SKKN Một số phương pháp để xác định khối tâm của vật rắn và mô men quán tính của một số vật đồng chất

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP 
ĐỂ XÁC ĐỊNH KHỐI TÂM CỦA VẬT RẮN VÀ MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT ĐỒNG CHẤT
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình vật lý bậc trung học phổ thông, khái niệm về vật rắn, tìm hiểu quy luật cân bằng cũng như chuyển động của vật rắn là một khái niệm tương đối trừu tượng đối với học sinh. Bản thân các em chỉ định hình rõ về khái niệm chất điểm, tìm hiểu về quy luật chuyển động của chất điểm, quy luật chuyển động mà chuyển động của các vật xem như là một “điểm” chuyển động. Khi tiếp cận với khái niệm vật rắn, được hiểu là vật có kích thước một khái niệm mới hoàn toàn khác so với khái niệm chất điểm mà các em đã học trước đó, việc tìm hiểu quy luật cân bằng rồi chuyển động của nó trở nên khó khăn trong tiếp cận cũng như khảo sát quy luật chuyển động về sau này. Thực tế qua quá trình giảng dạy tại đơn vị, để giúp cho các em hiểu rõ kiến thức trong phần này thì mấu chốt của vấn đề nằm ở khái niệm khối tâm của vật rắn, xây dựng các hệ thức định lượng về tìm khối tâm của các vật đồng chất. Trong quá trình tiếp cận và vận dụng giải toán các em hiểu rõ được khái niệm khối tâm của vật rắn biết cách xác định được khối tâm vật rắn thì sự trừu tượng đó trở nên rõ ràng hơn, việc giải quyết các bài toán đơn giản cũng như phức tạp trở nên khoa học hơn. Trên cơ sở kiến thức về khối tâm của vật rắn ta có thể vận dụng xây dựng kiến thức về mô men quán tính của vật rắn, tìm ra quy luật chuyển động của vật rắn Từ thực tế trên, bản thân là một giáo viên dứng lớp tôi tìm tòi và xây dựng giúp học sinh hiểu rõ khái niệm khối tâm, một số phương pháp để xác định khối tâm của vật rắn thông qua việc xây dựng chuyên đề “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP 
ĐỂ XÁC ĐỊNH KHỐI TÂM CỦA VẬT RẮN VÀ MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT ĐỒNG CHẤT” 
1.2. Mục đích nghiên cứu
 - Xây dựng hệ thống bài tập về cách xác định khối tâm và xác định mô men quán tính của vật rắn, hỗ trợ cho học sinh nắm vững kiến thức về khối tâm và mô men quán tính của vật rắn, hiểu rõ kiến thức về vật rắn kiến thức cơ sở để học sinh tìm hiểu quy luật cân bằng, quy luật chuyển động của vật rắn.
- Vận dụng ñeå giaûi những baøi tập về khối tâm, những bài tập xác định mô men quán tính của vật rắn. 
- Tạo động lực cho các em học sinh hiểu biết vận dụng và yêu thích kiến thức bộ môn, tự tin trong khi học và làm bài, đồng thời thôi thúc học sinh tự tìm ra những quy luật làm bài đối với các chuyên đề còn lại của môn lý, thậm chí cho các môn học khác.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Xây dựng các phương pháp xác định khối tâm của vật rắn và xác định mô men quán tính của vật rắn dựa vào cách phân bố khối lượng, hình dạng của vật rắn. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Vận dụng tổng hợp kiến thức đã học để xác định khối tâm của vật rắn và xác định mô men quán tính của vật rắn
2. Nội dung 
2.1. Cơ sở lý luận
a. Vật rắn:
Trong cơ học, vật rắn, hay đầy đủ là vật rắn tuyệt đối, là một tập hợp vô số các chất điểm mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ luôn luôn không đổi. Vật thể được xem là vật rắn tuyệt đối khi biến dạng của nó là quá bé hoặc không đóng vai trò quan trọng trong quá trình khảo sát.
b. Khối tâm hay trọng tâm của vật rắn
Coi vật rắn là một tập hợp gồm n phần tử và mỗi phần tử có trọng lượng P1, P2,  Pn. Các trọng lực trên tạo thành một hệ lực song song, điểm đặt (tâm) của hệ lực song song này gọi là trọng tâm (khối tâm) của vật rắn.
c. Mômen quán tính của vật rắn
* Khái niệm
Vị trí khối tâm chưa đặc trưng hoàn toàn cho sự phân bố khối lượng của một hệ. Vì vậy trong cơ học còn có một đặc trưng cho sự phân bố khối lượng là khái niệm mômen quán tính. 
 Mômen quán tính của một vật thể đối với một trục là một đại lượng vô hướng bằng tổng các tích khối lượng của tất cả các điểm thuộc vật thể với bình phương khoảng cách từ các điểm tới trục đó. 
Biểu thức:
 Mômen quán tính có thể biểu thị dưới dạng :
Với:
 Với vật thể rắn đặc chứa các phần tử khối lượng gần như liên tục phép tính tổng được thay bằng phép tính tích phân toàn bộ thể tích của vật thể. 
Khi đưa vào hệ trục toạ độ Oxy ta có:
Đối với hệ toạ độ Oxyz thì: 
* Thứ nguyên và đơn vị của mômen quán tính
Mômen quán tính có thứ nguyên là:
Trong hệ đơn vị SI thì đơn vị mômen quán tính là:
* ý nghĩa của mômen quán tính
Mômen quán tính của chất điểm đối với một trục đặc trưng cho mức quán tính ( sức ì) của chất điểm đó đối với chuyển động quay quanh trục đó. 
Đối với toàn bộ vật rắn mômen quán tính đặc trưng cho sự phân bố khối lượng của vật. 
 * Chú ý 
 Độ lớn của mômen quán tính không chỉ phụ thuộc vào khối lượng của vật rắn mà còn phụ thuộc vào khoảng cách r từ phần tử khối lượng đến trục quay.
Mômen quán tính là một đại lượng cộng được tức là mômen quán tính của vật là tổng các mômen quán tính của các phần tử tạo nên vật. 
 Khi tính mômen quán tính cần chỉ rõ mômen quán tính với trục nào. Vì đối với các trục quay khác nhau (nếu vật không có tính đối xứng) thì mômen quán tính có giá trị khác nhau.
* Định lý trục song song (định lý Huyghen-Steiner)
 Mômen quán tính I của một vật rắn đối với một trục bất kì bằng mômen quán tính của vật đó đối với trục đi qua khối tâm C của vật và song song với trục đó cộng với tích khối lượng M của vật với bình phương khoảng cách d giữa 2 trục đó.
Biểu thức định lý: 
2.2. Thực trạng vấn đề
	Khi tiến hành giảng dạy chương tĩnh học vật rắn (vật lý 10), mặc dù đã xây dựng chi tiết cho học sinh về khái niệm trọng tâm, cách xác định trọng tâm. Tuy nhiên khi tiến hành vận dụng cho các bài toán cụ thể như điều kiện cân bằng của vật rắn có hình dạng không đặc biệt thì đa số các học sinh gặp khó trong giải quyết bài toán. Việc định hình hướng giải quyết vấn đề đối với các em là rất trừu tượng, học sinh chưa có khả năng xác định được vị trí khối tâm của vật rắn để áp dụng cho bài toán thực tế. Ví dụ các vật rắn dạng ghép vật, khối lượng âm, vật phân bố đồng chất không đối xứng
	Khi dạy chương cơ vật rắn (vật lý 12 – nâng cao) trực tiếp phụ trách ở đội tuyển học sinh giỏi thì việc vận dụng kiến thức của học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến mô men quán tính của vật rắn. Bản thân các em lại gặp khó khăn trong việc vận dụng kiến thức đã học để giải quyết bài toán. Trên cơ sở về logic kiến thức, sự khó khăn bản thân học sinh gặp phải, để trợ giúp cho các em có một công cụ hỗ trợ đắc lực để giải quyết các bài toán giúp các em hiểu và vận dụng tốt. Tôi đã xây dựng một số giải pháp sau để hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập. 
2.3. Các các giải pháp đã sử dụng
2.3.1 Xác định khối tâm thường gặp và các phương pháp giải
a. Dạng hình học đối xứng: Từ tính chất hình học có thể suy ra khối tâm của vật: Nếu vật đồng chất có mặt phẳng, trục hoặc tâm đối xứng thì khối tâm của vật nằm tương ứng trên mặt phẳng, trục hoặc tâm đối xứng đó.
	Ví dụ:
	* Khối tâm của đĩa tròn chính là tâm O của đĩa.
	* Khối tâm của hình trụ là trung điểm trục đối xứng.
	* Nếu vật là hình vuông, chữ nhật, hình bình hành thì khối tâm chính là giao điểm 2 đường chéo.
	* Nếu vật là tam giác phẳng đồng chất thì trọng tâm chính là giao điểm 3 đường trung tuyến.
	* Nếu vật là tứ diện đồng chất thì trọng tâm là giao điểm các đoạn nối đỉnh và trọng tâm đáy đối diện.
b. Dạng ghép vật:
	* Chia vật thành nhiều phần nhỏ khối lượng mi đã xác định rõ khối tâm Gi(xi ; yi; zi). 	* Đặt vật vào hệ trục tọa độ Oxy (dạng bản mỏng) hoặc Oxyz (dạng khối).
	* Tọa độ khối tâm của cả vật được xác định theo công thức:
xG = ; yG = ; zG = 
c. Dạng khối lượng âm: Khi vật bị khoét nhiều lỗ có hình thù khác nhau mà trọng tâm của các lỗ khoét có thể tìm được, thì ta có thể áp dụng phương pháp phân chia ở trên, với điều kiện là các lỗ khoét đi có khối lượng mang dấu âm. 
d. Dạng xác định bằng thực nghiệm
Phương pháp cân chỉ áp dụng cho những vật không đồng chất có hình dạng phức tạp và có khối lượng lớn ví dụ như là: máy bay, đầu tầu hoả..
e. Dạng vi - tích phân:
	* Phương pháp chia vật tuy khá hiệu quả trong một số trường hợp nhưng không phải là phương pháp tổng quát nhất, ví dụ nó hoàn toàn “bế tắc” khi gặp những vật thể có hình thù lạ như dạng hình cong, hình khối liên tục... khi đó ta vận dụng phương pháp vi - tích phân.
	* Ta chia vật rắn thành các vi phân dV(hoặc dS; dL), tọa độ khối tâm của vật rắn được xác định như sau:	
 ; ;
 Một số bài tập minh họa
a. Phương pháp hình học đối xứng
Từ tính chất hình học của vật thể ta có thể suy ra được khối tâm của vật: 
	• Nếu vật đồng chất có mặt phẳng, trục hoặc tâm đối xứng thì khối tâm của vật nằm tương ứng hoặc trên mặt phẳng đối xứng, hoặc trục đối xứng, hoặc tâm đối xứng. 
	+ Khối tâm của đĩa tròn chính là tâm O của đĩa (H 1.1). 
	+ Khối tâm của hình trụ là trung điểm của trục đối xứng (H 1.2).
	+ Nếu vật đồng chất là hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành,. thì khối tâm của vật trùng với tâm hình học tức là giao điểm của 2 đường chéo (H1.3).
H1.1
H1.3
H1.2
	+ Nếu vật là tam giác phẳng đồng chất thì khối tâm của nó là giao điểm của 3 đường trung tuyến (H 1.4) . 
 	+ Nếu vật có hình là một tứ diện đông chất thì khối tâm là giao điểm các đoạn nối đỉnh và trọng tâm đáy đối diện (H 1.5). 
H1.5
H1.4
b. Phương pháp ghép vật
 	Cơ sở của phương pháp: ta phân chia vật thành nhiều phần mà vị trí khối tâm của từng phần đã biết rõ. Sau đó áp dụng công thức:
Bài 1: Xác định khối tâm của một hình đồng chất có kích thước như hình vẽ:
H1.6
	Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy như hình (H 1.6).
	Chia vật thành 3 hình chữ nhật:
 + Hình chữ nhật ABCD có tâm .
 + Hình chữ nhật EFGH có tâm .
 + Hình chữ nhật IKLM có tâm là .
 Do hình có trục Oy đối xứng nên khối tâm của vật sẽ nằm trên trục này và có 
 Gọi d, lần lượt là bề dày và khối lượng riêng của vật.
Khối lượng của vật có dạng hình chữ nhật ABCD là:
 Khối lượng của vật có dạng là hình chữ nhật CDEF là:
 Khối lượng của vật có dạng là hình chữ nhật IKLM là: 
Toạ độ khối tâm của vật là: 
a
c
b
A
B
C
y
x
O
	Toạ độ khối tâm của hình cần tìm là:.
H 1.7
Bài 2: Xác định khối tâm của một thanh 
mảnh đồng chất được gập lại thành một tam
 giác có độ dài các cạnh như hình vẽ H 1.6.
	Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy như 
hình (H1.6). Gốc toạ độ O.
	Toạ độ của các đỉnh A(xA, yA); B(0, 0); C(xC,0). Ta có:
Giải hệ trên ta thu được:
	Gọi là khối lượng riêng của vật. Chia vật thành 3 phần:
	+ Phần thứ nhất là đoạn OA có khối lượng và khối tâm của nó nằm tại trung điểm của đoạn OA có toạ độ (x1;y1) = ().
	+ Phần thứ hai là đoạn OB có khối lượng và khối tâm của nó nằm tại trung điểm của đoạn OB có toạ độ (x2;y2) = ().
	+ Phần thứ ba là đoạn AB có khối lượng và khối tâm của nó nằm tại trung điểm của đoạn AB có toạ độ (x3;y3) = ().
	Toạ độ khối tâm của thanh cần tìm là:
Thay số, ta có:	
 Bài 3: Xác định khối tâm của một vật hình vuông cạnh 2a đã bị khoét bởi một hình có dạng như hình (H 1.8).
	Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy như hình (H 1.8). Gốc toạ độ tại O. 
 	Do hình có trục Ox đối xứng nên hình có khối tâm nằm trên trục này và có .
 Gọi là khối lượng riêng và bề dày của vật.
O
x
2a
2a
y
H 1.8
 	Ta lắp vào hình vuông đã bị cắt bằng một hình tam giác đã cắt ta sẽ được toàn bộ hình vuông cạnh 2a và có khối tâm là (0, 0). Khi đó hình vuông cạnh 2a gồm 2 phần:
 + Phần 1 (hình tam giác) có khối lượng và có khối tâm .
 + Phần 2 (phần cần tìm) có khối lượng và có khối tâm là .
 Toạ độ khối tâm của toàn bộ hình vuông cạnh 2a là:
 	Toạ độ khối tâm của hình cần tìm là:.
 Bài 4: Xác định khối tâm của hình đồng chất có dạng như hình vẽ sau:
	Gắn hình vào hệ trục tọa độ Oxy như hình (H 1.9).
Do hình có trục Ox đối xứng nên khối tâm của hình sẽ nằm trên Ox và có tung độ . 
Chia hình thành 2 phần:
y
x
a
a
a
H 1.9
 + Phần 1 (hình vuông) có khối lượng là và có khối tâm 
 + Phần 2 ( hình tam giác ) có khối lượng là và có toạ độ khối tâm .
Toạ độ khối tâm của hình cần tìm :
Thay số, ta được: 
y
O
x
H 1.10
Toạ độ khối tâm của hình cần tìm là: .
Bài 5: Có 3 quả cầu khối lượng được đặt sao cho chúng tạo với nhau thành một tam giác đều . Xác định khối tâm của hệ 3 quả cầu đồng chất đó.
 	Gắn hệ 3 quả cầu vào hệ trục toạ độ Oxy như hình (H 1.12), gốc toạ độ tại O là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 quả cầu có khối lượng m2 và m3.
 	Toạ độ khối tâm của hệ là:
Thay số, ta có:
Vậy toạ độ khối tâm của hình cần tìm là .
Bài 6: Xác định vị trí khối tâm của vật đồng chất, khối lượng phân bố đều là đoạn dây hình cung tròn AB bán kính R, .
Giải:
Dễ thấy yG = 0 do Ox là trục đối xứng.
Chia vật ra thành n phần nhỏ, có độ dài Dlk, 
tọa độ xk = Rcosjk, 
Ta có:
xG = = Mặt khác = 	 = 
Vậy vị trí khối tâm(G) trên trục Ox cách O một đoạn: 	
c. Phương pháp khối lượng âm
Khi vật bị khoét nhiều lỗ có hình thù khác nhau mà trọng tâm của các lỗ khoét có thể tìm được, thì ta có thể áp dụng phương pháp phân chia ở trên, với điều kiện là các lỗ khoét đi có khối lượng mang dấu âm. 
Bài 1: Xác định khối tâm của một bản mỏng độ dày d đồng chất hình tròn bán kính R bị khoét một mẩu hình vuông cạnh là R/2.
y
O
x
R/2
H 1.10
Giải: Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy như hình (H 1.10). 
 	Do hình nhận trục Ox làm trục đối xứng nên khối tâm của hình sẽ nằm trên trục Ox và có .
 	Lấy hình vuông đã khoét lấp vào hình tròn bị khoét ta được hình tròn tâm O và có khối tâm là (0, 0).
 Chia hình tròn thành 2 phần:
 + Phần 1 (hình vuông) có khối lượng: và có toạ độ khối tâm là (.
 + Phần 2 (phần bị khoét) có khối lượng: và có toạ độ khối tâm là:. 
 Hoành độ khối tâm của bản mỏng hình tròn khi chưa bị khoét là:
Như vậy toạ độ khối tâm của hình cần tìm là: .
Bài 2: Người ta khoét một lỗ tròn bán kính R/2 trong một đĩa đồng chất, bán kính R, tìm trọng tâm phần còn lại (vòng tròn nhỏ tiếp xúc với vòng tròn lớn).
Hướng dẫn giải
Gọi: 
- P1, S1 là trọng lượng và diện tích đĩa tròn có bán kính R/2.
- P2, S2 là trọng lượng và diện tích đĩa tròn đã bị khoét.
- P = P1 + P2, S = S1 + S2 là trọng lượng và diện tích đĩa tròn chưa khoét.
- O1, O2, O là trọng tâm các đĩa trên.
- Ta có: và 
+ Theo quy tắc hợp hai lực song song cùng chiều:
Ta có: P = P1 + P2
Nên: 	
Vậy trọng tâm của đĩa bị khoét nằm trên đường nối tâm O1O và cách O một đoạn R/6 (O2 nằm ngoài OO1).
Bài 3: Xác định khối tâm của khối trụ đã bị khoét một phần có dạng là một nửa hình cầu, bán kính R.
y
x
h
H 1.13
	Hình trụ có trục đối xứng là đường thẳng nối tâm 2 đường tròn bán kính R của hình trụ. 
Giải: Khối tâm của toàn bộ hình trụ nằm trên trung điểm trục đối xứng có tung độ .
Do khối hình trên nhận trục Oy làm trục đối xứng nên toạ độ khối tâm của khối hình cần tìm nằm trên Oy và có .
Ta có khối tâm của nửa khối cầu là .
Tung độ khối tâm của khối hình cần tìm là:
Thay số, ta có:
Vậy toạ độ khối tâm của hình cần tìm là .
d. phương pháp thực nghiệm
Bài toán : Xác định trọng tâm của máy bay( khoảng cách a ), biết khoảng cách AB = l
l
C
A
B
a
H 1.27
Hướng dẫn:
Ta có: 
với P là trọng lượng của máy bay.
d. Phương pháp vi - tích phân 
* Phương pháp giải:
Với những vật đồng chất, liên tục không thể sử dụng phương pháp chia vật như trên thì ta có thể dùng phương pháp tích phân. 
+ Với những vật có dạng hình khối đồng chất liên tục thì trước hết chia vật thành các thể tích bé nào đó . Khi đó toạ độ khối tâm được xác định theo công thức:
 	,
trong đó là toạ độ của một điểm nào đó nằm bên trong thể tích . Với những vật đồng chất, liên tục nên ta có thể chuyển phép tính tổng thành tích phân:
trong đó , V là thể tích của hình.
	+ Tương tự đối với toạ độ khối tâm của những vật hình phẳng (hình thang cong) bằng cách lấy tích phân ta cũng có:
trong đó , S là diện tích của hình.
+ Đối với toạ độ khối tâm của đường cong phẳng với thì được xác định như sau:
trong đó , còn L là độ dài của cung.
* Các bài tập minh họa
Bài 1: Xác định vị trí khối tâm của các vật đồng chất sau đoạn dây nửa đường tròn bán kính R.
Giải:
 Gọi G là khối tâm của đoạn dây, ta có:
	 (trong đó rL : khối lượng của đoạn dây; Dli là phần nhỏ của đoạn dây có khối lượng rDli ).
H.1.14
Bài 2: Xác định khối tâm của một thanh đồng chất (H 1.12).
 	Chia thanh thành nhiều phần tử nhỏ khối lượng là dm, chiều dài dx và bề dày là d, khối lượng riêng là. 
 	Ta có: dm =.d.dx
 	Toạ độ khối tâm của thanh:
Mặt khác diện tích của thanh: 
.
Thay vào công thức trên, ta được:
Vì thanh đồng chất nên khối lượng tỉ lệ với diện tích:
Vậy toạ độ khối tâm của thanh là: C.
Bài 3: Xác định khối tâm của thanh đồng chất có dạng cung tròn góc giới hạn của bán kính bằng 
Hướng dẫn: Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm (G) của đoạn dây nằm trên trục Ox (hình vẽ)
Xét phần tử có độ dài dl và khối lượng dm: 	
O
x
G
R
a/2
dl; dm
dj
A
B
Vị trí khối tâm (G) cách tâm O: 
	Với: 
Vậy vị trí khối tâm(G) trên trục Ox cách O một đoạn: 	
Bài 4: Xác định khối tâm của vật đồng chất, khối lượng phân bố đều là đoạn dây nửa đường tròn bán kính R.
Giải:
Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm (G) của đoạn dây nằm trên trục Ox (hình vẽ).
Giải tương tự như ví dụ 2.
O
x
G
R
Xét phần tử có độ dài dl và khối lượng dm: 
Vị trí khối tâm (G) cách tâm O: 
	Với: 	
Vì là đoạn dây nửa đường tròn bán kính R nên: 	
Vậy từ (*) suy ra vị trí khối tâm(G) trên trục Ox cách O một đoạn: 	
O
x
G
R
a/2
dr
dj
B
A
Bài 5: Xác định vị trí khối tâm của vật đồng chất, khối lượng phân bố đều là bản hình quạt bán kính R, .
Giải:
Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm (G) của bản hình quạt nằm trên trục Ox (hình vẽ).
Xét phần tử aS (phần tô đen) giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính r và (r + dr) có góc chắn cung là , ta có:
Vị trí khối tâm (G) cách tâm O: 
	 	Với: 
Thực hiện phép tính tích phân ở (*) ta thu được: 
Vậy vị trí khối tâm(G) trên trục Ox cách O một đoạn: 	
Bài 6: Xác định vị trí khối tâm của vật đồng chất, khối lượng phân bố đều là bản bán nguyệt bán kính R.
Giải:
Do tính chất đối xứng nên khối tâm (G) của đoạn dây nằm trên trục Ox (hình).
O
x
G
R
a/2
dr
dj
B
A
Xét phần tử aS giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính r và (r + dr) có góc chắn cung là Ta có:
Vị trí khối tâm (G) cách tâm O: 
	 	Với: 
Thực hiện phép tính tích phân ở (*) ta thu được: 
Vì là bản bán nguyệt bán kính R nên: 	
Vậy từ (**)suy ra vị trí khối tâm(G) trên trục Ox cách O một đoạn: 	
Bài 7: Xác định toạ độ khối tâm của cung đường dây xích , .
Giải:	
Vì đường cong đối xứng đối với trục Oy nên trọng tâm của nó nằm trên trục Oy, nghĩa là xC = 0. Ta tìm tung độ yC .
	Ta có ; khi đó dL = ; độ dài của cung
y
0
 b
 a
H 1.16
Do đó:
Vậy toạ độ khối tâm của đường dây xích là (0; 1,18a).
2.3.2 Mômen quán tính của vật rắn đối với một trục cố định và một số bài toán xác định mômen quán tính của vật rắn
a.Mômen quán tính của vật rắn
* Khái niệm
Vị trí khối tâm chưa đặc trưng hoàn toàn cho sự phân bố khối lượng của một hệ. Vì vậy trong cơ học còn có một đặc trưng cho sự phân bố khối lượng là khái niệm mômen quán tính. 
 Mômen quán tính của một vật thể đối với một trục là một đại lượng vô hướng bằng tổng các tích khối lượng của tất cả các điểm thuộc vật thể với bình phương khoảng cách từ các điểm tới trục đó. 
Biểu thức:
 Mômen quán tính có thể biểu thị dưới dạng :
Với:
 Với vật thể rắn đặc chứa các phần tử khối lượng gần như liên tục phép tính tổng được thay bằng phép tính tích phân toàn bộ thể tích của vật thể. 
Khi đưa vào hệ trục toạ độ Oxy ta có:
Đối với hệ toạ độ Oxyz thì: 
b. Một số bài toán xác định mômen quán tính của một số vật rắn có hình dạng khác nhau.
Δ
Hình 1
Bài 1: Xác định mômen quán tính của thanh đồng chất có khối lượng m và có tiết diện nhỏ so với chiều dài l của nó, trục quay Δ đi qua trung điểm của thanh và vuông góc với thanh (hình 1) :
	Giải:
Chia thanh thành những phần khối lượng nhỏ dm, ta có:
Với: là khối lượng của mỗi đơn vị dài của thanh, là vi phân chiều dài của thanh
Mô men quán tính với thanh được xác định bởi:
Bài 2: Xác định mô men quán tính đối với đĩa tròn mỏng đồng chất có khối lượng m, có bán kính R, trục quay Δ đi qua tâm đĩa tròn và vuông góc với mặt đĩa (hình 2) :
Giải:
Chia đĩa thành những phần khối lượng thỏa mãn:
Với 
Suy ra:
M