SKKN Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy bất đẳng thức côsi và một số bài tập áp dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH 
THÔNG QUA DẠY BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Người thực hiện: Nguyễn Thị Nhung
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Trần Mai Ninh
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán học
THANH HOÁ NĂM 2018
MỤC LỤC
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
1. Phần mở đầu
2
 1.1. Lý do chọn đề tài 
2
 1.2. Mục đích nghiên cứu
2
 1.3. Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu.
2
 1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 
3
 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
3
 I. Bất đẳng thức Côsi 
3
 II. Các quy tắc cần chú ý khi sử dụng BĐT Côsi 
3
 1. Quy tắc song hành 
3
 2. Quy tắc dấu bằng 
3
 3. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng.
4
 4. Quy tắc đối xứng
4
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
4
 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
4
 2.3.1. Đánh giá từ TBC sang TBN
5
 Dạng 1: Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi 
5
 Dạng 2: Sử dụng các kỹ thuật tách ghép, thêm bớt,phân nhóm
8
 Dạng 3: Đổi biến
14
2.3.2. Đánh giá từ TBN sang TBC
15
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường. 
18
3. Kết luận, kiến nghị	
19
Tài liệu tham khảo
20
1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1 . Lí do chọn đề tài 
	 “Bất đẳng thức Côsi ” là phần kiến thức khó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và đề tuyển sinh vào 10 
	 Tâm lí đa số học sinh cho rằng bất đẳng thức là khó nên rất ngại học, khi gặp những bài toán có yêu cầu khác biệt so với chương trình sách giáo khoa thì 
học sinh thường lúng túng, không có khả năng tưởng tượng, không định hướng được dẫn đến không có phương pháp tư duy để giải bài toán. Hơn nữa trong chương trình sách giáo khoa cơ bản viết theo yêu cầu giảm tải dẫn đến thiếu một số công cụ giải toán, số lượng bài tập về bất đẳng thức Côsi trong chương trình SGK dành cho học sinh THCS là không có, trong chương trình THPT là không nhiều và chỉ có dạng cơ bản nên học sinh không nhận diện được tất cả các dạng toán và chưa được hướng dẫn một cách hệ thống các phương pháp để giải quyết các bài toán đó. 
 Xuất phát từ lý luận và thực tiễn trên, để góp phần vào việc “ Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”, đồng thời nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức Côsi, giúp học sinh có thể tự định hướng được phương pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung. Đó là lý do tại sao tôi chọn đề tài : Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy BĐT Côsi và một số bài tập áp dụng
1.2. Mục đích nghiên cứu
	Với việc nghiên cứu đề tài này, bản thân tôi đã được nâng cao hơn về trình độ chuyên môn, nghiệp vụ. 
 	Qua sáng kiến này tôi muốn giúp học sinh:
+ Hệ thống lại các dạng bài tập và các kỹ thuật thường sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức bằng cách áp dụng BĐT Côsi
+ Phát triển các khả năng tư duy lôgic: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá...giúp các em có định hướng tốt và đúng đắn khi gặp bài toán chứng minh BĐT .
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Nghiên cứu về bất đẳng thức Côsi và một số dạng bài tập vận dụng bất đẳng thức Côsi. Những bài toán áp dụng bất đẳng thức Côsi có nội dung hấp dẫn nhưng khó giải quyết. Một trong những nguyên nhân gây khó giải quyết của nó là vì phương pháp tiếp cận , mổ xẻ vấn đề không phải là các phương pháp thông thường hay được áp dụng trong đại số. Để giải quyết phần nào những khó khăn trên, tác giả viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm cung cấp những phương pháp học và giải bài tập bất đẳng thức Côsi cho các em học sinh lớp 8, lớp 9 và các em học sinh đang học lớp 10 làm tài liệu tham khảo .
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 Trong quá trình nghiên cứu đề tài tôi đã dùng những phương pháp sau: 
- Đọc sách, nghiên cứu thu thập, xử lí tài liệu sưu tầm được.
- Điều tra, giáo viên và học sinh. Tự tìm hiểu đối tượng học sinh .
- Tổng kết đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. 
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI :
Bất đẳng thức côsi cho hai số:
Cho hai số thực không âm x, y khi đó : 
 (1) ( Sách bài tập toán lớp 9)
Dấu "=" xảy ra khi x = y
Bất đẳng thức côsi cho ba số:
Cho ba số thực không âm x, y, z khi đó: 
 (2) (Sách bài tập toán lớp9)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z
 Dạng tổng quát (n số) "x1, x2, x3 ,...,xn không âm ta có:
	Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: 
Chú ý: Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh các dạng biến đổi của BĐT Côsi 
n = 2: " x, y 0 khi đó :
n = 3: " x, y, z 0 khi đó :
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
II. CÁC QUY TẮC CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨCCÔSI
1. Quy tắc song hành: Hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giiải nhanh hơn.
2. Quy tắc dấu bằng: Dấu bằng “=” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT.
3. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thường rất hay mắc sai lầm này, áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng điều kiện của biến.
4. . Quy tắc đối xứng: Đối với các BĐT có tính chất đối xứng thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể.
	Chiều của BĐT cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ Trung bình cộng (TBC) sang Trung bình nhân (TBN) và ngược lại.
2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
	Bất đẳng thức Côsi khá là quen thuộc với thầy cô và các em học sinh khá giỏi. Nội dung bất đẳng thức Côsi được phát biểu bằng lời rất đơn giản: " trung bình cộng luôn của các số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng”. Tuy nhiên nội dung của bất đẳng thức này chỉ được giới thiệu qua trong phần "có thể em chưa biết'' trong sách Toán 8 tập hai và một mục trong bài ''Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức'' sách Đại số 10. Vì vậy thời gian dạy chính khóa cho nội dung kiến thức này là không nhiều.
	Sách giáo khoa và sách bài tập đã hệ thống các kiến thức cơ bản về bất đẳng Côsi thức nhưng chưa đầy đủ, chưa bổ sung được phần đơn vị kiến thức nâng cao. Chỉ đưa ra một số dạng toán chứng minh bất đẳng thức cơ bản. Với một số dạng bài toán phương pháp giải chưa “tự nhiên” làm cho các em học sinh cảm thấy lúng túng khi học toán, chưa phân tích được cho học sinh nhận thấy tại sao lại chọn phương pháp đó để giải quyết bài toán. 
	 Hệ thống các bài tập rèn luyện kĩ năng cho học sinh chưa nhiều.
 	 Khi giảng dạy trên lớp, hoặc bồi dưỡng học sinh khá giỏi, gặp một số bài tập bất đẳng thức tôi thấy học sinh còn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập, hay định hướng cách làm, đặc biệt là học sinh học ở mức độ trung bình. 
 	 Thực hiện việc kiểm tra một vài bài tập về nội dung đề tài thấy 
Số lượng học sinh
Điểm giỏi
Điểm khá
Điểm TB
Điểm yếu
Điểm kém
45
4
8
18
11
4
2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
	Trước vấn đề trên tôi thấy việc cần thiết phải hướng dẫn học sinh phân tích tìm tòi lời giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức nói chung và các bài toán liên quan đến BĐT Côsi nói riêng, giúp các em có định hướng đúng đắn khi gặp các dạng toán này ; đồng thời tạo hứng thú và phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình học môn toán là một việc cần thiết 
	Đề tài được trình bày dưới dạng đưa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều phân tích định hướng cách giải, đồng thời đưa ra lời giải, cuối cùng đưa ra các 
bài tập được phát triển từ bài tập đã cho hoặc các bài tập tương tự . 
CÁC DẠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG VÀ KỸ THUẬT SỬ DỤNG CỦA BĐT CÔSI
2.3.1. Đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng (TBC) 
Dạng 1: Áp dụng trực tiếp BĐT côsi
Bài 1. Cho a, b > 0 . Chứng minh rằng: 
Phân tích và tìm lời giải: Trong bài toán trên các số đều dương và dấu “ ” cho ta gợi ý đánh giá từ TBC sang TBN. Nhận thấy 4 = 2.2 gợi ý đến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 2 cặp số.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta được: 
 => (đpcm)
 Phát triển bài toán: Sau khi dạy tìm lời giải ta có thể hướng dẫn học sinh phát triển bài toán ban đầu thành bài toán mới hoặc tìm mối liên hệ giữa các bài.
Việc giải các bài toán mới đó tương tự bài toán ban đầu hoặc biến đổi về bài toán ban đầu. Chẳng hạn nếu thêm điều kiện a+b=1 ta được bài toán mới:
	Cho hai số dương a, b thỏa mãn a+b=1. 
 Chứng minh : 	
Bài 2. Chứng minh rằng nếu x, y, z là ba số dương thì: 
	(1) 
 Khi nào xảy ra đẳng thức?
Phân tích và tìm lời giải: Vế trái là tích hai nhóm, mỗi nhóm gồm ba số hạng, các số hạng của hai nhóm tương ứng là nghịch đảo của nhau. Số 9=3.3 gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Côsi cho hai nhóm, mỗi nhóm ba số sao cho khi nhân các BĐT cùng chiều thì các biến triệt tiêu kết qủa thu được là hằng số.
Lời giải: Vì x, y, z là ba số dương nên áp dụng BĐT Côsi ta được:
 (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z)
 (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ).
Do đó 
Đẳng thức xảy ra x =y = z
Phát triển bài toán: 
1. Nếu thay x,y,z lần lượt bằng x2, y2, z2 ta được BĐT 
Nếu thêm điều kiện x+y+z = 1 ta được BĐT mới: 
2. Nếu nhân khai triển ( 1) ta được BĐT: 
3. Từ BĐT(1) ta thay x=a+b, y=b+c, z=c+a và chia 2 vế cho một biểu thức ta được BĐT: 
4. Từ BĐT(1) ta thay x=a+b, y=b+c, z=c+a và nhân khai triển ta được BĐT: 
5. Từ (6) nhân hai vế với(a+b+c) rồi nhân khai triển vế trái ta được BĐT 
Các BĐT được phát triển từ bđt (1) nên cách chứng minh tương tự hoặc biến đổi về dạng BĐT(1)
Bài 3. Chứng minh rằng: 
Phân tích và tìm lời giải: Trong bài toán trên dấu “ ” gợi ý đánh giá từ TBC sang TBN. Vế trái là tích ba nhóm, mỗi nhóm có hai số hạng; 8 = 2.2.2 gợi ý đến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số.
Lời giải:
 Áp dụng BĐT Côsi ta có:
Þ(đpcm)
Lưu ý: 
* Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.
* x2 + y2 2 = 2|xy| 
Phát triển bài toán: 
Nếu abc chia cả hai vế cho a2 b2c2 ta được bài toán : CMR
 1) với abc 
 2) với abc 
Nếu thay a2 ,b2, c2 bằng a, b, c và kèm theo điều kiện ta được bài toán CMR
 3) với a, b, c là các số dương.
 4) với a, b, c là các số dương.
Nếu kèm theo điều kiện a2+ b2 +c2 =1 ta có bđt 
	5) (1-a2)(1-b2)(1-c2)8(abc)2
Nếu thay dấu nhân bằng dấu cộng các biểu thức ở bài toán ban đầu ta được 
6) a2+ b2 +c2 ab+bc+ca 
Nhận xét: 
	Đối với những bài toán có điều kiện là các biểu thức đối xứng của biến thì việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng sẽ giúp ta xử lí các bài toán chứng minh BĐT dễ dàng hơn. Dưới đây ta sẽ xét một số bài toán như vậy . 
Bài 4. Cho các số dương x, y, z thoã mãn xyz = 1. Chứng minh 
Phân tích và tìm lời giải: Số 3 ở vế phải , cùng với các biến có lũy thừa bậc 3 gợi ý cho ta áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số. Giả thiết xyz=1 nên trong quá trình chứng minh ta có thể thay 1=xyz hoặc ngược lại xyz=1
Lời giải:
Với x, y, z dương ta áp dụng BĐT Côsi ta được: 	
(vì xyz =1) đpcm
Bài 5: Cho 
 	 CMR: (1)
Phân tích và tìm lời giải: 
BĐT cần chứng minh có xuất hiện số 1 ở vế trái và kết hợp với giả thiết, ta nghĩ đến thay 1=. Hệ số 2 gợi ý áp dụng BĐT Côsi cho 2 số
Lời giải:
Bđt(1) 
Áp dụng BĐT Côsi ta được: 
	 (đpcm)
Bài 6. Cho (1)
Phân tích và tìm lời giải: BĐT cần chứng minh có xuất hiện số 1 ở vế trái nên ta nghĩ đến giả thiết thay 1= a+b+c. 
Hệ số 8 = 2.2.2 gợi ý việc áp dụng BĐT Côsi cho 2 số 3 cặp
Lời giải:
 (đpcm)
Bài toán tổng quát 1: Cho: 
Bài tập tương tự : Với a, b,c, d là các số dương CMR: 
	1) a2b + 2a ; 	 
 2) (a+1)(b+1)(c+a)(b+c) 16abc 
 3) 
 	4) " x,y > 0 
	5) (1 + a + b)(a + b + ab) 9ab " a, b 0.
	6) biết a+b+c =1, a, b, c dương.
 	Thực tế qua các đề thi ta thấy ít các bài tập dạng áp dụng trực tiếp BĐT Côsi như các bài toán nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Côsi . Các kỹ thuật thường sử dụng của bất đẳng thức Côsi là: tách, ghép, thêm bớt, đổi biến...
Dạng 2: Sử dụng các kỹ thuật: Tách, ghép, thêm bớt và phân nhóm
Bài 1. Cho hai số dương thỏa mãn a+b=1 chứng minh : 
Phân tích và tìm lời giải: Ta thấy yêu cầu bài toán giống bài toán phát triển từ 
bài 1 dạng 1, nên ta nghĩ đến sử dụng giả thiết a+b=1. Số 9=3.3 gợi ý áp dụng BĐT Côsi cho 3 số và 2cặp, vậy cần tách giả thiết và biểu thức cần chứng minh sao cho khi áp dụng BĐT Côsi ta được hai biểu thức nghịch đảo để tích các biểu thức thu được là hằng số.
Lời giải: Áp dụng BĐT côsi cho 3 số ta có:
Đẳng thức xảy ra khi a=2/3 và b=1/3
Bài 2. Chứng minh rằng: 3a3 + 17b3 18ab2 " a, b 0
Phân tích và tìm lời giải: Nhận thấy 18ab2 = 3.2.3 .a.b.b Þ gợi ý đến việc tách hạng tử 17b3 thành hai hạng tử chứa b3 để khi áp dụng BĐT Côsi ta có b2. Khi đã có định hướng như trên thì học sinh sẽ dễ dàng biết tách : 
3a3 + 17b3 =3a3 + 8b3 + 9b3 
Lời giải: 
Áp dụng BĐT côsi cho 3 số không âm ta có:
Bài 3: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 	
	( Đề khảo sát chất lượng học kỳ I môn toán 9 TP Thanh Hóa. )
Phân tích và tìm lời giải: Đề bài yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức cùng với điều kiện gợi ý áp dụng BĐT Côsi đánh giá từ TBC sang TBN. Khi đánh giá từ TBC sang TBN phải làm cho tích thu được là hằng số 
Lời giải: 
Ta có: 
Do x > 0, áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương x và 4/x ta được:
Mặt khác với mọi x => với mọi x
Dấu “=” xảy ra ó x = 2 (T/m đk) 
Vậy: GTNN của A là 2016 khi x = 2
Trong việc đánh giá từ TBC sang TBN có một kỹ thuật nhỏ hay được sử dụng. Đó là kĩ thuật tách nghịch đảo. Cở sở để ta nghĩ đến kỹ thuật này là kiến thức: " Tích hai số nghịch đảo bằng 1"
Bài 4. CMR: 	
Lời giải: 
Ta có : 
Dấu “ = ” xảy ra Û hoặc
Bài 5. CMR: 	
Phân tích và tìm lời giải: Mẫu thức trong BĐT(1) có dạng b(a-b), hạng tử đầu chỉ có a , ta cần phải thêm bớt để tách thành các hạng tử sau khi sử dụng BĐT Côsi thì kết quả thu được là hằng số. Do đó ta tách a =b +( a – b), số 3 gợi ý áp dụng BĐT Côsi cho 3 số. 
Lời giải: 
	1. Áp dụng BĐT Côsi ta được :
(1)
Dấu “ = ” xảy ra Û Û a = 2 và b = 1.
Kỹ thuật chọn điểm rơi:
Trong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến.
Bài 6. Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=3
Chứng minh rằng: (1)
Phân tích và tìm lời giải: Sử dụng giả thiết a+b+c=3 biến đổi bđt tương đương với 
 Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm; Bổ sung thêm một số hạng tử để sau khi sử dụng BĐT Côsi thì tích thu được phải là hằng số.
	 Do VT là biểu thức đối xứng nên ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1; để khử mẫu thức ta nghĩ đến thêm các biểu thức có dạng 
 Sơ đồ điểm rơi: 
Lời giải: 
BĐT (1)
Áp dụng BĐT Côsi ta được: 
Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt cần chứng minh. 
Bài tập tương tự: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = 1
Chứng minh rằng: 1)
	2) 
Bài 7: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 	
(Đề khảo sát chất lượng học kỳ I môn toán 9 TP Thanh Hóa.
Năm học 2016-2017)
Phân tích và tìm lời giải: Đề bài yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức cùng với điều kiện gợi ý áp dụng BĐT Côsi đánh giá từ TBC sang TBN. Khi đánh giá từ TBC sang TBN phải làm cho tích thu được là hằng số ; Do đó để khử mẫu ta phải làm xuất hiện các biểu thức dạng .
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi x=2 
Sơ đồ điểm rơi:
 . Do đó ta tách như sau 
Lời giải: Ta có: =
Áp dụng BĐT Côsi Cho 3 số không âm ta được:
Lại Có suy ra 
Dấu "=" xảy ra khi x=2
Vậy minA=17/4 khi x=2
Bài tập tương tự: 1. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
	2. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 8: Cho a, b, c là các số không âm thõa mãn a+b+c 3 . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của B=
( Đề thi học kỳ I môn toán 8 TP thanh Hóa. Năm học 2014-2015)
Phân tích và tìm lời giải: Do B là biểu thức đối xứng nên ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1; để khử mẫu số ta nghĩ đến thêm các biểu thức 
Sơ đồ điểm rơi:
Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta được:
Dấu "=" xảy ra khi .Suy ra a=b=c=1
Vậy GTNN của B là B = 3/2 khi a=b=c=1
Bài 9. Cho x, y, z >0 và xyz = 1. CMR P=
Phân tích và tìm lời giải: Do VT là biểu thức đối xứng nên ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1; để khử mẫu số ta nghĩ đến thêm các biểu thức 
Sơ đồ điểm rơi: 
Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta có
Vậy P = 
Bài 10. Cho a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 
Sai lầm thường gặp của học sinh là áp dụng trực tiếp BĐT Côsi cho hai số như sau: 2=2;
Dấu “ = ” xảy ra Û Û a =1 Þ vô lí vì a 2.
Phân tích và tìm lời giải: Ta chọn điểm rơi, phải tách hạng tử a hoặc hạng tử để sao cho khi áp dụng BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2. 
Có thể tách như sau: 
Þ Þ a = 4. 
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương và ta được: . Dấu “ = ” xảy ra Û a = 2.
Bài 11. Cho hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x+y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 	(Đề dự bị khối B 2006)
Phân tích và tìm lời giải: Dự đoán GTNN xảy ra khi x=y=2 dựa vào qui tắc biên, từ đó phân tích biểu thức đã cho thành các hạng tử nghịch đảo, tách và nhóm các hạng tử sao cho khi áp dụng BĐT Côsi thì tích thu được là hằng số và dấu bằng xảy ra đồng thời.
Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi ta có:
P = 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy minP = 9/2 khi x = y = 2
Bài 12. Cho Tìm giá trị lớn nhất: 
Phân tích và tìm lời giải: Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau 
do đó Max S đạt tại diểm rơi từ đó ta dự đoán Max S = . 
Þ a + b = b + c = c + a = Þ hằng số cần nhân thêm là . 
Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi ta có:
Þ 
Dấu "=" xảy ra khi a+b=b+c=c+a=và a+b+c=1. 
Vậy Max S = khi .
Bài tập tương tự: 1)Cho a 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 2) Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 3) Cho . Tìm GTNN của 
	 4) Cho x, y, z dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 P = 
Dạng 3: Đổi biến số 
	Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh hoặc khó giải, khó nhận biết được phương hướng giải, khi gặp những bài toán như vậy ta thường đặt ẩn phụ biến đổi về bài toán đơn giản hơn. Phương pháp trên gọi là phương pháp đổi biến số.
	Trước hết ta xuất phát từ BĐT đơn giản là cơ sở của phương pháp đổi biến
Bài 1. Chứng minh rằng: ; (*)
Hướng dẫn: BĐT(*) 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 
VT 
Bài 2. Chứng minh rằng: 	(BĐT Nesbit)
Hướng dẫn: Đặt : . Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức (*)
Nhận xét: Từ BĐT (*) bài 1 ta thấy nếu mẫu số là chỉ là một biến x, y, z thì ta dễ dàng tách, nhóm các hạng tử và áp dụng BĐT Côsi để được kết quả như mong muốn. Vì vậy khi gặp các bất đẳng thức có tính đối xứng mà mẫu số là biểu thức phức tạp ta thường đặt mẫu bằng các ẩn mới để đưa BĐT cần chứng minh về các BĐT đơn giản.
Bài 3. Cho ABC với là độ dài ba cạnh .chứng minh rằng : 
1) 
Hướng dẫn: 
Đặt : .
1) Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:
Û 	(1’)
Ta có : VT (1’) 
Áp dụng BBĐT Côsi cho 3 nhóm ta được BĐT cần chứng minh
Bài tập tương tự: Cho ABC với là độ dài ba cạnh , chứng minh rằng : 
 2) 
3) ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) abc
4) 
5) 
2. Đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng (TBC) 
Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN , được hiểu là thay a + b bằng a.b thì ngược