SKKN Một số sai lầm thường gặp của học sinh lớp 12 khi giải các bài toán hình học trong không gian

I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
 Trong chương trình môn toán ở trường trung học phổ thông (THPT), phần hình học không gian là một phân môn khó. Hơn nữa, nó là phần không thể thiếu trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi, đề thi THPT quốc gia hiện nay. Đó cũng là chủ đề tiếp nối chủ đề hình học phẳng. Vì thế, việc dạy và học hình học không gian là vấn đề được rất nhiều giáo viên giảng dạy bộ môn toán quan tâm.
 Hình học không gian đòi hỏi ở học sinh tính sáng tạo, khả năng tưởng tượng, , vì thế học hình học không gian có khả năng rèn luyện kĩ năng lập luận, óc suy luận phán đoán, tư duy logic cho học sinh. Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy ở phổ thông, tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học phần này, thậm chí nhiều em cứ gặp bài toán này là bỏ ngay, không cần đọc đề. Hơn nữa, hiện nay bộ môn Toán chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm thì hình học không gian lại càng không dễ dàng với nhiều học sinh có sức học bình thường, nhiều em cố gắng làm bài song tôi nhận thấy khi làm hình dưới dạng trắc nghiệm các em hay ngộ nhận kết quả, hay ngộ nhận các tính chất, ... dẫn đến những sai lầm đáng tiếc. Chính vì thế mà mỗi lần lên lớp, bản thân tôi rất trăn trở, làm thế nào để truyền đạt cho các em dễ hiểu, làm thế nào để dạy cho các em những kỹ năng cơ bản nhất, và đặc biệt làm thế nào để khắc phục những lỗi thường gặp của các em một cách tối đa để các em có thể tự tin làm bài, tự tin tham dự các kỳ thi và đạt kết quả cao nhất có thể. Xuất phát từ các lý do trên, tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số sai lầm thường gặp của học sinh lớp 12 khi giải các bài toán hình học trong không gian”.
2. Mục đích nghiên cứu
 Hình học không gian là môn học về các vật thể trong không gian mà các điểm để hình thành nên các vật thể đó lại thường không cùng nằm trong một mặt phẳng. Do đó học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn trong việc vẽ hình, hoặc vẽ hình sai, không chính xác. Không những thế, do đã quen với hình học phẳng, khi chuyển sang hình học không gian, các em cũng thấy có các đối tượng như điểm, đường thẳng, nên nhiều khi rất “vô tư” áp dụng các tính chất của hình học phẳng để làm bài. Điều này dẫn đến rất nhiều sai lầm trong khi giải các bài toán về hình học không gian. Vì vậy, tôi nghiên cứu đề tài này với mong muốn phát triển tư duy hình học, tư duy trừu tượng, từng bước tháo gỡ những vướng mắc, khắc phục những điểm yếu và khơi dậy niềm đam mê đối với môn học của các em, nhằm mục đích cuối cùng đó là nâng cao chất lượng dạy học nói chung và phần hình học không gian nói riêng. 
3. Đối tượng nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu là một số sai lầm của học sinh lớp 12 khi giải toán hình học trong không gian.
4. Phương pháp nghiên cứu
Điều tra giáo dục: Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua các bài kiểm tra của học sinh tại trường phổ thông.
Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập hình học lớp 11 và 12, đề thi THPT quốc gia năm học 2015-2016, các đề minh họa năm 2017 của bộ GD và ĐT. Các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học.
Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ôn tập buổi chiều cho học sinh lớp 12.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lý luận
1.1. Hai mặt phẳng song song Ghi chú: Mục 1.1 tác giả trích trong TLKT số 1.
Định lý: 
 Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
1.2. Quan hệ vuông góc trong không gian Mục 1.2 tác giả trích trong TLKT số 1.
Định lý ba đường vuông góc:
 Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng và b là đường thẳng không thuộc đồng thời không vuông góc với . Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên . Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
 Cho đường thẳng d và mặt phẳng . 
 Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng bằng 90o.
 Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng .
Hai mặt phẳng vuông góc
 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
 Giả sử hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến . Từ điểm I bất kỳ trên ta dựng trong đường thẳng vuông góc với và dựng trong đường thẳng vuông góc với . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng và là góc giữa hai đường thẳng và .
Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.
Đinh lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Hệ quả 2: Cho 2 mặt phẳng và vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng .
1.3. Thể tích khối đa diện Ghi chú: Mục 1.3 tác giả trích trong TLKT số 2.
 Thể tích khối chóp: ( là diện tích đáy, là chiều cao)
 Thể tích khối lăng trụ: ( là diện tích đáy, là chiều cao)
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Trong nhiều năm qua, để đánh giá khả năng tư duy trừu tượng, phẩm chất, trí tuệ của học sinh thông qua các kỳ thi chọn học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng và gần đây nhất là kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia người ta đã chọn bài toán hình học không gian như một phần chung, bắt buộc cho tất cả các thí sinh. Từ thực tế giảng dạy phần hình học không gian của lớp 11 (chương II, chương III) và lớp 12 (chương I), tôi nhận thấy tồn tại một số vấn đề như sau:
 Thứ nhất, phân phối chương trình chủ yếu là dạy các vấn đề lý thuyết cho học sinh, thời lượng dành cho việc luyện tập là quá ít (chỉ có 12 tiết luyện tập trong tổng số 34 tiết ở cả hai chương I và II hình học lớp 11, 3 tiết luyện tập trong tổng số 12 tiết ở chương I hình học lớp 12). Trong khi đó, các dạng toán về hình học không gian là quá rộng, giáo viên không thể hướng dẫn học sinh vận dụng giải hết được các dạng toán điển hình, và vì vậy cũng không thể phát hiện được hết những sai lầm mà học sinh thường gặp phải để có thể giúp các em khắc phục sai lầm đó. 
 Thứ hai, đây là một phân môn học tương đối khó, đòi hỏi trí tưởng tượng, năng lực tư duy và khả năng quan sát, phán đoán của học sinh khá cao. Bên cạnh đó thực tế chất lượng đầu vào của học sinh ở những vùng kinh tế thuần nông như trường tôi thì việc đầu tư và đôn đốc của cha mẹ với con em mình trong việc học tập rất hạn chế. Đó cũng chính là khó khăn lớn nhất mà chúng tôi gặp phải trong quá trình dạy học.
3. Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
 Để thực hiện đề tài này, tôi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề này, đặc biệt hơn nữa là tôi đã tiến hành nghiên cứu rất kỹ bài giải của nhiều học sinh khá và giỏi trong các bài kiểm tra định kỳ, trong các kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, các kỳ thi thử đại học, ghi chép lại để đối chiếu, so sánh, và từ đó nhận ra được những sai lầm mà học sinh thường gặp trong khi giải các bài toán về hình học không gian như sau: 
3.1. Sai lầm do vẽ hình không đúng
 Do không chú ý hết các yêu cầu về giả thiết, hoặc do những nhận định, những kết luận mà trực giác tạo ra nên dẫn đến vẽ hình sai. 
 Dưới đây là những ví dụ thể hiện sai lầm trong vẽ hình của học sinh, cụ thể là xác định sai hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống mặt đáy. Từ đó dẫn đến sự bế tắc trong cách giải. Loại này tôi không nêu câu hỏi dạng trắc nghiệm, bởi mắc sai lầm này thì đa số các em đều bế tắc trong việc tính toán.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là một tam giác vuông có cạnh huyền BC = a, góc nhọn B = . Các cạnh bên của hình chóp hợp với mặt đáy những góc bằng nhau và bằng . Tính diện tích xung quanh của khối chóp. Ghi chú: Ví dụ 1 tác giả tham khảo đề bài trong TLKT số 3. Từ phần sai lầm thường gặp đến hết tác giả tự làm
Sai lầm thường gặp
 Dễ dàng bắt gặp hình vẽ sai dẫn đến “bí” trong cách giải của nhiều em như sau:
 Kẻ 
Ta có: 
Kẻ 	
Từ định lí 3 đường vuông góc ta có: 
 Hình 1
*Đến đây thì bài toán đã rơi vào thế “bí” bởi vì cần phải tính được theo thì đều chưa thể tính được (còn tính được theo ).
Phân tích sai lầm 
 Để có thể thực hiện bài toán trên, ta phải tính được SI, SJ, SK theo a.
Tuy nhiên, ở hình 1 không có một gợi ý liên hệ nào có thể giúp chúng ta thực hiện việc tính toán này bởi vì đây là một hình vẽ sai do không vận dụng hết các điều đã cho trong giả thiết. 
 Thật vậy, hình chóp đã cho có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng nhau nên ta chứng minh được , nghĩa là chân đường cao H phải trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.
 Mặt khác tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp chính là trung điểm của cạnh huyền BC. Do đó, chân đường cao H chính là trung điểm của cạnh huyền BC và hình 2 dưới đây mới là hình vẽ đúng cho bài toán này.
Lời giải đúng
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC). Ta có:
hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp H là trung điểm của BC. 
 Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB, AC. Ta có: 
Ta tính được:
Từ đó ta được: 
Thay số ta được:
	Hình 2
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a. Mặt bên (SAC) của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với đáy những góc bằng . Tính thể tích của khối chóp. Ghi chú: Ví dụ 2 tác giả tham khảo đề bài trong TLKT số 3. Từ phần sai lầm thường gặp đến hết tác giả tự làm
Sai lầm thường gặp 
 Tương tự như trên, trong lời giải của học sinh ta dễ bắt gặp các hình vẽ như hình 3). Rõ ràng hình vẽ này không thể hiện đúng giả thiết của bài toán đã cho.
Đây là một hình vẽ sai, người vẽ xác định hình chiếu vuông góc của S là H mà không chú ý đến giả thiết, vì vậy dẫn đến sự bế tắc trong việc tìm kết quả. 
Phân tích sai lầm 	
 Ở bài toán này, muốn tính thể tích của khối chóp, việc quan trọng là tính được SH. Như vậy phải xác định được điểm H nằm ở vị trí nào? Nhưng hình vẽ này không thể hiện đúng giả thiết của bài toán.
 Thật vậy, ta có mặt bên (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC). Khi đó, nếu ta kẻ đường cao SH thì theo hệ quả 2 của định lí 1, SH phải nằm trong mặt phẳng 
(SAC). 
 Từ đó suy ra điểm H phải nằm trên AC.	 
Mặt khác:
 Nghĩa là H phải nằm trên đường phân giác của góc B. 
 Do là tam giác đều, suy ra H chính là trung điểm của cạnh AC và ta có hình vẽ đúng như hình 4 ở lời giải đúng dưới đây.
 Hình 3
Lời giải đúng	
Kẻ SH (ABC).Ta có: (SAC)(ABC)
Suy ra SH nằm trong (SAC) ( hệ quả 2, định lý 1).
 Vậy điểm H thuộc cạnh AC.
Kẻ , theo định lí 3 đường vuông góc ta có
 ( Hinh 4)
Mặt khác: 
Ta có: (với A’ là trung điểm của BC).
Ta có: . 
Mà: .
Suy ra:
 .
	Hình 4
*Nhận xét: Những sai lầm trên đây là do thiếu một số hiểu biết cần thiết trong việc vẽ một số hình quen thuộc, hoặc do nhầm lẫn, vận dụng không đầy đủ và chính xác những điều đã cho trong giả thiết. Để khắc phục những thiếu sót này, ngoài việc nắm vững khái niệm, tính chất và vận dụng tối đa giả thiết, học sinh cần phải làm quen với một số cách vẽ những hình không gian thường gặp. Sau đây là một số các hình vẽ rất hay gặp trong các đề thi hiện nay:
3.2. Sai lầm khi xác định các khái niệm hình học
 Trong các bài toán hình học không gian, ta thường gặp các khái niệm:
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Góc giữa hai mặt phẳng.
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng,...
 Nếu học sinh nắm không vững các khái niệm này thì khi xác định nó trên hình vẽ các em sẽ dễ mắc sai lầm và dẫn đến những kết quả không đúng. Sau đây là một số sai lầm như vậy mà học sinh thường gặp.
Ví dụ 1. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Đường chéo BC’ hợp với mặt bên (BAA’B’) một góc . Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
A. 	C. 
B. 	D. 
* Sai lầm thường gặp, đó là xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ta thường bắt gặp các hình vẽ và cách giải sai dưới đây dẫn đến chọn phương án sai là các phương án A và B ( thường hay xuất hiện phương án nhiễu thế này).
Thứ nhất, nhiều em chọn phương án A do cách xác định góc như hình 9 và giải như sau:
Nối BA’. Góc giữa BC’ và mặt bên (BAA’B’) là (Hình 9). 
 Vậy 
Ta có cân đỉnh B và 
 Kết hợp với gt : BC = a
Tính được: 
hay
 Hình 9
 và chọn phương án A (sai).
Thứ hai, có em chọn phương án B do xác định góc và giải như sau:
 Góc giữa BC’ và mặt bên (BAA’B’) là (Hình 10). 
 Vậy 
Diện tích đáy: 
Từ đó người giải chọn đáp án B (sai).
Phân tích sai lầm
 Sai lầm chính của cả hai cách làm trên là việc xác định góc giữa đường thẳng BC’ và mặt phẳng (BAA’B’).
	Hình 10
 Trong các cách làm này, người giải đã không nhớ định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, bằng cảm tính đã chỉ ra luôn, điều này là không có cơ sở. 
 Lẽ ra, ta phải đi xác định góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng, tức là phải đi xác định hình chiếu của BC’ trên (BAA’B’). Khi đó cần tìm hình chiếu của C’ trên mặt phẳng này. Phân tích đến đây ta thấy ngay hình chiếu của C’ trên (BAA’B’) là trung điểm I của đoạn A’B’. 
 Nghĩa là góc giữa BC’ và (BAA’B’) chính là (Hình 11).
Lời giải đúng
 Gọi I là trung điểm của A’B’. Suy ra . Ta có:
Vậy góc giữa BC’ và (BAA’B’) là góc .
Ta có:
hay: . Từ đó ta có: .
 Vậy phương án đúng là C.
 Hình 11
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D. Dựng thiết diện của hình lập phương với một mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh DD’, trung điểm N của cạnh D’C’ và điểm A. Từ Ví dụ 2 đến điểm A, tác giả tham khảo đề bài trong TLKT số 3. Phần còn lại tác giả tự làm.
 Góc giữa thiêt diện và mặt phẳng (ABCD) là
 A. 	 B. với 
 C. 	 D. với 
*Sai lầm thường gặp đó là nắm không vững cách xác định góc giữa hai mặt phẳng nên có học sinh lựa chọn đáp án A, có học sinh lựa chọn đáp án C với lý giải như sau:
- Học sinh chọn đáp án A: Do hai mặt bên (BB’A’A) và (CC’D’D) song song với nhau nên giao tuyến hai mặt này với mặt phẳng (AMN) cũng phải song song với nhau.
 Vậy thiết diện chính là hình AMNB’ (N là trung điểm D’C’).
 Do hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng đáy là AB nên góc giữa thiết diện với mặt đáy ABCD là ( Hình 12).
 Ta có: sin=
 Vậy góc giữa thiết diện với mặt đáy bằng . Do đó chọn đáp án B (sai).
Học sinh chọn đáp án C: Tương tự trên thì có em lại xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc và nhanh chóng tính được góc này là tức đáp án C ( sai).
Phân tích sai lầm
 Các cách làm trên phạm phải một sai lầm lớn. Đó là cách xác định góc 
 Hình 12
tạo bởi thiết diện với mặt đáy, đó không phải là góc hay như trên. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm này là do học sinh nắm không vững cách xác định góc giữa hai mặt phẳng, nhầm lẫn với góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Hơn nữa, các em lại càng tự tin là đúng khi mà đáp số của bài mình giải khá “đẹp”, trùng với phương án trong bài (đáp án gây nhiễu thường là vậy).
Lời giải đúng Phần Lời giải đúng tác giả tham khảo trong TLKT số 5
 Do hai mặt bên (BB’A’A) và (CC’D’D) song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt phẳng này với mặt phẳng (AMN) cũng phải song song với nhau. 
 Mà MN // DC’ (tính chất đường trung bình) 
 DC’// AB’ (do C’B’AD là hình bình hành)
 Suy ra: MN // AB’ hay B’ nằm trên mặt phẳng (AMN).
 Khi đó NB’ là giao tuyến của mp(AMN) với mặt đáy (A’B’C’D’) của hình lập phương. Vậy thiết diện cần dựng là AMNB’ ( Hình 13).
 Trong mặt phẳng (DCC’D’), MN và DC cắt nhau tại điểm Q. 
 Điểm Q MN nên Q (AMN), Q DC nên Q (ABCD). 
 Vậy Q nằm trên giao tuyến của mặt phẳng thiết diện với mặt đáy của hình lập phương.
 Nối AQ. Từ B’ ta kẻ B’I AQ tại I. Vì: 
BI là hình chiếu vuông góc của B’I lên (ABCD)
Mà BI AQ ( Theo định lí 3 đường vuông góc)
Hình 13
 Vậy chính là góc giữa thiết diện với mặt đáy (ABCD). Ta có: 
 = , BB’ = AB
Kẻ NN’ // CC’, N’KAB BN’ // B’N // AQ. Vậy: (hình vẽ)
Ta có đồng dạng với nên: 
 = (1)
Gọi cạnh của hình lập phương là a, ta có: N’K = a, KB = , N’B = .
Thay vào (1) ta có: = 
 Suy ra góc giữa thiết diện và mặt đáy bằng với tan = (). Vậy phương án B đúng.
3.3. Sai lầm khi vận dụng các định lý
 Thông thường khi vận dụng các định lý để chứng minh các tính chất hoặc để tính toán, học sinh vẫn thường gặp các sai lầm sau:
Phát biểu định lý không chính xác.
Vận dụng định lý trong trường hợp chưa đủ điều kiện.
Sử dụng các định lý trong hình học phẳng để đem áp dụng trong không gian.
Sai lầm loại này tôi thường thấy các em mắc phải trong dạng toán chứng minh.
Ví dụ 1. Ghi chú: Ví dụ 1 tác giả tham khảo đề bài trong TLKT số 3. Từ phần sai lầm thường gặp đến hết tác giả tự làm
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt đáy. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
Sai lầm thường gặp 
 Do vuông ở A
 vuông ở A
Ta có: 
 (định lý 3 đường vuông góc).
 Hay vuông tại B 
Tương tự ta có vuông tại D.
 Vậy các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
Phân tích sai lầm
 Hình 14
Sai lầm chủ yếu ở lý luận trên đây là phát biểu điều kiện của định lý ba đường vuông góc không chính xác. Lẽ ra phải viết:
 (theo đ/l 3 đường vuông góc).
Lời giải đúng
 Do: vuông ở A
 vuông ở A
 Ta có: 
 (theo định lý 3 đường vuông góc).
 Tương tự ta có vuông tại D.
 Vậy các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông( đpcm ).
Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy ABC là một tam giác vuông ở đỉnh B. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đường , . Chứng minh rằng: và . Ghi chú: Ví dụ 2 tác giả tham khảo đề bài trong TLKT số 5. Từ phần sai lầm thường gặp đến hết tác giả tự làm
Sai lầm thường gặp
 Có học sinh chứng minh như sau 
Ta có: 
Mặt khác 
Tương tự:
Phân tích sai lầm
 Những lý luận chứng minh trên đây chưa đúng, bởi các em đã dựa vào mệnh
 Hình 15
đề sai: “ Một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng ấy” (Điều này tôi thấy học sinh rất hay mắc phải). Thực ra, để chứng minh cho ta phải chứng minh cho SC vuông góc với hai đường thẳng giao nhau của mặt phẳng (AHK). Tương tự cho trường hợp còn lại.
Lời giải đúng
 Ta có:
 (1) 
 Lại có: (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: .
 Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: (đpcm).
Ví dụ 3 (Khối A-2014). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích của khối chóp và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). Ghi chú: Ví dụ 3 tác giả tham khảo đề bài trong TLKT số 4. Từ phần sai lầm thường gặp đến hết tác giả tự làm
Sai lầm thường gặp
 Tôi nhận thấy ở bài toán này học sinh rất hay nhầm ở ý tính khoảng cách. Nhiều em thực hiện như sau:
 “ Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có nên 
Hay O là hình chiếu vuông góc của điểm A lên (SBD).
Vậy: ”.
Phân tích sai lầm
 Bước giải trên tính sai khoảng cách, do học sinh này không nhớ điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Mới chỉ có mà đã vội ngộ nhận vuông và sử dụng định lý Pitago để tính. Điều này dẫn đến việc tính toán sai hoàn toàn. Ở ý này, ta cần nhận xét được: 
 Hình 16
 . Đến đây ta đi tính khoảng cách từ E đến (SBD) sẽ đơn giản hơn nhiều.
Lời giải đúng
Gọi E là trung điểm của AB. Ta có: . 
Trong có:
Vậy . 
Ta có . 
Hạ 
Trong hạ 
Vì vậy 
Suy ra . 
 Hình 17
Mà . 
Vậy: 
*Nguyên nhân của những sai lầm trên:
- Học sinh không nắm vững các quy tắc vẽ hình trong không gian, không dựa vào các yếu tố của đề bài dẫn đến những sai lầm khi vẽ hình.
- Học sinh không nắm chắc kiến thức hình học trong mặt phẳng, nhầm lẫn giữa hình phẳng và hình không gian dẫn đến sự ngộ nhận trong khi giải toán.
- Học sinh chưa hiểu rõ, vận dụng sai hoặc chưa biết cách vận dụng định nghĩa, các định lý về điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, trong khi làm bài.
- Nhiều học sinh không có ý thức hoặc không có khả năng kiểm tra lời giải. Trước khi đưa ra kết luận không xem xét lời giải một cách thận trọng.
 Ngoài những sai lầm nêu trên, trong quá trình giảng dạy tôi còn nhận thấy một số thiếu sót mà học sinh thường hay gặp như:
Chỉ giải