SKKN Phân tích những sai lầm của học sinh để khắc sâu kiến thức và hướng khắc phục sai lầm khi học chủ đề giới hạn

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Đề cập đến vai trò của chủ đề Giới hạn Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 đã viết: “Trong đó, Giới hạn là một trong các vấn đề cơ bản của Giải tích. Có thể nói không có Giới hạn thì không có Giải tích, hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan đến Giới hạn” [1]. 
Khi học sinh tiếp thu các tri thức của giới hạn đã xảy ra quá trình biến đổi về chất trong nhận thức của học sinh. Khái niệm giới hạn chính là cơ sở cho phép nghiên cứu các vấn đề gắn liền với “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên”. Do vậy, nắm vững được nội dung khái niệm giới hạn là khâu đầu tiên, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng vững chắc, có hiệu quả các kiến thức giải tích toán học ở phổ thông. 
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến giới hạn. Các em thường mắc những sai lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của người thầy.
Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về chủ đề giới hạn, có kỹ năng giải các bài toán liên quan về giới hạn, tôi chọn đề tài "Phân tích những sai lầm của học sinh để khắc sâu kiến thức và hướng khắc phục sai lầm khi học chủ đề giới hạn".
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề.
Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
Gúp cho học sinh hiểu rõ bản chất và tránh nhứng sai lầm trong chủ đề giới hạn.
Tạo ra hứng thu cho học sinh trong quá trình học môn toán nói chung và chủ đề giới hạn nói riêng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Lý thuyết và các dạng toán liên quan đến giới hạn hàm số, giới hạn dãy số - chương IV, Đại số và Giải tích lớp 11 chương trình nâng cao .
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 Phương pháp điều tra, phương pháp đối chứng, phương pháp nghiên cứu tài liệu.
1.5. Những điểm mới của SKKN.
Tôi có tham khảo một số sách giáo khoa, sách tham khảo như Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán của tác giả Trần Phương, Nguyễn Tấn Đức; Nhà xuất bản Hà Nội, năm 2004. Tôi thấy tác giả cũng đã tìm hiểu những sai lầm và nguyên nhân một cách chung nhất khi giải toán. 
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi tập trung nghiên cứu sâu hơn những dạng sai lầm và nguyên nhân trong chủ đề giới hạn.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận.
2.1.1. Các định nghĩa về giới hạn của dãy số và hàm số.
a) Dãy số
Mọi đều nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mọi đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mọi đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
b) Hàm số
Giả sử và f là một hàm xác định trên có thể trừ .
+ Với mọi dãy trong mà ta đều có .
+ Với mọi dãy trong mà ta đều có .
Giả sử hàm số f xác định trên , .
 Với mọi dãy trong mà ta đều có 
 .
, , , , , , , , , , , , ,
Được định nghĩa tương tự.
2.1.2. Các định lý về giới hạn của dãy số và hàm số.
a) Dãy số
Nếu thì , , (nếu với mọi n)
Nếu , thì 
 ; .
 (c là hằng số; (nếu ).
b) Hàm số
Nếu thì , , (nếu với mọi n)
Nếu , thì 
 ; .
 (c là hằng số; (nếu ).
2.2.3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.
a) Dãy số
Nếu , thì được cho trong bảng sau:
Nếu , thì được cho trong bảng sau:
Dấu của L
+
-
+
-
Nếu và hoặc kể từ một số hạng nào đó trở đi thì được cho trong bảng sau:
Dấu của L
Dấu của 
+
+
+
-
-
+
-
-
b) Hàm số
Nếu , thì được cho trong bảng sau:
Dấu của 
+
-
+
-
Nếu , và hoặc với mọi , trong đó J là một khoảng nào đó chứa thì được cho trong bảng sau:
Dấu của L
Dấu của 
+
+
+
-
-
+
-
-
2.2. Thực trạng của vấn đề
	Qua thực tế giảng dạy và dự giờ giảng dạy môn Toán ở trường THPT, tôi thấy: Chủ đề giới hạn là một trong những chủ đề khó của Giải tích THPT. Ngay cả đối với học sinh khá khi tiếp cận với với ngôn ngữ giải tích như “lớn hơn một số dương bất kỳ”, “x dần về a”, “dãy số dần ra vô cực”, ... học sinh thường khó hiểu hoặc hiểu sai lý thuyết. 
Trong thực tế, khi làm bài tập thì học sinh gặp những khó, sai lầm:
 - Không nắm vững định nghĩa về giới hạn dãy số, giới hạn hàm số.
 - Không nắm vững tính chất, định lý, quy tắc tính giới hạn dãy số, giới hạn hàm số.
 	- Thiếu một số kĩ năng trong tư duy, nhận thưc, kĩ năng tính toán, kỹ năng biến đổi, kĩ năng vận dụng lý thuyết vào bài tập.
2.3. Các giải pháp thự hiện.
2.3.1. Giải pháp chung
 	 Như ta đã biết, sai lầm không phải là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên, theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia nhưng lại là sai lầm hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được, chúng sẽ được tạo nên từ những chướng ngại.
 	 Những sai lầm sinh ra từ một chướng ngại thường tồn tại rất dai dẳng và có thể tái xuất hiện ngay cả sau khi chủ thể đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm ra khỏi hệ thống nhận thức của mình. Vì vậy giúp học sinh tìm ra các sai lầm, phân tích nguyên nhân dẫn đến các sai lầm và tìm cách khắc phục những khó khăn sai lầm đó trong quá trình lĩnh hội khái niệm là việc làm mang nhiều ý nghĩa quan trọng trong quá trình dạy học.
 	 Từ việc phát hiện những khó khăn và chướng ngại của từng tri thức Toán học, giáo viên có thể dự đoán được những sai lầm thường gặp ở học sinh khi lĩnh hội tri thức này.
Qua phân tích những khó khăn, sai lầm của học sinh khi học phần giới hạn, từ đó:
Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
Rèn luyện cho học sinh kĩ năng mặt tư duy...
Rèn luyện cho học sinh kĩ năng tính toán, biến đổi... 
Tăng khả năng phán đoán, khả năng học sinh tự học. 
Phân dạng bài tập và phương pháp giải
Đưa ra các dự đoán sai lầm.
Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
 	- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế. 
 	- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
 	- Giáo viên đánh giá học sinh.
 	- Học sinh đánh giá học sinh.
2.3.2. Các dạng sai lầm, nguyên nhân và cách khắc phục.
	Thực tiễn cho thấy trong quá trình học tập học sinh thường gặp phải các khó khăn sai lầm sau:
a. Khó khăn sai lầm về kiến thức liên quan đến việc nắm bản chất của khái niệm, định lý. 
Ví dụ 1: "Tính giới hạn " [1].
Sai lầm thường gặp:
	 không tồn tại.
Nguyên nhân sai lầm:
	Ngay sau khi học xong khái niệm Giới hạn hàm số (mà chưa học đến các định lý về Giới hạn và hàm số f(x) liên tục) thì học sinh cho rằng việc tìm Giới hạn của f(x) khi xa rất đơn giản: chỉ việc thay x = a và tính f(a). Khi đó f(x) =f(a) điều này phản ánh rằng học sinh chưa hiểu bản chất kí hiệu lim. 
	Trong ví dụ này học sinh thường chưa hiểu bản chất giới hạn, chỉ thay x = 2 vào để cho kết quả, suy nghĩ kiểu như vậy dẫn đến cho rằng không tồn tại. 
Lời giải đúng:
	Với , Ta có 
	Do đó 	
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
	- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn hàm số;
	- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
	- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn dạng 
Ví dụ 2: Tính giới hạn 
Sai lầm thường gặp:
	Học sinh cho rằng: = f(9) = = 0
 vậy = 0
Nguyên nhân sai lầm:
	Thực ra thì hàm số f(x) = không có giới hạn tại x = 9
vì tập xác của hàm số f(x): , tức tập xác định là K = . Do đó không thể áp dụng định nghĩa f(x) được vì không thể lấy bất kỳ dãy nào cả để thõa mãn điều kiện của định nghĩa đó là: xn K , xn 9 mà 9, nên hàm số đã cho không có Giới hạn tại x = 9.
Lời giải đúng:
	 không tồn tại. 
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
	- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số;
	- Ví dụ này để cho học sinh xem xét đồng thời những đối tượng thõa mãn các định nghĩa khái niệm và định lí (qua các ví dụ) và các đối tương không thõa mãn một trong các khái niệm định nghĩa, định lí (xét phản ví dụ) qua đó làm sáng tỏ cho học sinh hiểu và nắm vững bản chất của một khái niệm. 
b. Khó khăn sai lầm về hình thức (như hiểu sai công thức, kí hiệu).
 Ví dụ 1: "Tính giới hạn " [1].
Sai lầm thường gặp:
	 = ;
hoặc = ;
hoặc = 
 .
Nguyên nhân sai lầm:
	Với một số sách cũ của nước ta là chỉ sử dụng có kí hiệu là để viết Giới hạn vô cực của dãy số. Nên tùy vào từng trường hợp mà kí hiệu này, có thể được hiểu theo các cách khác nhau như + hoặc . Vì vậy, nên khi xét giới hạn vô cực của dãy số phải xét cụ thể chỉ rõ ràng, giới hạn + hay giới hạn tức là un = + hoặcun =. Do là một tập hợp sắp thứ tự nên không thể kết luận chung chung giới hạn là hay viếtun=. Bản chất của +và không phải là những số thực cụ thể rất lớn nào đó, mà đúng ra nói đến lân cận của +tức là khoảng ( a ; +) và lân cận của là khoảng (; a) với , do đó không thể thực hiện các qui tắc hay phép toán đại số trên chúng.
	Chẳng hạn: nếu = L và = + nhưng không thể viết .
 	Nhưng kết quả giới hạn (nếu có) của dãy số un có thể là: Giới hạn hữu hạn ( 0, hằng số L0 ) hoặc giới hạn vô cực (), nên ta có thể xem kí hiệu + và như là giới hạn của dãy số. Như vậy, khi thực hành trong giải toán học sinh dễ bị lẫn lộn, giữa hai khái niệm ''giới hạn hữu hạn'' và ''giới hạn vô cực'', trong việc biến đổi các phép toán về giới hạn và dẫn đến sai lầm trong kí hiệu như: 
 ( +) - ( + ) = 0 ? ; 0 . = 0 ?... 
Lời giải đúng:
Ta có với mọi n.
Do đó 
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
	- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn hàm số;
	- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
	- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn dãy số.
c. Khó khăn sai lầm liên quan đến thao tác tư duy.
Ví dụ 1: "Tính giới hạn " [4].
Sai lầm thường gặp:
Do 
Nên =0+0+...+0=0.
Nguyên nhân sai lầm:
	Phép toán tổng, hiệu các giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn các số hạng.
Lời giải đúng:
Do
Nên 
mà 
Do đó 
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
	Củng cố các định lý về giới hạn dãy số;
d. Khó khăn sai lầm liên quan đến kỹ năng vận dụng các định nghĩa, định lý, công thức.
 Hiện nay ở trường THPT, nhìn chung tính tích cực, sánh tạo, của học sinh còn yếu. Học sinh ở các trường chuyên lớp chọn còn có ý thức tự học tự độc lập suy nghĩ để sáng tạo tự tìm tòi lời giải cho các bài toán, tự mình giải quyết các nhiệm vụ học tập, còn đại đa số học sinh thì ỷ lại thầy cô, sách giải bài tập, thiếu tính xem xét, phân tích đào sâu hay mở rộng việc khai thác các định lý dạng bài tập cơ bản, dẫn đến học tập một cách máy móc, rập khuôn, không phát huy kỹ năng sáng tạo và không rèn được kỹ năng kỹ xảo giải bài toán cho nên khi giải toán thừơng gặp các khó khăn sai lầm.
Ví dụ 1: Tính giới hạn .
Sai lầm thường gặp:
	Học sinh cho ngay kết quả: = 
Nguyên nhân sai lầm:
	Học sinh thiếu kỹ năng vận dụng định nghĩa.
Lời giải đúng:
 = và = +.
Vậy không tồn tại.
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
	- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới một bên;
	- Củng cố các định lý về điều kiện có giới hạn;
	- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn hàm số. 
Ví dụ 2: Tính giới hạn .
Sai lầm thường gặp:
 = = 0+0+... +0 = 0.
Vậy .
Nguyên nhân sai lầm:
	Các định lý về phép toán Giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn số hạng. Trong lời giải trên đã áp dụng cho Giới hạn của tổng vô hạn các số hạng nên đã dẫn đến sai lầm.
Lời giải đúng:
 Ta có: 
 Do đó: = = = = 
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
	- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
	- Chú ý: Tổng vô hạn các đại lượng có Giới hạn 0 chưa chắc đã có Giới hạn 0 (tức là các phép toán Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương chỉ phát biểu và được sử dụng cho hữu hạn các số hạng.
	- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn dạng 
Ví dụ 3: "Tính giới hạn " [1].
Sai lầm thường gặp:
	Xét dãy số .
	Ta có: u1 , u2 = , u3 = ,  
	Suy ra dãy số không tăng cũng không giảm.
	Vậy không tồn tại giới hạn.
Nguyên nhân sai lầm:
	Định lý về dãy đơn điệu bị chặn thì có giới hạn chỉ là nêu lên điều kiện đủ mà không phải là điều kiện cần để dãy số có giới hạn. 
 Lời giải đúng:
Ta có và = 0.
Nên = 0. 
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
	- Củng cố lại bản chất định nghĩa dãy số có giới hạn 0;
	- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn dãy số. 
	- Mặt khác cũng cần lưu ý rằng: Những số hạng đầu tiên của dãy số không ảnh hưởng tới sự tồn tại giới hạn của dãy số.
Ví dụ 4: Tính giới hạn .
Sai lầm thường gặp:
	Học sinh đã áp dụng sai, nhầm lẫn tính chất: 
	Nếu un= L và vn= thì 
	Tức: Với un = (-1)n , vn = thì .
Nguyên nhân sai lầm:
	Kết quả thì vẫn đúng nhưng nhầm lẫn ở đây là(-1)n không có giới hạn
Lời giải đúng:
	Ta có: và = 0.
 	Vậy = 0.
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
	- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
	- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn dãy số. 
Ví dụ 5: Tính giới hạn 
Sai lầm thường gặp:
	Ta có và . 
	Vậy theo định lí về Giới hạn của tổng hai hàm số thì: 
 = 0. 
Nguyên nhân sai lầm:
	Thực ra nhưng hàm số f(x) = không có Giới hạn tại x = 1 bởi lẽ biểu thức chỉ có nghĩa duy nhất tại điểm x = 1 nên tập xác định của f(x) là K=. 
	Do đó không thể định nghĩa được, vì không thể lấy bất kì dãy nào với , mà dần tới 1 được.
Lời giải đúng:
	Xét hàm số f(x) =
	Tập xác định của f(x) là K=. 
	Do đó hàm số không có giới hạn.
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
	- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn hàm số;
	- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn hàm số. 
Ví dụ 6: " Tìm giới của hàm số f(x) = 
Tìm " [3].
Sai lầm thường gặp:
	Rất nhiều học sinh suy nghĩ rằng do do đó .
Nguyên nhân sai lầm:
	Học sinh chưa biết vận dụng định nghĩa giới hạn một bên.
Lời giải đúng:
	Ta có và 
	Do đó 
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
	- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn một bên;
	- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
	- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn một bên. 
e. Khó khăn sai lầm liên quan đến kỹ năng biến đổi:
 Ví dụ 1: "Tính giới hạn " [1].
Sai lầm thường gặp:
	Học sinh giải: .
	Do đó 
	Kết quả trên là đúng nhưng thật sai lầm khi biến đổi đồng nhất dấu bằng không thể xảy ra, vì chúng có tập xác định hoàn toàn khác nhau. 
Nguyên nhân sai lầm:
	Kết quả trên là đúng nhưng thật sai lầm khi biến đổi đồng nhất dấu bằng không thể xảy ra, vì chúng có tập xác định hoàn toàn khác nhau. 
Lời giải đúng:
	Với ta có: .
	Do đó 
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
	- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn hàm số;
	Cần hiểu bản chất là chọn dãy xn , xn 
 Do đó 	
- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
	- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn dạng 
Ví dụ 2: Tính giới hạn .
Sai lầm thường gặp:
	 = 
 = = 
Nguyên nhân sai lầm:
	Học sinh thường hay nhầm lẫn khi đưa biểu thức ra khỏi dấu căn dạng , kết quả trên chỉ đúng khi x +.
Lời giải đúng:
	Ta có và , với . 
	Khi đó .
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
	- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn hàm số;
	- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
	- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn hàm số. 
g. Khó khăn sai lầm liên quan đến định hướng kĩ năng tính toán.
Ví dụ 1: Tính giới hạn .
Sai lầm thường gặp:
	Ta có:
	==
đến đây gặp dạng vô định và học sinh tính toán tiếp để khử dạng vô định này bằng cách cùng nhân và chia cả tử và mẫu với cặp biểu thức liên hợp có dạng phân thức và sẽ rất phức tạp, khó khăn trong tính toán thường dẫn đến kết quả sai.
Nguyên nhân sai lầm:
	Học sinh không có thói quen định hướng và xác định dạng, trước khi biến đổi tính toán đại số.
Lời giải đúng:
Ta có = 
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
	- Rèn luyện thói quen định hướng và xác định dạng, trước khi biến đổi tính toán đại số, nếu ngay từ đầu xác định được khi nthì tử số và mẫu số đều có dạng vô định (-) thì ta phải khử dạng vô định này trước.
	- Khi tìm Giới hạn, một số học sinh không có thói quen xác định đúng dạng thuộc loại vô định nào trước khi định hướng biến đổi tính toán đại số, do đó xem các dạng: (-) + (-), (+) + (+), (+) - (-), (-) - (+) đều thuộc dạng vô định là () - (), nên hay áp dụng các kỷ thuật tính toán khử dạng vô định này để giải. Đôi khi việc áp dụng cho phép tính được kết quả Giới hạn, nhưng đa số các trường hợp khác chỉ dẫn tới các dạng vô định loại khác nữa, chẳng hạn: 
	a) Tìm giới hạn (x2 – x) = = = +;
	b) tìm nếu cứ thực hiện biến đổi
(dạng)
 Nên đối với những dạng đó nếu hiểu được bản chất thì sẽ có ngay đáp số:
 a) (x2 – x) = x2 - x = +
 b) = x = +
 Hoặc có thể xét như sau, cụ thể:
 a) (x2 – x) = 
 b) = 
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận 
Đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về giớ hạn và những kiến thức liên quan , học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời, qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình ; học sinh có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làm toán. Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của chương Giới hạn nói riêng.
Qua đề tài cũng đã chỉ ra một số yếu kém trong việc tiếp thu tri thức giới hạn, đã phân tích những nguyên nhân của sự yếu kém đó. Từ những hạn chế mà học sinh gặp phải khi giải quyết các vấn đề giới hạn của học sinh để cho các nhà giáo dục có các biện pháp để giúp học sinh nâng cao hiểu biết về giới hạn. Trên cơ sở đó tôi đã mạnh dạn đề xuất một số phương pháp nhằm nâng cao hiệu quả cho học sinh THPT khi tiếp thu khái niệm giới hạn.
Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy.
3.2. Kiến nghị
Trong quả trình giảng dạy, khi thực hành cần cho học sinh trao đổi, so sánh kết quả, tìm ra nguyên nhân sai lầm và hướng khắc phục sau đó giáo viên mới tổng hợp và kết luận.
Hoàn toàn tương tự ta có thể làm cho các chuyên đề khác trong môn Toán THPT.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân được đúc kết trong quá trình giảng dạy, sẽ có nhiều thiếu sót mong quý thầy cô đóng góp ý kiến để cho đề tài được hoàn thiện và đi vào áp dụng. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Nguyễn Văn Thủy
Thanh Hóa, ngày 11 tháng 04 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Trịnh Xuân Thanh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Đại số và Giải tích nâng cao 11; Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan(Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng; Nhà xuất bản Giáo Dục; năm 2006.
Đại số và Giải tích nâng cao - Sách giáo viên 11; Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan(Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng; Nhà xuất bản Giáo Dục; năm 2006.
Bài tập Đại số và Giải tích nâng cao; Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan(Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng; Nhà xuất bản Giáo Dục; năm 2006.
Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán; Trần Phương, Nguyễn Tấn Đức; Nhà xuất bản Hà Nội; năm 2004.
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trịnh Xuân Thanh
Chức vụ và đơn vị công tác: Phó hiệu trưởng, trường THPT Hà Trung.
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại
(A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Khái quát hóa, tổng quát hóa, đặc biệt hóa từ bài toán quen thuộc.
Ngành GD cấp tỉnh Thanh Hóa.
C
2003 - 2004
Hướng dẫn học sinh dùng ẩn phụ trong giải toán
Ngành GD cấp tỉnh Thanh Hóa.
C
2005-2006
Phát huy tính tích cực tự giác của học sinh thông qua thay đổi cách phát biểu của bài toán 
Ngành GD cấp tỉnh Thanh Hóa.
C
2016 -2007
Vận dụng PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học sách giáo khoa mới môn Hình học lớp 10.
Ngành GD cấp tỉnh Thanh Hóa.
B
2017-2008
Dùng ước lượng hình học để giải các bài toán cực trị trong hình giải tích qua đó phát huy tính tích cực, chủ động, tự giác của học sinh.
Ngành GD cấp tỉnh Thanh Hóa.
B
2012 - 2013
Dùng ước lượng hình học để giải bài toán cực trị trong hình giải tích qua đó phát huy tính tích cực, chủ động, tự giác của học sinh. 
Cấ