SKKN Phân tích những sai lầm của học sinh khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Hướng khắc phục

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÂN TÍCH NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - HƯỚNG KHẮC PHỤC
Người thực hiện: Tào Thị Thúy
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2017
Mục lục Trang
1. Mở đầu 02
 1.1. Lý do chọn đề tài
 03 
 Mục đích nghiên cứu
03
 Đối tượng nghiên cứu
 Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiên kinh nghiệm
. Biện pháp thực hiện và nghiên cứu thực tế của đề tài
. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận, kiến nghị
. Kết luận
. Kiến nghị
03
04
04
04
05
06
19
20
20
21
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình giải tích 12, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số có một vị trí đặc biệt quan trọng. Là một công cụ quan trọng để giải quyết hầu hết những bài toán trong các đề thi tốt nghiệp tốt trung học phổ thông quốc gia.
Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễ sử dụng khi giải toán liên quan đến khảo sát hàm số.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Các em thường mắc những sai lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của người thầy.
Chẳng hạn, với bài tập 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau đạt cực đại tại .
	Đa số các em khi giải thường mắc sai lầm sau:
+) Tập xác định: 
+) Ta có: và 
+)Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại là: 
+) Vậy để hàm số đạt cực đại tại thì .
	Sai lầm ở đây là : nếu thì hàm số đạt cực đại tại . Điều ngược lại nói chung không đúng. Vì vậy kết luận trên chưa hẳn đã chính xác.
	Đây chỉ là một sai lầm trong số rất nhiều sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi học chương ứng dụng của đạo để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, việc khắc phục những sai lầm này trong kỳ ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia hàng năm diễn ra mất rất nhiều thời gian. Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số mà không mắc phải những sai lầm đáng tiếc, tôi chọn đề tài "PHÂN TÍCH NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ - HƯỚNG KHẮC PHỤC" với hy vọng giúp các em học sinh học tập tốt hơn và các giáo viên dạy môn toán có một kinh nghiệm bổ ích.
 1.2. Mục đích nghiên cứu
 - Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải khi học chương ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Qua đó, học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề và có thể tự mình khắc phục những sai sót trong quá trình vân dụng kiến thức của đạo hàm đẻ giải các bài toán liên quan đến kiến thức của đạo hàm .
 - Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
 1.3. Đối tượng nghiên cứu
 - Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 .
 1.4. Phương pháp nghiên cứu
 - Phương pháp điều tra.
 - Phương pháp đối chứng.
 - Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
2. Nội dung
 2.1. Cơ sở lí luận của đề tài 
 Nội dung chương trình (chương I - giải tích 12 – Ban cơ bản)
 Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài)
 2. 1.1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:
 - Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc K, x1 < x2 f(x1) < f(x2).
 - Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc K, x1 f(x2).
 2.1.2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến:
 - Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tổng f(x) + g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất này nói chung không đúng với hiệu f(x) - g(x).
 - Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tích f(x)g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất này nói chung không đúng với tích f(x)g(x) khi f(x) và g(x) là hai hàm số không cùng dương trên D.
 2.1.3. Công thức tính đạo hàm:	
 Hàm số hợp có đạo hàm y ' = (*)
Công thức (*) chỉ đúng với số mũ là hằng số.
 - Nếu không nguyên thì công thức (*) chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.
 2.1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí sau:
 - Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng K.
(Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
 a. Nếu f '(x) > 0 với thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
 b. Nếu f '(x) < 0 với thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
 c. Nếu f '(x) = 0 với thì hàm số f(x) không đổi trên K
 $ Quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần.
 2.1.5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:
 - Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = và có đạo hàm trên K hoặc trên , với h > 0.
 a. Nếu f '(x) > 0 trên khoảng và f '(x) < 0 trên khoảng thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
 b. Nếu f '(x) 0 trên khoảng thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
 - Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng , với h > 0. Khi đó: 
 a. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
 b. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
 $ Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần. Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng.
 2.1.6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D:
 , 
 $ Nếu (hay ) nhưng không (hay ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó, không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D.
 $ Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép đặt 
t = u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương.
 2.1.7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x):
 - Tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) (C) có phương trình: y = f '(x0).(x - x0) + y0.
 - Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, đi qua điểm M1(x1;y1) có phương trình: 
y = k.(x - x1) + y1. Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ: (*,*)
 $ Nếu điểm M1(x1;y1) nói trên thuộc (C) thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ (*,*). Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến.
2.2. Thực trạng của đề tài
 2.2.1 Thực trạng
 Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau:
	- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
	- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
	- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.
	- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D.
	- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.
 2.2.2 Kết quả của thực trạng trên. Khi giải toán học sinh thường mắc những sai lầm sau:
 - Sai lầm trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn của hàm số, điểm làm cho hàm số không xác định.
 - Sai lầm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính xác tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến.
 - Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng sai công thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực.
 - Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi vận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng (a;b).
 - Sai lầm trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D, khi chuyển đổi bài toán không tương đương.
 - Sai lầm trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số.
 Từ những nội dung trên, để khắc phục những sai lầm mà học sinh hay mắc phải, tôi đã mạnh dạn cải tiến nội dung ,phương pháp phù hợp.
2.3. Biện pháp thực hiện và nghiên cứu thực tế của đề tài
 2.3.1. Biện pháp thực hiện
 Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
 -Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
	+ Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
	+ Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
	+ So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng.
	+ Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. 
 - Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp.
	+ Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
	+ Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. 
	+ Phương pháp: phương pháp giải toán. 
 - Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
	+ Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế. 
	+ Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
	+ Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng.
 - Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
 + Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 6 mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá.
 + Giáo viên đánh giá học sinh.
 + Học sinh đánh giá học sinh.
 - Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm thường mắc phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - bài toán liên quan . Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. 
 - Phân dạng bài tập và phương pháp giải
 - Hệ thống kiến thức cơ bản.
 - Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
 - Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
 - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng1. 
đồ thị hàm số - bài toán liên quan . Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. 
2.3.2 Nghiên cứu thực tế
* Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
Ø Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ minh họa 1: 	Xét tính đơn điệu của hàm số
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định: D=R∖-1
+) Ta có: 
+) Bảng biến thiên:
+) Hàm số đồng biến trên 
Phân tích: 
	Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán. Chú ý rằng: nếu hàm số đồng biến trên tập thì với mọi ta có . 
	Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy và thì nhưng và 
Lời giải đúng:
	Qua phân tích ta thấy để có lời giải đúng thì ta phải kết luận: Hàm số đồng biến trên từng khoảng và .
Ø Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Ví dụ minh họa 2:	Xét tính đơn điệu của hàm số 
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định: 
+) Ta có: 
	Cho 
+) Bảng biến thiên
+) Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên các khoảng và .
Phân tích: 
	Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên -2;-2 giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? . Thực ra ở đây - không phải là điểm tới hạn của hàm số.
	Mặt khác , đạo hàm không xác định tại 
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định: 
+) Ta có: 
	Đạo hàm không xác định tại 
	Cho 
+) Bảng biến thiên
+) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng và nghịch biến trên nửa khoảng 
Bài tập tương tự.
 Xét tính đơn điệu của hàm số sau.
y=x4-8x2+7 2. y=x3+3x2-9x+5
y=x+1x-2 4. y=x2+x+1x+1
y=x2-4 6. y=x-2+8-x2
 * Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
Ø Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng.
Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ bản). Chứng minh rằng: , với 
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Xét hàm số , với . 
+) Ta có: , suy ra hàm số đồng biến trên khoảng . 
+) Từ hay 
Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!). Sau khi kết luận đồng biến trên khoảng thì vì sao từ ?
Sai lầm ở đây là .
Nhớ rằng: nếu đồng biến trên đoạn (tức là liên tục trên và ) thì 
Lời giải đúng là:
+) Xét hàm số , với . 
+) Ta có: , dấu “=” chỉ sảy ra tại 
suy ra hàm số đồng biến trên khoảng . 
+) Khi đó thì hay 
Ø Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến.
Ví dụ minh họa 4: Chứng minh rằng nếu với thì .
Một số học sinh trình bày như sau:
Xét các hàm số và là các hàm đồng biến trên R. Suy ra hàm số là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên R. Vì vậy , từ hay . 
Phân tích: 
 Lời giải trên sai lầm ở chỗ: tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương (!). 
Lời giải đúng là:
+) Xét hàm số trên 
+) Ta có , dấu "=" xảy ra chỉ tại . Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng . 
+) Từ hay . 
Bài tập tương tự.
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
sinx0
sinx>x với mọi x<0
cosx>1-x22 với mọi x≠0
sinx>x-x36 với mọi x>0
sinx<x-x36 với mọi x<0
Bài 2. Chứng minh rằng
 a. sinx+tanx>2x với mọi xϵ0;π2
 b. xsinx+cosx>1 với mọi x∈0;π2
 c. ex>1+x với mọi x>0
 d. ln1+x>x-x22 với mọi x>0
* Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm
Ø Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm.
Ví dụ minh họa 5: Tính đạo hàm của hàm số .
Một số học sinh trình bày như sau:
Ta có .
Phân tích: 
Lời giải trên đã vận dụng công thức . Vận dụng như vậy là sai, vì 
công thức này chỉ áp dụng cho số mũ là một hằng số. 
Lời giải đúng là:
+) Điều kiện: khi đó 
+) Ta có 
+) Do đó 
Ø Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
 Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức , αϵR, nhưng quên rằng nếu như không nguyên thì công thức này chỉ đúng khi nhận giá trị dương.
Ví dụ minh họa 6: Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ .
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Với thì 
+) Ta có 
+) Hệ số góc của tiếp tuyến là 
+) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hay .
Phân tích: Sai lầm ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết và là không đúng .
 Lời giải đúng là:
+) Với thì 
+) Ta có 
+) Hệ số góc của tiếp tuyến là 
+) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hay .
Bài tập tương tự.
 Tính đạo hàm của hàm số sau trên tập xác định của nó
y=3x 2. y=5x-3
y=72x-14 4. y=xx
y=x2x-1
* Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
Ø Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
 Ÿ hàm số đồng biến trên khoảng .
 Ÿ hàm số nghịch biến trên khoảng .
Điều ngược lại nói chung là không đúng .
Ví dụ minh họa 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
 đồng biến trên R
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định: D=R
+) Ta có : . 
+) Hàm số đồng biến trên R⇔f'x>0,∀x∈R⇔a>0∆'0m2-3<0⇒-3<m<3 
Phân tích: Chẳng hạn, hàm số đồng biến trên R, nhưng f'(x)=3x2≥0,∀x∈R, dấu "=" xảy ra chỉ tại . 
	Nhớ rằng: nếu hàm số xác định trên khoảng , và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng . 
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định: D=R.
+) Ta có : . 
+) Hàm số đồng biến trên R⟺f'(x)≥0,∀x∈R⟺a>0∆'≤0 hay 
Ø Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
 Ÿ là điểm cực tiểu
 Ÿ là điểm cực đại
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại ?
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Ta có: và 
+) Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại là: hệ vô nghiệm
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại .
Phân tích: 
Chẳng hạn, với , hàm số có dạng .
Ta có: 
Bảng biến thiên:
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Vậy lời giải trên sai ở đâu ?
 Nhớ rằng, nếu thỏa mãn là điểm cực đại của hàm số, còn điều ngược lại thì chưa chắc đúng (!) Vì nếu là điểm cực đại thì vẫn có thể Lí do là điều kiện chỉ là điều kiện đủ để hàm số nghịch biến trong lân cận , khi đó: là điểm cực đại của hàm số.
Lời giải đúng là:
+) Ta có: 
+) Nếu thì . Khi đó hàm số đã cho là hàm hằng nên không cực trị.
+) Nếu thì 
	v Với ta có bảng biến thiên:
	v Với ta có bảng biến thiên:
+) Vậy với thì hàm số đạt cực đại tại 
Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại .
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định: D=R
+) Ta có: và 
+) Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là: hệ trên vô nghiệm m.
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại .
Phân tích: 
Chẳng hạn , với , hàm số có dạng 
Ta có 
Bảng biến thiên:
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại .
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định: D=R
+) Ta có: 
+) Cho trong đó là nghiệm bội bậc chẵn
	v Nếu thì trở thành nghiệm bội bậc lẻ nên ta có bảng biến thiên:
	v Với thì nên ta có bảng biến thiên:
	v Với thì nên ta có bảng biến thiên:
+) Vậy với thì hàm số đạt cực tiểu tại 	
Bài tập tương tự.
 Bài 1. Tìm m để hàm số: y=x3+3x2+m+1x+4m đồng biến trên R.
 Bài 2. Tìm m để hàm số: y=m-13x3+mx2+3m-2x nghịch biến trên R.
 Bài 3. Cho hàm số: y=x4+mx. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=0.
 Bài 4. Cho hàm số: y=x3-3mx2+3(m2-1)x-(m2-1). Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x=1.
 Bài 5. Tìm m để fx=x3-3mx2+m-1x+2 đạt cực tiểu tại x=2.
 Bài 6. Tìm m để fx=mx3+3mx2-m-1x-1 không có cực trị.
* Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Ø Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.
Ví dụ minh họa 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
.
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Đặt .
+) Ta được hàm số: gt=t2+2t-3=t+12-4≥-4,∀t∈R
 +) Vậy khi hay khi 
Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương. Giá trị nhỏ nhất của hàm không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm gt,∀t∈R.
Có thể thấy ngay khi thì không tồn tại giá trị của để Nhớ rằng, số 
Lời giải đúng là: 
+) Đặt với 
+) Ta có . 
	Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
+) Mặt khác 
+) Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với 
+) Ta có 
+) Bảng biến thiên: 
+) Vậy khi hay khi 
⟺cosx=-1⟺x=π+k2π,k∈Z
Bài tập tương tự
 Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
y=sinx+1sin2x+sinx+1
y=sinx+cosx+sinxcosx
y=sin4x+cos4x+sinxcosx+1
y=x+1-3-x-x+13-x
y=2cos2x+cosx+1cosx+1
* Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ví dụ minh họa 11: Cho hàm số , có đồ thị (C). 
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm 
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Ta có: .
+) Vì điểm nên suy ra phương 
trình tiếp tuyến là: 
 hay .
Phân tích: 
 Phương trình tiếp tuyến là 
tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)
tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể 
có tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A mà 
không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng là:
+) Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc là: 
+) Điều kiện để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau c