SKKN Nâng cao chất lượng môn Toán bằng cách rèn kỹ năng giải các dạng toán về số nguyên tố cho học sinh lớp 6 trường THCS Hà Dương

 I.MỞ ĐẦU 
 1.Lý do chọn đề tài: 
Toán học là một trong những môn khoa học ra đời từ rất sớm trong lịch sử phát triển của xã hội loài người. Cùng với sự phát triển của Toán học các môn khoa học khác cũng dần được phát triển. Trong chương trình phổ thông Toán học giữ một vai trò hết sức quan trọng. Đây là môn học tương đối khó mang tính tư duy cao đòi hỏi người học phải chịu khó tìm tòi, khám phá và say mê nghiên cứu. Với đặc thù là môn khoa học tự nhiên, Toán học không chỉ giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi và khám phá tri thức. Vận dụng những hiểu biết của mình vào trong thực tế, cuộc sống mà toán học còn là công cụ giúp các em học tốt các môn học khác và góp phần giúp các em phát triển một cách toàn diện.Từ vai trò quan trọng đó mà mỗi giáo viên dạy Toán cần biết phát huy tính tích cực của học sinh, kích thích được niềm yêu thích, say mê Toán học của mỗi học sinh, giúp các em học sinh khá, giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức... Chính vì vậy mà việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh trong giờ học và những giờ ngoại khoá là rất cần thiết và càng cần thiết hơn đối với học sinh đầu cấp, đó là học sinh lớp 6.
Nhiều năm học tôi được nhà trường phân công giảng dạy môn toán ở trường THCS Hà Dương. Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ các thầy cô giáo trong trường và qua các bài kiểm tra, các bài thi của học sinh giỏi trong nhà trường, bản thân tôi nhận thấy một số các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập về số nguyên tố. Nhiều em còn rất mơ hồ về định nghĩa và các tính chất của số nguyên tố. Sở dĩ như vậy vì phần toán về số nguyên tố trong sách giáo khoa từ 6 lên 9 không đề cập nhiều về vấn đề này. Chỉ trong sách Toán 6 có nêu định nghĩa về số nguyên tố một số dạng toán đơn giản. 
Nếu như các em học sinh không nắm chắc định nghĩa và tính chất của số nguyên tố thì việc vận dụng nó để giải các dạng toán có liên quan và hình thành kiến thức mới trong quá trình học Toán là một vấn đề khó khăn.
Ngoài những bài toán ở dạng cơ bản có thể giải quyết bằng các phương pháp thông thường cần phải nắm một số phương pháp khác và biết vận dụng các phương pháp này khi gặp các dạng toán khó.
Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính tư duy độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức mới, ham thích bộ môn toán và giải được các dạng bài tập liên quan đến số nguyên tố. Với mục đích nâng cao chất lượng học tập của học sinh do mình phụ trách giảng dạy, giúp các em đạt kết quả tốt trong các kỳ thi vì thế tôi đã chọn và đi sâu nghiên cứu đề tài " Nâng cao chất lượng môn Toán bằng cách rèn kỹ năng giải các dạng toán về số nguyên tố cho học sinh lớp 6 trường THCS Hà Dương" với mong muốn giúp cho học sinh của mình nắm vững định nghĩa và tính chất của số nguyên tố, biết phát hiện và áp dụng các phương pháp giải phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau, qua đó dần dần hình thành được các kỹ năng giải Toán cho các em, giúp các em giải quyết được các dạng toán liên quan trong các lớp học sau đó.
2. Mục đích nghiên cứu:
Bộ môn toán lớp 6 có vị trí rất quan trọng trong chương trình Toán THCS. Đây là tiền đề về các kiến thức toán để các em lĩnh hội tiếp các kiến thức của các lớp trên. Chính vì vậy tôi muốn hướng dẫn các em làm thành thạo và nắm chắc nội dung kiến thức về số nguyên tố.
Sáng kiến được nghiên cứu trên thực tế hướng dẫn học sinh khai thác các bài tập trong chương trình toán 6. Khi dạy các tiết luyện tập giáo viên hay xem nhẹ các bài toán dễ hoặc GV giao cho các em về nhà làm. Do đó, học sinh nắm bắt một cách thụ động nên khi làm bài tập thường hay lúng túng, không có căn cứ, thiếu cơ sở, lời lẽ lủng củng, dài dòng, trình bày thiếu logic.
Do vậy, việc cải tiến phương pháp dạy học là cần thiết nhằm tích cực hóa hoạt động của học sinh, tạo động cơ, gây hứng thú cho học sinh khi học toán để nâng cao chất lượng môn toán.
Để học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản khi học và vận dụng tốt vào giải các bài tập thì người giáo viên cần phải nghiên cứu suy nghĩ, tìm tòi phương pháp thích hợp: Đề ra các câu hỏi đào sâu những vấn đề lí thuyết, phát triển năng lực suy luận và chứng minh. Giúp học sinh có thể tự mình giải quyết được các bài tập khó trong SGK và các tài liệu khác.
3.Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài này tôi tập trung nghiên cứu về số nguyên tố và các dạng toán áp dụng về số nguyên tố.
Để tiến hành đề tài này tôi đã nghiên cứu và áp dụng cho chủ yếu là HSG ở tất cả các khối 6, 7, 8, 9 trong các năm học qua.
Đề tài này là tài liệu học tập tốt cho HSG cấp THCS và là tài liệu tham khảo cho các thầy, cô giáo và phụ huynh HS nói chung.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu bản thân tôi đã vận dụng phương pháp nghiên cứu đã học như: phương pháp đổi mới “ lấy học sinh làm trung tâm”, đó là phương pháp phân tích, tổng hợp, đánh giá.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu tài liệu để làm cơ sở lý luận.
-Phương pháp kiểm tra: kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống kê so sánh, đối chiếu kết quả hoạt động khi chưa áp dụng và đang áp dụng đề tài. Từ đó kiểm nghiệm mức độ thành công của đề tài.
- Nghiên cứu hoàn cảnh, môi trường, điều kiện học tập của học sinh.
- Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thong tin phản hồi
- Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê.
 Hệ thống hóa tài liệu, đối chiếu, nghiên cứu thêm các tài liệu có liên quan để chọn lọc những kiến thức cơ bản, trọng tâm, làm tư liệu mới, chính xác nhất, học hỏi thêm kinh nghiệm của những đồng nghiệp có dày dặn kinh nghiệm để làm kinh nghiệm bản thân.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Toán học có vai trò quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa học. Ngay từ thế kỷ 13, nhà tư tưởng Anh R. Bêcơn (R. Becon) đã nói rằng “ Ai không hiểu biết toán học thì không hiểu biết bắt cứ một khoa học nào khác và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình”. Đến giữa thế kỷ 20, nhà bác học vật lý nổi tiếng ( P. Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lý thuyết vật lý “ không được tin vào mọi khái niệm vật lý”, mà phải “ tìm vào sơ đồ toán học, ngay cả khi sơ đồ này thoạt đầu có thể không lien hệ gì với vật lý cả”. Sự phát triển của các khoa học đã chứng minh lời tiên đoán của C.Mac (K. Marx): “ Một khoa học không chỉ thực sự phát triển nếu nó sử dụng được phương pháp của toán học”.
Mục tiêu cơ bản của giáo dục nói chung, của nhà trường nói riêng là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện , có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng các yêu cầu thực tế hiện nay. Để thực hiện mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quy trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh.
Đồng thời bản thân mỗi giáo viên phải tự giác, tích cực tìm ra những phương pháp dạy học mới, khắc phục lỗi truyền thụ một chiều, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là môn học có tính đặc thù cao là môn toán.
Trong thời đại hiện nay nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoa học hiện đại. Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học sinh. Đặc biệt là môn toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức một cách chính xác, khoa học và hiện đại. Vì thế để giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt giáo viên không chỉ có kiến thức vững vàng, một tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà điều cần biết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh một cách dễ hiểu nhất.
2. Thùc tr¹ng cña vÊn ®Ò: 
Trong chương trình môn Toán THCS nói chung và Toán 6 nói riêng có rất nhiều dạng Toán liên quan đến phần số nguyên tố.Chính vì vậy trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi rất chú trọng đến dạng toán “Số nguyên tố”. Vì qua một số năm giảng dạy môn Toán bản thân tôi nhận thấy việc áp dụng các phương pháp đã học trên lớp vào các bài tập đơn giản thì các em thực hiện được, nhưng khi gặp các bài toán hơi khó một chút hoặc các bài toán có dạng khác một chút thì nhiều em còn lúng túng, chưa biết cách giải quyết. Thậm chí nhiều em học sinh do không nắm chắc định nghĩa và tính chất số nguyên tố nên không có định hướng để làm bài tập.Từ tình hình thực tế là đa số các em học sinh chưa có điều kiện nghiên cứu sâu và tìm hiểu kỹ về vấn đề. Khi áp dụng một kiến thức nào đó vào giải bài tập chủ yếu là các em chỉ bắt chước mà không xem xét vấn đề một cách căn bản vì vậy rất dễ mắc sai lầm. Xuất phát từ tình hình như vậy nên tôi đã mạnh dạn đưa ra đề tài" Nâng cao chất lượng môn Toán bằng cách rèn kỹ năng giải các dạng toán về số nguyên tố cho học sinh lớp 6 trường THCS Hà Dương". Đề tài chỉ là một phần kiến thức cơ bản trong số rất nhiều phần kiến thức của chương trình Toán THCS. Mong rằng nó sẽ giúp cho các bạn đồng nghiệp có thêm một phần để tham khảo, giúp cho các em học sinh có cách nhìn bao quát hơn về các dạng toán. Nhưng nói chung dù là phương pháp gì đi nữa thì yếu tố tạo hứng thú cho học sinh,sự tâm huyết của người thầy, tính tích cực, ham học của các em vẫn là yếu tố quyết định. Khi hội tụ đủ các yếu tố này mà lại kết hợp vấn đề mấu chốt của bài toán được khai thác triệt để thì việc học toán của các em sẽ không còn cảm thấy khó nữa.
 Kết quả, hiệu quả của thực trạng
Phần "Số nguyên tố" là một nội dung rất quan trọng, bởi kiến thức này là tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt là vận dụng nó để giải quyết các dạng toán liên quan . Cụ thể kết quả kiểm tra 45 phút về toán này là:
TT
Năm học
Tổngsố học sinh
Chưa có hướng làm
Có hướng làm
1
2018-2019
10
8
2
Từ thực trạng trên khi dạy phần này giáo viên cần giúp học sinh nắm chắc các phương pháp cơ bản và một vài phương pháp mở rộng để giải những bài toán khó.
Để học sinh nắm chắc kiến thức và có hứng thú học tập, giáo viên phải chọn lọc hệ thống kiến thức, hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp qua đó giúp học sinh rèn luyện các kỹ năng giải toán và phát huy được tính độc lập sáng tạo của học sinh.
Áp dụng đề tài này vào giảng dạy tôi nhận thấy đại đa số các em học sinh đã nắm được các phương pháp cơ bản hay sử dụng và áp dụng giải quyết được phần lớn các bài tập tương tự mà giáo viên đã hướng dẫn, một số em khác đã biết cách sử dụng các phương pháp mở rộng để làm một số các bài tập nâng cao trong các sách bồi dưỡng. Các em cũng đã biết ứng dụng để giải một số dạng toán có liên quan. 
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
A/ Định nghĩa
1) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.
Ví dụ: 2, 3, 5, 7 11, 13,17, 19....
2) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.
Ví dụ: 4 có 3 ước số: 1 ; 2 và 4 nên 4 là hợp số.
3) Các số 0 và 1 không phải là só nguyên tố cũng không phải là hợp số
4) Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố
B/ Một số định lý cơ bản
1) Định lý 1: Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn
2/ Định lý 2:
Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số).
C/ Cách nhận biết một số nguyên tố
Để kiểm tra số a có là số nguyên tố hay không, ta có thể chia a lần lượt cho các số nguyên tố 2; 3; ...;p, với p là số nguyên tố lớn nhất thỏa mãn p a. Nếu không có phép chia hết thì a là số nguyên tố, trai lại a là hợp số.
Đặc biệt: Với dãy 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 nên cho học sinh học thuộc, tuy nhiên khi găp 1 số a nào đó (a < 100) muốn xét xem a là số nguyên tố hay hợp số ta thử a có chia hết cho 2; 3; 5; 7 hay không.
+ Nếu a chia hết cho 1 trong 4 số đó thì a là hợp số.
+ Nếu a không chia hết cho số nào đó trong 4 số trên thì a là số nguyên tố.
Với quy tắc trên trong một khoản thời gian ngắn, với các dấu hiệu chia hết thì học sinh nhanh chóng trả lời được một số có hai chữ số nào đó là nguyên tố hay không.
D/ Số các ước số và tổng các ước số của 1 số:
Giả sử: a = p1X1 . p2X2 ......pnXn	
Trong đó: pi P ; xi N ; i = 1, n 	 
a) Số các ước số của a tính bằng công thức:
T(a) = (x1 + 1)(x2 + 1) .....(xn + 1)
Ví dụ: 30 = 2.3.5 thì T(a) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8
Thật vậy: 	Ư(30) ={ 1;2;3;5;6;10;15;30}. Ư(30) có 8 phân tử
Ứng dụng: Có thể không cần tìm Ư(a) vẫn biết a có bao nhiêu ước thông qua việc phân tích ra thừa số nguyên tố.
3100 có (100 + 1) = 101 ước
1 000 000 000 = 109 = 29.59 có (9 + 1)(9+1) = 100 ước
	Ý nghĩa: Khi thông báo cho học sinh cách tính số ước của một số các em có thể tin tưởng khi viết một tập hợp ước của một số và khẳng định đã đủ hay chưa.
	b) Tổng các ước một số của a tính bằng công thức:
(a) =
p1X1 + 1 - 1
p1 - 1
.
p2X2 + 1 - 1
p2 - 1
...
pnXn + 1 - 1
pn - 1
E/ Hai số nguyên tố cùng nhau:
	1- Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1. 
Hai số a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) = 1 a,b N
	2- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
	3- Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
	4- Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau (a,b,c) = 1
	5- a,b,c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau
	 a,b,c nguyên tố sánh đôi (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1
F/ Một số định lý đặc biệt
	1) Định lý Đirichlet
	Tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng:
	p = ax + b 	(x N, a, b là 2 số nguyên tố cùng nhau).
 	Việc chứng minh định lý này khá phức tạp, trừ một số trường hợp đặc biệt.
Ví dụ: Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng: 2x – 1; 3x – 1; 4x + 3; 6x + 5.....
	2) Định lý Tchebycheff
	Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố (n > 2).
	3) Định lý Vinogradow
	Mọi số lẻ lớn hơn 33 là tổng của 3 số nguyên tố.
	Các định lý 2 và 3 ta có thể giới thiệu cho học sinh tham khảo và sử dụng để giải một số bài tập. 
 Mét sè bµi to¸n c¬ b¶n vÒ sè nguyªn tè 
 DẠNG 1: ƯỚC CỦA MỘT SỐ
 a = x.y...z (x, y,,z: các số nguyên tố)
Số ước của a là (a + 1)(a +1)...(a +1)
Bài 1: 1.Tìm các ước nguyên tô của các số 30, 210, 2310
 2.Chứng tỏ rằng các số 31, 211, 3201, 10031 là các số nguyên tố
Giải
1.Phân tích các số đó cho thành tích các thừa số nguyên tố 
Ta có: 
- Tập hợp K các ước nguyên tố của 30 là K = {1, 2, 3, 5}. Và 30 = 1.2.3.5
- Tập hợp H các ước nguyên tố của 210 là H= {1, 2, 3, 5,7}. Và 210 = 1.2.3.5.7
- Tập hợp P các ước nguyên tố của 2310 là P = {1, 2, 3, 5, 7, 11}. 
Và 30 = 1.2.3.5.7.11
Chú ý: Khi phân tích số 210 ra thừa số nguyên tố ta có thể làm như sau :
210 = 21.10 . Ta đó biết 10 = 2.5 nên chỉ cần phân tích 21 = 3.7 và có 
210 = 2.7.2.5
Cách này hoàn toàn có lợi khi phân tích các số là bội của 10
Chẳng hạn khi phân tích số 3200 ta viết
3200 = 32.100 cho ta 32 = 25 và 100 = 22.52
Vậy 3200 = 27.52
2. Dể thấy 31 = 30 + 1
 = 1.2.3.5 + 1
Số 31 không chia hết các số nguyên tố 2, 3, 5 ma 52 = 25 < 35 là ước nguyên tố lớn nhất mà 52 < 31
Suy ra 31 là số nguyên tố
Các số khác ta cũng chứng minh tương tự.
Bài 2 : 1. Phân tích số 360 ra thừa số nguyên tố.
 2. Số 360 có bao nhiêu ước.
 3. Tìm tất cả các ước của 360.
Giải
1. Ta có: 
 Vậy 360 = 2.2.2.3.3.5 = 23.32.5
2.Ta có 360 = 23.32.5
Vậy số các ước của 360 là : (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 ước
3. Dể thấy các số 1, 2, 22, 23, (1) là ước của 360
Ta Tìm các ước còn lại theo cách sau
Bước 1: Nhân các số hạng dãy (1) theo thứ tự với 3 và 32 ta được các ước 
Bước 2: Nhân các số trong dãy (1) và (2) theo thứ tự với 5 ta đước các ước 
Vậy ta có tất cả 24 ước của 360 là 
Bài 3: Tìm số nhỏ nhất A có
6 ước 2.9 ước
Giải
Viết A dưới dạng phân tích ra thừa số nguyên tố
 A = am.bn.ct
Số các ước của A sẻ là (m + 1)(n + 1)(t + 1)
Ta có 6 = 6.1 hoặc 6 = 2.3
Trường hợp A chỉ có một số nguyên tố dạng A = am thì
Vì A là số nhỏ nhất hay a = 2. Suy ra
Trương hợp A có hai thừa số nguyên tố A = am.bn
Ta có Và A = a2.b1
Để có số A nhỏ nhất ta chọn các số nguyên tố nhỏ nhất là a = 2, b = 3
Vậy A = 22.3 hay A = 12
Xét 2 trường hợp trên ta thấy số tự nhiên nhỏ nhất có 6 ước là 12
 2. Đáp số : 36.
Bài 4: Chứng tỏ rằng các số sau đây là hợp số
676767 2.108 + 107 + 7 3.175 + 244 + 1321
Giải
1. Số 676767 có tổng các chữ số là 39 chia hết cho 3 nên 
Vậy nó là hợp số
2. Tương tự số 108 + 107 + 7 = 11007( có 6 chữ số 0) có tổng các chữ số là 9 nên số đó chia hết cho 9 nên 108 + 107 + 7 là hợp số
3. Số 175 + 244 + 1321 có:
 Số 175 có tận cùng là 7
 Số 244 có tận cung là 6
 Số 1321 có tận cùng là 3
Vậy 175 + 244 + 1321 có tận cùng là 6, chia hết cho 2 nên nó là hợp số.
Bài 5 : Các số sau là nguyên tố hay hợp số
A = 111 (2001 chử số 1)
B = 111 (2000 chử số 1)
C = 1010101
D = 1112111
E = 1! + 2! + 3! ++ 100!
G = 3.5.7.9 – 28 
H = 311141111
Giải
1. . A là hợp số
2. . B là hợp số
3. . C là hợp số
4. D = 1112111 = 1111000 + 1111. D là hợp số
E = 1! + 2! + 3! +  + 100!
Suy ra . Vậy E là hợp số
6. G chia hết cho 7. Vậy G là hợp số
7. H = 311141111 = 31111000 + 31111 . Vậy H là hợp số.
Bài 6: Cho 3 số a = 720, b = 36, c = 54
1. Gọi A, B, C theo thứ tự là tập hợp các ước nguyên tố của a, b, c. Chứng tỏ B, C là tập con của A
2. a có chia hết cho b, có chia hết cho c không
Giải
1. Ta thấy a = 720 = 24.32.5
 b = 36 = 22.32
 c = 54 = 2.33
vậy A = {2, 3, 5}, B = {2, 3}, C = {2, 3}
Dễ thấy B, C là hai tập con của A
2. Vì a = 24.32.5 và b = 22.32 nên 
 Vì a = 24.32.5 và c = 2.33 nên a không chia hết cho c
Bài 7: Đố vui: Ngày sinh nhật của bạn
 Một ngày đầu năm 2002. Huy viết thư hỏi thăm sinh nhật Long và nhận được thư trả lời.
 Mình sinh ngày a tháng b, năm 1900 + c và đến nay d tuổi . Biết rằng a.b.c.d = 59007
 Huy đã kịp tính ra ngày sinh của Long và kịp viết thư chúc mừng sinh nhật bạn. Hỏi Long sinh ngày, tháng, năm nào?
Giải
Ta có: a.b.c.d = 59007
 c +d = 102 
 Phân tích ra thừa số nguyên tố a.b.c.d = 3.13.17.89
Trong các ước của abcd chỉ có hai số 13 và 89 có tổng bằng 102. Tuổi của Long không thể là 89 vậy d = 13, c = 89
Còn lại a.b = 3.17 do nên b = 3, a = 17
Vậy long sinh ngày 17 – 3 – 1989 .
Bài 8:Chứng minh rằng:
Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 
Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 
Giải
1.Khi chia một số tự nhiên a lớn hơn 2 cho 4 thì ta được các số dư 0, 1, 2, 3. Trường hợp số dư là 0 và 2 hai thì là hợp số vì a 2, ta không xét chỉ xét trường hợp số dư là 1 hoặc 3
 Với mọi trường hợp số dư là 1hoặc 3 ta có a = 
2.Khi chia số tự nhiên a cho 6 ta có các số dư 0, 1, 2, 3, 4, 5. Trường hợp số dư 0, 2, 3, 4. Ta có a chia hết cho 2 hoặc a chia hết cho 3 nên a là hợp số
Trường hợp dư 1 thì a = 6n + 1
Trường hợp dư 5 thì a = 6m + 5
 = 6m + 6 – 1 = 6(m + 1 ) – 1 
Đặt m + 1 = n Ta có a = 6n – 1 
DẠNG 2: SỐ NGUYÊN TỐ VÀ TÍNH CHIA HẾT
Nếu tích của hai số a, b chia hết cho một số nguyên tố p thì một trong hai số a, b chia hết cho p
Nếu an chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hếtt cho p 
Bài 1: Chứng tỏ rằng nếu 3 số a, a + n, a + 2n đều là số nguyên tố lớn hơn 3 thì n chia hết cho 6.
Giải
Chỳ ý rằng , các số nguyên tố (trừ số 2) đều là các số lẻ
- Nếu n lẻ thì n + a là số chẵn là một hợp số trái với giả thiết n + a là số nguyên tố. vậy n là số chẵn
- Ta đặt n = 2k, 
+ Nếu k chia hết cho 3 thì n chia hết cho 6
+ Nếu k = 3p + 1 , thì 3 số theo thứ tự bằng a, a + 6p + 2, a + 12p + 4
+ Do a là số lẽ nên nếu a chia cho 3 dư 1 thì a + 6p + 2 chia hết cho 3,
 Nếu a chia 3 dư 2 thì a + 12p + 4 chia hết cho 3
+ Nếu k = 3p + 2 thì 3 số theo thứ tự bằng a, a + 6p +4, a + 12p +8
với a chia cho 3 dư 1 thì a + 12p +8 chia hết cho 3
với a chia cho 3 dư 2 thì a + 6p +4 chia hếtt cho 3
Vậy để 3 số a, a + n, a + 2n đều là số nguyên tố thì n phải chia hếtt cho 6.
Bài 2:Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24
Giải
 Ta có (p – 1)p(p + 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên mà (p, 3) = 1 nên (