SKKN Một số phương pháp sử dụng hàm số mũ và hàm số gôgarit để nâng cao hiệu quả giải các bài toán thực tế trong chương trình THPT

 MỤC LỤC Trang 
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài 2
1.2. Mục đích nghiên cứu2
1.3. Đối tượng nghiên cứu 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu.2
1.5. Những điểm mới của SKKN....3
PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của đề tài.....4
2.2. Thực trạng của đề tài........4
2.3. Giải pháp thực hiện đề tài.5
2.3.1.Cách giải các bài toán tìm lãi xuất ngân hàng dạng gửi tiền một lần.5
 2.3.2. Cách giải các bài toán tìm lãi xuất ngân hàng dạng gửi tiền hàng tháng.5
2.3.3. Cách giải các bài toán tìm lãi xuất ngân hàng dạng trả góp..6
2.3.4. Ví dụ áp dụng6
2.3.5. Một số dạng toán liên quan.13
2.4. Kết quả thực nghiệm..16
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận..19
3.2. Kiến nghị ...19
 TÀI LIỆU THAM KHẢO.20
PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài 
Nếu văn học là môn học với những lí lẽ sâu sắc, những cảm xúc mạnh mẽ. Vật lí nghiên cứu những vấn đề thực tế thì toán học lại cần công thức, lí luận và cả thực tiễn nữa. Thực tiễn dạy học nói chung và dạy toán nói riêng đòi hỏi người thầy phải là người thực sự dẫn dắt, định hướng và khơi dạy trong học sinh niềm đam mê, hứng thứ học tập để các em tự tìm tòi, tự phát hiện ra vấn đề và giải quyết vấn đề.
Năm học 2016-2017, do yêu cầu của thực tiễn, bộ giáo dục đã đổi mới hình thức thi THPT quốc gia, chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm. Vì vậy người giáo viên cũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp. Trong mỗi tiết dạy cần dạy cho học sinh học được vấn đề gì, chứ không phải giáo viên dạy được gì. Hiện nay chương trình SGK giải tích lớp 12, phần đầu chương II: Chương hàm số mũ- hàm số logarit chỉ nêu phần lí thuyết mà có rất ít ví dụ thực tế. Trong khi cấu trúc đề thi THPT quốc gia và các đề thi thử của các trường, các sở giáo dục thường xuyên có câu hỏi về dạng toán thực tế, trong đó có rất nhiều dạng toán lãi xuất ngân hàng.
 Là một giáo viên dạy toán, nhằm cung cấp cho học sinh có được cơ sở để giải các bài toán thực tế về lãi suất ngân hàng, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến “Một số phương pháp sử dụng hàm số mũ và hàm số gôgarit để nâng cao hiệu quả giải các bài toán thực tế trong chương trình THPT”. 
1.2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa kiến thức và kỹ năng, giới thiệu một số dạng toán về lãi suất ngân hàng nhằm phát huy năng lực của học sinh góp phần phát triển năng lực tư duy sáng tạo và kỹ năng giải quyết các vấn đề thực tế.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh khối lớp mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy năm học 2016-2017. Cụ thể là lớp 12C1, 12C3.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích các tài liệu, các đề thi thử THPT 
- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Toán 11,12 (phần Cấp số nhân, Hàm số mũ, hàm số lôgarit).
2. Phương pháp chuyên gia
- Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
3. Phương pháp thống kê toán học
- Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được sau khi tiến hành nghiên cứu.
4. Phương pháp thực nghiệm (thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài tập, củng cố bài học, hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài kết hợp với kiểm tra, đánh giá).
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Sáng kiến kinh nghiệm đã nêu bật được cách dạy học sinh trung bình, học sinh yếu cách làm bài tập trắc ngiệm dạng các bài toán thực tế về lãi xuât ngân hàng. Học sinh được dạy cách xây dựng lý thuyết, làm chắc tự luận để củng cố lại lý thuyết, và cách làm bài tập trắc nghiệm sao cho đúng và nhanh nhất.
PHẦN 2. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lý luận của đề tài
	Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “ Nâng cao dân trí,đào tạo nhân lực,bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông, đặc biệt là môn toán, môn học rất cần thiết và không thể thiếu được trong đời sống con người.
	Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian trong chương trình học của học sinh. Môn toán có tầm quan trọng to lớn. Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người. Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương pháp tư duy, phương pháp suy luận logic, hình thành nhân cách tốt đẹp cho người lao động trong thời đại mới.
	Học sinh THPT đang ở lứa tuổi gần như hoàn thiện, có sức khỏe dẻo dai, rất hiếu động và thích thể hiện mình. Các em nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ quên ngay khi chúng không tập trung cao độ. Vì vậy người giáo viên phải tạo ra hứng thứ trong học tập và thường xuyên được tập luyện. Người dạy cần phải chắt lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh.
	Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 12 từ khi được chỉnh sửa bổ sung vào năm 2006 – 2007, nội dung có phần thay đổi, có phần được đưa thêm các kiến thức mới, các bài toán thực tế được đưa vào cũng nhiều hơn đã đem lại những chuyển biến nhất định trong kết quả dạy và học, làm cho học sinh hứng thú chú ý hơn vào nội dung bài học. Nhất là trong thời đại ngày nay, thông tin bùng nổ với tốc độ chóng mặt, việc dạy học theo hướng thực tiễn là việc làm cần thiết.
	Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp loại bài toán thực tế về lãi suất ngân hàng và một số dạng tương tự.
2.2. Thực trạng của đề tài
	Năm học 2016-2017 bộ GD-ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia của môn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp.	
	Trong các đề thi thử của bộ GD-ĐT và các đề thi thử của các trường THPT, học sinh thường gặp một câu về lãi suất ngân hàng như: Người A muốn gửi vào ngân hàng một khoản tiền a, sau một thời gian với lãi suất r%/tháng thì người A có bao nhiêu tiền. Hay hàng tháng người A muốn rút ra một khoản x để tiêu hàng tháng thì sau n tháng người A còn lại bao nhiêu tiền. 
	Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường THPT Nguyễn Hoàng nói riêng (chất lượng đầu vào thấp),tư duy hệ thống, logic và khái quát của các em còn hạn chế, điều kiện kinh tế của gia đình còn nhiều khó khăn, rất nhiều sinh viên học đại học ra trường không xin được việc làm. Vì vậy 75% số học sinh trong trường không có nhu cầu học đại học, các em chủ yếu lựa chọn học nghề vừa mất ít thời gian, lại có tay nghề tốt, xin việc lại dễ hơn. Vì vậy khi dạy học, giáo viên cần phải liên hệ nhiều đến những kiến thức thực tế để tăng tính tập trung và các em vận dụng kiến thức tốt hơn.
	Đặc biệt, hiện nay có rất nhiều gia đình các em học sinh vay tiền ngân hàng để đầu tư sản suất, và muốn trả góp hàng tháng, vậy nên trả trong thời gian bao lâu để phù hợp với sinh hoạt của gia đình. Học sinh trường THPT Nguyễn Hoàng có khoảng 10% là phụ huynh đi lao động nước ngoài như gia đình bạn Lan ( một học sinh trong lớp 12 ) có bố và mẹ đều đi lao động ở nước ngoài, hàng tháng gửi tiền về cho bạn Lan làm chủ tài khoản, vậy bạn Lan nên rút tiền hàng tháng là bao nhiêu, nên gửi lại theo gói lãi suất nào để được nhiều lãi nhất.
	Trong cấu trúc đề thi THPT quốc gia thường có một câu về lãi suất ngân hàng, dạng này được các sở GD-ĐT, các trường THPT liên tục ra trong đề thi thử. Vì vậy cần phải rèn luyện thành kỹ năng dạng toán này cho các em học sinh.
2.3. Giải pháp thực hiện
Để hiểu và vận dụng được bài toán lãi suất ngân hàng vào làm đề thi THPT quốc gia, vào thực tế, trước hết giáo viên cần xây dựng các dạng bài thường gặp.
2.3.1. Bài toán 1: ( Dành cho gửi tiền một lần) Gửi vào ngân hàng số tiền a đồng, với lãi suất hàng tháng là r%. Tính tiền cả vốn lẫn lãi sau n tháng.
 Bài giải
Ta có: Tháng 1 (n=1) số tiền là 
 Tháng 2 (n=2) số tiền là 
 ..
 Tháng n (n=n) số tiến là 
Vậy số tiền thu được sau n tháng là: (*)
Từ công thức (*) ta suy ra các đại lượng khác là:
Chú ý: Gửi vào ngân hàng số tiền a đồng, với lãi suất hàng tháng là r%/tháng kỳ hạn m tháng. Tính tiền cả vốn lẫn lãi sau n tháng là : (*)
2.3.2. Bài toán 2: ( Dành cho gửi tiền hàng tháng) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền a đồng, với lãi suất hàng tháng là r%. Tính tiền có được sau n tháng.
 Bài giải
Cuối tháng thứ 1 người đó có số tiền là: 
Đầu tháng thứ 2 người đó có số tiền là: 
Cuối tháng thứ 2 số tiền có là: 
Cuối tháng thứ n số tiền có là: (**)
Từ công thức (**) ta có:; 
2.3.3. Bài toán 3: ( Dành cho bài toán trả góp) Một người vay ngân hàng số tiền N đồng, với lãi suất hàng tháng là r%. A là số tiền phải trả hàng tháng để sau n tháng thì hết nợ.
 Bài giải
Số tiền gốc cuối tháng 1 là: 
Cuối tháng thứ 2 số tiền còn là
:
Cuối tháng thứ n số tiền còn là:
Để trả hết nợ sau n tháng thì số tiền sẽ bằng 0. Khi đó
Hay (***)
Chú ý: Nếu rút sổ tiết kiệm theo định kỳ, tức là một người gửi ngân hàng số tiền N đồng, với lãi suất hàng tháng là r%. A là số tiền người gửi rút hàng tháng để sau n tháng thì hết tiền.Ta cũng có 
2.3.4. Ví dụ áp dụng
 Sau khi xây dựng công thức xong, giáo viên cho học sinh những bài tập vận dụng, dạng tự luận để các em ghi nhớ công thức.
Bài 1: Chị Lan có một số tiền là 3000000 đồng đã đem gửi ngân hàng với lãi suất là 0,71%/tháng theo hình thức lãi kép không ký hạn. Hỏi sau hai năm rưỡi chị rút hết vốn và lãi về thì số tiền nhận được là bao nhiêu?
 Bài giải
 Gọi số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng là a
 Sau tháng thứ nhất số tiền là: 
 Sau tháng thứ 2 số tiền là: 
 Sau hai năm rưỡi (30 tháng) số tiền chị Lan có là:
 đồng
Bài 2: Bác Nga muốn dành dụm một số tiền là 10 triệu đồng để mua laptop cho con. Hiện tại bác nga có 4 triệu đồng, nếu bác Nga đem số tiền này gửi ngân hàng theo hình thức lãi kép không kỳ hạn với lãi suất 0,75%/tháng thì sau bao lâu bác Nga có đủ tiền như mong muốn.
 Bài giải
 Gọi số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng là a
 Sau tháng thứ nhất số tiền là: 
 Sau tháng thứ 2 số tiền là: 
 Sau tháng thứ n bác An có số tiền là:
 tháng
Vậy bác An phải gửi ngân hàng 123 tháng mới đủ tiền mua laptop cho con.
Bài 3: Anh Minh dự định mua một chiếc xe máy mới nên quyết định dành tiền bằng cách gửi số tiền hiện có vào ngân hàng. Anh đã chọn hình thức gửi lãi theo kỳ hạn 4 tháng trong 3 năm với lãi suất /tháng. Sau 3 năm anh Minh nhận về 30 triệu đồng để mua xe. Hỏi lúc đầu anh đã gửi vào ngân hàng bao nhiêu tiền. 
 Bài giải
 Nếu học sinh tính tiên hàng tháng thì rất khó, giáo viên hướng dẫn các em tính tiền theo từng kỳ hạn với lãi suất của mỗi kỳ hạn là 
 Gọi số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng là a
 Sau 4 tháng (kỳ hạn thứ nhất) số tiền là: 
 Sau 8 tháng (kỳ hạn thứ 2) số tiền là: 
 Sau 3 năm (kỳ hạn thứ 9) Anh Minh có số tiền là: 
 đồng.
Bài 4: Bốn năm nữa con trai anh Tuấn vào đại học, anh muốn tiết kiệm cho con một khoản tiền để đi học bằng cách, hàng tháng vào ngày lấy lương của mình anh đem gửi ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất 0,75%/tháng (biết ngày lấy lương của anh Tuấn cố định trong các tháng). Vậy sau 4 năm anh có bao nhiêu tiền?
 Bài giải
 Gọi số tiền hàng tháng anh Tuấn gửi vào ngân hàng là 
 Lãi suất hàng tháng của ngân hàng là 
Cuối tháng thứ 1 anh Tuấn có số tiền là: 
Đầu tháng thứ 2 anh có số tiền là: 
Cuối tháng thứ 2 số tiền có là: 
Cuối tháng thứ 48 (hết 4 năm) số tiền anh Tuấn có là: 
 đồng. 
Bài 5: ( Đề minh họa năm 2017)
Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng hể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng. Số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mà ông A phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần là bao nhiêu? Biết lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ.
 Bài giải
Sau một tháng ông A hoàn nợi lần 1, các lần tiếp theo cách nhau đúng một tháng, ông A trả hết tiền nợ sau 3 tháng, tức là ông A hoàn nợ 3 lần.
Lãi suất 12%năm tức là /tháng, gọi số tiền vay ban đầu là số tiền hàng tháng phải trả là 
Số tiền gốc cuối tháng 1 ông A còn nợ là: 
Cuối tháng thứ 2 ông A còn nợ ngân hàng là:
Cuối tháng thứ 3 ông A còn nợ ngân hàng là:
Để trả hết nợ sau 3 tháng thì số tiền sẽ bằng 0. Khi đó
Hay (triệu đồng)
Bài 6: Một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng trong thời gian 10 năm với lãi suất 5%/năm. Hỏi rằng người đó nhận được số tiền nhiều hơn hay ít hơn bao nhiêu nếu ngân hàng trả lãi suất 5/12% một tháng.
 Bài giải
 Học sinh cần xác định đây là dạng bài toán gửi tiền một lần. Áp dụng công thức (*) ta có:
Tiền gửi 10 năm với lãi suất 5% một năm là:
 đồng.
Tiền gửi 10 năm (=120 tháng) với lãi suất 5/12% một tháng là: 
 đồng.
Vậy số tiền gửi theo lãi xuất tháng nhiều hơn và nhiều hơn 181103,71đồng.
 Học sinh trường THPT Nguyễn hoàng khả năng tư duy chậm, nhanh quên nên khi các em nhớ được công thức rồi, tôi sẽ cho các em làm các đề thi thử trắc ngiệm để các em phân dạng được bài toán và áp dụng công thức thành thạo.
Bài 7: (Để thi thử trường THPT Hậu Lộc 3)
 Bác An gửi vào ngân hàng 100 triệu theo hình thức lãi kép kỳ hạn 1 tháng với lãi suât 0,9%/tháng. Lãi hàng tháng được nhập vào vốn, sau 4 năm bác An thu được số tiền là:
 A. 1537361424 đồng B. 1607361424 đồng 
 C. 143736000 đồng D. 150736000 đồng
 Bài giải
 Học sinh cần xác định được đây là bài toán gửi tiền 1 lần. Đổi 4 năm=48 tháng. Áp dụng công thức (*) ta được:
 Số tiền bác An có được là: đồng (chọn A)
Bài 8: (Để thi thử trường THPT Bỉm Sơn)
 Một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền T hàng tháng theo hình thức lãi kép với lãi suất là 0,6%/tháng. Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi người đó gửi vào ngân hàng số tiền mỗi tháng là bao nhiêu (chọn số gần nhất).
A. 635000 đồng B. 535000 đồng C. 613000 đồng D. 643000 đồng
 Bài giải
 Học sinh cần xác định được đây là bài toán gửi tiền hàng tháng (dạng 2)
 Áp dụng công thức ;
 Số tiền gửi hàng tháng là đồng( chọn A).
Bài 9: (Để thi thử trường THPT chuyên KHTN)
 Cô Hà gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi sất 0,7% tháng. Hỏi để được 120 triệu thì phải gửi trong bao lâu?
A. 25 tháng B. 26 tháng C. 27 tháng D. 28 tháng
 Bài giải
 Học sinh cần xác định được đây là bài toán gửi tiền 1 lần (dạng 1). 
 Từ công thức (*) ta suy ra:
 Số tháng phải gửi tối thiểu là: tháng
 Vậy cô Hà phải gửi 27 tháng.( chọn C)
Bài 10: (Để thi thử sở GD-ĐT Thanh Hóa)
 Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi sất 0,7% tháng, theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả ngân hàng 5 triệu đồng, cứ như thế cho đến khi hết nợ( tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng.
A. 22 tháng B. 23 tháng C. 24 tháng D. 22 tháng
Bài giải
 Học sinh cần xác định được đây là bài toán gửi trả góp (dạng 3). Và người vay hàng tháng nợ tiền ngân hàng.
 Từ công thức (***) 
 Ta có 
Vậy để trả hết số nợ thì người đó phải trả trong 22 tháng (chọn A)
Bài 11: (Để thi thử trường THPT Hàm Rồng)
 Giả sử một gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng theo kỳ hạn 1 tháng với lãi suất kép 0,36% tháng. Hỏi mỗi tháng người đó rút ra 1 triệu đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau 2 năm số tiền còn lại của người đó là bao nhiêu? (chọn đáp án gần đúng nhất).
A. 28483326 đồng B. 29483326 đồng 
C. 27483326đồng D. 30483326 đồng
Bài giải
 Học sinh cần xác định được đây là bài toán rút sổ tiết kiệm (dạng 3). Và ngân hàng nợ tiền người vay hàng tháng. 
Áp dụng công thức:
 Sau 2 năm (24 tháng ) người đó còn số tiền trong ngân hàng là:
 đồng (chọn B).
Bài 12: (Để thi thử trường THPT Cẩm thủy 3)
 Một anh sinh viên đi học được gia đình cho gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào ngân hàng theo kỳ hạn 1 tháng với lãi suất kép 0,35% tháng. Nếu mỗi tháng anh rút ra một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi hàng tháng. Anh ấy rút ra bao nhiêu tiền để sau 4 năm số tiền vừa hết (chọn đáp án gần đúng nhất).
A. 1133433 đồng B. 1233433 đồng 
C. 1333433đồng D. 1033433 đồng 
Bài giải
 Học sinh cần xác định được đây là bài toán rút sổ tiết kiệm (dạng 3). Và hàng tháng ngân hàng nợ tiền người gửi tiết kiệm. 
 Áp dụng công thức:
 Sau 4 năm (48 tháng ) Anh sinh viên vừa hết tiền tức là:
Hay (chọn A). 
Bài 13: Gia đình anh Nam muốn tiết kiêm 1 tỷ đồng để mua ô tô trong 5 năm với lãi suất ngân hàng 0,5%/tháng. Hỏi hàng tháng gia đình anh Nam phải gửi ngân hàng số tiền là bao nhiêu (số tiền gửi mỗi tháng là như nhau).
A. 12260000 đồng B. 13260000 đồng 
C. 14260000đồng D. 15260000 đồng
Bài giải
 Học sinh cần xác định được đây là bài toán gửi tiền hàng tháng (dạng 2). 
 Số tiền gia đình anh Nam cần gửi trong 5 năm (60 tháng) là:
 (chọn C).
Bài 14: 
 Một xe máy điện giá 10.000.000 đồng được bán trả góp 11 lần. Mỗi lần trả góp với số tiền 1.000.000 đồng (lần đầu trả sau khi nhận xe được một tháng). Tính lãi suất tiền hàng tháng.
A. 1,42%/ tháng B. 1,32%/ tháng 
 C. 1,52%/ tháng D. 1,62%/ tháng
Bài giải
 Học sinh xác định được đây là bài toán trả góp. Để trả hết số nợ ngân hàng trong 11 lần. áp dụng công thức (***) 
Thay lần lượt (đáp án B) vào (***)
 (đáp án A) vào (***)
 (đáp án C) vào (***)
 (đáp án D) vào (***)
Ta thấy đáp án D đúng nhất (chọn D).
Bài 15: (Sở GD-ĐT hà tĩnh) 
 Một người gửi tiết kiệm 500 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8,4% năm (giả sử lãi hàng năm không thay đổi và lãi được nhập vào vốn) hỏi sau 3 năm người đó thu được số tiền là
A. 620000000 đồng B. 626880000 đồng 
 C. 636880352đồng D. 616880000 đồng
 Bài giải
Khi học sinh đã phân biệt được dạng thì chỉ cần thực hiện 1 phép tính trên máy tính cầm tay, số tiền sau 3 năm là:
 đồng.(chọn đáp án C)
Bài 16: (Đề thi HSG khu vực năm 2013) 
 Một anh sinh viên được gia đình gửi vào sổ tiết kiệm ngân hàng 8000000 đồng,lãi suât 0,9% tháng.
 a) Hỏi sau 5 năm số tiền sẽ là bao nhiêu biết rằng trong suốt thời gian đó anh sinh viên không rút một đồng nào cả gốc lẫn lãi.
 b) Hỏi nếu mỗi tháng anh sinh viên đó rút ra một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng trả lãi thì hàng tháng anh rút ra bao nhiêu tiền để sau 5 năm vừa hết số tiền. 
 Bài giải
a) Áp dụng công thức (*) Số tiền thu được sau 5 năm= 60 tháng là:
 đồng
b) Áp dụng công thức (***) để sau 5 năm số tiền vừa hết thì hàng tháng anh sinh viên phải rút ra số tiền là:
 đồng.
 Như vậy muốn dạy học tốt toán trắc nghiệm, giáo viên phải dạy học sinh cách xây dựng công thức, nêu ví dụ vận dụng, rèn luyện thành kỹ năng để làm bài đúng và nhanh nhất.
 Khi học sinh đã có tư duy tốt, có kỹ năng thành thạo thì khi gặp một số dạng tương tự các em có thể tự lập công thức và giải bài toán một cách nhanh chóng .
Bài 17: (Đề thi thử trường dân tộc nội trú tỉnh Thanh Hóa) 
 Một anh công nhân lĩnh lương khởi điểm là 700.000đồng /tháng, cứ 3 năm anh lại được tăng 7% lương. Hỏ 36 năm làm việc anh công nhân lĩnh tổng cộng là bao nhiêu tiền (lấy chính xác đến hàng đơn vị).
A. 450.788.972 đồng B. 454.788.972 đồng 
 C. 456.788.972đồng D. 452.788.972 đồng
 Bài giải
 Ba năm đầu số tiền của anh công nhân là: 
 Ba năm tiếp số tiền của anh công nhân là: 
 Ba năm cuối số tiền của anh công nhân là:
 Vậy số tiền anh công nhân nhận được sau 36 năm là:
 (chọn đáp án A).
Bài 18: (Đề thi thử trường Quảng Xương 1 Thanh Hóa) 
 Một anh sinh viên X trong thời gian hoạc 4 năm đại học đã vay ngân hàng mỗi năm 10 triệu đồng với lãi suất 3%năm.( Thử tục vay một năm một lần vào đầu năm học. Khi ra trường X thất nghiệp chưa trả được tiền cho ngân hàng ngay, nhưng phải chịu lãi suất 8%năm. Sau một năm X tìm được việc làm và trả nợ dần. Hỏi số tiền X phải trả sau 4 năm đại học và một năm thất nghiệp là? 
A. 46.538.667đồng B. 43.091.385đồng 
 C. 48.621.980đồng D. 45.183.171 đồng
 Bài giải
 Số tiền anh X nợ ngân hàng đầu năm 1 là :10 triệu.
 Số tiền anh X nợ ngân hàng đầu năm 2 là :
 Số tiền anh X nợ ngân hàng cuối năm 2 là :
 Tương tự, cuối năm thứ tư số tiền anh X nợ ngân hàng là:
 đồng
 Cuối năm thứ năm số tiền anh X nợ ngân hàng là:
 đồng (chọn A).
2.3.5. Một số dạng toán liên quan
Bài 19: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2017)
 Vi khuẩn HP (Hlicobacter) gây đau dạ dày tại ngày thứ t là với số lượng biết nếu phát hiện sớm k