SKKN Một số kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS Hoằng Anh

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY DẠNG TOÁN 
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
Ở TRƯỜNG THCS HOẰNG ANH
1. MỞ ĐẦU 
1.1. Lí do chọn đề tài
 Qua thực tế công tác quản lí và dạy học nhiều năm tôi thấy rằng chương trình cải cách giáo dục với nội dung và kiến thức ngày càng cao. Việc đòi hỏi học sinh phải nắm được kiến thức cơ bản theo yêu cầu mới, học sinh phải biết vận dụng lí thuyết vào giải quyết các bài tập thực tế. Trong chương trình môn toán THCS ở mỗi phân môn như: số học, đại số, hình học đều có những dạng toán riêng. Mỗi dạng toán đòi hỏi phải có những phương pháp riêng, phải nghiên cứu nó một cách hợp lí thì mới có thể học và đào sâu được kiến thức cũng như việc hình thành kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh. Khi giải quyết các bài tập toán học không những đòi hỏi học sinh phải linh hoạt trong việc áp dụng các công thức mà còn phải biết đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hoá, khái quát hoá kiến thức
Năm học 2016-2017 trường THCS Hoằng Anh tiếp tục nâng cao chất lượng dạy học, mỗi giáo viên thực hiện đổi mới trong phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa trong học tập của học sinh, coi trọng thực hành, rèn luyện năng lực tự học của học sinh. Bằng những kinh nghiệm quản lí chỉ đạo chuyên môn và trực tiếp giảng dạy môn toán, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến: “Một số kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS Hoằng Anh” với hy vọng sẽ giúp người dạy và người học tháo gỡ được một số những tồn tại và vướng mắc trong quá trình thực hiện. 
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Tôi nêu ra kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử, qua đó phát huy trí lực, năng lực tư duy, sáng tạo của học sinh khi làm bài.
Giáo dục học sinh phát triển một cách toàn diện phù hợp với thời đại công nghiệp hóa hiện đại hóa hiện nay.
Nâng cao chất lượng dạy học, tạo hứng thú cho học sinh khi học bài phân tích đa thức thành nhân tử.
Nâng cao được tính chủ động và sáng tạo của học sinh trong học toán. 
Khi tính toán các phép tính đối với đa thức, nhiều khi cần thiết phải biến đa thức đó trở thành một tích.
 	Việc phân tích đa thức thành nhân tử được áp dụng vào: Rút gọn biểu thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 
Để phân tích đa thức thành nhân tử thì có nhiều phương pháp, ngoài ba phương pháp cơ bản như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử ta còn có các phương pháp khác như tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ (đổi biến), hệ số nhất định, xét giá trị riêng do đó khi giảng dạy người giáo viên giúp học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để phát huy được trí lực của học sinh, phát triển được tư duy toán học. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 	+ Thời gian thực hiện: Năm học 2016- 2017
+ Địa điểm: Trường THCS Hoằng Anh - Thành Phố Thanh Hóa 
+ Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8 - trường THCS Hoằng Anh
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, sách hướng dẫn giảng dạy, sách bài soạn, sách giáo khoa, hướng dẫn và phát triển đại số. 
Điều tra thực nghiệm khảo sát kết quả học tập của học sinh 
Phát hiện và giải quyết vấn đề, vấn đáp, luyện tập, hoạt động hợp tác nhóm. 
Tiến hành thực nghiệm ngay trong các tiết học, rút kinh nghiệm giờ dạy của chính bản thân.
Điều tra đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy.
Trao đổi ý kiến, thảo luận với đồng nghiệp, tổ chuyên môn về những băn khoăn vướng mắc hay vấn đề phức tạp khi dạy bài phân tích đa thức thành nhân tử mà bản thân chưa giải quyết được để tìm ra những điểm cần khắc phục.
Tổng kết kinh nghiệm: Sau khi tìm được những ưu điểm, nhược điểm của giờ dạy qua thể hiện một giờ, đặt ra hệ thống câu hỏi để học sinh suy luận, phát hiện rồi từ đó nhận xét đánh giá việc hiểu bài và vận dụng của học sinh để đưa ra việc điều chỉnh cách dạy, học của giáo viên và học sinh. 
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ cở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học. 	 [1]
Một trong những thành tố cơ bản và trọng yếu của đổi mới giáo dục là công tác đổi mới phương pháp dạy- học. Chỉ có đổi mới phương pháp dạy- học chúng ta mới có thể tạo được sự đổi mới thực sự trong giáo dục. Cốt lõi của đổi mới phương pháp dạy- học là hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động, được tổ chức thông qua phương pháp dạy- học tích cực.
Phương pháp dạy và học mới không chỉ làm cho người học phát triển tư duy độc lập, sáng tạo mà còn giúp người thầy thêm tiến bộ, trưởng thành. Cùng với đó, cần đổi mới căn bản hình thức và phương pháp thi, kiểm tra, đánh giá kết quả giáo dục, đào tạo, bảo đảm trung thực, khách quan, công bằng. Cần gắn chặt giáo dục và đào tạo với nhu cầu phát triển kinh tế-xã hội, với sản xuất, kinh doanh; gắn nhà trường, viện nghiên cứu với các cơ sở sản xuất, nhà máy, xí nghiệp; gắn lý luận với thực tiễn công cuộc đổi mới, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Đó là những phương cách tốt nhất, hiệu quả nhất để đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo và phát triển nguồn nhân lực nước nhà, như văn kiện trình Đại hội XII của Đảng đã đề ra. 	 [2]
Để đạt được hiệu quả cao trong dạy học sinh phân tích đa thức thành nhân tử thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy học sinh làm trung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực, sáng tạo và tự giác học tập và ứng dụng vào thực tiễn. 
Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chóng thì trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đã cho thành tích của những đa thức, sau đó nắm chắc những phương pháp cơ bản và các phương pháp nâng cao để phân tích.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua khảo sát chất lượng đầu năm môn toán tôi thu được kết quả sau:
Môn Toán
Lớp 8
Thống kê điểm
Điểm 8 ;9 ;10
Điểm 5 ;6 ;7
Điểm 3 ;4
Điểm 1 ;2
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11
27.5%
21
52.5%
8
20.0%
0
0%
 	Tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy :
* Về học sinh: Có nhiều học sinh nắm được kiến thức cơ bản nhưng chưa có tư duy logic trong việc vận dụng, đồng thời còn không ít học sinh chưa nắm được kiến thức cơ bản, chưa nắm vững được phương pháp để giải một bài toán Chính vì vậy mà kết quả còn nhiều hạn chế. Như vậy rõ ràng học sinh học yếu toán là do phương pháp học tập thụ động, mơ hồ. Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao. Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác, không mở rộng khai thác phát triển, sáng tạo bài toán nên không phát huy được hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân. 
* Về giáo viên: 
Luôn có xu hướng ôm đồn kiến thức vì còn chạy theo đủ nội dung trong SGK học sinh không hiểu nên bài dạy còn dài dòng, chưa làm nổi bật trọng tâm bài học;
Về phương pháp còn gặp nhiều lúng túng trong việc vận dụng các phương pháp đặc trưng bộ môn nói riêng và phương pháp dạy học nói chung, việc ứng dụng công nghệ thông tin để đổi mới phương pháp còn nhiều lúng túng, việc dạy học tích hợp, kiến thức liên môn còn chưa thực sự sâu sắc;
Về kiểm tra đánh giá việc ra đề đôi khi còn mang tính chủ quan chưa thực sự phù hợp với đối tượng học sinh đặc biệt là học sinh yếu kém;
Công tác soạn giảng mặc dù có nhiều cố gắng nhưng thật sự chưa có sự đột phá cả về nội dung và phương pháp.
Vấn đề đặt ra là: Làm thế nào để thu hút, huy động được toàn bộ các đối tượng học sinh trong lớp có hứng thú say mê và nắm vững phương pháp khi học và giải bài tập toán ?
 Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và học sao cho phù hợp. Xuất phát từ tình hình thực tế điều tra và giảng dạy trực tiếp tôi đưa ra một số kinh nghiệm dạy phân tích đa thức thành nhân tử như sau : 
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Biện pháp thứ nhất: Dạy giải toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp cơ bản và một vài phương pháp khác
* Các phương pháp cơ bản:
- Phương pháp đặt nhân tử chung: A.B + A.C = A (B + C).
+ Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử xuất hiện trong đề bài.
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác
+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
Ví dụ:
 	5a2b2 - 10a3b + 20a2b = 5a2b (b - 2a - 4b2)
 	2x (y - z ) + 5y (z - y) = 2x(y - z) - 5y(y - z) = (y - z)(2x - 5y)
 	xm + 3 + xm( x3 + 1) = xm(x + 1) (x2 - x + 1)
- Phương pháp dùng hằng đẳng thức 
Việc trước tiên học sinh học thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
 	1. ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
 	2. ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
 	3. A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
 	4. ( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
 	5. ( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
 	6. A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2) 
 	7. A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2) [3]
+ Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ:
 	9x2 - 4 = (3x)2 - 22 = (3x - 2)(3x + 2)
 	8 -27a3b6 = 23- (3ab2)3 = (2 - 3ab2)(4 + 6ab2 + 9a2b4)
 	25x4 -10x2y+y2 = (5x2 - y)2
- Phương pháp nhóm nhiều hạng tử. [3]
	Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức nhằm mục đích:
	+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
+ Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
Ví dụ:
 	2x3 - 3x2 + 2x - 3 = (2x3 + 2x ) - (3x2 + 3)
 = 2x(x2 +1) - 3(x2 +1)
 = (x2 +1) (2x - 3)
 	x2 - 2xy + y2 - 16 = (x - y )2 - 42 
 = (x - y - 4) (x - y + 4)
- Phối hợp nhiều phương pháp [3]
 	Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên sau : 
 + Phương pháp đặt nhân tử chung.
 + Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
 + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
Ví dụ:
1) 3xy2 - 12xy + 12x = 3x( y2 - 4y + 4) = 3x (y -2 )2
 2) 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy 
 = 3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1)
 = 3xy 
 = 3xy 
 = 3xy 
 = 3xy (x - 1 - y - a)(x - 1 + y +a )
Củng cố các phương pháp cơ bản
Để học sinh nắm vững các phương pháp phân tích một cách tổng quát giáo viên yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm (4 học sinh) tóm tắt lại các phương pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử dưới dạng sơ đồ tư duy và cho học sinh trình bày lại
* Một số phương pháp khác 
- Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
 	Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng Phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
Ví dụ: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử .
Cách 1: x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 
 = x (x - 2) - 4(x - 2) 
 = (x - 2) (x - 4)
Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1 
 = ( x - 3)2 - 1
 =( x - 3 - 1)( x - 3 + 1)
 = (x - 4)(x -2)
Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12
 =(x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 4)(x - 2)
Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + 4 ) - 6(x - 4)
 =(x - 4)(x + 4 - 6) = (x - 4)(x - 2) 
Cách 5: x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4 = (x - 2)2 - (x - 2)
 =( x - 2)(x - 2 - 2) = (x - 4)(x -2) 
Tuy rằng có nhiều cách tách nhưng thông dụng nhất là hai cách sau:
Cách 1: Tách hạng bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
Áp dụng: trong khi phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm như sau: (Tách hạng tử bậc nhất bx)
Bước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 =  = ai.ci = 
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci 
 với b = ai + ci
Bước 3: Tách bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp.
Ví dụ: Phân tích đa thức 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử. 
 	Tích ac là 4.(3) = 12
Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).
Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
Chọn 2 thừa số có tổng là : 8 đó là 2 và (6)
 	3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)
 	 = x(3x + 2) + 2(3x + 2) 
 = (x + 2)(3x +2)
Cách 2: Làm xuất hiện hiệu hai bình phương (Tách hạng tử bậc hai ax2)
4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 
 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) 
 = (x + 2)(3x + 2)
Cách 3: Tách thành 4 số hạng rồi nhóm thành hai nhóm (tách hạng tử tự do c)
3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) =  = (x + 2)(3x + 2)
Cách 4: (tách 2 số hạng, 3 số hạng)
 (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
 (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) =  = (x + 2)(3x + 2)
Cách 5 (nhẩm nghiệm) 
Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta tách như sau : 
 f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
Làm xuất hiện hiệu hai bình phương [3]
Bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
[4]
- Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử. Thông thường hay đưa về dạng:
 	A2 – B2 = (A – B)(A + B ) sau khi thêm bớt 
Ví dụ: 
 	4x2 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2
 =( 2x2 + 9)2 - (6x)2
 = (2x2 + 9 - 6x)(2x2 + 9 + 6x)
Từ bài toán đơn giản ta có thể phát triển thêm cho đối tượng học sinh khá
Dạng 2 :Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương
Ví dụ Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử 	 [5]
Cách 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 
 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) 
 = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)
 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1)
 = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)
 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Ví dụ Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử
Cách 1:
x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Cách 2: x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)
 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) 
Bài tập tương tự: 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 [5]
Dạng 3: Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung [6]
Ví dụ Phân tích đa thức x5 + x - 1 thành nhân tử 
Cách 1. x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1
 = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)
 = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Cách 2. Thêm và bớt x2 
x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)
 = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Ví dụ Phân tích đa thức x7 + x + 1 thành nhân tử 
x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)
	 = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) 
 = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)
	 = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1)
 Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đều chứa nhân tử là x2 + x + 1.
Bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- Phương pháp đổi biến số (Đặt ẩn phụ )
Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản đã học ở trên.
Ví dụ: Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + 3thành nhân tử .
 	Đặt x2 = y ta được 6y2 - 11y + 3 = ( 3y + 1)(2y + 3)
 	Vậy: 6x4 - 11x2 + 3 = ( 3x2 - 1 )(2x2 - 3)
Ví dụ: Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử.
 	Đặt x2 + x = i ta được y2 + 4y + 2 = (y +1)(y + 2)
Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y.
 	(x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x + 2)
Ví dụ: Phân tích đa thức sau x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1. thành nhân tử :
Cách 1. Giả sử x ≠ 0. Ta viết đa thức dưới dạng :
	.
	Đặt thì . Do đó :
	A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2
	 = = (x2 + 3x - 1)2.
	Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0.
Cách 2. A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 
 = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1
 = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2.
Bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
[7]
- Phương pháp hệ số bất định 
 	Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng (a + b)( cx2 + dx + m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.
Ví dụ: Phân tích đa thức x3 - 19x - 30 thành nhân tử.
 	Nếu đa thức này phân tích được thành nhân tử thì tích đó phải có dạng 
 	(x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x +ac
 	Vì 2 đa thức này đồng nhất nên:
 a + b = 0
 ab + c = -19
 ac = -30
Chọn a = 2, c = -15
Khi đó b = -2 thoả mãn 3 điều kiện trên
 	Vậy: x3 - 19x - 30 =(x + 2)(x2- 2x - 15)
- Phương pháp xét giá trị riêng
 	Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại.
Ví dụ 
 P = x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) thay x bởi y thì thấy
 P = y2 ( y - z) + y2 (z - y) = 0 như vậy P chứa thừa số (x - y)
Vậy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( đa thức P có thể hoán vị vòng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x - y) thì cũng chứa thừa số (y - z), (z - x ). Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x).
 	Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z.
còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y,z 
 	Vì đẳng thức x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x).
đúng với mọi x, y, z. Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng chẳng hạn: x = 2, y = 1, z = 0
Ta được: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) k =-1
 	Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)
Ngoài ra ta còn có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành nhân tử,trong đó a,b,c có vai trò như nhau trong biểu thức đó.Nếu F(a,b,c) = 0 khi a=b thì F(a,b,c) sẽ chứa nhân tử a-b,b-c,c-a .Nếu F(a,b,c) là biểu thức đối xứng của a,b,c nhưng F(a,b,c) ≠ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a= -b, F(a,b,c) có triệt tiêu không,nếu thoả mãn thì F(a,b,c) chứa nhân tử a+b và từ đó chứa các nhân tử b+c, c+a. 	 [8]
Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử
F(a,b,c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b)
 	Khi a = b ta có F(a,b,c) = a2(a - c) + a2(c - a) = 0, do đó F(a,b,c) có chứa nhân tử (a - b). 
 	Tương tự F(a,b,c) chứa các nhân tử (b - c) và (c - a). Vì F(a,b,c) là biểu thức bậc ba do đó F(a,b,c) = k(a - b)(b - c)(c - a). 
Cho a = 1,b = 0,c = -1 ta có 1 + 1 = k.1.1.(-2) Þ k = -1
Vậy F(a,b,c) = -(a - b)(b - c)(c - a)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 
F(x,y,z) = (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz .
 	Khi x = -y thì F(x,y,z) = -y2z + y2z = 0 nên F(x,y,z) chứa nhân tử x + y
Lập luận tương tự ví dụ 1, ta có : F(x,y,z) = (x + y)(y + z)(z + x).
- Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3 + 3x - 4
 	Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì nhân tử còn lại có dạng (x2 + bx + c)
 -ac = - 4 a là ước của - 4
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi.
Ước của (- 4) là (-1), 1, (-2), 2, (-4), 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức đa thức chứa nhân tử (x - 1). Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhâ