SKKN Một số kinh nghiệm bỗi dưỡng kiến thức thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi cho học sinh lớp 10 – THPT

I. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
	Trong chương trình Vật lý lớp 10 kiến thức về thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi là một nội dung quan trọng. Vừa có tính ứng dụng thực tế cao, vừa liên quan đến nhiều nội dung khác trong chương trình học tập tiếp theo. Tuy nhiên, việc vận dụng các kiến thức lý thuyết để giải các bài tập cụ thể, học sinh còn gặp rất nhiều khó khăn. Khi tính thế năng trọng trường nhiều học sinh chỉ biết áp dụng công thức: Wt=mgz một cách máy móc, cho rằng z là độ cao của vật so với mặt đất. Hay cứ hễ tính thế năng đàn hồi là học sinh lại vận dụng công thức: Wđh= 12k∆l2 (hay Wđh=12kx2), mà không hiểu được với công thức này thì mốc thế năng được chọn ở vị trí nào, nếu khi chọn mốc thế năng ở vị trí khác, thì biểu thức thế năng đàn hồi có thay đổi không? Do đó học sinh rất lúng túng khi gặp những bài tập phức tạp mà ở đó hệ có cả thế năng đàn hồi và thế năng trọng trường và đương nhiên là các em sẽ không thể biết cách để chuyển những bài tập này thành những bài tập đơn giản hơn. Vì vậy, đối với học sinh thuộc lớp có môn khối là môn Vật lý, việc bồi dưỡng thêm kiến thức về thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi, giúp các em hiểu rõ bản chất khái niệm và có thể vận dụng thành thạo để giải các bài tập, kể cả các các bài tập phức tạp là một việc quan trọng không thể thiếu được.
Trên tinh thần đó tác giả lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Một số kinh nghiệm bỗi dưỡng kiến thức thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi cho học sinh lớp 10 – THPT”.
	Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song đề tài nghiên cứu không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được sự đóng góp những ý kiến quý báu của quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nâng cao chất lượng giảng dạy về kiến thức thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi, trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lý lớp 10 THPT cũng như là xây dựng một nền tảng kiến thức vững chắc, để giúp học sinh học tốt phần dao động cơ Vật lý lớp 12 và tham dự kì thi THPT Quốc gia đạt kết quả tốt hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh lớp 10; 12 - THPT
- Quá trình dạy học Vật lý ở trường phổ thông
- Hệ thống kiến thức lý thuyết và hệ thống bài tập về thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi thuộc chương trình Vật lý lớp 10 - THPT
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ sách, báo, mạng internet và bài tập về thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi.
- Phương pháp điều tra: Quan sát, điều tra, trao đổi trực tiếp với đồng nghiệp và học sinh, để tìm hiểu tình hình học tập của các em.
- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: Thực nghiệm sư phạm đánh giá hiệu quả sử dụng đề tài nghiên cứu trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lý lớp 10 năm học 2016 – 2017 của trường THPT Tĩnh Gia II.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. Cơ sở lý luận
2.1.1. Định nghĩa về công
Khi một lực không đổi tác dụng lên một vật và điểm đặt của lực đó chuyển dời một đoạn s, theo hướng hợp với hướng của lực một góc α, thì công thực hiện bởi lực đó được tính bằng công thức: [1] (1)
2.1.1.1. Công của trọng lực
	Chọn trục tọa độ Oz, có gốc O tại mặt đất, phương thẳng đứng và chiều dương hướng từ dưới lên.
	Một vật khối lượng m, chuyển động trong trọng trường từ vị trí M (có tọa độ z) đến vị trí O’ (có tọa độ z0) như hình (h.1a) hoặc (h.1b). 
	Xét trên độ dời Δs rất nhỏ (xem như một đoạn thẳng). Công của trọng lực thực hiện là: (α là góc hợp bởi P và ∆s)
“Công toàn phần thực hiện trên cả quãng đường từ M đến O’ là: ” [3]. 
Vậy, công của trọng lực thực hiện khi vật chuyển động từ vị trí có tọa độ cao z, đến vị trí có tọa độ cao z0 là: AP=mgz-z0 (2)
- Chú ý: Công thức (2) vẫn đúng cho trường hợp vật đi theo quỹ đạo bất kì
- Nhận xét: Công của trọng lực không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo, mà luôn bằng tích độ lớn của trọng lực với hiệu tọa độ cao của hai đầu quỹ đạo như hình vẽ (h.1.a) và (h.1.b).
2.1.1.2. Công của lực đàn hồi
	Xét con lắc lò xo, gồm một lò xo có chiều dài tự nhiên l0, độ cứng k, một quả cầu nhỏ khối lượng m gắn vào đầu một lò xo nằm ngang, đầu kia của lò xo được giữ cố định (h.2a). Cùng với lò xo, quả cầu di chuyển theo phương ngang. Bỏ qua các lực cản. Chọn trục Ox trùng với phương của trục lò xo, gốc O tại vị trí của đầu lò xo tự do (khi lò xo không biến dạng), chiều dương theo chiều tăng độ dài của lò xo [3].
Lực đàn hồi của lò xo ứng với vị trí lò xo có độ biến dạng ∆x=l-lo là: Fđh=-k∆x (3)
Ta hãy tính công do lực đàn hồi thực hiện khi vật di chuyển từ vị trí M (lò xo có độ biến dạng bằng ∆l) đến vị trí O’ (lò xo có độ biến dạng ∆lO=l-lO', với lO' là độ dài của lò xo, khi đầu tự do ở vị trí O’).
“Ta chia nhỏ độ biến dạng toàn phần, thành những đoạn biến dạng vô cùng nhỏ Δx, sao cho tương ứng với độ biến dạng này lực đàn hồi được coi là không đổi” [3]. Như hình (h.2b).
Áp dụng công thức (1), “công nguyên tố do lực đàn hồi thực hiện trên đoạn biến dạng Δx là: ” [3]. Công toàn phần của lực đàn hồi thực hiện là: 
Vậy, công của lực đàn hồi thực hiện khi vật đi từ vị trí lò xo có độ biến dạng ∆l, đến vị trí lò xo có độ biến dạng ∆lO được tính bằng công thức: 
 (4)
Làm tương tự với con lắc lò xo đặt theo phương thẳng đứng hoặc phương nằm nghiêng, ta cũng thu được biểu thức (4).
+ Nếu : Vật đi từ nơi lò xo có độ biến dạng lớn đến nơi lò xo có độ biến dạng nhỏ hơn, thì công của lực đàn hồi là công dương
+ Nếu : Vật đi từ nơi lò xo có độ biến dạng nhỏ đến nơi lò xo có độ biến dạng lớn hơn, thì công của lực đàn hồi là công âm
- Nhận xét: Công của lực đàn hồi phụ thuộc độ biến dạng đầu và cuối của lò xo.
2.1.2. Thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi
2.1.2.1. Thế năng trọng trường
a) Liên hệ giữa thế năng trọng trường và công của trọng lực
	Thế năng của một vật m, tại vị trí M (có tọa độ z) bằng công của trọng lực thực hiện, khi vật m chuyển động từ M đến vị trí chọn làm mốc thế năng O’ (O’ có tọa độ z0).
b) Biểu thức thế năng trọng trường
Từ mối liên hệ giữa thế năng trọng trường và công của trọng lực, ta có công thức tính thế năng của vật m tại vị trí M là:
Wt=AP= mgz-z0 (5) 
Nếu đặt h = z – z0, ta có: Wt=mgh (6) 
Với h là hiệu tọa độ cao của điểm tính thế năng và điểm chọn làm mốc thế năng (h.3).
- Khi vật tại vị trí chọn làm mốc thế năng M≡O', thì: z = z0 .
Thế năng của vật tại những vị trí cùng độ cao với vị trí chọn làm mốc thế năng, thì bằng không.
- Khi vật tại vị trí M cao hơn vị trí chọn làm mốc thế năng O’như hình (h.3), thì:.
- Khi vật tại vị trí M thấp hơn vị trí chọn làm mốc thế năng O’, thì:
.
2.1.2.2. Thế năng đàn hồi của lò xo
a) Liên hệ giữa thế năng đàn hồi và công của lực đàn hồi
	Tương tự như thế năng trọng trường, thế năng đàn hồi của lò xo tại một vị trí, bằng công của lực đàn hồi thực hiện khi vật chuyển động từ vị trí đó đến vị trí chọn làm mốc thế năng. 
b) Biểu thức thế năng đàn hồi
Từ mối liên hệ giữa thế năng đàn hồi và công của lực đàn hồi, ta có công thức tổng quát tính thế năng đàn hồi của lò xo là: Wđh=Ađh=12k∆l2-∆lO2 (7), với ∆lO là độ biến dạng của lò xo tại vị trí O’chọn làm mốc thế năng, ∆l là độ biến dạng của lò xo tại vị trí tính thế năng.
- Nếu: ∆l>∆lO→Wđh>0. Tại điểm tính thế năng, nếu độ biến dạng của lò xo lớn hơn độ biến dạng tại vị trí chọn làm mốc, thì thế năng có giá trị dương
- Nếu: ∆l<∆lO→Wđh<0. Tại điểm tính thế năng, nếu độ biến dạng của lò xo nhỏ hơn độ biến dạng tại vị trí chọn làm mốc, thì thế năng có giá trị âm.
- Nếu: ∆l=∆lO→Wđh=0. Thế năng đàn hồi tại vị trí chọn làm mốc, hoặc vị trí có độ biến dạng bằng độ biến dạng của vị trí chọn làm mốc, thì giá trị thế năng bằng không (hai vị trí này đối xứng nhau qua O).
- Nếu: ∆lO=0→O'≡O→Wđh=12k∆l2 (8). Nếu chọn mốc thế năng tại vị trí của đầu lò xo tự do, khi lò xo không biến dạng, thì biểu thức thế năng đàn hồi là biểu thức (8). Đây chính là biểu thức mà sách giáo khoa (SGK) đã đưa ra.
2.1.3. Các ví dụ
Ví dụ 1: Một vật nặng có khối lượng m = 2 kg. Lấy g = 10 m/s2.
a) Tính thế năng của vật tại A cách mặt đất 3 m về phía trên và tại đáy giếng D cách mặt đất 5 m với mốc thế năng tại mặt đất.
b) Tìm lại kết quả câu a) nếu lấy mốc thế năng tại đáy giếng.
Giải: Áp dụng công thức: 
a) Lấy mốc thế năng tại mặt đất (h.4a).
- Vì điểm A ở cao hơn mặt đất (cao hơn mốc thế năng) 3 m, nên hA = 3 m. Thế năng của vật tại A là: 
- Vì điểm D ở thấp hơn mốc thế năng 5 m, nên hD = - 5 m.Thế năng của vật tại D là: 
b) Lấy mốc thế năng tại đáy giếng D (h.4b).
- Vì điểm A ở cao hơn mốc thế năng 8 m, nên hA = 8 m. Thế năng của vật tại A là:
-Vì điểm tính thế năng D trùng với điểm chọn làm mốc, nên hD = 0. Thế năng của vật tại đáy giếng D là:
Ví dụ 2: Một vật có khối lượng m = 3 kg được đặt ở một vị trí trong trọng trường và có thế năng tại vị trí đó bằng 500 J. Thả tự do cho vật rơi tới mặt đất, tại đó thế năng của vật bằng – 900 J. Lấy g = 10 m/s2.
a) Hãy xác định vị trí ứng với mức không của thế năng đã chọn.
b) Hỏi vật đã rơi từ độ cao nào so với mặt đất?
Giải: a) Áp dụng công thức: 
Theo đề bài, thế năng của vật tại mặt đất là:
Vậy, vị trí chọn làm mốc thế năng ở cao hơn mặt đất là:
 z0 = 30 m, như hình (h.5).
 b) Tại vị trí thả vật rơi, vật có thế năng là:
 .
Mặt khác, 
Vậy, vật đã rơi từ độ cao 46,7 m so với mặt đất (h.5).
Ví dụ 3: Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang, gồm lò xo nhẹ, có độ cứng k = 100 N/m và vật nhỏ có khối lượng m = 100 g. Ban đầu người ta kéo vật để lò xo dãn ra 8 cm, rồi thả ra nhẹ nhàng cho vật chuyển động qua lại xung quanh vị trí cân bằng O của vật (O: trùng với vị trí của đầu lò xo tự do khi lò xo không biến dạng).
a) Tính thế năng đàn hồi của lò xo khi vật tại vị trí lò xo dãn 6 cm và tại vị trí lò xo nén 3 cm, với mốc thế năng đàn hồi tại vị trí O.
b) Tính lại kết quả câu a), nếu lấy mốc thế năng đàn hồi tại vị trí đầu tự do của lò xo, khi lò xo dãn 4 cm.
Giải: a) Lấy mốc thế năng đàn hồi tại vị trí O (h.6a)
Trường hợp lấy mốc thế năng đàn hồi tại vị trí đầu tự do, khi lò xo không biến dạng, nên ta áp dụng công thức: 
- Thế năng đàn hồi của lò xo khi lò xo dãn 6 cm:
Ta có: 
- Thế năng đàn hồi của lò xo khi lò xo nén 3 cm:
Ta có 
b) Lấy mốc thế năng đàn hồi, là vị trí đầu tự do của lò xo khi lò xo dãn 4 cm (h.6b)
Trường hợp lấy mốc thế năng khác với vị trí O, nên ta áp dụng công thức: , trong đó: ∆lO=4 cm=0,04 m
- Thế năng tại vị trí lò xo giãn 6 cm: 
Ta có: 
- Thế năng tại vị trí lò xo nén 3 cm
Ta có:
+ Nhận xét: Qua ví dụ này nhận thấy, thế năng đàn hồi cũng có giá trị dương; bằng không, hoặc âm. Đồng thời thế năng đàn hồi cũng phụ thuộc vào vị trí chọn mốc thế năng.
Ví dụ 4: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, gồm lò xo có độ cứng k = 100 N/m và vật nặng m = 100 g. Giữ vật theo phương thẳng đứng làm cho lò xo dãn 8 cm, rồi thả ra nhẹ nhàng cho vật chuyển động. Bỏ qua mọi ma sát và lực cản, lấy g = 10 m/s2. Chọn gốc thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi tại cùng một vị trí cân bằng O của vật. Tính thế năng trọng trường, thế năng đàn hồi và thế năng của hệ tại vị trí vật cách O một khoảng 5cm.
Giải: Tại vị trí cân bằng O, lò xo dãn một đoạn ∆l0, ta có:
k.∆l0=mg=>∆l0=mgk=0,1.10100=0,01m=1cm
Áp dụng trực tiếp các công thức (6) và (7)
- Trường hợp vật cao hơn mốc O (h.7a):
+ Ta có: h=5 cm=0,05 m, thế năng trọng trường của vật là: 
Wthế năng trọng trường=mgh = 0,1.10.0,05 = 0,05 (J)
+ Lò xo bị nén một đoạn là: ∆l=h-∆l0=5-1=4 cm
=>Wthế năng đàn hồi=12k∆l2-∆l02=121000,042-0,012=0,075 (J)
+ Thế năng hệ:
 Wthế năng hệ=Wthế năng trọng trường+Wthế năng đàn hồi
=>Wthế năng hệ=0,05+0,075=0,125 (J)
- Trường hợp vật thấp hơn O (h.7b): 
+ h=-5 cm, thế năng trọng trường của vật là:
Wthế năng trọn trường=mgh = 0,1.10.(- 0,05) = - 0,05 (J)
+ Lò xo dãn một đoạn là ∆l=h+∆l0=5+1=6 cm, thế năng đàn hồi của lò xo: 
Wthế năng đàn hồi=12k∆l2-∆lO2=121000,062-0,012=0,175 (J)
+ Thế năng của hệ: 
Wthế năng hệ=Wthế năng trọng trường+Wthế năng đàn hồi
=>Wthế năng hệ=-0,05+0,175=0,125 (J)
 Nhận xét: Thế năng của hệ, ở hai vị trí cao hơn hoặc thấp hơn mốc O những khoảng bằng nhau thì có giá trị bằng nhau.
Chú ý: Để tính thế năng của hệ tại vị trí vật cách O một khoảng x ta có thể áp dụng công thức: Wthế năng hệ=12kx2 (*)
Ta chứng minh công thức (*)
Chọn trục Ox, gốc O tại vị trí cân bằng của vật, phương thẳng đứng, chiều dương cùng với chiều dãn của lò xo như hình (h.8a) và (h.8b)
- Tại vị trí vật có tọa độ x, độ cao của vật so với mốc O và độ biến dạng của lò xo lần lượt là: h=-x; ∆l=x+∆lO như hình (h.8a) hoặc (h.8b)
- Dựa vào mối liên hệ giữa thế năng và công, ta có “thế năng của hệ tại vị trí vật có tọa độ x, bằng tổng công của trọng lực và lực đàn hồi thực hiện, khi vật m đi từ vị trí đó về vị trí chọn làm mốc thế năng O” [7]: 
Wthế năng hệ=Wthế năng trọng trường+Wthế năng đàn hồi=Ap+Ađh
=>Wthế năng hệ=mg-x+12kx+∆l02-∆l02
=>Wthế năng hệ=-mgx+12kx2+kx.∆l0
Thay ∆l0=mgk, vào biểu thức trên ta được: Wthế năng hệ=12kx2
Áp dụng công thức (*) cho bài toán trên:
Với x=± 0,05 m, ta có: Wthế năng hệ=12kx2=12100.±0,052=0,125 (J)
Ví dụ 5: Một con lắc lò xo đặt thẳng đứng, đầu dưới cố định, đầu trên gắn vật nhỏ m = 200 g, lò xo nhẹ, có độ cứng k = 80 N/m. Bỏ qua mọi ma sát và lực cản, lấy g = 10 m/s2. Ban đầu vật đang nằm yên ở vị trí cân bằng, người ta kéo vật dọc theo phương của trục lò xo, để lò xo dãn ra 5 cm, rồi thả ra nhẹ nhàng cho vật dao động qua lại xung quanh vị trí cân bằng. Chọn mốc thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi tại cùng một vị trí cân bằng O. Tính thế năng của hệ tại vị trí vật cách O một khoảng 4 cm.
Giải: Tại vị trí cân bằng của vật lò xo bị nén một đoạn ∆lO, ta có:
 Fđh=P→k∆lO=mg
Vì: ∆l0=l-l0∆l0=-mgk
=>∆l0=-0,025m=-2,5cm
Cách 1: Áp dụng công thức (6) và (7)
- Trường hợp vật ở vị trí cao hơn O như hình (h.9a), ta có: 
+ h=4 cm, thế năng trọng trường của vật:
 Wt=mgh=0,2.10.0,04=0,08J
+ Lò xo có độ biến dạng ∆l=h-∆l0=4-2,5=1,5 cm, thế năng đàn hồi của lò xo: Wđh=12k∆l2-∆l02=12800,0152--0,0252
=>Wđh=-0,016 (J)
+ Thế năng của hệ: Wthế năng hệ=Wt+Wđh=0,08-0,016=0,064 (J)
- Trường hợp vật ở vị trí thấp hơn O như hình (h.9b), ta có: 
+ h=-4 cm, thế năng trọng trường của vật: Wt=mgh=0,2.10.-0,04
=>Wt=-0,08 (J)
+ Lò xo có độ biến dạng: ∆l=h+∆l0=4+2,5=6,5 cm, thế năng đàn hồi của lò xo:
 Wđh=12k∆l2-∆l02=12800,0652--0,0252=0,144 (J)
+ Thế năng của hệ: Wthế năng hệ=Wt+Wđh=-0,08+0,144=0,064 (J)
Cách 2: Thiết lập biểu thức thế năng của hệ
- Tại vị trí vật có tọa độ x như hình (h.10a) hay (h.10b), vật có độ cao so với mốc O là: h=x và lò xo có độ biến dạng là: ∆l=x+∆lO
- Thế năng của hệ tại vị trí vật có tọa độ x, bằng tổng công của trọng lực và lực đàn hồi thực hiện, khi vật đi từ vị trí đó về vị trí O chọn làm mốc thế năng
Wthế năng hệ=Wthế năng trọng trường+Wthế năng đàn hồi=Ap+Ađh
=>Wthế năng hệ=mgx+12kx+∆l2-∆lO2=mgx+12kx2+kx.∆lO
Thay: ∆lO=-mgk vào phương trình trên ta được: Wthế năng hệ=12kx2 
Áp dụng bằng số, thay x=±4 cm
Wthế năng hệ=12kx2=1280.±0,042=0,064 (J)
Ví dụ 6: Con lắc lò xo gồm vật khối lượng m = 500 g, lò xo có độ cứng k = 100 N/m đặt trên mặt phẳng nghiêng, với góc nghiêng α = 300 so với mặt phẳng nằm ngang, đầu trên lò xo gắn cố định, đầu dưới gắn vật m. Đưa vật lệch khỏi vị trí cân bằng theo phương trùng với trục của lò xo, đến vị trí lò xo dãn 7 cm rồi buông không vận tốc đầu, thì vật dao động qua lại xung quanh vị trí cân bằng O. Bỏ qua mọi ma sát và lực cản, lấy g = 10 m/s2. Chọn mốc thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi tại cùng vị trí cân bằng O. Tính thế năng của hệ tại vị trí vật cách O một khoảng 4 cm.
Giải: Tại vị trí cân bằng của vật, lò xo bị dãn một đoạn ∆lO, ta có: 
Fđh=P→k.∆lO=mgsinα→∆lO=mgsinαk=0,5.10.sin300100
=>∆l0=0,025m=2,5 cm
Cách 1: Áp dụng công thức (6) và (7)
- Trường hợp vật ở về phía chân mặt phẳng nghiêng (h.11a), ta có:
+ h=-x.sinα=-4.sin300=-2cm, thế năng trọng trường của vật:
Wt=mgh=0,5.10.-0,02= - 0,1 (J)
+ ∆l=x+∆l0=4+2,5=6,5 (cm), thế năng đàn hồi của lò xo:
Wđh=12k∆l2-∆lO2=121000,0652-0,0252=0,18 (J)
+ Thế năng của hệ: Wthế năng hệ=Wt+Wđh=-0,1+0,18= 0,08 (J)
- Trường hợp vật ở về phía đỉnh mặt phẳng nghiêng (h.11b), ta có:
+ h=x.sinα=4.sin300=2cm, thế năng trọng trường của vật:
Wt=mgh=0,5.10.0,02=0,1 (J)
+ ∆l=x-∆l0=4-2,5=1,5 cm, thế năng đàn hồi của lò xo:
Wđh=12k∆l2-∆lO2=121000,0152-0,0252=-0,02 (J)
+ Thế năng của hệ: Wthế năng hệ=Wt+Wđh=0,1-0,02=0,08 (J)
Cách 2: Thiết lập biểu thức thế năng của hệ
Thế năng của hệ tại vị trí vật có tọa độ x, bằng tổng công của trọng lực và lực đàn hồi thực hiện, khi vật đi từ vị trí đó về vị trí O chọn làm mốc thế năng:
Wthế năng hệ=Wthế năng trọng trường+Wthế năng đàn hồi=Ap+Ađh
=>Wthế năng hệ=Ap+Ađh=mgh+12k∆l2-∆l02
Tại vị trí vật có tọa độ x như hình (h.12a) hay (h.12b), ta có:
+ Độ cao: h=-x.sinα và độ biến dạng của lò xo: ∆l=x+ ∆l0
+ Wthế năng hệ=- mgx.sinα+12kx+∆l02-∆l02
=>Wthế năng hệ=12kx2
Thay: x= ±4 cm vào công thức trên ta được
Wthế năng hệ=12100.± 0,042=0,08 (J)
Ví dụ 7: Con lắc lò xo gồm vật khối lượng m = 300 g, lò xo có độ cứng k = 100 N/m đặt trên mặt phẳng nghiêng, với góc nghiêng α = 300 so với mặt phẳng nằm ngang, đầu dưới lò xo gắn cố định, đầu trên gắn vật m. Đưa vật lệch khỏi vị trí cân bằng theo phương trùng với trục của lò xo, đến vị trí lò xo dãn 6 cm rồi buông không vận tốc đầu, thì vật dao động qua lại xung quanh vị trí cân bằng O của vật. Bỏ qua mọi ma sát và lực cản, lấy g = 10 m/s2. Chọn mốc thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi tại cùng vị trí cân bằng O. Tính thế năng của hệ tại vị trí vật cách O một khoảng 5 cm.
Giải: Tại vị trí cân bằng của vật, lò xo bị nén một khoảng ∆lO, ta có: 
Fđh=P→k∆lO=mgsinα→∆lO=mgsinαk
=>∆l0=-mgsinαk=-0,3.10.sin300100=- 0,015m=- 1,5 cm
Cách 1: Áp dụng công thức (6) và (7)
- Trường hợp vật ở về phía đỉnh mặt phẳng nghiêng như hình (h.13a), ta có: 
+ h=x.sinα=5.sin300=2,5cm, thế năng trọng trường của vật:
Wt=mgh=0,3.10.0,025=0,075 (J)
+ ∆l=x-∆l0=5-1,5=3,5 cm, thế năng đàn hồi của lò xo:
Wđh=12k∆l2-∆lO2=121000,0352-0,0152=0,05 (J)
+ Thế năng của hệ: Wthế năng hệ=Wt+Wđh=0,075+0,05=0,125 (J)
- Trường hợp vật ở về phía chân mặt phẳng nghiêng như hình (h.13b), ta có: 
+ h=-x.sinα=-5.sin300=-2,5cm, thế năng trọng trường của vật:
Wt=mgh=0,3.10.-0,025=- 0,075 (J)
+ ∆l=∆l0+x=5+1,5=6,5 cm, thế năng đàn hồi của lò xo:
Wđh=12k∆l2-∆lO2=121000,0652-0,0152=0,2 (J)
+ Thế năng của hệ: Wthế năng hệ=Wt+Wđh=- 0,075+0,2=0,125 (J)
Cách 2: Thiết lập biểu thức thế năng của hệ
Thế năng của hệ tại vị trí vật có tọa độ x, bằng tổng công của trọng lực và lực đàn hồi thực hiện, khi vật đi từ vị trí đó về vị trí O chọn làm mốc thế năng:
Wthế năng hệ=Wthế năng trọng trường+Wthế năng đàn hồi=Ap+Ađh
=>Wthế năng hệ=Ap+Ađh=mgh+12k∆l2-∆l02
Tại vị trí vật có tọa độ x như hình (h.14a) hay (h.14b), ta có:
+ Độ cao: h=x.sinα và độ biến dạng của lò xo: ∆l=x+ ∆l0
+ Wthế năng hệ=mgx.sinα+12kx+∆l02-∆l02
=>Wthế năng hệ=mgx.sinα+12kx2+kx.∆l0=>Wthế năng hệ=12kx2
Thay: x=±0,5 cm=±0,05m vào công thức trên ta được
Wthế năng hệ=12100.±0,052=0,125 (J)
2.1.4. Vận dụng
2.1.4.1. Hệ quả
Từ các ví dụ trên, ta rút ra được các kết quả như sau:
a) Thế năng trọng trường của vật m tại một điểm, được tính bằng công thức: Wt=mgh (h là tọa độ cao so với mốc thế năng, h có giá trị đại số) (2.3.1)
b) Thế năng đàn hồi của lò xo tại vị trí lò xo có độ biến dạng ∆l
+ Nếu chọn mốc thế năng tại vị trí lò xo có độ biến dạng là ∆lO, thì biểu thức thế năng đàn hồi là: Wđh=Ađh=12k∆l2-∆lO2 (2.3.2)
+ Nếu chọn mốc thế năng tại vị trí của đầu lò xo tự do, khi lò xo không biến dạng (∆lO=0), thì biểu thức thế năng đàn hồi là:
 Wđh=12k∆l2 (trường hợp này đã được SGK trình bày) (2.3.3) 
c) Trong các trường hợp, con lắc lò xo đặt theo phương thẳng đứng hoặc phương nằm nghiêng, thì hệ có cả thế năng đàn hồi và thế năng trọng trường. Nếu chọn mốc thế năng đàn hồi và thế năng trọng trường tại cùng một vị trí, là vị trí cân bằng O của vật, thì thế năng của hệ tại vị trí cách O một khoảng bằng x (hoặc có thể hiểu là tại vị trí vật có tọa độ bằng x, với gốc tọa độ tại O) là: Wthế năng của hệ=12kx2 (2.3.4) 
2.1.4.2. Bài tập vận dụng các công thức của hệ q