SKKN Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 lựa chọn cách giải phù hợp năng lực tư duy đối với các bài toán tính góc, tính khoảng cách trong không gian nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy và đáp ứng yêu cầu đổi mới của kỳ thi THPT Quốc gia

1. MỞ ĐẦU
	1.1. Lý do chọn đề tài
	Nhiệm vụ quan trọng của nguời thầy nói chung và nguời thầy giảng dạy bộ môn Toán nói riêng đó là: Phải tìm được phương pháp truyền đạt phù hợp với năng lực của từng đối tượng học sinh, để các em biết vận dụng, biết khai thác các kiến thức mới đã được lĩnh hội vào giải Toán; Giúp các em rèn luyện và dần thông thạo kĩ năng giải Toán. 
	 Để làm được điều đó, trước tiên người giáo viên dạy Toán phải tìm hiểu thật kĩ về tính cách, tâm lí, năng lực tiếp nhận của từng đối tượng học sinh. Đặc biệt, trước ý định truyền đạt hướng dẫn học sinh giải một bài toán thì người giáo viên phải tự mình nghiên cứu, phân tích kĩ bài toán đó rồi mới hướng dẫn cho các em. Hoạt động này rất quan trọng, nó vừa giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức khác nhau, thấy được nhiều phương pháp để giải quyết một bài toán, vừa gợi được động cơ cho các em học tập kiến thức mới. Bởi tôi nhận thấy không có một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối tượng học sinh, thậm chí có những quá trình phân tích -Tổng hợp rất hiệu quả đối với học sinh này nhưng lại “vô nghĩa” với học sinh khác. 
Thực tế, kì thi THPT Quốc Gia như hiện nay, môn Toán được thi dưới hình thức trắc nghiệm: chọn phương án đúng. Vì vậy, việc tìm ra kết quả đúng và nhanh nhất là nhiệm vụ ưu tiên hàng đầu. Đứng trước một bài toán có rất nhiều phương pháp giải, việc lựa chọn cách giải phù hợp năng lực sẽ có hiệu quả nhanh nhất. 
Dạng Toán tính khoảng cách và góc giữa các yếu tố hình học trong không gian là một trong những dạng Toán hay, đòi hỏi tư duy đối với học sinh THPT và thường có từ 3 đến 5 câu trong đề thi THPT Quốc Gia. Khi gặp dạng Toán này học sinh thường lúng túng, không biết hướng giải quyết như thế nào.
Để góp phần giúp học sinh có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy sáng tạo, gợi cho các em hướng giải quyết tốt khi gặp dạng Toán này và những dạng Toán liên quan. Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:”Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 lựa chọn cách giải phù hợp năng lực tư duy đối với các bài toán tính góc, tính khoảng cách trong không gian nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy và đáp ứng yêu cầu đổi mới của kỳ thi THPT Quốc gia” để giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
 Người giáo viên dạy Toán cần hình thành cách lựa chọn phương pháp tối ưu, phù hợp với năng lực của từng đối tượng học sinh; giúp các em tính nhanh, chính xác một số dạng toán tính khoảng cách và góc trong không gian . Đồng thời, rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển một số năng lực cho các em như: 
	- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề.
	- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio).
	- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học.
	- Kỹ năng vận dụng kiến thức về các phương pháp tính khoảng cách và góc trong không gian.	
1.3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài
Một số bài toán hình học không gian dạng tính khoảng cách và góc ở các đề thi trắc nghiệm của các năm học trước và các đề thi tham khảo.
1.4. Phương pháp nghiên cứu của đề tài
Để có cơ sở tiến hành nghiên cứu và áp dụng đề tài vào thực tế dạy học, tôi đã:
- Tìm hiểu việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, đặc biệt là phương pháp truyền đạt nội dung kiến thức môn hình học không gian.
-Tìm hiểu về thực trạng giải bài tập môn hình học không gian ở học sinh trường THPT Triệu Sơn 3. 
- Tìm hiểu về kĩ năng sử dụng thiết bị, sơ đồ tư duy trong học tập hình học không gian.
- Tổ chức thực hiện đề tài áp dụng đề tài vào thực tế dạy ơ một số lớp 12 trường THPT Triệu Sơn 3.
- Tiến hành so sánh, đối chiếu và đánh giá về hiệu quả của đề tài khi áp dụng. 
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
1.2.1. Giả thuyết của đề tài
Khi tiến hành nghiên cứu đề tài, tôi đã đặt ra các giả thuyết sau:
- Đề tài có tìm ra phương pháp phù hợp với học sinh 12 khi giải các bài tập hình học không gian không?
- Đề tài có tạo được hứng thú cho học sinh khi áp dụng vào việc giải các đề thi minh hoạ và các đề thi Toán THPTQG qua các năm hay không? 
- Đề tài có rèn luyện, phát triển trí tưởng tượng không gian, phát triển tư duy logic – khoa học và có nâng cao được kết quả học tập bộ môn Hình học không gian cho học sinh hay không? 
1.2.2. Mục tiêu của đề tài
Từ các giả thuyết đã nêu trên, mục tiêu của đề tài cần phải đạt được đó là:
- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh khi giải các bài tập hình học không gian.
- Tạo được hứng thú cho học sinh khi giải bài tập Hình học không gian. Đồng thờigiúp các em góp nâng cao kết quả học tập bộ môn này.
- Rèn luyện, nâng cao, phát triển được trí tưởng tượng không gian, phát triển tư duy logic – khoa học cho học sinh.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
* Đối với học sinh: 
- Hình học không gian vốn là một môn học có tính trừu tượng, đòi hỏi người học phải có trí tưởng tượng không gian và cần có tính sáng tạo cao nhưng phần lớn học sinh có trí tượng tượng và tính sáng tạo còn hạn chế.
- Rất nhiều học sinh chỉ quen với Hình học phẳng nên khi học Hình không gian thường hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy các kết quả của Hình học phẳng được sử dụng trong Hình không gian nên chưa biết vận dụng các tính chất của Hình học phẳng cho Hình không gian.
- Ngoài ra, có không ít học sinh chưa xác định đúng đắn động cơ học tập, không có phương pháp học tập cụ thể cho từng bộ môn, từng phân môn hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho các em.
* Đối với giáo viên:
- Trong quá trình dạy học bộ môn, phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh với một vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác bài toán ở nhiều dạng khác nhau; chưa tìm được phương pháp dạy học phù hợp với từng nội dung và năng lực của học sinh.
- Vẫn có không ít giáo viên còn hạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sử dụng phương tiện, công cụ, thiết bị và đồ dùng dạy học bộ môn
- Giáo viên đã cố gắng đưa ra hệ thống các câu hỏi gợi mở để dẫn dắt học sinh tìm hiểu các vấn đề nêu ra, học sinh tập trung đọc sách giáo khoa, quan sát hình vẽ, tích cực suy nghĩ, phát hiện và giải quyết các vấn đề theo yêu cầu của câu hỏi. Kết quả là học sinh thuộc bài, nhưng hiểu chưa sâu sắc về kiến thức, kĩ năng vận dụng vào thực tế chưa cao. Đặc biệt, sau một thời gian không thường xuyên ôn tập hoặc khi tiếp tục học thêm các nội dung tiếp theo thì học sinh không còn nắm vững được các kiến thức đã học trước đó.
Từ các nguyên nhân trên dẫn đến học sinh chưa hứng thú học tập môn hình học không gian, còn lúng túng khi tìm cách giải các bài toán hình học không gian. Dẫn đến kết quả học tập chưa cao.
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Một số giải pháp 
 * Đưa ra các quy tắc, các bước cũng như yêu cầu khi vẽ hình không gian để có được hình vẽ đẹp, dễ quan sát các mối quan hệ có trong hình dễ dàng giải quyết các bài tập. 
 * Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh nắm vững các mối quan hệ giữa các đối tượng hình học không gian như quan hệ song song của hai đường thẳng, của hai mặt phẳng, của đường thẳng và mặt phẳng; quan hệ vuông góc của hai đường thẳng, của hai mặt phẳng, của đường thẳng với mặt phẳng  hiểu được các khái niệm khoảng cách trong không gian. 
 * Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mô hình trong không gian, các phần mềm giảng dạy như Cabir, GSPS, Geogebra. 
 * Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất. 
 * Sử dụng sơ đồ tư duy để ôn tập củng cố các kiến thức cho học sinh.
2.3.2. Biện pháp thực hiện:
2.3.2.1. Hệ thống các kiến thức cơ bản cần vận dụng: 
a. Khoảng cách:
a.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng:
: trong đó H là hình chiếu của M trên a.
: trong đó H là hình chiếu của M trên (P).
a.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song:
: trong đó M là điểm bất kì nằm trên a.
: trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P).
a.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
b. Góc:
Góc giữa hai đường thẳng và là góc giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với và 
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng.
c. Liên hệ giữa định tính và định lượng:
Độ dài đoạn thẳng: 
 (trong đó V là thể tích khối chóp, S là diện tích đáy khối chóp)
2.3.2.2. Xây dựng thuật giải từ một bài toán:
Xây dựng các thuật giải : Thực chất là các quy trình, các bước thực hiện cố định để tìm ra đáp số của một lớp các bài toán có yêu cầu tương tự nhau. Thông qua việc hình thành và xây dựng thuật giải giúp cho học sinh phát triển tư duy thuật giải – một loại hình tư duy rất quan trọng không chỉ trong Toán học mà cả trong nhiều lĩnh vực khoa học khác; Tạo tâm lý hứng thú, tự tin cho học sinh khi giải các bài tập về góc và khoảng cách trong không gian.
Bài toán 1: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 29)
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng:
A. 
B. 
C. 
D. 
Cách 1: Sử dụng kiến thức Hình học không gian tổng hợp(Kiến thức lớp 11).
a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:
a.1. Cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Trong không gian cho và một điểm không nằm trên , để xác định khoảng cách từ điểm đến ta làm như sau:
Bước 1: Dựng đi qua và vuông góc với 
Bước 2: Xác định giao tuyến của và 
Bước 3: Kẻ vuông góc với tại 
a.2. Cách xác định khoảng giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho hai đường thẳng chéo nhau:
TH1: 
Chọn điểm (thuận lợi nhất), kẻ . 
Kẻ 
TH2: bất kỳ:
Dựng mặt phẳng chứa và song song với , , với là điểm bất kỳ trên .
b) Lời giải: Chọn B
Dựng hình bình hành 
Ta có: đôi một vuông góc với nhau 
Cách 2: Sử dụng thể tích các khối đa diện và diện tích các hình đa diện (Kiến thức Chương I - Hình học 12).
a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:
Bước 1: Xác định yếu tố khoảng cách là đường cao của một khối chóp
Bước 2: Tính thể tích khối chóp, diện tích mặt đáy
Bước 3: Áp dụng công thức thể tích để suy ra khoảng cách
b) Lời giải: Chọn B
Dựng hình bình hành 
Ta có: 
Cách 3: Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian (Kiến thức chương III - Hình học 12)
a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp
Bước 2: Tìm tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán
Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ
Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học thông 
thường
b) Lời giải: Chọn B
Dựng hệ tọa độ sao cho 
Ta có: 
Bài toán 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 37)
Cho hình lập phương có tâm . Gọi là tâm của hình vuông và là điểm thuộc đoạn thẳng sao cho . Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng:
A. 
B. 
C. 
D. 
Cách 1: Sử dụng kiến thức Hình học không gian tổng hợp(Kiến thức lớp 11).
a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:
Tính góc giữa hai mặt phẳng và 
Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và 
Bước 2: Dựng hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với (thường chọn đường thẳng thỏa mãn định lý 3 đường vuông góc)
Bước 3: Sử dụng giả thuyết tính góc phẳng tạo bởi hai đường thẳng từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (góc nhọn). 
b) Lời giải: Chọn B
Gọi lần lượt là trung điểm của và . Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng qua M và song song với . 
 cùng vuông góc với 
Giả sử cạnh hình lập phương bằng , ta có: 
Gọi là góc giữa và ta được 
Cách 2: Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian (Kiến thức chương III - Hình học 12)
a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp
Bước 2: Tìm tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán
Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ
Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học thông thường
b) Lời giải: Chọn B
Dựng hệ trục tọa độ sao cho 
Giả sử cạnh hình lập phương bằng . Ta có: 
Nhận xét: Với các cách giải cho một bài toán tính khoảng cách, tính góc trong không gian ta có thể khẳng định không có cách giải nào là tối ưu nhất, tuy nhiên khi đứng trước nhiệm vụ giải một bài toán, nguời giáo viên cần định hướng cho học sinh tư duy lựa chọn cách giải sao cho phù hợp nhất.
Với cách giải 1: Thường áp dụng cho các hình đa diện tương đối đặc biệt và việc xác định các yếu tố liên quan một cách dễ dàng.
Với cách giải 2:Thường được áp dụng trong trường hợp dựng hình tương đối phức tạp nhưng quá trình tính thể tích các khối đa diện và diện tích các hình đa diện đơn giản (học sinh không cần dựng hình) . 
Với cách giải 3: Thường áp dụng khi việc dựng hình khó khăn phức tạp nhưng lại dễ thấy yếu tố trực giao của ba đường thẳng dựng được hệ trục tọa độ hợp lý; áp dụng công thức dễ dàng, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh.
2.3.2.3. Lớp các bài toán tính góc, khoảng cách sử dụng kiến thức hình học không gian tổng hợp.
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng . Tính khoảng cách từ đến .
A. 
B. 
C. 
D. 
Nhận xét: Với giả thuyết đã cho thì việc dựng các yếu tố vuông góc trong hình chóp đều là dễ dàng từ đó ta định hướng cho học sinh lựa chọn cách giải 1.
Lời giải: Chọn D. 
Gọi là tâm hình vuông . 
Ta có . Gọi là trung điểm suy ra . 
Kẻ .
Ta có: .
. .
Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với mặt phẳng và . Gọi là trung điểm của cạnh . Tính theo khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .
A. 
B. 
C. 
D. 
Nhận xét: Bài toán trong không gian nhưng thực tế được qui về bài tập hình học phẳng đơn thuần với các hệ thức lượng trong tam giác vuông nên giáo viên cần 
định hướng cho tất cả các học sinh thực hiện bằng cách 1.
Lời giải: Chọn D.
Vì , trong mặt phẳng nếu dựng tại H thì (định lí 3 đường vuông góc). Tức là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng đoạn .
Ta có:
Mà 
Nên , mà vuông tại A, nên:
. Vậy . 
Ví dụ 3. Cho lăng trụ có độ dài cạnh bên bằng , đáy là tam giác vuông tại , và hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh . Tính của góc giữa hai đường thẳng .
A. 
B. 
C. 
D. 
Nhận xét: Đối với hình lăng trụ xiên, các yếu tố trực giao là tương đối phức tạp, nếu học sinh tìm hướng giải bằng cách tọa độ hóa sẽ khó khăn trong việc xác định tọa độ các điểm, mặt khác với các quan hệ song song trong hình lăng trụ thì quá trình xác định góc giữa hai đường thẳng lại dễ đưa về góc phẳng(hình học phẳng) nên ta dùng cách 1.
Lời giải: Chọn B.
Gọi H là trung điểm của BC và 
Do đó:
Vậy (đvtt)
Trong tam giác vuông A’B’H có nên tam giác B’BH 
là cân tại B’. Đặt là góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ thì . 
Vậy . 
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ có , . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm của cạnh . Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng và .
A. 
B. 
C. 
D. 
Nhận xét: Cũng với giả thiết là hình lăng trụ xiên, yêu cầu tính góc giữa hai mặt phẳng và việc xác định hình chiếu của đa giác trên mặt phẳng lại dễ dàng thì giáo viên có thể định hướng để học sinh liên hệ công thức hình chiếu để hướng giải quyết đơn giản hơn.
Lời giải: Chọn C. 
Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra . Trong ta có:
Hạ . Vì đường xiên 	(1)
( vuông tại H nên )
Trong ta có (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng ABCD là trung điểm I của cạnh AB. Biết A’C tạo với mặt phẳng đáy một góc với . Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (A’AC)
A. 
B. 
C. 
D. 
Nhận xét: Với hình này, yếu tố trực giao khó xác định, yếu tố thể tích và diện tích tính phức tạp, ta sử dụng việc dựng hình để tìm ra khoang cách. (cách1)
Lời giải : Chọn B
Theo bài ra ta có IC là hình chiếu vuông góc của A’C trên mặt phẳng (ABCD). Suy ra 
Xét ta giác vuông A’IC:
Ta có và I là trung điểm AB nên 
Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ , mà (do ) nên . Kẻ 
Xét tam giác vuông A’IK có 
. Suy ra 
Bài tập rèn luyện: (Phu lục 1)
2.3.2.4. Lớp các bài toán tính góc, khoảng cách sử dụng diện tích và thể tích
Ví dụ 6: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng . Gọi lần lượt là 
trung điểm của . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng biết rằng 
A. 
B. 
C. 
D. 
Nhận xét: Trong bài toán này, với giả thiết; nếu ta dựng hình chiếu hoặc dùng tọa độ trong không gian sẻ gây ra tính phức tạp cho lời giải, nên chọn cách 2.
Lời giải: Chọn D
Gọi M, N là trung điểm của BC, BA. H, K là hình chiếu của S xuống mặt phẳng (ABC). , và thể tích khối chóp S.ABC là 
Tam giác C’AB cân tại C’ và nên ta có 
Vậy hay khoảng cách cần tìm là: . 
Ví dụ 7: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, , , . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng (SAB)
A.	
B.	
C.	
D. 
Nhận xét: Do các điểm trong giả thiết chưa được xác định tỷ lệ trên các đoạn thẳng nên nếu ta thực hiện việc tọa độ hóa sẽ phải thực hiện nhiều công đoạn tính toán, bài toán trở nên phức tạp; hơn nữa việc dựng hình chiếu của trên mặt phẳng không dễ dàng thực hiện nên ta thực hiện thông qua việc tính thể tích (cách 2)
Lời giải: Chọn A. 
Vì nên:
mà 
Ta có: ,
Mặt khác nên 
Vậy khoảng cách cần tìm là: . 
Ví dụ 8: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa CK và A’D.
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải: Chọn A.
Gọi M là trung điểm của BB’ thì 
Ta có:
Hạ . Do nên 
Vì nên 
Do đó 
Vậy . 
Ví dụ 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có , . Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc và mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Điểm H trên cạnh BC sao cho và mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng 
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải: Chọn B.
Suy ra 
Vì 
Ví dụ 10: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh bằng.
Tam giác cân tại và mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
thể tích khối chóp bằng . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Nhận xét: Từ giả thiết ta nhận thấy yếu tố thể tích và diện tích các tam giác được thực hiện đơn giản, từ đó ta có thể lựa chọn cách giải 2.
Lời giải: Chọn B.
Gọi là trung điểm của . Tam giác cân tại 
là đường cao của hình chóp.
Theo giả thiết 
; 
Bài tập rèn luyện: (Phụ lục 2)
2.3.2.5. Lớp các bài toán tính góc, khoảng cách sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian
Ví dụ 11: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên và vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm của , là góc tạo bởi mặt phẳng và . Tính bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Nhận xét: Trong bài toán này, với giả thiết ; nếu ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm hai đường thẳng trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến thì phức tạp rất nhiều, mặt khác dễ thấy được bộ ba đường thẳng đôi một vuông góc và các điểm đã cho dễ dàng xác đinh nên việc dựng hệ trúc tọa độ là hợp lý, ta chọn cách 2.
Lời giải: Chọn D
Dựng hệ trục tọa độ sao cho 
Từ giả thuyết . Ta có: 
 . 
Ví dụ 12: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên . Để góc giữa và bằng thì độ dài của bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải: Chọn D
Dựng hệ trục tọa độ sao cho
 . Đặt 
Từ giả thuyết . Ta có: 
Để góc giữa và bằng thì Nhận xét: Với khả năng tư duy của nhiều học sinh thì việc dựng hình và xét các khả năng để tính góc giữa hai mặt phẳng không dễ, đặc biệt là những học sinh học kiến thức lớp 11 chưa vững; với nhóm học sinh này giáo viên cần định hướng cho các em sử dụng công thức như cách giải 2 thì việc thực hiện trở nên dễ dàng và các em sẽ cảm thấy hứng thú hơn khi giải các bài toán hình không