khắc phục một số hạn chế như trên và để nâng cao hiệu quả trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi toán 6, tôi đưa ra một số giải pháp như sau:
2.3.1.a. Giải pháp chung:
Giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản sau:
- Củng cố lại các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc ở môn số học lớp 6. 
- Rèn học sinh thói quen quan sát, nhận dạng bài toán, phân tích nhằm phát hiện quy luật của bài toán.. 
- Rèn học sinh tính tự học, tự tìm tòi sáng tạo, biết cách tổ chức học tổ, học nhóm một cách khoa học sáng tạo để tìm ra những cách giải hay. 
2.3.1.b. Giải pháp cụ thể:
- Giáo viên đưa ra các bài tập để hướng dẫn cho học sinh cách làm cơ bản.
- Sau khi học sinh nắm được cách làm cơ bản rồi, giáo viên khai thác các bài toán vận dụng tương tự.
- Tổ chức cho học sinh thảo luận làm một số bài toán tương tự như giáo viên đã đưa ra.
- Cuối cùng giáo viên ra bài khảo sát, đánh giá kết quả để rút kinh nghiệm.
2.3.2. Tổ chức thực hiện đề tài:
2.3.2.a. Bài toán mở đầu về một số dãy số đơn giản:
Bài toán 1:	Tính 
Để tính A ta biến đổi A để xuất hiện các hạng tử đối nhau. Muốn vậy ta cần tách một thừa số trong mỗi hạng tử thành một hiệu: 
Lời giải:
Ta tổng quát thành bài toán sau:
Tính tổng: 
 A = 1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1). Với n là số nguyên dương.
Với cách làm tương tự ta có:
3A = 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +..+ n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) 
 = n(n+1)(n+2) A = 
Từ bài toán tổng quát này ta có thể đề xuất thêm 2 bài toán tính tổng sau:
 12 + 22 + 32 + + n2
 1.4 + 2.5 + 3.6 ++ n(n+3)
Lời giải:
Câu a:
 Nhận xét: n2 = n(n+1) – n
 12+ 22 + 32 + +n2 =
 =1.2 – 1 + 2.3 – 2 + 3.4 – 3 ++ n(n+1) – n
 = 1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1) – ( 1 +2 +3 ++n)
= = 
Câu b: 
 Nhận xét: n(n+3) = n(n+1) + 2n
1.4 +2.5 +3.6 ++ n(n+3) =
=1.2 +2.1 +2.3 +2.2 + 3.4 +2.3+..n(n+1) +2n
=(1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1)) + 2( 1 +2 +3 ++n)
= + = 
Lưu ý) Một số dãy số dễ dàng tính được:
Sau khi học sinh thực hiện được bài tập 1, Giáo viên có thể phát triển thành bài toán mới chẳng hạn :
- Thay đổi giá trị các thừa số trong mỗi số hạng theo quy luật như bài tập 1
- Chứng minh rằng là một số Tự nhiên hoặc chứng minh rằng A chia hết cho 3.
Khai thác bài toán 1.
Trong bài toán 1 các thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau 1 đơn vị hay cách nhau 1 đơn vị. Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ta có bài toán 2.
Bài toán 2:	Tính 
Lời giải:
 Trong bài toán 1 ta nhân A với 3. Trong bài toán 2 ta nhân A với 6. Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử:
Thay đổi số các thừa số trong tích ta có bài toán 3 
Bài toán 3:	Tính 
Lời giải:
Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán 4:
Bài toán 4: Tính 
Lời giải:
Trong bài 3 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách). 
Trong bài 4 ta nhân A với 8 . 
Như vậy để giải bài toán dạng ta nhân với 4k (4 lần khoảng cách) sau đó tách: 
 Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán 5:
Bài toán 5:	 Tính 
Lời giải:
Cách khác:
Trong bài toán này ta không nhân A với một số hạng mà tách ngay một thừa số trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. Làm tương tự với các bài toán 6:
Bài toán 6:	 Tính 
Lời giải:
Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số trong bài 6 ta có bài toán 7:
Bài toán 7:	 Tính 
Lời giải:
Bài toán 8: Tính 
Lời giải:
Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 8 ta có bài toán .
Lưu ý ) Trong bài toán 5 và 7 có thể sử dụng dãy tổng quát: 
Thay đổi số mũ của bài toán 7 ta có bài toán 9:
Bài toán 9:	 Tính 
Lời giải:
Sử dụng dãy tổng quát: và sử dụng kết quả của bài toán 8. Ta có:
Bài toán 10:	 Tính 
Lời giải:
Sử dụng dãy tổng quát: 
Ta có:
Với khoảng cách là a ta tách: .
Ở bài toán 8, 9 ta có thể làm như bài toán 6, 7.
Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán 11:
Bài toán 11: Tính	
Lời giải:
2.3.2.b. Tính tổng một số dãy số dạng phân số:
a) Ví dụ 1: Tính tổng sau: 
S = 
* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Bài toán này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là 1.2; 2.3; 3.4; ...100.101.
Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cách giải bài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biến dãy tính công thành dãy tính cộng và trừ.
Trước tiên, cho học sinh tiếp cận và chứng minh công thức tổng quát từ những bài toán đơn giản. Có thể yêu cầu học sinh thực hiện bài toán sau :
 	Chứng tỏ rằng:
Biến đổi vế trái = vế phải. Quá trình dạy học như sau :
Giải : Quy đồng mẫu số các phân số ở vế trái
* Qua đó ta sẽ có cách giải Ví dụ 1 như sau :
S = 
 = 
+) Bài toán tổng quát: 
Tính tổng: S = 
 = 
b) Ví dụ 2:
Tính tổng: P =
* Phương pháp tìm lời giải:
Ta thấy P là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là tích của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2.
VD: ; ; ;  ; 
Nên ta dễ dàng tính được tổng đã cho
* Cách giải:
P = 
 =
 = 
+) Bài toán tổng quát:
Tính tổng: P = (n lẻ)
 == 
c) Ví dụ 3: Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:
 ; ; ; ; ...
* Phương pháp tìm lời giải:
Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là:
 6; 66; 176; 336; ... Vậy trước hết ta phải viết các mẫu đó thành tích của 2 số nào đó và phải đi tìm số hạng thứ 100 của dãy.
Ta nhận thấy: 6 = 1.6 ; 66 = 11.6 ; 176 = 11.16 ; 336 = 16.21 
Ta thấy mẫu của các phân số này có quy luật là:
Tích của hai số có số tận cùng là 1 và một số tận cùng là 6.
Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị.
Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng: (5n-4)(5n+1).
=> Mẫu của số thứ 100 của dãy số: (5.100-4)(5.100+1)=496.501
Ta cần tính tổng A =
Tương tự như bài trên ta tách từng phân số thành hiệu của 2 phân số, ta nhận thấy : => 
Tương tự như vậy => 
 => 
Từ đó ta tính được tổng A một cách dễ dàng
* Cách giải:
A = 
 = 
 = ++++
 = 
 = =.=
*) Bài toán tổng quát:
A = 
 = +++
 = =.=
d) Ví dụ 4: 
Tính tổng : B =
* Hướng dẫn: Ta thấy các phân số trong tổng B đều có tử là 1 còn mẫu của các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Ta viết mỗi số hạng của tổng thành hiệu của hai số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau. Ta tách phân số bị trừ có tử là 1 còn mẫu là 2 số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cũng là 1 còn mẫu gồm có 2 số tự nhiên liên tiếp sau ( có 1 số giữa trùng nhau).
Ta thấy: 
Tổng quát ta có thể áp dụng: 
* Cách giải:
B = 
 = +++
 = 
 ==
====
* Bài toán tổng quát:
B = =
==
e) Ví dụ 5 : Tìm x biết rằng : ++++=
 Hướng dẫn tìm lời giải :
Ta thấy vế trái của đẳng thức là các phân số có cùng tử số là 1 và cùng mẫu số là tích của 2 số hơn kém nhau 3 đơn vị :
Ta xét :
 = => = 
 = => = 
 = => = 
 = => = 
Từ đó ta có cách giải bái toán ở Ví dụ 3 như sau :
Cách giải : 
 ++++=
Ta có thể viết đẳng thức đã cho như sau:
++++=
. =
. =
=.3
=
==
=
Ta có hai phân số bằng nhau với tử bằng nhau thì mẫu phải bằng nhau, tức là : x+3 = 308 => x = 308 - 3=305
2.3.2.c. Tìm tích của dãy số :
a) Ví dụ 1: Tính tích sau : A = 
*) Hướng dẫn cách tìm lời giải: Các phân số đã cho trong tích đề có tử nhỏ hơn mẫu số một đơn vị, mẫu là bình phương của một số tự nhiên n (n). Nếu để cho học sinh vận dụng quy tắc nhân các phân số thì sẽ rất phức tạp trong tính toán. Với đặc điểm trên A được viết như sau.
A = 
Vấn đề đặt ra là ta phải phân tích các phân số trên thành một tích như thế nào đó để có thể rút gọn được. Ở đây ta cần tách mỗi số của tử thành tích của hai thừa số hơn kém nhau 2 đơn vị.
VD: ; ; .... ; . 
Sau đó ta lập ra ở tử và mẫu hai dãy thừa số để có thể rút gọn được. Hướng dẫn cho học sinh rằng các thừa số thứ nhất của tử thuộc dãy các thừa số thứ nhất, còn các thừa số thứ 2 thuộc dãy các số thứ 2. Từ đó ta có kết quả bài toán.
*) Cách giải: 
A = = . .  = 
 =
*) Bài toán tổng quát:
A = . .  (n)
 = = 
b) Ví dụ 2: 
Tính tích : B =
*) Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Thực hiện phép tính trong ngoặc được tích sau: 
Các phân số này có tử nhỏ hơn mẫu 1 đơn vị, còn mẫu số chưa được viết theo một quy luật nào cả. Mẫu của 3 phân số đầu tiên có thể viết được là: 3.7; 4.7; 4.9. Các thừa số có lặp lại nhưng chưa theo một quy luật nào cả. Nhận thấy thừa số 4 và 7 được lặp lại các thừa số ở mỗi tích không có mối liên hệ với nhau. Vậy nếu có có các tích 6.7; 7.8; 8.9 thì các thừa số ở 3 mẫu của 3 phân số đầu tiên đã được viết theo một quy luật nhất định, đó là dãy hai thừa số là 2 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 6. Để có được như vậy ta phải nhân tử và mẫu của 3 phân số với 2 ta được:
 hay ta có thể viết là: 
Đến đây ta thấy tử của phân số có 2 thừa số hơn kém nhau 3 đơn vị. Nhân tử và mẫu của phân số cuối cùng với 2, rồi dựa vào nhận xét trên về tử và mẫu của 3 phân s