SKKN Một số biện pháp xây dựng bài tập về số phức nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài: 
Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó. Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học. Tuy nhiên phần số phức lại được đặt ở cuối chương trình lớp 12 nên cả giáo viên và học sinh đang trong tâm thế kết thúc chương trình để bước sang giai đoạn ôn thi THPT quốc gia, hơn nữa vấn đề số phức nhìn chung khá mới và khó đối với cả giáo viên và học sinh, do đó chuyên đề này ít được quan tâm khai thác, vận dụng đúng mức.Vấn đề tư duy, đặc biệt là năng lực tư duy liên quan đến tư tưởng và nguồn lực trí tuệ con người, không chỉ được nghiên cứu ở phương diện triết học mà còn được nghiên cứu ở nhiều phương diện khác: khoa học quản lý, giáo dục và đào tạo, dạy và học môn học cụ thể.. “Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo ” đã khẳng định nhiệm vụ của ngành giáo dục là nâng cao dân trí, phổ cập giáo dục phổ thông cho toàn dân, song song nhiệm vụ đó cần phải bồi dưỡng nhân tài, phát hiện các học sinh có năng khiếu ở trường phổ thông và có kế hoạch đào tạo riêng để họ thành những cán bộ khoa học kĩ thuật nồng cốt. Hiện tại các tài liệu viết về chuyên đề số phức khá phong phú, tuy nhiên chưa có tài liệu nào nghiên cứu sâu về việc phát triển năng lực tư duy học sinh thông qua việc dạy về số phức. Vì vậy, tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài “Một số biện pháp xây dựng bài tập về số phức nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh” 
1.2. Mục đích nghiên cứu: 
	Xây dựng hệ thống bài tập nhằm bồi dưỡng, phát triển năng lực và phẩm chất cho học sinh THPT. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu 
 - Cơ sở lý luận của đề tài
 - Các biện pháp xây dựng hệ thống bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua chuyên đề số phức. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu 
- Nghiên cứu cơ sở lí luận của lí thuyết.
- Nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo, các đề thi thử của các trường THPT trong cả nước.
- Thực nghiệm: Khảo sát học sinh ở các lớp 12A, 12G.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 
2.1. Cơ sở lý luận
2.1.1. Khái niệm nhận thức 
Nhận thức là một trong ba mặt cơ bản của đời sống tâm lý của con người. Nó là tiền đề của hai mặt kia và đồng thời có quan hệ chặt chẽ với chúng và với các hiện tượng tâm lý khác 
Những phẩm chất của tư duy bao gồm
Tính định hướng, bề rộng, độ sâu, tính linh hoạt, tính mềm dẻo, tính độc lập và tính khái quát. Để đạt được những phẩm chất tư duy trên, trong quá trình dạy học, chúng ta cần chú ý rèn cho học sinh bằng cách nào?
2.1.2. Rèn luyện các thao tác tư duy trong dạy học ở trường trung học phổ thông. 
Trong logic học, người ta thường biết có ba phương pháp hình thành những phán đoán mới: Quy nạp, suy diễn và loại suy.Ba phương pháp này có quan hệ chặt chẽ với những thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng ,khái quát hoá .
Phân tích "Là quá trình tách các bộ phận của sự vật hoặc hiện tượng tự nhiên của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng theo một hướng xác định". Như vậy, từ một số yếu tố, một vài bộ phận của sự vật hiện tượng tiến đến nhận thức trọn vẹn các sự vật hiện tượng. Vì lẽ đó, môn khoa học nào trong trường phổ thông cũng thông qua phân tích của cả giáo viên cũng như học sinh để bảo đảm truyền thụ và lĩnh hội.
Tổng hợp "Là hoạt động nhận thức phản ánh của tư duy biểu hiện trong việc xác lập tính chất thống nhất của các yếu tố trong một sự vật nguyên vẹn có thể có được trong việc xác định phương hướng thống nhất và xác định các mối liên hệ, các mối quan hệ giữa các yếu tố của sự vật nguyên vẹn đó, liên kết giữa chúng được một sự vật và hiện tượng nguyên vẹn mới" Phân tích và tổng hợp là hai quá trình có liên hệ biện chứng. 
So sánh "Là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật hiện tượng của hiện thực". Trong hoạt động tư duy của học sinh thì so sánh giữ vai trò tích cực quan trọng 
Khái quát hoá là hoạt động tư duy tách những thuộc tính chung và các mối liên hệ chung, bản chất của sự vật và hiện tượng tạo nên nhận thức mới dưới hình thức khái niệm, định luật, quy tắc.
2.1.3. Đánh giá trình độ phát triển của tư duy học sinh
* Đánh giá khả năng nắm vững những cơ sở khoa học một cách tự giác, tự lực, tích cực và sáng tạo của học sinh (nắm vững là hiểu, nhớ và vận dụng thành thạo)
* Đánh giá trình độ phát triển năng lực nhận thức và năng lực thực hành trên cơ sở của quá trình nắm vững hiểu biết.
2.2.Thực trạng việc dạy Toán hiện nay
 Vài năm trở lại đây, trong kỳ thi THPT quốc gia vấn đề về số phức luôn chiếm một tỉ lệ không nhỏ trong đề thi, phần lớn là các câu hỏi ở mức độ dễ, tuy nhiên cũng có một vài câu ở mức độ vận dụng và vận dụng cao, gây không ít khó khăn không chỉ cho học sinh mà còn khó khăn cho cả giáo viên. Tuy nhiên nếu học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, có lối tư duy hợp lý, có năng lực phát hiện vấn đề, có khả năng tư duy sáng tạo...thì không có gì có thể làm khó được các em. Trong phạm vi sáng kiến này, tôi trình bày một số biện pháp xây dựng bài tập về số phức nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh.
2.3. Một số biện pháp xây dựng bài tập nhằm phát triển năng lực học sinh
2.3.1. Bài tập rèn luyện năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
Ví dụ 1. Số phức sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định) 
	a) b) [1]
PHVĐ: Số phức z là số thực khi và chỉ khi , z là số ảo khi và chỉ khi 
GQVĐ:
	Ta có . Vậy là số thực
	 . Vậy là số ảo.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng phức, cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức và B’ biểu diễn số phức . Hai tam giác OAB và OA’B’ có phải là hai tam giác đồng dạng hay không ?[1]
PHVĐ: Hai tam giác OAB và OA’B’ đồng dạng khi 
GDVĐ: 
Do đó . Vậy hai tam giác OAB và OA’B’ đồng dạng.
Ví dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của . [2]
PHVĐ: Gọi A(-2; 1), B(2; 3), M(x; y) là điểm biểu diễn z. Khi đó, ta có:
 và . 
Do đó thuộc tia đối của tia BA
Yêu cầu của bài toán: tìm GTNN của , nghĩa là điểm M trên tia đối của tia BA và cách gốc tọa độ O một khoảng nhỏ nhất
GQVĐ: 
Theo phân tích thì = OM nhỏ nhất khi và chỉ khi , khi đó 
2.3.2. Bài tập rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo
Ví dụ 1. Xét số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ? [2]
Gọi là điểm biểu diễn số phức . Do nên tập hợp điểm là đường tròn .
Các điểm , là điểm biểu diễn các số phức và . Khi đó, . 
Nhận thấy, điểm nằm trong đường tròn còn điểm nằm ngoài đường tròn , mà . Đẳng thức xảy ra khi là giao điểm của đoạn với .
Ta có, phương trình đường thẳng .
Tọa độ giao điểm của đường thẳng và đường tròn là nghiệm của hệ với 
Ta có 
Vậy khi 
Ví dụ 2. Xét các số phức thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị lớn nhất. [2]
Ta có: 
Đặt ta có:
Mặt khác ta có:
Từ và ta được: 
Để 
Vậy .
Ví dụ 3. Cho hai số phức , thỏa mãn , và . Tính giá trị của biểu thức . [2]
Ta có: 
 .
Tương tự: 
 . 
 .
Giải hệ phương trình gồm , , ta có: .
Ví dụ 4. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của ? [2]
Gọi , . Ta thấy là trung điểm của 
 .
Ta lại có: 
Mà .
Dấu xảy ra khi , với ; .
Ví dụ 5. Giả sử , là hai trong số các số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của .
Ta có . Gọi có điểm biểu diễn là .
Gọi , lần lượt là các điểm biểu diễn của ,.
Vì nên là trung điểm của .
Ta có .
.
Vậy giá trị lớn nhất của bằng .
2.3.3. Bài tập rèn luyện khả năng suy luận, kỹ năng diễn đạt logic, chính xác
Ví dụ 1. Cho hai số phức thoả mãn . Gọi , là các điểm biểu diễn cho và . Biết . Tính .
Ta có 
Gọi là điểm biểu diễn của số phức .
Khi đó ta có .
Do nên áp dụng định lí cosin ta tính được . Khi đó có đồng thời là đường cao và đường trung tuyến, suy ra cân tại .
Áp dụng định lí đường trung tuyến cho ta có: .
Vậy .
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ , gọi là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn và có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn . Tính diện tích của .[2]
Giả sử .
Ta có: ; .
Vì và có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn nên 
.
Suy ra là phần mặt phẳng giới hạn bởi hình vuông cạnh và hai hình tròn có tâm , bán kính và có tâm , bán kính .
Gọi là diện tích của đường tròn .
Diện tích phần giao nhau của hai đường tròn là: .
Vậy diện tích của hình là:
.
Ví dụ 3. Cho số phức thoả mãn là số thực và với . Tìm các giá trị của để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. [2]
Giả sử vì nên .
Đặt: .
 là số thực nên: .Kết hợp suy ra .
Mặt khác: .(Vì là mô-đun nên ).
Thayvàođược: .
Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT phải có nghiệm duy nhất.
Có các khả năng sau :
KN1 : PTcó nghiệm kép 
ĐK: .
KN2: PTcó hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm 
ĐK: .
Vậy và m = 2 là các giá trị cần tìm.
2.3.4. Xây dựng bài tập có nhiều cách giải khác nhau 
Ví dụ 1. Với hai số phức và thỏa mãn và , tìm giá trị lớn nhất của . [2]
Cách 1: Ta có: . 
Suy ra: .
Ta có: .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (hệ này có nghiệm)
Vậy .
Cách 2: Gọi , .
Theo giả thiết ta có 
Ta có .
Áp dụng bất đẳng thức ta có: 
Vậy giá trị lớn nhất của bằng . Dấu bằng sảy ra khi .
Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 
Cách 1. 
Giả sử . Khi dó, ta có và 
Suy ra khi 
Lúc đó 
Cách 2. 
Từ , đặt . Khi đó . Dấu “=” xảy ra khi 
Suy ra .
Cách 3. 
Từ điều kiện suy ra quỹ tích các điểm M biểu diễn z là đường tròn tâm (C) có I(3; 4), bán kính .
Tồn tại số phức z thỏa mãn đạt GTNN khi đường thẳng có điểm chung với đường tròn (C), xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy Pmin = 13 khi .
Cách 4. Từ điều kiện suy ra quỹ tích các điểm M biểu diễn z là đường tròn tâm (C) có I(3; 4), bán kính .
 Gọi A(-2; 0), B(0; 1) làn lượt là các điểm biểu diễn các số phức – 2 và i 
Ta có
(với N là trung điểm của đoạn AB, K là hình chiếu của M trên AB).
P = 2BA.KN nhỏ nhất khi và chỉ khi KN nhỏ nhất, mà N là trung điểm của đoạn thẳng AB cố đinh nên KN nhỏ nhất khi KM là tiếp tuyến của đường tròn (C) vuông góc với AB, từ đó tìm được M(1;3) hay .
Ví dụ 3. Cho số phức thõa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .[2]
Cách 1: Gọi là điểm biểu diễn cho số phức . Gọi , , lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức ; ; . Khi đó, ta có:
 nghĩa là thuộc đường tròn có tâm , và .
Ta có: , với là trung điểm của . Do đó có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi có giá trị lớn nhất.
Ta có : nên .
Vậy .
Cách 2: Giả sử (). là điểm biểu diễn của .
Suy ra có tâm và bán kính .
 .
Ta có: và .
Suy ra .
Ta có nên là phương trình của đường tròn có tâm , bán kính ; .
Để tồn tại , thì và có điểm chung .
Suy ra : .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và tiếp xúc trong.
Vậy .
Ví dụ 4. Xét các số phức () thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị nhỏ nhất. [2]
Cách 1: Đặt với . Theo bài ra ta có .
Ta có 
.
.
Vậy GTNN của là bằng đạt được khi .
Cách 2:
K
M
0
M
A
I
5
2
3
2
O
-1
x
y
 với .
 với , .
Ta có ; . Chọn thì . Do đó ta có 
 và đồng dạng với nhau .
Từ đó .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , , thẳng hàng và thuộc đoạn thẳng .
Từ đó tìm được .
Cách 3:Gọi là điểm biểu diễn số phức 
Đặt , và .
Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn có tâm , bán kính sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Trước tiên, ta tìm điểm sao cho .
Ta có 
.
 luôn đúng .
.
Thử trực tiếp ta thấy thỏa mãn .
Vì nên nằm ngoài .
Vì nên nằm trong .
Ta có .
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi thuộc đoạn thẳng .
Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của và đoạn thẳng 
Phương trình đường thẳng .
Phương trình đường tròn .
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ hoặc .
Thử lại thấy thuộc đoạn .
Vậy , 
2.3.5. Xây dựng bài tập theo hướng phát triển
Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm GTLN và GTNN của 
Gọi và là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. Từ điều kiện suy ra M thuộc đường tròn (C): tâm O(0; 0), bán kính R = 1.
Cách 1. Gọi A(3;4), ta có , ycbt tương đương với tìm điểm M trên (C) sao cho AM lớn nhất và nhỏ nhất.
Gọi M1, M2 là các giao điểm của đường thẳng OA với đường tròn (C), ta có , mà OA = 5 do đó
Cách 2. Gọi và là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. Từ điều kiện suy ra M thuộc đường tròn (C): tâm O(0; 0), bán kính R = 1. 
Đặt , khi đó 
Mặt khác hay 
Do đó . Vậy , 
Cách 3. Gọi và là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. Từ điều kiện suy ra M thuộc đường tròn (C): tâm O(0; 0), bán kính R = 1. 
Ta có 
Áp dụng BĐT bu-nhi-a-copx-ki, ta có 
Do đó . Vậy , 
Ví dụ 2. Xét các số phức () thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Tập hợp các điểm M(a; b) biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm I(3; 2), bán kính R = 2
Gọi A(-1; 2) là điểm biểu diễn số phức – 1 + 2i. Gọi M1, M2 là các giao điểm của đường tròn với đường thẳng IM.
Ta có 
Mà .
Vậy khi z = 1 + 2i
Khi đó T = 3.
Ví dụ 3. Xét các số phức () thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Tập hợp các điểm M(a; b) biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm I(3; 2), bán kính R = 2
Gọi A(-1; 2), B(2; 5) là các điểm biểu diễn số phức – 1 + 2i và số phức 2 + 5i.
Đường thẳng qua I vuông góc với đường thẳng AB cắt đường trong (C) tại hai điểm M1, M2.
Ta có 
Đường thẳng qua I vuông góc với AB có phương trình y = 5 – x . Tọa độ giao điểm M1, M2 là nghiệm của hệ
 . Khi đó T = 5.
Ví dụ 4. Xét các số phức () thỏa mãn . Tính T = khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Cách 1. Đặt với . Theo bài ra ta có .
Ta có 
.
.
Vậy GTNN của là bằng đạt được khi .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Trong những năm qua, khi giảng dạy, ôn thi THPT, bồi dưỡng học sinh giỏi về phần số phức tôi đã cung cấp cho đồng nghiệp và các em học sinh lớp 12 của trường THPT Mai Anh Tuấn một số biện pháp xây dựng bài tập về số phức nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, kết quả cho thấy các biện pháp này đã giúp cho học sinh một hướng đi rõ ràng, một cách nhìn tổng quát, toàn diện, tự tin hơn khi phải đối mặt với những bài toán khó về số phức.
Qua khảo sát học sinh lớp 12 các năm học 2017 – 2018 và năm học 2018 – 2019, tôi nhận thấy số lượng học sinh giải quyết được những câu ở mức độ khó đã chiếm tỉ lệ cao hơn nhiều so với những năm học trước. Qua kết quả trên và những nhận định, góp ý của đồng nghiệp, chúng ta có thể khẳng định: Nếu vận dụng sáng kiến vào giảng dạy cho học sinh trường THPT Mai Anh Tuấn thì sẽ góp một phần quan trọng nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán trong nhà trường.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
	Qua nghiên cứu, vận dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy tôi nhận thấy: Học sinh có thể vận dụng linh hoạt hơn kiến thức vào việc giải quyết các bài toán liên quan; nhiều em luôn luôn đặt ra các câu hỏi như là: còn cách nào khác để giải quyết bài toán này hay không, có thể phát triển bài toán theo hướng nào khác hay không?
Tuy nhiên tôi mới chỉ áp dụng sáng kiến này ở trên các lớp mũi nhọn của nhà trường và nhận thấy kết quả khá tốt, trong thời gian tới tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu để có thể vận dụng giảng dạy ở các lớp có chất lượng thấp hơn.
3.2. Kiến nghị
	Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song kinh nghiệm giảng dạy nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng còn có hạn chế. Vì vậy, bài viết này không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện, hiệu quả hơn.
Xin trân trọng cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 2 tháng 6 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Trịnh Ngọc Sơn
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Giải tích 12
[2]. Các bài từ đề thi thử THPT quốc gia của các trường THPT năm 2017 - 2018
MỤC LỤC 
1.Mở đầu
Trang
1.1. Lý do chọn đề tài 
1
1.2. Mục đích nghiên cứu 
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu 
1
1.4. Phương pháp nghiên cứu 
1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 
2
2.1. Cơ sở lý luận
2
2.1.1. Khái niệm nhận thức 
2
 2.1.2. Rèn luyện các thao tác tư duy trong dạy học ở trường trung học phổ thông. 
2
 2.1.3. Đánh giá trình độ phát triển của tư duy học sinh
3
 2.2.Thực trạng việc dạy Toán hiện nay
3
 2.3. Một số biện pháp xây dựng bài tập nhằm phát triển năng lực học sinh
3
 2.3.1. Bài tập rèn luyện năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
3
 2.3.2. Bài tập rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo
4
 2.3.3. Bài tập rèn luyện khả năng suy luận, kỹ năng diễn đạt logic, chính xác
7
 2.3.4. Xây dựng bài tập có nhiều cách giải khác nhau 
10
 2.3.5. Xây dựng bài tập theo hướng phát triển
16
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
19
 3. Kết luận, kiến nghị
19
 3.1. Kết luận
19
 3.2. Kiến nghị
20
Tài liệu tham khảo
21