SKKN Một số kĩ thuật hướng dẫn học sinh lớp 12 giải các bài toán tính tích phân vận dụng cao trong đề thi trung học phổ thông quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KĨ THUẬT HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA
Người thực hiện: Lê Thị Ngọc
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: THPT Hoằng Hóa 4
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KĨ THUẬT HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA
Người thực hiện: Lê Thị Ngọc
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: THPT Hoằng Hóa 4
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài............................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu....................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu...............................................................................1
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ......................................................2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm........................3
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
 Dạng 1: Kĩ thuật đổi biến số...........................................................................3
 Dạng 2: Kĩ thuật tích phân từng phần, kĩ thuật đổi biến số kết hợp với kĩ thuật tích phân từng phần......................................................................................6 
 Dạng 3: Kĩ thuật biến đổi đưa về tích phân của các hàm thường gặp và đạo hàm đúng...............................................................................................................8
 Dạng 4: Kĩ thuật phương trình hàm..............................................................10
 Dạng 5: Kĩ thuật đưa về bình phương...........................................................12
 Dạng 6: Kĩ thuật đánh giá dựa vào Cauchy..................................................15
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường........................................................................16
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận..................................................................................................17
3.2. Kiến nghiệm.................................................................................................17
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................18
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
 Qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu các đề thi, đề minh họa môn toán trong kì thi THPT Quốc gia từ năm 2017 đến nay. Tôi nhận thấy đề thi luôn có sự phân hóa rõ ràng từ mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, cao. Đặc biệt năm 2018 đề thi khó hơn, mức độ kiến thức dàn trải từ chương trình lớp 11 đến lớp 12 điều đó đòi hỏi học sinh phải có tư duy chứ không chỉ là bấm máy tính thông thường. Với lượng thời gian theo phân phối chương trình và các bài giảng trong sách giáo khoa hiện hành thì đa phần các em chỉ làm được các bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu và một lượng ít các bài tập vận dụng thấp. Các bài toán vận dụng cao dường như giáo viên chưa có thời gian giảng dạy cho học sinh, nếu có cũng chỉ là cung cấp các bài tập và hướng dẫn về làm. Bởi vậy học sinh chưa hình thành được kĩ năng giải các bài tập ở dạng này.
 Ở chương 3, sách giáo khoa Giải tích 12, Giải tích 12 nâng cao hiện hành đã cung cấp một số phương pháp tính tích phân: tích phân của các hàm thường gặp, đổi biến số, tích phân từng phần. Tuy nhiên nội dung chương trình chỉ mới đáp ứng được các kiến thức để làm các phần trong đề thi như nhận biết, thông hiểu. Các bài tập tính tích phân ở dạng vận dụng cao đa phần các em không làm được, một số học sinh khá giỏi có tư duy nhưng vẫn còn khá lúng túng khi làm bài tập ở dạng này. Một phần do phân phối chương trình cho phần phương pháp tính tích phân còn ít, tài liệu trên mạng tuy nhiều nhưng chưa có hệ thống và còn lan man. Vì vậy để giúp học sinh ở lớp mình trực tiếp giảng dạy và học sinh trong trường có thể làm tốt các bài tập tích phân vận dụng cao, trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm tôi đã tổng hợp, khai thác và hệ thống hóa lại các kiến thức thành một chuyên đề:
“Một số kĩ thuật hướng dẫn học sinh lớp 12 giải các bài toán tính tích phân vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Nội dung sáng kiến nhằm mục đích hướng tới giải quyết các vấn đề sau:
- Cung cấp cho học sinh một số kĩ thuật để tính tích phân ở dạng vận dụng cao.
- Giúp học sinh nhận ra các dấu hiệu để tính toán.
- Rèn luyện kỹ năng làm toán thông qua hệ thống bài toán viết dưới dạng trắc nghiệm có hướng dẫn ở lớp và bài tập tự rèn luyện ở nhà.
- Việc giải các bài toán vận dụng cao giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tư duy lôgic của toán học, yêu thích môn học, sáng tạo trong công việc. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 Các kĩ thuật giải các bài toán tính tích phân vận dụng cao.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Để thực hiện được chuyên đề này trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
Phương pháp quan sát ( quan sát hoạt động dạy và học của học sinh).
Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế (khảo sát thực tế học sinh).
Phương pháp thực nghiệm, so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Hoạt động học giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán không thể thiếu trong đời sống của con người. Mục đích của dạy học toán là mang lại cho học sinh những kiến thức phổ thông, những kĩ năng cơ bản của người lao động, qua đó rèn luyện duy logic, phát triển được năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế giới quan nhân sinh quan đúng đắn cho các em. Tuy nhiên môn Toán lại là một môn khoa học tự nhiên khó với kiến thức rộng, đa phần các em rất ngại học môn này.
Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học của bộ môn một cách có hệ thống, biết vận dụng lí thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, không những thế học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Vì vậy giáo viên cần định hướng cho học sinh nghiên cứu môn toán một cách có hệ thống trong chương trình phổ thông, vận dụng lí thuyết vào làm bài tập, phân dạng bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
Căn cứ vào nhiệm vụ, mục đích dạy và học của môn toán, tôi đã mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT nói chung, học sinh lớp 12 bổ sung, hoàn thiện thêm một số kĩ thuật tính tích phân .
Trong sách giáo khoa Giải tích 12 chỉ nêu hai phương pháp tính tích phân:
Phương pháp đổi biến số:
Định lí 1:[2] Cho hàm số liên tục trên , hàm số liên tục và sao cho hàm hợp xác định trên; là hai số thực thuộc . Khi đó:
 .
Phương pháp tính tích phân từng phần: 
Định lí 2: [1] Nếu là hai hàm có đạo hàm liên tục trên đoạn thì:
 hay .
 Trên thực tế khi gặp các bài toán tính tích phân phần đa chúng ta không thể áp dụng ngay hai phương pháp trên để làm mà phải có kĩ năng tư duy, biến đổi. Đặc biệt thi trắc nghiệm lượng kiến thức dàn trải, đề thi đa dạng các phần bài tập không giống như bài tập tự luận trước đây. Vì vậy trong sáng kiến kinh nghiệm này ngoài việc khai thác sâu hơn dạng bài tập sử dụng phương pháp đổi biến số, tích phân từng phần. Trong giới hạn của sáng kiến kinh nghiệm tôi hướng dẫn thêm học sinh các kĩ thuật tính tích phân: biến đổi để đưa về tích phân của các hàm thường gặp, đạo hàm đúng; kĩ thuật phương trình hàm, kĩ thuật đưa về bình phương, kĩ thuật đánh giá dựa vào Cauchy.
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 Học sinh trường THPT Hoằng Hóa 4 đa phần là con em nông thôn, điều kiện kinh tế còn nhiều khó khăn nhưng các em có truyền thống hiếu học. Tuy vậy với hình thức thi mới khai thác rộng, kiến thức dạy và học trên lớp học sinh chưa có nhiều thời gian để làm các bài tập vận dụng cao và rèn luyện kĩ năng giải toán. Đặc biệt môn toán được các em nhìn nhận chung là một môn tự nhiên khó và tích phân cũng là một trong nội dung khó của chương trình giải tích 12. 
 Đổi mới theo hình thức thi trắc nghiệm, từ năm 2017 khi dạy và ôn thi cho học sinh lớp 12 tôi đã khai thác thêm các dạng bài toán tính tích phân vận dụng cao để học sinh khá, giỏi trong lớp tiếp cận và vận dụng làm. Tuy nhiên thời gian không nhiều, tài liệu khai thác cho việc dạy học phần này còn hạn chế trong cách tiếp cận và trình bày. Vì việc rèn luyện không thường xuyên và chưa có hệ thống nên trong quá trình học, trong các bài kiểm tra định kì và làm đề, học sinh thường bỏ qua không làm bài tập ở dạng toán này. Một số ít học sinh khá giỏi có tư duy nhưng vẫn còn lúng túng chưa định hình ra cách giải ở mỗi bài.
 Từ thực trạng nói trên, trong năm học 2018-2019 khi được phân công dạy và ôn thi cho lớp 12A7 nhận thấy trong lớp có nhiều học sinh khá nên tôi đã áp dụng một số giải pháp khắc phục phần học này có hiệu quả hơn.
2.3. CÁC GIẢI PHÁP SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 Qua nghiên cứu đề thi, đề minh họa, tham khảo các kiến thức trong sách, trên mạng, trên các diễn đàn Toán học tôi đã đưa ra giải pháp giải quyết vấn đề như sau:
- Trang bị các kiến thức về tích phân và các phương pháp tính đã học trong sách giáo khoa một cách đầy đủ.
- Phân dạng các kĩ thuật tính toán với các dấu hiệu nhận biết đặc trưng.
- Mỗi dạng đều có ví dụ minh họa, hướng dẫn giải. Sau mỗi dạng đều có bài tập tương tự và đáp số để học sinh kiểm tra.
- Các ví dụ và bài tập đều trình bày dưới dạng trắc nghiệm để các em rèn luyện trong kì thi.
- Hướng dẫn các em kết hợp làm tự luận và trắc nghiệm, sử dụng máy tính cầm tay có hiệu quả. 
Lưu ý: Vì bài toán có đáp án ở dạng trắc nghiệm nên tác giả để trích dẫn nguồn tài liệu tham khảo ở phần đầu mỗi câu.
Dạng 1: Kĩ thuật đổi biến số.
Dấu hiệu nhận biết: 
 Trong giả thiết hoặc yêu cầu của bài toán thường xuất hiện dạng hàm , là các hàm sơ cấp đã học.
Phương pháp: Đặt .
Ví dụ minh họa:
Câu 1:[3] Cho hàm liên tục trên ℝ và . Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Xét . Đặt .
Đổi cận . Suy ra .
Xét . Đặt .
Đổi cận . Suy ra .
Vậy . Chọn C.
Câu 2:[3] Cho xác định và liên tục trên , . Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Đặt . Đổi cận 
Khi đó .
Suy ra 
(Bấm máy tính cầm tay). Chọn A.
Câu 3: [3] Cho các hàm số liên tục trên thỏa mãn với là các số thực khác 0 và . Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Vì . 
Suy ra: (do ). (1)
Xét . Đặt . Đổi cận 
Khi đó . (2)
Từ (1) và (2) suy ra . Chọn C.
Câu 4: [3] Cho hàm liên tục trên ℝ, thỏa mãn . Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Đặt . Đổi cận .
Khi đó . (Bấm máy tính cầm tay). Chọn B.
Câu 5: [3] Cho hàm liên tục trên ℝ, thỏa mãn . Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Đặt . Đổi cận . Khi đó .(Bấm máy tính cầm tay). Chọn D.
Bài tập tương tự:
Câu 6: [3] Cho . Tính .
. B. . C. . D. .
Câu 7: [3] Cho hàm liên tục trên ℝ, thỏa mãn:
 . Tính .
. B. . C. . D. .
Câu 8: [3] Cho hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn:
 . Tính .
. B. . C. . D. .
Câu 9: [3] Cho xác định và liên tục trên , . Biết . Tính .
. B. . C. . D. .
Đáp số: Câu 6: A, câu 7: B, câu 8: C, câu 9: D
Dạng 2: Kĩ thuật tích phân từng phần và kĩ thuật đổi biến số kết hợp với kĩ thuật tích phân từng phần.
Dấu hiệu nhận biết: 
Giả thiết bài toán hoặc tích phân cần tính thường xuất hiện hàm dưới dấu tích phân.
Phương pháp: Đặt 
Chú ý: Đối với dạng kết hợp cả hai phương pháp trên thì tùy từng bài toán mà ta có cách làm phù hợp.
Ví dụ minh họa:
Câu 1: [3] Cho hàm số liên tục trên ℝ thỏa mãn và
. Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Đặt 
Khi đó: .
Suy ra . Chọn D.
Câu 2: [3] Cho hàm thỏa mãn . Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Đặt 
Khi đó . 
Suy ra . Chọn A.
Câu 3: [3] Cho xác định và liên tục trên , thỏa mãn:
 . Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Xét , đặt .
Khi đó:
Chọn D.
Câu 4: [3] Cho hàm số liên tục và . Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Xét .
Xét . Đặt .
Khi đó . Chọn A.
Câu 5: [3] Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên . Biết . Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Xét . Đặt .
Khi đó .
Ta có 
Suy ra
(Bấm máy tính cầm tay). Chọn D.
Bài tập tương tự:
Câu 6: [3] Cho có đạo hàm liên tục trên đoạn .Biết . Tính .
. B. . C. . D. .
Câu 7: [3] Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên . Biết . Tính .
. B. . C. . D. .
Câu 8: [3] Cho hàm số liên tục và . Tính .
. B. . C. . D. .
Câu 9: [3] Cho xác định và liên tục trên , thỏa mãn:
 . Tính .
. B. . C. . D. .
Đáp số: Câu 6: B, câu 7: C, câu 8: A, câu 9: D.
Dạng 3: Kĩ thuật biến đổi đưa về tích phân của các hàm thường gặp và đạo hàm đúng.
Dấu hiệu nhận biết:
 Từ Giả thiết của bài toán ta phát hiện mối liên hệ giữa các hàm:có thể đưa vào dấu vi phân hay đổi biến để được nguyên hàm của các hàm thường gặp. Hoặc từ giả thiết bài toán xuất hiện đạo hàm của một tổng hiệu, tích, thương.
Phương pháp: 
 Biến đổi để đưa về đạo hàm đúng, hoặc nguyên hàm, tích phân của các hàm thường gặp.
Ví dụ minh họa
Câu 1: [6] Cho hàm số thỏa mãn . Với . Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Vì 
Với ta được . Chọn C.
Câu 2: [3] Cho hàm số có đạo hàm liên tục và nhận giá trị không âm trên với . Mệnh đề nào sau đây đúng:
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: 
. 
Với .
Khi đó . Chọn B.
Câu 3: [3] Cho hàm số thỏa mãn với và . Giá trị của bằng
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Ta có . 
Khi đó .
Vì hay 
. Thay vào hai vế ta được:
. Chọn C.
Câu 4: [3] Cho hai hàm , có đạo hàm trên thỏa mãn với mọi . Tính tích phân .
A.. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có: . Suy ra
. Mà 
hay .( Bấm máy tính cầm tay). Chọn D.
Câu 5: [3] Cho hàm có đạo hàm trên thỏa mãn với mọi . Tính .
 B. C. D. .
Hướng dẫn: Từ giả thiết , nhân cả hai vế với ta được 
 hay .
Cho vào hai vế ta được . 
Vậy . (Bấm máy tính cầm tay). Chọn C.
Câu 6: [3] Cho hàm thỏa mãn với mọi . Tính .
5. B. 10. C. 15. D. 20.
Hướng dẫn: Ta có 
Mà do đó . Chọn D.
Bài tập tương tự:
Câu 7: [3] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn với . Biết rằng và . Tính 
20. B. 10. C. 15. D. - 20.
Câu 8: [3] Cho hàm số liên tục trên , biết với mọi . Tính .
 B. C. D. .
Câu 9: [3] Cho hàm số liên tục, không âm trên thỏa mãn với mọi . Tính .
0. B. 1. C. . D. .
Câu 10:[3] Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn với mọi . Biết với . Tính .
. B. . C. . D. .
Đáp số: Câu 7:A, câu 8: C, câu 9: D, câu 10: D. 
Dạng 4: Kĩ thuật phương trình hàm.
Dấu hiệu nhận biết:
Giả thiêt của bài toán thường xuất hiện biểu thức liên hệ giữa hàm và (hoặc ,....).
Phương pháp:
Thay bởi (hoặc ,...) ta có hệ phương trình hàm mới, từ đó tìm được và tính được tích phân cần tìm.
Ví dụ minh họa:
Câu 1:[3] Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn .
Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Từ giả thiết thay bằng ta được . Ta có :
. Khi đó:
. (Bấm máy tính ) Chọn C.
Câu 2: [3] Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn .
Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Từ giả thiết thay bằng ta được . Ta có :
. 
Khi đó: . (Bấm máy tính cầm tay) Chọn B.
Bài tập tương tự 
Câu 3:[3] Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn . Tính .
. B. . C. . D. .
Câu 4: [3] Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn . Tính .
. B. . C. . D. .
Câu 5: [3] Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn . Tính .
. B. . C. . D. .
Đáp số: Câu 3: C, câu 4: A, câu 5: B.
Dạng 5: Kĩ thuật đưa về bình phương
Dấu hiệu nhận biết:
Giả thiết của bài toán xuất hiện hoàn toàn hoặc không hoàn toàn hằng đẳng thức dưới dấu tích phân.
Phương pháp:
Biến đổi đưa về dạng tích phân . Sau đó căn cứ vào yêu cầu của đề bài và suy ra kết quả cần tính.
Chú ý: Một số bài toán phải sử dụng liên kết bình phương mới suy ra kết quả. 
Ví dụ minh họa:
Câu 1: [3] Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn . Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Ta có: . Từ giả thiết ta có:
Suy ra .
(Bấm máy tính cầm tay) Chọn A.
Câu 2: [3] Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên , đều nhận giá trị dương trên và thỏa mãn . Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có: 
Chọn D.
Câu 3: [3] Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên , thỏa mãn và . Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Theo bài ra ta thấy xuất hiện các hàm dưới dấu tích phân là nên sẽ liên kết với bình phương . Với mỗi số thực ta có: 
Tìm để:
Muốn tồn tại thì 
Vậy:
(Bấm máy tính cầm tay). Chọn C.
Câu 4: [3] Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên , thỏa mãn . Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Ta có .
Xét , dùng phương pháp tích phân từng phần ta được:
, kết hợp với giả thiết 
Ta suy ra . Vậy ta có: . Hàm dưới dấu tích phân là 
 nên ta sẽ liên kết đưa về dạng bình phương . Giải tương tự câu 3 (dạng 5) ta tìm được
 .
Vậy: . Chọn D.
Bài tập tương tự:
Câu 5: [3] Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn . Tính .
. B. . C. . D. .
Câu 6: [3] Cho có đạo hàm dương, liên tục trên , thỏa mãn và . Tính .
. B. . C. . D. .
Câu 7: [3] Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên , thỏa mãn và . Tính .
. B. . C. . D. .
Câu 8: [3] Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên , thỏa mãn . Tính .
. B. . C. . D. .
Câu 9: [3] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn . Tính .
. B. . C. . D. .
Đáp số: Câu 5: A, câu 6: B, Câu 7: D, câu 8: B, Câu 9: C
Dạng 6: Kĩ thuật đánh giá dựa vào bất đẳng thức Cauchy.
Dấu hiệu nhận biết:
Giả thiết của bài toán thường xuất hiện bất đẳng thức có chứa tích phân, các hàm dưới dấu tích phân không âm.
Phương pháp: 
Biến đổi, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các biểu thức dưới dấu tích phân. Từ điều kiện xảy ra dấu bằng suy ra mối liên hệ.
Ví dụ minh họa:
Câu 1: [3] Cho hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn và . Mệnh đề nào sau đây đúng:
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Từ giả thiết và theo bất đẳng thức cauchy ta có: .
Mà nên dấu “=” xảy ra 
Theo giả thiết nên ta có .
Vậy . Chọn C.
Câu 2: [3] Cho hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn và . Tính .
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Ta có . Xuất hiện đạo hàm đúng 
Giả sử có . Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
 .
Hay .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Khi đó . 
Suy ra .
Từ giả thiết : . Chọn C.
Bài tập tương tự
Câu 3: [3] Cho hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn và . Tính .
. B. . C. . D. 1.
Câu 4: [3] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn và . Tính .
. B. . C. . D. .
Câu 5: [3] Cho hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn và . Tính .
. B. . C. . D. .
Đáp số: Câu 3: A, câu 4: B, câu 5: C.
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG
Tôi đã áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy trong năm học 
2018 – 2019 tại lớp 12 A7 trường THPT Hoằng Hóa 4. Qua đó, so với năm học 2017 – 2018 khi giảng dạy tại lớp 12 A8 nhưng chưa áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi nhận thấy học sinh lớp 12 A7 có những hiệu quả tích cực không nhỏ, đó là:
- Khi gặp các bài toán tính tích phân vận dụng cao các em không bỏ qua như năm học trước. Ngược lại, các em rất thích thú làm và làm có hiệu quả trong các bài kiểm tra định kì, các đề thi, đề minh họa. Nhiều học sinh còn chủ động trao đổi bài với giáo viên đưa ra thêm cách giải khác, chủ động xin thêm bài tập về làm. Tư duy logic toán của nhiều em tiến bộ đáng kể.
- Việc phân loại các dạng toán đã giúp học sinh nắm vững và biết cách sử dụng các kiến thức để giải các dạng bài toán tương ứng. Các em đã thấy yêu thích loại toán này, giải bài tập nhanh nhẹn, chủ động, giờ học trở nên sôi nổi, thú vị hơn. Việc tư duy được loại toán này giúp các em hình thành được những kĩ năng tư duy cho các dạng toán khó khác.
- Các em biết sử dụng thành thạo CASIO vào những phần tính toán liên quan.
	Đối với bản thân, khi sử dụng Sán