SKKN Một vài ứng dụng của bài toán gốc trong việc ra đề và giải toán hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN GỐC TRONG VIỆC RA ĐỀ VÀ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Người thực hiện: Nguyễn Thanh Hải
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
MỤC LỤC
MỤC LỤC
 Nội dung	Trang
1.MỞ ĐẦU
1
1.1.Lí do chọn đề tài
1
1.2. Mục đích nghiên cứu
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
3
2.3.1.1 Bài toán gốc trong hình chóp
3
2.3.1.2 Phát triển BT1
4
2.3.2.1 Bài toán gốc trong hình lăng trụ
7
2.3.2.2 Phát triển BT2
8
2.3.3 Bài tập áp dụng 
11
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
12
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
13
3.1. Kết luận
13
3.2. Kiến nghị
13
TÀI LIỆU THAM KHẢO
15
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Hình học không gian cổ điển là vấn đề khó của toán THPT. Không chỉ đối với người học mà còn có những khó khăn nhất định đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy phần này cho học sinh. 
Cùng với xu hướng thi THPT Quốc Gia theo hình thức trắc nghiệm, mọi vấn đề của toán THPT nói chung được khai thác một cách tối đa, các lời giải, cách tiếp cận rất phong phú và đa dạng, trong đó những lời giải, những hướng tiếp cận nhanh gọn, nhạy bén luôn được đặt lên hàng đầu, những phương pháp những kỹ năng đó cần được hệ thống để tôi luyện cho các thế hệ học sinh. Hình không gian cổ điển xoay quanh những bài toán tính góc, khoảng cách, thể tích, mặt cầu là những bài toán làm thí sinh mất rất nhiều thời gian, bởi phải vẽ hình (hoặc vẽ thêm hình) và đặc biệt máy tính cầm tay hầu như không có tác dụng đối với dạng toán này. 	
	Năm học 2017-2018 chúng ta tiếp tục thực hiện đổi mới phương pháp dạy học. Góp phần thuận lợi cho học sinh trong quá trình tiếp thu và chủ động chiếm lĩnh kiến thức. Trong phạm vi bài viết này, tôi xin đưa ra một vài ý tưởng đóng góp cho việc giải toán hình học không gian: “Một vài ứng dụng của bài toán gốc trong việc ra đề và giải toán hình học không gian”, theo tinh thần đổi mới phương pháp dạy học, giúp các em phát triển năng lực tư duy và phát hiện vấn đề một cách mạch lạc, chính xác, hiệu quả, nhanh gọn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nội dung chương trình hình học THPT, các bài toán dành cho học sinh khá, giỏi từ đó xây dựng các thao tác cần thiết để giúp học sinh quy lạ về quen, tiếp cận bài toán nhanh chóng hiệu quả, đồng thời là cơ sở để giáo viên “chế” ra những bài tập hay, lạ, độc đáo kích thích hứng thú học tập.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu mà đề tài hướng tới là:
- Phương pháp giải toán dựa vào các bài toán gốc (là những bài toán rất gần gũi, có thể là những ví dụ hoặc bài tâp trong SGK) giúp cho người học có cách tiếp cận vấn đề thật nhanh, qua vài động tác có thể chuyển về dạng toán quen thuộc và dần hình thành nên các kỹ năng, phương pháp giải toán phong phú cho bản thân.
- Cũng trên cở sở đó, giáo viên có thể thêm bớt giả thiết, hoặc chuyển đổi các giả thiết tương đương để có được bài toán mới, điều này thực sự kích thích khả năng sáng tạo của mỗi người và tạo hứng thú học tập cho học sinh.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan, nghiên cứu chương trình giáo khoa của bộ môn.
- Phương pháp nghiên cứu thực tế: Thông qua việc dạy và học phân môn Hình học ở THPT, bản thân rút ra một số nhận xét và phương pháp giải toán giúp học sinh rèn luyện kỹ năng làm bài.
- Phương pháp kiểm chứng sư phạm: Tiến hành dạy và kiểm tra khả năng ứng dụng của học sinh, minh chứng cho thấy khả năng giải quyết vấn đề nhanh gọn của học sinh trong giải toán hình không gian.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
- Hình không gian cổ điển là vấn đề khó đồng thời cũng là nơi phát huy tối đa óc quan sát, tư duy trừu tượng của học sinh. Nó khó khăn ngay bước đầu vì đề bài thường rất nhiều giả thiết, nhớ và liên kết các giả thiết lại với nhau là một vấn đề khó cho học sinh, sau đó thì đến vẽ hình (nét đứt, nét liền, các đường chồng chéo, cắt hay không cắt), chưa kể đến mấu chốt bài toán là xác định chân đường cao, xác định được chân đường cao là yếu tố vô cùng quan trọng trong định hướng và giải quyết bài toán.
- Các bài tập SGK của phần này ở mức đơn giản, hoặc nếu có khó thì thường lời giải rất dài dòng, gây khó cho học sinh và ảnh hưởng đến tốc độ làm bài khi học sinh đi thi.
- Thông thường các dạng toán đều cho chân đường cao hình chóp, lăng trụ. Nhưng những câu dành cho học sinh khá- giỏi (tương ứng trong đề thi là câu VD, VDC) thì lại thường không cho chân đường cao, buộc học sinh phải kết nối các giả thiết, kẻ vẽ thêm hình.
- Do đó tôi luôn luôn có ý định tìm ra một phương pháp mới, để truyền dạy cho học sinh, một phương pháp đơn giản dễ làm, một phương pháp mà học sinh cảm thấy phấn chấn khi học, một phương pháp giải quyết nhanh gọn nhờ quy lạ về quen. Khẳng định cho các em thấy phải nắm vững kiến thức cơ bản, bám sát chương trình SGK, không sa đà vào những kiến thức “cao siêu” – xa rời chương trình toán phổ thông. 
- Học sinh rất thích thú, cảm thấy phấn chấn khi giải được bài toán khó mà chỉ bằng vài bước phân tích đưa về ngay ví dụ trong SGK đã học mà lâu nay cứ nghĩ là phải dùng kiến thức cao siêu. Điều này mang đến sự tự tin cho học sinh và tạo hứng thú nghiên cứu, tìm tòi, phát triển những bài tập, ví dụ trong SGK. 
	- Giáo viên có thêm nhiều ý tưởng để ra đề, sáng tạo các bài tập phong phú mà không lo kiến thưc vượt ra ngoài chương trình toán phổ thông. 
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
- Mảng kiến thức mà đề tài nghiên cứu thuộc lĩnh vực tư duy trừu tượng cao, là kiến thức trọng tâm của toán phổ thông. Lượng kiến thức khai thác là rất nhiều và đa dạng, nếu không khéo truyền đạt sẽ làm cho các em thấy lan man, mất phương hướng, chán nản, chứ chưa nói đến sau khi học xong các em được những phương pháp nào, kĩ năng gì. Do vậy ở phần này người giáo viên cần phải có hệ thống bài tập minh hoạ cho các phương pháp trọng tâm, các dạng toán quan trọng. Đặc biệt làm cho các em phải cảm thấy tự tin khi các gặp những bài toán mà chân đường cao bị dấu.
- Những dạng toán chân đường cao không cho trước luôn gây khó cho học sinh vì không có chân đường cao thì cũng không viết vẽ hình như thế nào, tính khoảng cách ra sao, dịch chuyển khoảng cách về đâu, ngay cả gắn hệ trục tọa độ vào cũng không biết đặt gốc vào điểm nào Các tài liệu viết về vấn đề này chưa thấy xuất hiện.
2. 3.1 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1.1 Bài toán gốc trong hình chóp.
BT1. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật , cạnh bên vuông góc với đáy, . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh .
a) Chứng minh rằng các tam giác vuông.
b) Chứng mimnh rằng .
Lời giải.
a) Do vuông tại .
 Hoàn toàn tương tự suy ra vuông tại .
b) Chứng minh được:
 .
2.3.1.2 Phát triển BT1.
Từ BT1: Ban đầu là chóp tứ giác ta bỏ đi điểm để trở thành tứ diện , đồng thời thêm các giả thiết tương đương như:
- Thay giả thiết tứ giác là hình chữ nhật bằng giả thiết tam giác là vuông tại . 
- Thay giả thiết bằng giả thiết hai tam giác vuông ở và vuông ở .
Ta có thể lập luận để đưa về BT1 như sau:
Trong kẻ các đường thẳng . Đặt .
Dễ thấy tứ giác là hình chữ nhật.
Suy ra:
.
.
 Từ , suy ra và cùng vuông góc với mặt đáy 
Nên giao tuyến vuông góc với đáy .
Dựa trên ý tưởng này, ta cùng đến với một số bài toán thú vị sau:	
Bài toán 1.1. Cho hình chóp có đáy là một tam giác vuông ở , đáy , tam giác vuông ở , tam giác vuông ở . Biết rằng khoảng cách từ điểm đến bằng . Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp .
Phân tích: Bài toán chưa cho chân đường cao của chóp, nhưng có khá nhiều điểm tương đồng với BT1 như: đáy là một tam giác vuông ở , tam giác vuông ở , tam giác vuông ở . Điều này gợi cho chúng ta liên tưởng tới đỉnh còn lại của hình chữ nhật 
Lời giải.
Gọi là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật , ta có .
Tương tự .
Từ . Mặt cầu ngoại tiếp chóp cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp chóp . 
Gọi là hình chiếu của lên .
.
Bài toán 1.2. Cho hình chóp có đáy là một tam giác vuông cân tại , và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính khoảng cách từ đến đường thẳng .
Phân tích: Bài toán có hai góc vuông nhưng lại ở hai điểm khác nhau, do đó ta phải kẻ thêm hình để dồn các góc vuông về một điểm, có như vậy mới tìm được đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Mặt khác bài toán có giả thiết tương đương với giả thiết hai tam giác và vuông – đó chính là ý a của BT1.
Lời giải.
Kẻ đường thẳng .
Mặt khác .
Tương tự ta cũng suy ra được .
Từ và là hình vuông. Gọi 
.
.
Bài toán 1.3. Cho tứ diện có , . Góc giữa và bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng .
Phân tích: Giả thiết có vẻ quen thuộc, nhưng đây bài toán khó bởi lẽ giả thiết thiếu mất một góc vuông rất quan trọng. Như vậy để xác định được chân đường cao ta phải kết nối hai giả thiết khô khan có , .
Lời giải.
Dựng hình vuông và .
Suy ra vuông cân . 
Xét có nên vuông cân tại .
Điều này dẫn đến 
Bài toán 1.4. (Câu 49-SGD Nam Định - lần 1- Năm 2018). Cho hình chóp có vuông góc với đáy, và . Gọi lần lượt là hình chiếu của lên . Tính góc giữa hai mặt phẳng và .
Phân tích: Bài toán đã biến tướng sang ý b của BT1.
Lời giải.
Dựng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Định lí Sin trong tam giác thì .
Theo BT1 ta có .
Do đó .
.
2.3.2.1 Bài toán gốc trong hình lăng trụ.
BT2. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại 
, cạnh bên . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ .
Lời giải.
Do đáy là tam giác vuông tại nên gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh thì chính là trục đường tròn ngoại tiếp đáy. Gọi là trung điểm , xét trong mặt phẳng kẻ đường trung trực của đoạn cắt tại , dễ thầy rằng nên là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ .
2.3.2.2 Phát triển BT2
Bài toán 2.1. (Câu 46 - KHTN - Hà nội - lần 3- Năm 2018). Trong không gian cho hai đường thẳng và chéo và vuông góc với nhau, nhận đoạn làm đoạn vuông góc chung . Trên lấy điểm , trên lấy điểm sao cho . Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Phân tích: Bài toán có giả thiết vuông góc đồng thời với hai đường thẳng chéo nhau và . Gợi cho ta xây dựng nên hình lăng trụ đứng như BT2.
Lời giải.	
Bằng cách kẻ dựng nên hình hộp chữ nhật .
Khi đó tâm cầu chính là tâm của hình hộp chữ nhật, suy ra là mặt phẳng chứa và song song với . Khoảng cách cần tìm là:
.
Bài toán 2.2. (Câu 50-Trường Thăng Long - Hà nội - lần 2- Năm 2018). Cho mặt cầu có bán kính , một mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn , là một đường kính cố định của , là điểm thay đổi trên . Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại . Tính .
Phân tích: Giả thiết suy ra , “Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại ” ta liên hệ tới xác định một lăng trụ đứng, sau khi có lăng trụ đứng thì tâm cầu dần lộ diện, khi đó ta sẽ xác định được tổng .
Lời giải.
Dựng hình hộp chữ nhật như hình vẽ, nhận thấy rằng tâm hình hộp chữ nhật cũng chính là tâm cầu . Do đó:
Bài toán 2.3. (Câu 50- SGD Bắc Ninh - Năm 2018). Cho tứ diện có , , . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
Phân tích: Ngoài số liệu của tất cả các cạnh thì không còn giả thiết nào khác, đây là bài toán khó. Để ý thấy đây là những con số “biết nói”. Kiểm tra hệ thức Pitago ta thấy ngay .
Lời giải. 	
Dựng hình lăng trụ đứng như hình vẽ. Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng . 
 nên đều cạnh bằng . 
Suy ra .
Bán kính mặt cầu cần tìm .
Bài toán 2.4. Cho hình chóp có đôi một vuông góc. Biết và Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Tính độ dài để hai mặt phẳng vuông góc.
Phân tích: Bài toán tìm điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với giả thiết rất khó Với giả thiết này gắn hệ trục (tọa độ hóa) cũng không phải là dễ.
Lời giải. 
Do đôi một vuông góc nên dựng hình hộp chữ nhật như hình vẽ. 
Nhận xét rằng hai góc . 
Do đó để .
Hay vuông cân tại .
Mặt khác .
Suy ra .
Kết thúc bài viết từ hình vẽ H.3 chúng ta hãy phát biểu lại bài toán và nêu những kết quả chính. Từ những kết quả thu được hãy tạo ra các bài toán mới.
H.3
2.3.3. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hình chóp có và . Gọi là góc tạp bởi đường thẳng và mặt phẳng , biết . Tính thể tích khố chóp .
Bài 2: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện biết , và góc giữa và bằng .
Bài 3: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , Biết và khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng . Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
Bài 4: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện biết , và góc giữa và bằng .
Bài 5: Cho tứ diện biết , . Góc giữa hai mặt phẳng bằng . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
Bài 6: Cho tứ diện biết , Góc giữa hai mặt phẳng bằng . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
Bài 7. Cho hình chóp có , . Gọi lần lượt là hình chiếu của lên . Gọi là góc giữa và mặt phẳng . Tính .
Bài 8. Cho tứ diện có , đáy thỏa mãn điều kiện . Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và . Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp .
Bài 9. Cho hình chóp có đáy là tam giác cân tại , , . Biết góc giữa và đáy bằng . Tính thể tích khối chóp .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 
Như trong phần đặt vấn đề đã nêu, sáng kiến “Một vài ứng dụng của bài toán gốc trong việc ra đề và giải toán hình học không gian” là phương pháp có sự kết hợp chặt chẽ của tư duy lô-gic quy lạ về quen (VD giải toán), biến quen thành lạ (VD ra đề). Sáng kiến tiếp cận bài toán một cách sáng tạo và hiệu quả, cho lời giải mạch lạc, ngắn gọn phù hợp với yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học, đó là kích thích tính tự học, tự nghiên cứu và phát hiện vấn đề.
Với tinh thần đó, trong quá trình soạn, dạy dạng toán này tôi thực hiện theo cách nêu các bài toán gốc cho học sinh giải, rút ra các nhận xét quan trọng, cho học sinh tập dượt thêm bớt, chuyển đổi giải thiết để có bài toán mới. Kết thúc phần này tôi nhận thấy đã đạt được hiệu quả cao, cụ thể:
- Học sinh tỏ ra hứng thú hơn khi giải toán, tập trung đào sâu suy nghĩ vấn đề, phát hiện vấn đề hiệu quả hơn, nhanh hơn.
- Giờ dạy tránh được tính đơn điệu, nhàm chán theo một lối mòn lâu nay.
- Học sinh có nhiều thay đổi tích cực về phương pháp học tập và tư duy giải toán. Một số em khá – giỏi còn rút ra nhiều nhận xét quan trọng và tìm được nhiều bài toán cơ bản có nhều ứng dụng hay.
 Kết quả đó còn được thể hiện rõ rệt qua các bài kiểm tra.
Lớp
Số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
12A1
42
6
14.2
17
40.5
9
21.4
2
4.9
12A2
41
7
17.1
19
46.3
15
36.6
0
0
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Qua thời gian thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy khi chưa đưa chuyên đề vào giảng dạy, học sinh chỉ có thể giải quyết được các bài tập đơn giản. Không biết phân tích bài toán, đặc biệt là các bài toán ở mức độ VD và VDC khi chân đường cao bị che dấu. Sau khi học chuyên đề học sinh đã có thể làm tốt các bài tập khó, các em hứng thú và say mê hơn trong học tập. Qua khảo sát kết quả học tập của các em tăng lên rõ rệt.
3.2. Kiến nghị
Để học sinh có kết quả cao trong các bài kiểm tra, kỳ thi THPT Quốc Gia, đặc bệt là thi trắc nghiệm người thầy cần nghiên cứu, tìm tòi và xây dựng được các phương pháp giải toán sao cho học sinh dễ hiểu và cách giải ngắn nhất.
Thầy giáo tăng cường kiểm tra, sửa chữa sai sót cho học sinh, đồng thời động viên các em khi các em tiến bộ.
Thầy giáo hướng dẫn cách tự đọc sách của học sinh, động viên các em học sinh giỏi đọc báo toán, tài liệu trên internet, tìm hiểu thêm các cách giải khác.
Thầy giáo tăng cường luyện cho các em các chuyên đề và bộ đề thi, để các em có nhiều thời gian tiếp cận và tập dượt với dạng toán thi, từ đó dần dần đạt kết quả học tập cao hơn.
Trong quá trình dạy học nói chung, dạy – học Toán nói riêng, việc giải bài tập; phân tích hướng giải; trả lời câu hỏi tại sao lại làm như vậy là quan trọng nhưng việc hướng dẫn cho học sinh có óc phân tích – tổng hợp – khái quát các phần kiến thức và trên hết là có cách học đúng đắn mới là cốt lõi của vấn đề. Chính vì vậy người thầy luôn phải suy nghĩ, trăn trở nhằm đáp ứng được yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao hiệu quả giáo dục.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ trong quá trình thực hiện việc đổi mới phương pháp dạy học, đề tài không tránh khỏi những hạn chế.
Rất mong sự đóng góp quý báu của bạn bè, đồng nghiệp. 
Tôi xin chân thành cảm ơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Nguyễn Thanh Hải
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa và sách bài tập hình học chương trình chuẩn lớp 11, 12.
2. Đề thi đại học các năm 2008 đến 2017.
3. Đề thi thử đại học của các trường THPT trong cả nước qua các năm gần đây, các trang mạng uy tín luyện thi về Toán như: www.Vted.vn, www.Hocmai.vn và www.diendantoanhoc.net 
4. Tạp chí THTT và Đặc san THTT.