SKKN Một số phương pháp giúp học sinh lớp 12 vận dụng hình học vào bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 12 VẬN DỤNG HÌNH HỌC VÀO BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC
Người thực hiện: Hồ Thanh Quý
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán 
THANH HOÁ NĂM 2019
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU .1
1.1. Lí do chọn đề tài ....1
1.2. Mục đích nghiên cứu .....1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.1
1.4. Phương pháp nghiên cứu....1
1.5. Nhứng điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.................................................2
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM........ ..2
2.1.Cơ sở lí luận ....2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..................4
2.3. Các giải pháp thực hiện......................................5
2.3.1. Dạng 1. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số 
phức khi Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng...................................7
2.3.2. Dạng 2. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số 
phức khi quỹ tích điểm biểu diễn là một đường tròn..........................................10
2.3.3.Dạng 3. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số 
phức khi quỹ tích điểm biểu diễn là một Elip.....................................................14
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản 
thân, đồng nghiệp và nhà trường.............16
2.4.1.Đối với hoạt động giáo dục............16
2.4.2. Đối với bản thân........................................17
2.4.3. Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn......................17
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ. . . .........17
3.1. Kết luận........................................17
3.2. Kiến nghị..............................................................18
 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...............................................................................19
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số phức là dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thông và trong các kỳ thi THPT Quốc Gia cũng như các kỳ thi học sinh giỏi. Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức. Nhưng vấn đề đó là đối với học sinh phổ thông hiện nay là khó, học sinh lung túng khi nhận dạng và chọn được phương pháp thích hợp để giải.
 Với mục đích là hình thành và phát triển tư duy toán học cho học sinh, giúp cho học sinh yêu thích và đam mê môn toán, hình thành cho học sinh vốn kiến thức, kỹ năng làm bài, khả nhận dạng và tự vận dụng kiến thức vào các bài toán cụ thể, và vận dụng vào thực tiễn. Vì vậy cần thiết phải tìm ra phương pháp xây dựng các dạng toán sao cho nhanh gọn, dễ hiểu để truyền đạt cho học sinh là rất cần thiết trong dạy học.
Việc dùng công cụ hình học vào giải quyết các bài toán đại số là một cách nhìn rất mới mẻ với học sinh THPT. Mối quan hệ giữa đại số và hình học là một vấn đề rất thú vị. Nếu biết chọn một phương pháp phù hợp ta có thể chuyển một bài toán đại số sang hình học một cách đơn giản, làm cho việc giải bài toán đại số trở nên nhanh gọn và dễ hiểu hơn. Với những lí do trên, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp giúp học sinh lớp 12 vận dụng hình học vào bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của Môđun số phức” 
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với đề tài này hy vọng góp phần nâng cao chất lượng học tập, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số phức bằng phương pháp hình học, giúp các em đỡ lúng túng và tự tin khi đứng trước những bài toán này. Hy vọng đề tài sẽ là tài liệu cho học sinh và giáo viên ôn tập trong các kì thi THPT quốc gia, và các kì thi học sinh giỏi, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong các trường THPT hiện nay.
1.3. Đối tượng nghiên cứu 
 	Nội dung chính của đề tài là phân dạng và chuyển bài toán đại số theo quan điểm hình học. Từ đó hệ thống bài tập theo mức độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh cách ứng dụng phương pháp hình vào xác định tọa độ điểm và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số phức, qua đó phát huy tính tư duy sáng tạo, tự học cho học sinh.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 - Nghiên cứu lí luận: Qua sách giáo khoa, sách tham khảo, một số tài liệu liên quan khác
	- Phương pháp quan sát: Khảo sát quá trình dạy và học tại trường THPT Tĩnh Gia 4.
	- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
 Theo tôi được biết, cũng đã có những đề tài sáng kiến kinh nghiệm viết về các bài toán liên quan đến số phức. Nhưng theo quan điểm của cá nhân tôi trong quá trình đổi mới hình thức thi THPT Quốc gia đối với môn toán thì đề tài của tôi là một quan điểm mới về cách thức làm bài cụ thể, sáng kiến kinh nghiệm này cũng đã trình bày một cách có hệ thống, phân dạng và có phương pháp làm cụ thể đối với từng dạng. Nó cũng sẽ giúp học sinh có cách nhìn bài toán bằng phương pháp mới so với phương pháp tự luận để có thể làm bài nhanh hơn.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
· Môđun của số phức.
 Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ được gọi là môđun của số phức z.
 Kí hiệu 
· Tính chất.
+) Chú ý: 
+) Điểm M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức thì khi đó 
+) 
 · Suy ra hệ quả.
+) 
+) 
+) 
+) 
· Lưu ý:
+) dấu bằng xảy ra 
+) dấu bằng xảy ra 
+) dấu bằng xảy ra 
+) dấu bằng xảy ra 
· Một số quỹ tích.
Biểu thức liên hệ x,y
Quỹ tích điểm M
(1) Đường thẳng
(2) Đường trung trực đoạn AB với 
 hoặc 
Đường tròn tâm I(a,b), bán kính R
 hoặc 
Hình tròn tâm I(a,b), bán kính R
 hoặc 
(1) Elip
(2) Elip nếu 
Đoạn thẳng AB nếu 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một vấn đề khó khăn với nhiều học sinh.Nhưng nếu chúng ta biết nhìn bài toán dưới góc độ hình học thì việc giải sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiên trên thực tế, học sinh còn những hạn chế và thường gặp những khó khăn sau:
 + Kiến thức hình học còn yếu, vì thế nhiều học sinh có tâm lí ngại học phần này.
+ Khả năng phân tích, tổng hợp kiến thức chưa tốt.
+ Kĩ năng biến đổi, phân loại các dạng toán và tìm mối liên hệ giữa các dạng toán chưa tốt.
 Kết quả khảo sát chất lượng học sinh lớp 12 trường THPT Tĩnh Gia 4 cho thấy chỉ có một số học sinh làm tốt, còn lại một bộ phận học sinh làm nhưng không đúng và thường bị mất điểm ở những bài tập này.
 Từ những vấn đề trên tôi áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy và từng bước thu được kết quả tốt trong năm qua.
2.3. Giải pháp giải quyết vấn đề
 Với các dạng bài tập này chỉ cần gắn được điểm biểu diễn hình học của số phức với một đường thẳng, đường tròn, hoặc elip, có phương trình phù hợp là bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Sau đây là một số bài tập minh họa cho phương pháp này. Hi vọng thông qua các bài tập này các em có thể áp dụng để giải những bài tập tương tự.
· Vận dụng kết quả của một số bài toán sau.
Bài toán 1. 
Trong mặt phăng 0xy cho điểm I, đường thẳng d, điểm M thay đổi trên d. Khi đó giá trị nhỏ nhất của IM là? 
 + Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d, khi đó giá trị nhỏ nhất của IM là IH. 
Bài toán 2.
Trong mặt phăng 0xy cho đoạn thẳng AB, và điểm I không nằm trên AB. Điểm M thay đổi trên AB. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MI là?
 Khi đó:
+) Nếu tam giác ABI có IAB tù hoặc ABI tù thì.
+ Nếu tam giác ABI có IAB và IBA đều không tù: 
Bài toán 3.
Cho đường tròn (C) tâm (O, R), và điểm I. Điểm M thay đổi trên (C).
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MI là?
Bài toán 4.
Cho hai điểm A, B. Gọi O là trung điểm AB. 
Một điểm M thay đổi trên elip (E) cố định có tiêu điểm là A và B.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng OM? Khi đó (E) có trục lớn 2a, trục nhỏ là 2b.
Nên giá trị lớn nhất của OM bằng a, giá trị nhỏ nất của OM bằng b.
Bài toán 5.
Cho đường thẳng d, và 2 điểm A, B không nằm trên d. Một điểm M thay đổi trên d. Tìm giá trị nhỏ nhất của P, biết 
+ TH1: Nếu A, B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là d. Khi đó giá trị nhỏ nhất của P là độ dài đoạn thẳng AB khi M = AB Ç d. 
+ TH2: A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d, khi đó giá trị nhỏ nhất của P là độ dài đoạn thẳng A’B khi M là giao điểm của AB' với d.
Bài toán 6.
Cho đường tròn (C) và đường thẳng d. Một điểm M thay đổi trên (C), và một điểm N thay đổi trên d.
Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MN ?
).
Bài toán 7.
Cho hai đường tròn ( ) và (). điểm M chạy
trên ( ) điểm N chạy trên ().
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của đoạn thẳng MN ?
+ TH1 () và () cắt nhau:
 = 0, = 
+ TH2 ()và () ngoài nhau:
 = 
 = 
+ TH3: () và () đựng nhau: 
· Phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của Môđun số phưc bằng hình học.
Bước 1: Từ điều kiện số phức z cho trước đưa ra biểu diễn hình học của số 
phức z.
Bước 2: Chuyển yêu cầu dạng đại số sang tìm cực trị hình học của điểm biểu diễn hình học của z .
Bước 3: Sử dụng kiến thức hình học để giải quyết bài toán (các bổ đề trên) 
2.3.1. Dạng 1: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức khi Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng 
Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A.. B.. C.. D.. 
Hướng dẫn :
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm là điểm biểu diễn hình học của số phức , khi đó 
Ta có
Vậy điểm M thuộc đường thẳng (d): .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên đường thẳng d. 
Giá trị nhỏ nhất của bằng độ dài OH.
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A.. B.. C.. D.. 
Hướng dẫn :
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm là điểm biểu diễn hình học của số phức , khi đó 
Ta có: 
Vậy điểm M thuộc đường thẳng (d): .
Gọi thì 
Khi đó nhỏ nhất Û IM nhỏ nhất
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng . 
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Xét số phức thỏa mãn điều kiện và đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị là:
 A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn:
 Trong mặt phẳng Oxy, điểm là điểm biểu diễn hình học của số phức
 , khi đó 
Ta có: 
Vậy điểm M thuộc đường thẳng 
(d): . 
Đặt 
 Gọi thì 
 thì 
Khi đó .
Như vậy ta cần tìm sao cho nhỏ nhất.
Đặt 
Ta có . > 0 nên và nằm về một phía với đường thẳng d.
 Gọi là điểm đối xứng của qua d, ta có 
 nhỏ nhất là khi . 
Ta có và đi qua nên đường thẳng AA' có phương trình là: .
Gọi ta có tọa độ của là nghiệm của hệ:
 hay .
I là trung điểm của AA' nên tọa độ điểm A' là:
 hay .
. Phương trình .
Tọa độ của là nghiệm của hệ: . 
Vậy .
Chọn đáp án C. 
Bài tập vận dụng.
Bài 1: Nếu là số phức thỏa thì giá trị nhỏ nhất của là
 A. . B. . C. .	 D. .
Chọn đáp án D. 
Bài 2: Cho số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giái trị nhỏ nhất của , tính .
A. B. C . D . 
Chọn đáp án A. 
Bài 3: Cho các số phức . Tìm điểm biểu diễn số 
phức , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm nằm trên đường thẳng 
 và môđun số phức đạt giá trị nhỏ nhất là.
 A. . B. C. . D. .
Chọn đáp án D. 
Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất
 của .
 A.1. B. 2. C. .	 D. 3.
Chọn đáp án B. 
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn: là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
 A. 3. B. . C. .	 D. .
Chọn đáp án D. 
2.3.2. Dạng 2: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môdun số phức khi quỹ tích điểm biểu diễn là một đường tròn
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện .Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của .
 A. . B. . C. . D. 
 Hướng dẫn: 
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm là điểm biểu diễn hình học của số phức , khi đó 
Ta có 
Vậy điểm M thuộc đường tròn (C) tâm I(3; -4) bán kính 
Chọn đáp án A 
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của .
 A. B. C. D. .
Hướng dẫn: 
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm là điểm biểu diễn hình học của số phức , khi đó 
Ta có
Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm bán kính 
Ta có: 
Chọn đáp án D. 
Ví dụ 3: Xét các số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức lần lượt là.
 A. và . B. và .
 C. 6 và 4.	 D. và .
Hướng dẫn: 
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm là điểm biểu diễn hình học của số phức , khi đó 
Ta có 
M thuộc đường tròn (C) tâm (2; -3) bán kính Quỹ tích điểm M là đường tròn : 
Quỹ tích điểm biểu diễn hình học của số phức là đường tròn: 
 thuộc đường tròn tâm bán kính 
Gọi, là điểm biểu 
Ta có: 
Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 
Chọn đáp án B. 
Ví dụ 4: Xét các số phức thỏa mãn . Trong các số phức 
thỏa mãn , gọi và lần lượt là số phức có môđun nhỏ nhất và
môđun lớn nhất. Khi đó bằng.
 A. .	 B. . 	C. .	 D. .
Hướng dẫn:
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm là điểm biểu diễn hình học của số phức , khi đó 
Ta có 
Þ M thuộc đường tròn (C) tâm I(2; 4) 
bán kính 
 đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất khi cũng đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
Đường thẳng OI cắt đường tròn tại hai điểm .
Đường thẳng OI đi qua gốc tọa độ nhận làm véctơ chỉ phương nên có phương trình tổng quát là: .
Tọa độ hai điểm là nghiệm của hệ phương trình:
suy ra và 
Giá trị lớn nhất của = 
Giá trị nhỏ nhất của = .
 , 
Chọn đáp án C. 
Bài tập vận dụng.
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn . Tính tổng của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của .
 A.6. B. 2. C. 10. D..
Chọn đáp án B. 
Bài 2: Cho số phức thỏa mãn và số phức thỏa mãn 
. Tính tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
 A. . B. .	 C. . D. 
Chọn đáp án B 
Bài 3: Cho hai số phức thõa mãn và . Tìm giá trị của .
 A. . B. . C. . D. 
Chọn đáp án C.
Bài 4: Cho các số phức , thỏa mãn và . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng.
 A. .	 B. .	 C. .	 D. .
Chọn đáp án C. 
Bài 5: Cho số phức thõa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
 A. . B. C. D. .
Chọn đáp án D. 
Bài 6: Biết số phức thỏa mãn và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tính 
 A. B. C. D. 
Chọn đáp án D. 
2.3.3. Dạng 3: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức khi quỹ tích điểm biểu diễn là một Elip
Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Tính ?
 A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn:
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm là điểm biểu diễn hình học của số phức , khi đó 
Ta có: 
 (*)
Gọi , , lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của các số phức ,, .
Suy ra 
Khi đó chạy trên Elip có trục lớn , trục nhỏ . Mà . 
Do đó giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của là ; 
 .
Chọn đáp án B. 
Ví dụ 2: Gọi là hình biểu diễn tập hợp các số phức trong mặt phẳng tọa độ sao cho , giá trị lớn nhất của z là. 
 A.1. 	 B. 2. 	 C. 3.	 D. 4 .
Hướng dẫn: Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm là điểm biểu diễn hình học của số phức , khi đó 
Ta có: 
 .
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức là miền trong, và nằm trên Elip có phương trình: .
Elip có .
Nên giá trị lớn nhất của 
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Cho số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức thỏa mãn điều kiện trên và có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Gọi là trung điểm của đoạn AB. Khi đó bằng.
 A. .	 B. .	 C. .	 D. 
Hướng dẫn :
Giả sử (x,y∈R), Ta có: 
 (*)
Khi đó 
Gọi , , lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số phức ,, .
Suy ra 
Khi đó chạy trên Elip có trục lớn , trục nhỏ .
Do đó, phương trình chính tắc của elip là: 
Vậy giá trị lớn nhất của khi có điểm biểu diễn là 
Giá trị nhỏ nhất của khi có điểm biểu diễn là 
Tọa độ trung điểm của là 
Chọn đáp án B.
Bài tập vận dụng.
Bài 1: Cho số phức thỏa mãn . Gọi 
, và số phức . Tính 
 A. . B. .	 C. .	 D. .
Chọn đáp án C.
Bài 2: Cho số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Tính .
 A. . B. . C. . D. .
Chọn đáp án C.
Bài 3: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . 
A. và . 	B. và 1 . 	C. 5 và 3 .	 D. 3 và 2 .
Chọn đáp án A.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Đối với hoạt động giáo dục
 + Thực nghiệm sư phạm là quá trình rất quan trọng nhằm làm sáng tỏ những vấn đề lí luận của đề tài ở trường THPT Tĩnh Gia 4, đồng thời kết quả thu được của thực nghiệm là cơ sở khoa học để xác định tính đúng đắn của đề tài.
 + Kết quả của việc thực nghiệm sư phạm sẽ cho biết được sự phù hợp của đề tài với xu hướng đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hiện nay.
 Sau một năm học 2018-2019 cho việc áp dụng cho đối tượng học sinh ở 2 lớp 12 của trường THPT Tĩnh Gia 4. Kết quả được tiến hành một cách khách quan và thu được kết quả như sau:
 Lớp và số lượng học sinh tham gia thực nghiệm:
STT
Lớp
Sỉ số học sinh
Tổng số học sinh
1
12A3
42
82
2
12A5
40
Tổng hợp điểm kiểm tra của các lớp trước khi áp dụng đề tài vào giảng dạy.	
Lớp
SL
Loại giỏi
Loại khá
Loại TB
Loại yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A3
42
0
0
14
33,3
20
47,6
8
19,1
12A5
40
0
0
12
30
15
37,5
13
32,5
Tổng hợp điểm kiểm tra của các lớp sau khi áp dụng đề tài vào giảng dạy.	
Lớp
SL
Loại giỏi
Loại khá
Loại TB
Loại yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A3
42
6
14,3
17
40,4
15
35,7
4
9,6
12A5
40
5
12,5
15
37,5
14
35
6
15
 2.4.2. Đối với bản thân
 - Đứng trước mỗi bài toán giáo viên phải phân tích về cả nội dung và phương pháp. Từ đó mà bồi dưỡng cho mình kiến thức chuyên môn vững vàng và khả năng truyền thụ kiến thức cho học sinh.
 - Thông qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm, những cách giải quyết vấn đề khác nhau của học sinh làm cho giáo viên có nhiều kinh nghiệm hơn trong dự đoán và xử lí tình huống.
2.4.3. Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn
 Dạng toán này không quá khó, giáo viên nào cũng có thể thực hiện được. Và có thể áp dụng được với tất cả các đối tượng học sinh. Nên tôi đã đem phổ biến trong tổ, các anh chị em trong tổ cũng có nhiều góp ý quý báu và tôi đã mạnh dạn áp dụng vào lớp mình phụ trách và bước đầu đã mang lại thành công .
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận 
 Sau quá trình làm sáng kiến tôi đã rút ra cho mình những bài học kinh nghiệm như sau:
 + Đối với các dạng toán ở trên thì đôi lúc học sinh phân tích bài giải không đúng với yêu cầu của giáo viên, khi đó giáo viên phải tôn trọng và phân tích theo hướng giải của các em sau đó chỉ rõ các ưu, khuyết điểm của hướng giải mà các em đã đưa ra.
 + Với phương pháp trên giúp học sinh tiếp thu bài học một cách tích cực và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo khoa học. Kết quả thu được góp phần không nhỏ, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp mà ngành giáo dục đề ra.
 + Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh rất hào hứng tiếp thu và vận dụng ý tưởng của đề tài, học sinh không còn sợ mà trở nên thích thú, ham tìm hiểu về những bài toán tương tự. Tuy nhiên không phải bất kì bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nào cũng có thể dùng phương pháp hình học. Ngoài phương pháp hình học nêu trên còn rất nhiều kĩ thuật và phương pháp khác để giải dạng toán này. Tuy nhiên phương pháp này cho thấy việc vận dụng dạng bài toán này có hiệu quả, nhanh gọn.
3.2. Kiến nghị
 Vấn đề nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học là nhiệm vụ, trách nhiệm cũng là lương tâm của các thầy, cô giáo. Với tinh thần đó tôi mong muốn góp phần nhỏ trí tuệ của mình trong giảng dạy với các đồng nghiệp. Tuy nhiên do năng lực và thời gian có hạn, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến bổ sung của các đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn, đồng thời giúp đỡ tôi tiến bộ và thành công trong giảng dạy. Mong tất cả các thầy giáo, cô giáo có nhiều sáng kiến kinh nghiệm hay góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy nói chung và bộ môn Toán nói riêng.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Thanh hóa, ngày 24 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKSN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Người thực hiện
 Hồ Thanh Quý 
TÀI LIỆ