SKKN Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán trắc nghiệm lớp 12

 A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
 Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó môn toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. 
 Kỳ thi quốc gia 2019 được tổ chức với 2 mục đích xét tốt nghiệp THPT và xét vào đại học, cao đẳng. Đề thi năm 2019, môn Toán thời gian làm bài 90 phút ( với 50 câu trắc nghiệm, nội dung nằm trong chương trình Toán THPT mà chủ yếu lớp 12). Năm 2019 là năm thứ 3 môn Toán được thi bằng hình thức trắc nghiệm khách quan 100%, tuy nhiên đề thi năm 2018, môn Toán được đánh giá là quá khó, nên không phản ánh đầy đủ lực học của học sinh. Đề thi năm 2019, theo thông tin của Bộ, là sẽ nhẹ nhàng hơn, dĩ nhiên phương án nhiễu sẽ tốt hơn. Bởi vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên phải có phải chú ý rèn luyện thêm cho học sinh kỹ năng làm bài trắc nghiệm môn Toán. Trong các tiết giảng dạy hàng ngày cần dành thời gian để kiểm tra việc nắm kiến thức cơ bản, kỹ năng của từng bài theo yêu cầu của chương trình qua việc chuẩn bị thật nhiều các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm kiểm tra lý thuyết lẫn bài tập để khắc sâu kiến thức cho học sinh đồng thời phân tích cho học sinh thấy những sai sót cần tránh và phân tích rõ cách làm bài trắc nghiệm sao cho hợp lý.
 Tài liệu tham khảo trên thị trường tràn lan, nhiều về số lượng mà không đảm bảo chất lượng. Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu được những những kiến thức căn bản, khắc phục được những sai lầm khi giải toán từ đó tự mình làm được những bài tập cơ bản, tiến tới giải quyết được những bài toán nâng cao và thấy yêu thích môn Toán hơn, trên cơ sở tiếp thu một số kết quả của đồng nghiệp đi trước và trong thực tế của quá trình giảng dạy, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là: “ MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM LỚP 12”.
2. Mục đích nghiên cứu.
Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích cải tiến nội dung và phương pháp giảng dạy các tiết học lí thuyết và bài tập, từ đó: 
- Giúp học sinh nhận thấy những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán và cách khắc phục.
- Giúp cho học sinh có khả năng tư duy nhất quán nhưng linh hoạt và sáng tạo. Giúp các em đạt kết quả cao hơn trong học tập môn Toán từ đó mà thấy say mê môn Toán hơn. Đồng thời rèn luyện những đức tính tốt cho học sinh trong học tập và nghiên cứu.
- Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho giáo viên, tạo cảm hứng cho giáo viên sáng tạo hơn nữa trong giảng dạy, thêm yêu ngành yêu nghề.
3. Đối tượng nghiên cứu.
 - Lựa chọn các ví dụ ,các bài tập cụ thể và chỉ ra những sai lầm của học sinh khi vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
4. Phương pháp nghiên cứu.
4.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách, báo, tư liệu, các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài.
4.2.Phương pháp điều tra thực tế:
+ Điều tra GV và HS THPT về tình hình thực tiễn có liên quan.
 + Tham khảo ý kiến của giáo viên Toán về kinh nghiệm xây dựng và khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn.
4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Sử dụng phương pháp thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đề ra.
 B. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận.
G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và những thiếu sót của mình". Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự và bồi dưỡng thêm về mặt tư duy cho bản thân mỗi người. 
Các kiến thức căn bản về Toán học cấp THPT, ít nhiều học sinh cũng đã được học từ bậc THCS, những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù ở câu mức độ nhận biết hay thông hiểu thì cũng sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm, mà quên mất các thao tác quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tínhVì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải.
2. Thực trạng.
Năm học 2018-2019 Bộ giáo dục và đào tạo tiếp tục đổi mới thi THPT Quốc gia. Để giúp học sinh đạt được kết quả tốt trong kỳ thi THPT Quốc gia 2019, giáo viên cần phải tích cực đổi mới phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá theo định hướng phát triển năng lực của học sinh. Môn Toán thi trắc nghiệm 100% (50 câu, thời gian 90 phút ). Để làm được bài thi học sinh phải nắm thật vững kiến thức cơ bản và các kỹ năng cơ bản qui định trong chương trình. Giáo viên phải có ý thức dạy kỹ và sâu kiến thức từng bài học, rèn luyện thật chắc những kỹ năng theo yêu cầu của bài học, bên cạnh đó phải giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, làm việc có kế hoạch và biết hệ thống hóa kiến thức từng bài học.
 Thực tế trong kì thi quốc gia 2018 cho thấy rất nhiều em học sinh chỉ đạt điểm từ 1,0 đến 3,0 điểm, mặc dù 50% các câu thuộc mức độ nhận biết- thông hiểu trong đề thi không khó, nguyên nhân là do các em vẫn ''dính bẫy'' của phương án nhiễu. 
3. Các giải pháp. 
 Trong mỗi câu hỏi trắc nghiệm thường gặp hiện nay, có 4 phương án gồm 1 phương án đúng và 3 phương án nhiễu. Phương án nhiễu thường được xây dựng dựa trên các sai lầm của học sinh. Vì vậy, học sinh phải nắm chắc kiến thức mới có thể quyết định chọn phương án nào trong một thời gian rất ngắn. Sau đây tôi sẽ trình bày một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải toán trắc nghiệm . 
3.1. Nhầm lẫn các loại điều kiện, các khái niệm: 
Ví dụ 1: Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
x
	 0	 4	
y’
	+	 0	 0	+	
y
	 5	 	 
Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm dưới đây?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS nhầm với giá trị cực tiểu của hàm số.
Phương án B: Sai do HS nhầm với giá trị cực đại của hàm số.
Phương án C: Sai do HS nhầm với điểm cực tiểu của hàm số
Lời giải đúng: Từ bảng biến thiên của hàm số ta có hàm số đạt cực đại tại hàm số đạt cực tiểu tại Do đó phương án đúng là D.
Chú ý: Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCD (fCT), còn điểm được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
Ví dụ 2: Đồ thị hàm số nào dưới đây có đúng một đường tiệm cận ngang?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS hiểu rằng Nhưng thực chất và nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
Phương án B: Sai do HS hiểu rằng Nhưng thực chất 
 nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
Phương án C: Sai do HS hiểu rằng Nhưng thực chất nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.
Lời giải đúng: Ta có nên đường thẳng y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Chọn D
Chú ý: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng hoặc ). Đường thẳng là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
Ví dụ 3: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS hiểu rằng Nhưng thực chất trên đoạn thì nên một nguyên hàm của là 
Phương án B: Sai do HS hiểu rằng (vì HS hiểu rằng ). Nhưng thực chất nên 
Phương án D: Sai do HS nhớ nhầm rằng 
Cũng có thể học sinh chọn do nghĩ đề bài yêu cầu chọn phương án Đúng.
Lời giải đúng: Ta có Hơn nữa trên đoạn thì x < 0 nên một nguyên hàm của phải là . Do vậy phương án sai là C.
Chú ý: 
Ví dụ 4: Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình là khoảng . Giá trị của biểu thức bằng
	A. 15.	B. 7.	C. 11.	D. 17.
Lời giải : Ta có 
Suy ra Do đó . Chọn D
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS giải đúng được nhưng lại tính sai
 hoặc do HS giải sai bất phương trình. Cụ thể:
Suy ra Do đó tính được 
Phương án B: Sai do HS giải sai bất phương trình. Cụ thể:
Suy ra Do đó tính được 
Phương án C: Sai do HS giải sai bất phương trình. Cụ thể:
Suy ra Do đó tính được .
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình chóp có đỉnh và đáy là một đa giác nằm trong mặt phẳng , có diện tích bằng . Tính thể tích của khối chóp đó.
	A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính sai độ dài chiều cao của hình chóp. Cụ thể:
Suy ra thể tích khối chóp bằng 
Phương án B: Sai do HS tính đúng độ dài chiều cao nhưng thiếu trong công thức tính thể tích của khối chóp.
Phương án D: Sai do HS tính sai độ dài chiều cao của hình chóp và thiếu trong công thức tính thể tích của khối chóp.Cụ thể:
 và .
Lời giải đúng: Chiều cao của khối chóp có độ dài bằng .
Suy ra thể tích khối chóp đã cho là . Chọn C
Ví dụ 6: Cho hàm số xác định trên và có , , . Khẳng định nào sau đây là sai?
Đồ thị hàm số có ít nhất một tiệm cận ngang là đường thẳng và hai tiệm cận đứng là đường thẳng và ;
Đường thẳng là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số;
Đường thẳng là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số;
Hàm số có hai tiệm cận đứng là đường thẳng và ;
Trong ví dụ này học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc lựa chọn phương án đúng do khi đọc 4 phương án sẽ có cảm giác cả 4 khẳng định đều đúng. Trong sách giáo khoa đưa ra định nghĩa về tiệm cận đứng (tiệm cận ngang) đều nêu rõ là của đồ thị hàm số. Ở đây phương án D thiếu dữ kiện là đồ thị hàm số. Chọn phương án D.
3.2. Xét thiếu trường hợp hoặc quên điều kiện
Ví dụ 6: Tập hợp các số thực m để hàm số có cực trị là
A. 	B. R	C. 	D. 
Lời giải: Ta có 
Xét đổi dấu khi qua x=2 nên hàm số có cực trị
Xét 
 Chọn A
Phân tích phương án nhiễu: Phương án B: Học sinh nhầm 
Phương án C: Học sinh quên không lấy kết quả m=0
Phương án D: Học sinh quên không lấy kết quả m=0 và nhầm 
Ví dụ 7: Với giá trị của tham số thì phương trình có hai nghiệm trái dấu?
 A. . B. . C. .	 D. .
Lời giải:
Đặt . Phương trình đã cho trở thành: .
Yêu cầu bài toán có hai nghiệm thỏa mãn 
 Chọn D
(hoặc có thể áp dụng )
Phân tích phương án nhiễu: Phương án A: Học sinh thiếu điều kiện phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt dương.
Phương án B: Học sinh nhầm điều kiện 2 nghiệm ẩn x trái dấu thành 2 nghiệm ẩn t trái dấu- tức là chỉ giải: , đây là sai lầm mà tương đối nhiều học sinh mắc phải.
Phương án C: Tương tự phương án B, đồng thời nhớ sai điều kiện 2 nghiệm thành cùng dấu. 
Ví dụ 8: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Mẫu số có hai nghiệm phân biệt là và nhưng đồ thị không có đường tiệm cận đứng vì:
 khác vô cực;
 khác vô cực.
Chọn C
Chú ý: Đối với hàm phân thức thì x=a là nghiệm của mẫu thức nhưng không là nghiệm của tử thức, khi đó đường thẳng x=a mới là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ví dụ 9: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa các điểm cực trị đó không vượt quá . Số phần tử của tập hợp S là
	A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải: Ta có.
Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt 
Gọi A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì 
 .
Từ giả thiết ta có 
 .
Kết hợp với điều kiện ta có 
Do đó phương án đúng là C.
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS không đối chiếu điều kiện .
Phương án B: Sai do HS giải sai bất phương trình và không đối chiếu với điều kiện nên tìm ra được 4 phân tử. Hoặc sai do HS hiểu sai điều kiện không vượt quá thành và có đối chiếu với điều kiện .
Phương án D: Sai do HS hiểu sai điều kiện không vượt quá thành và không đối chiếu với điều kiện .
Ví dụ 10 : Đầu mỗi tháng bác An gửi tiết kiệm vào ngân hàng ACB một số tiền như nhau với lãi suất /tháng. Giả sử rằng lãi suất hàng tháng không thay đổi trong năm liền kể từ khi bác An gửi tiết kiệm. Hỏi bác An cần gửi một lượng tiền tối thiểu T (đồng) bằng bao nhiêu vào ngân hàng ACB để sau năm gửi tiết kiệm số tiền lãi đủ để mua được chiếc xe máy có trị giá 30 triệu đồng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải: Giả sử bác An gửi số tiền tối thiểu hàng tháng là T (đồng). 
Đặt r = 
Hết tháng thứ nhất bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là
Hết tháng thứ hai bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng sau n tháng gửi tiết kiệm thì bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là
Dễ dàng tính được 
Suy ra số tiền lãi sau n tháng gửi tiết kiệm là
Theo giả thiết, ta có Suy ra Chọn C 
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính chỉ gửi 35 tháng.
Phương án B: Sai do HS sử dụng công thức của bài toán tính lãi kép và hiểu đề bài yêu cầu số tiền thu được sau 3 năm đủ để mua xe máy có trị giá 30 triệu đồng nên tìm được 
Phương án C: Sai do HS giải đúng như trên nhưng lại làm tròn 
Ví dụ 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để hàm số nghịch biến trên .
A. .	 B. .	 C. .	 D. .
Lời giải: Xét hàm số 
Đặt do nên 
; 
Ta có hàm số nghịch biến trên 
Do đó: Hàm số nghịch biến trên khoảng khi hàm số đồng biến trên khoảng 
ĐK:. Chọn C
Phân tích phương án nhiễu : Phương án A: Học sinh nghĩ rằng chỉ cần y’ âm, đây là sai lầm mà rất nhiều học sinh mắc phải.
Phương án B: Học sinh có suy nghĩ tốt hơn, xong lại quên điều kiện mẫu số khác không
Phương án D: Học sinh lấy điều kiện chặt( dẫn đến sai)
Chú ý: Cho hàm số xác định trên K, hàm số xác định trên J, có tập giá trị T. Nếu hàm số đồng biến trên J, thì hàm số đồng biến(nghịch biến) trên K khi hàm số đồng biến(nghịch biến) trên T. Nếu hàm số nghịch biến thì ngược lại.
Ví dụ 12: Số nghiệm thực của phương trình là
A. 0.	B. 1.	C. 2.	D. 3.
Nếu học sinh chỉ chú ý đến điều kiện x > 0 và giải phương trình có 2 kết quả là (không thỏa mãn x > 0) và x = 1 thì chọn phương án B. Tuy nhiên, x = 1 không thỏa mãn điều kiện mẫu số khác 0. Vì vậy phải chọn phương án A.
Ví dụ 13: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số đạt cực đại tại .
A. . B. .	 C. .	 D. .
Phương án đúng là C: 
Hàm số có và . 
Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại là 
Thử lại: với thì nên hàm số không đạt cực đại tại 
Với thì nên hàm số đạt cực đại tại Vậy giá trị cần tìm là 
Phương án nhiễu A: Học sinh chỉ sử dụng điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại là mà không dùng điều kiện đủ để kiểm tra lại.
Phương án nhiễu B, D: Học sinh không biết cách giải quyết nên chọn bừa.
Ví dụ 14: Trong không gian , cho hai điểm và . Phương trình mặt phẳng và cách điểm một khoảng bằng là:
y + z – 2 = 0;
 hoặc y – z + 2 = 0.
 hoặc y + z – 2 = 0.
Trong ví dụ này học sinh thường có hướng giải theo phương trình mặt phẳng theo mặt chắn. Gọi giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox là điểm A(a;0;0). Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: . Theo giả thiết: . 
Phương trình mặt phẳng (P) là: .
Khi giải đến đây học sinh thường mắc sai lầm lựa chọn phương án B mà quên mất một trường hợp nữa là mặt phẳng (P) có thể không được viết dưới dạng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn. Ở đây học sinh cần phải xét thêm một trường hợp nữa là (P)||Ox. Khi đó, véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) được tính: . Ta lập được phương trình mặt phẳng (P) theo trường hợp này là: y + z – 2 = 0. Trường hợp này thỏa mãn yêu cầu bài toán nên phương án đúng là D.
Ví dụ 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình có hai nghiệm?
 	A. 3.	B. 4. 	C. 5.	 D. 8.
Lời giải đúng:
Phương trình đã cho tương đương với 
. (1)
Đặt , khi đó phương trình trở thành
. (2)
Nhận xét:
	+ Ta có ;
	+ Với mỗi , ta giải ra được hai nghiệm , riêng , ta giải được một nghiệm .
Do đó, để (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi (2) có đúng một nghiệm , nghiệm còn lại nếu (nếu có) phải nhỏ hơn 1. Dùng bảng biến thiên ta giải được hoặc , suy ra có 5 giá trị thỏa đề bài, chọn C.
Phân tích phương án nhiễu:
Phương án D: HS chỉ hiểu đơn giản để (1) có hai nghiệm (2) có hai nghiệm ;
Phương án A: biết đến điều kiện nhưng chưa nắm được quan hệ giữa số nghiệm và số nghiệm ;
Phương án B: giống phương án A nhưng điều kiện .
Ví dụ 16: Số nghiệm thực của phương trình là
A. 0.	B. 1.	C. 2.	D. 3.
Vì có hệ số 2 ở vế trái nên học sinh có thể nghĩ ngay đến công thức khi x dương, học sinh biến đổi về Giá trị này không thỏa mãn điều kiện để có thể thực hiện được công thức học sinh có thể kết luận phương trình đã cho vô nghiệm.
Sai lầm ở đây là học sinh đưa ra điều kiện mới x > 0 để biến đổi và làm mất nghiệm. Lời giải đúng như sau:
Chọn B. Học sinh cần phải cảnh giác với những biến đổi dẫn đến phương trình mới có tập xác định khác tập xác định của phương trình ban đầu.
Ví dụ 17: Cho a là một số thực dương và b là một số nguyên, . Hỏi có bao nhiêu cặp số thỏa mãn điều kiện ?
	A. 198	B. 199	C. 398	D. 399
Lời giải sai: , tức là bỏ mất trường hợp , từ đó dẫn đến chọn đáp án B.
Lời giải đúng : Ta có 
.
Do a là số thực dương nên với mỗi số nguyên b thỏa mãn điều kiện thì sẽ tạo ra một cặp số thỏa mãn yêu cầu đề bài
Do vậy có cặp. Vậy ta chọn C
Ví dụ 18: Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực trị tại điểm .
hoặc .
.
.
Đáp án khác;
Trong ví dụ này học sinh dễ nhầm lẫn giữa phương án B và phương án C.
Đạo hàm của hàm số: .
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x = -2 là y’(-2) = 0.
Khi giải đến đây học sinh vội vàng lựa chọn phương án B mà quên mất việc xét điều kiện đủ để làm số đạt cực trị tại .
Điều kiện đủ:
+ Với thì . Bởi vậy hàm số nghịch biến trên nên không có cực trị.
+ Với thì và .
Khi đó hàm số đạt cực đại tại .
Vậy thì hàm số đạt cực trị tại . Chọn phương án C.
3.3. Biến đổi sai biểu thức hoặc tính toán sai
Ví dụ 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và đường thẳng . Đường thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng AB và d thì có vectơ chỉ phương là vectơ nào trong các vectơ dưới đây?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải đúng: Ta có và đường thẳng có vectơ chỉ phương là 
Ta có là một vectơ chỉ phương của đường thẳng Chọn B
Chú ý: Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng và có vtcp lần lượt là . Lúc này đường thẳng có vtcp . 
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính sai do sắp xếp sai thứ tự trong 
công thức tính tích có hướng của hai vectơ.
Phương án C: Sai do HS xác định sai vectơ chỉ phương của nên tính sai tọa độ vectơ chỉ phương của . Cụ thể : là một vectơ chỉ phương của d. Suy ra nhận vectơ làm một vectơ chỉ phương.
Phương án D: Sai do HS xác định sai tọa độ của vecto nên tính sai tọa độ vectơ chỉ phương của . Cụ thể nhận vecto làm một vectơ chỉ phương.
Ví dụ 20: Tìm số giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số xác định trên .
	A. 9.	B. 5.	C. 10.	D. 6.
Lời giải: Hàm số xác định trên khi và chỉ khi
Suy ra các giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán là . Vậy số 9 có giá trị nguyên tham số . Chọn A
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án B: Sai do HS tính sai biệt thức nên tìm được 5 giá trị .
Phương án C: Sai do HS đếm sai. Cụ thể là có 5 số nguyên thuộc , khoảng là khoảng đối xứng nên trong khoảng có 10 số nguyên.
Phương án D: Sai do HS giải sai như phương án B nhưng đếm sai như phương án C.
Chú ý: Tập xá