SKKN Kinh nghiệm sử dụng thể tích khối chóp để giải một số bài toán khoảng cách trong Hình học không gian lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
KINH NGHIỆM SỬ DỤNG THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH 
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12
Người thực hiện: Nguyễn Thị Sáu
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực : Toán học
THANH HOÁ THÁNG 5 NĂM 2017
1– MỞ ĐẦU
 1.1. Lý do chọn đề tài
	Nâng cao chất lượng giáo dục đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học.
Trong giai đoạn hiện nay, khi khoa học công nghệ có những bước tiến nhảy vọt, việc đào tạo những con người không chỉ nắm vững kiến thức mà còn có năng lực sáng tạo, có ý nghĩa quan trọng đối với tiềm lực khoa học kĩ thuật của đất nước.
	Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, việc dạy giải bài tập toán có vai trò quan trọng vì: Dạy toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động toán học. Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy toán ở trường phổ thông. Dạy giải bài tập toán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu.
	Trong việc dạy giải bài tập Toán việc quan trọng hàng đầu là phải rèn luyện kỹ năng giải Toán, phải rèn luyện cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, cách hệ thống các dạng bài tập.
Hơn nữa trong kì thi THPTQG phần HHKG với trọng số 1,6 điểm và thường được ra vào phần tính thể tích và ứng dụng của nó để tính khoảng cách. Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hoặc là tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một bài Toán khó.
	Tính khoảng cách thì chúng ta có ba con đường giải quyết: 
Một là, giải quyết bằng con đường sử dụng định nghĩa tức là chúng ta đi dựng các khoảng cách cần tính.
Hai là, giải quyết bằng công cụ Tọa độ bằng cách cố gắng chuyển bài Toán HHKG sang bài Toán HH tọa độ.
Ba là, giải quyết bằng con đường gián tiếp chẳng hạn như thay thế khoảng cách tương đương, hoặc sử dụng công thức thể tích.
Thực tế giảng dạy cho thấy việc dựng khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng hay dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là một việc làm không dễ đối với đại đa số học sinh, kể cả những em học tương đối khá. Còn việc chuyển bài Toán sang bài Toán HH tọa độ thì không phải là thuận lợi cho mọi bài Toán HHKG, nó chỉ thuận lợi với một lớp các bài Toán nhất định.
Để giúp học sinh khắc phục những khó khăn trên, bằng những kinh nghiệm thực tiễn dạy học và nghiên cứu của bản thân tôi thấy có thể vận dụng việc tính thể tích khối chóp để tính hai loại khoảng cách nói trên. Với những lí do như trên tôi lựa chọn đề tài:
 “Kinh nghiệm sử dụng thể tích khối chóp để giải một số bài toán về khoảng cách trong hình học không gian lớp 12”.
 1.2. Mục đích nghiên cứu: 
 Đề tài này góp phần trang bị thêm cho học sinh một phần kiến thức về hình học không gian đồng thời giúp học sinh thấy được mối liên hệ của thể tích và khoảng cách. Giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, tư duy phân tích, tổng hợp, tư duy trừ tượng, và thói quen đặt câu hỏi ngược khi giải quyết một vấn đề, nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc cạnh từ đó tìm phương án nhanh gọn để giải quyết hiệu quả nhất. Những yếu tố trên cũng rất cần thiết trên con đường thành công của mỗi học sinh trong tương lai. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu: 
 Đề tài được áp dụng trong phần tính thể tích khối đa diện và khoảng cách trong chương trình hình học lớp 12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia. 
 1.4. Phương pháp nghiên cứu: 
 Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các bài toán khoảng cáchtrong hình học không gian tôi hướng dẫn học sinh tự đặt câu hỏi cho mỗi bài toán có thể tính theo cách làm thông thường không, nếu làm được thì cách giải quyết có quá khăn không.Từ đó học sinh tự tìm con đường khác để giải quyết bài toán trên cơ sở các yếu tố có thể giải quyết đơn giản.Thông qua hệ thống câu hỏi mang tính chất gợi mở vấn đề và đến cách giải quyết học, sinh có thể tự tìm cách làm bài toán trên những kiến thức cơ bản đã được trang bị. Để học sinh tiếp cận vấn đề tôi chia các dạng bài thành 2 dạng, hệ thống ví dụ từ dễ đến khó, trước khi giải mỗi ví dụ có câu hỏi gợi mở phân tích để hướng học sinh tới suy nghĩ tìm các giải quyết.Sau các ví dụ có lời giải là các bài tập tham khảo để học sinh tự luyện tập.
2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 2.1. Cơ sở lí luận 
Để thực hiện đề tài cần dựa trên những kiến thức cơ bản sau:
2.1. 1. Định nghĩa 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
+) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm A và đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên d. Độ dài đoạn AH gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.
+) Kí hiệu: .
+) Nhận xét: .
Nếu d’//d thì , 
kí hiệu là khoảng cách 
giữa hai đường thẳng song song d và d’.
2.1. 2. Định nghĩa 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
+) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm A và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P). 
Độ dài đoạn AH gọi là khoảng cách từ 
điểm A đến mặt phẳng (P). 
+) Kí hiệu: .
+) Nhận xét: .
Nếu a // (P) thì , 
trong đó kí hiệu để chỉ 
khoảng cách giữa đường thẳng a và 
mặt phẳng (P) trong trường hợp 
chúng song song với nhau.
Nếu (P) // (Q) thì 
, trong đó kí hiệu để chỉ khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q).
2.1. 3. Định nghĩa. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
+) Định nghĩa: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.
a
b
-) Đường thẳng vuông góc với 
cả hai đường thẳng a và b đồng thời 
cắt cả a và b gọi là đường vuông góc chung 
của hai đường thẳng chéo nhau a và b.
-) Gọi . Đoạn thẳng AB 
gọi là đoạn vuông góc chung của hai
 đường thẳng chéo nhau a và b.
-) Độ dài đoạn AB gọi là khoảng cách 
giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
+) Kí hiệu: .
+) Nhận xét: .
2.1.4. Thể tích khối chóp và khối lăng trụ
+) Thể tích khối chóp , trong đó B là diện tích đáy khối chóp, h là chiều cao của khối chóp.
Chiều cao khối chóp bằng khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy hình chóp.
+) Thể tích khối lăng trụ , trong đó B là diện tích đáy lăng trụ, h là chiều cao của lăng trụ.
Chiều cao lăng trụ bằng khoảng cách từ một đỉnh của đáy này đến đáy kia của lăng trụ và cũng bằng khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ.
* Một số công thức cần sử dụng:
 - Công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông,công thức xác định đường cao,công thức hình chiếu.
- Công thức xác định đường cao của hình chóp thông qua công thức thể tích: 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Trường THPT Quảng Xương 1 là một ngôi trường dày truyền thống dạy và học. Nhiều năm qua trường luôn dẫn đầu trong thành tích học sinh giỏi và xếp tốp đầu trong về thành tích giáo dục của tỉnh. Dưới sự lãnh đạo của Ban giám hiệu, đội ngũ giáo viên luôn trăn trở tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh . Nhà trương không chỉ chú trọng truyền thụ tri thức mà còn phát triển tư duy cho học sinh thông qua các bài học, làm hành trang vững chắc cho các em bước vào tương lai.Tuy nhiên trong các môn học thì hình học không gian vẫn là môn học khó đối với đại đa số học sinh đặc biệt là học sinh trung bình và yếu.Khi giải các bài toán về hình học không gian, nếu tiến hành theo các bước cơ bản không được thì tâm lý học sinh thường nản và bỏ qua. Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp 12C5 tôi trực tiếp giảng dạy năm học 2016 - 2017 trường THPT Quảng Xương 1, kết quả như sau: 
Năm học
Lớp
Sĩ số
Số học sinh giải được trước khi thực hiện đề tài
2016
 - 2017
12C5
47
7
 Đứng trước thực trạng tên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK. Song song với việc cung cấp tri thức tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng giải toán, phát triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác.
 2.3. Các giải pháp tiến hành giải quyết vấn đề
Để tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, khoảng cách giứu hai đường thẳng chéo nhau bất kì chúng ta có thể tính bằng cách trực tiếp hoặc dựa vào công thức tính thể tích khối lăng trụ , Khối chóp , Khối hộp chữ nhật , rồi suy ra khoảng cách
Sau đây ta sẽ xét một số dạng toán ứng dụng thể tích, mỗi dạng tôi đưa ra một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ, trên cơ sở lý thuyết đã có hướng dẫn học sinh tự đặt câu hỏi và lựa chọn cách giải đúng và ngắn gọn nhất.
DẠNG 1: Sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Chúng ta có thể sử dụng công thức tính thể tích khối chóp để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Cơ sở của vấn đề này đó là chúng ta có thể gắn khoảng cách cần tính với chiều cao của một khối chóp rồi sử dụng công thức tính . Sau đây là các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. (Câu 38 – Đề minh họa lần 1 năm 2017 của Bộ GD & ĐT). 
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng . Tam giác SAD cân tại S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD).
A. 	B. 	C. 	D. 
Nhận xét: Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) bằng chiều cao của hình chóp B.SCD.
Lời giải
Chọn đáp án B
Ta có . 
Gọi H là trung điểm của AD, ta có: (gt) 
 là đường cao của hình chóp S.ABCD. Ta có 
Mặt khác do ABCD là hình vuông nên :
Mà 
Tam giác SCD vuông tại D 
Mặt khác 
Vậy Chọn đáp án B
Ví dụ 2. (BT 1.18 SBT Hình Học 12) : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có . Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho . Tính theo khoảng cách từ điểm M đến mp(AB’C).
Nhận xét: Khoảng cách từ điểm M đến mp(AB’C) bằng độ dài đường cao kẻ từ M của hình chóp M.AB’C.
Lời giải. 
Ta có .
Từ . 
. 
Ta có ,, cân tại C. Lấy H là trung điểm của AB’, ta có .
Vậy (đvđd).
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , SA = . M và N lần lượt là trung điểm của AB và CB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm H của AN và DM. Tính theo khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDN).	
Nhận xét: Khoảng cách từ điểm H đến mp(SDN) bằng độ dài đường cao kẻ từ H của hình chóp H.SND.
Lời giải. 
Ta có .
+) Gọi H là giao điểm của AM và DN . Từ giả thiết ta có Ta có. vuông tại A có AH là đường cao . 
 vuông tại H ,,. Ta có , .
Vậy (đvđd).
Ví dụ 4. (Trích đề KB - 2013) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD).
Lời giải. 
Lấy H là trung điểm của AB. SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. 
= . 
Tính được cân đỉnh S. Lấy I là trung điểm của CD, tính được . Do đó (đvđd).
Ví dụ 5 (Trích đề KA,A1 – 2014)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, , hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD).
Lời giải. 
Ta có .
Từ gt ta có SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. 
. Ta có 
, 
Tính được 
, Vậy (đvđd).
Ví dụ 6. (Trích đề KB - 2014)
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mp(ABC) là trung điểm H cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 600. Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mp(ACC’A’).
Lời giải. 
Ta có . . Từ gt suy ra A’H là đường cao của hình chóp A’.ABC.Ta có H là hình chiếu vuông góc của A’ trên mp(ABC), . Ta có . do đó cân tại C. Lấy I là trung điểm của AA’ ta có . Vậy (đvđd).
Để thấy ưu thế của phương pháp này so với phương pháp tính trực tiếp khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 7. (Trích đề KD – 2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, .Cạnh bên SA vuông góc với đáy và. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD).
Lời giải 1. 
Ta có . vuông tại A, có AH là đường cao nên .
. Lấy I là trung điểm của AD tứ giác là hình vuông vuông tại C mà.
Tính được . Do đó .
Lời giải 2.
Gọi E là giao điểm của AB và CD. 
Lấy M là trung điểm của EC, N là
 trung điểm của SE, F là trung điểm 
của AD . 
H
Ta có tứ giác ABCF là hình vuông 
.
có 
 vuông tại C
 , mà . 
MN là đường trung bình của 
.
 cân tại B 
.
Kẻ .
Ta có NB là đường trung bình của tam giác SAE 
. vuông tại B có BJ là đường cao nên 
, mà 
(đvđd).
So sánh hai lời giải ta thấy: Ở lời giải thứ nhất sau khi chuyển việc tính khoảng cách về tính khoảng cách học sinh chỉ cần sử dụng thuần túy tính toán biến đổi để tính mà không cần phải đi dựng khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) mà chúng tôi cho rằng việc dựng này không hề đơn giản cho đa số các học sinh.
*Kết luận.
 Như vậy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hoàn toàn có thể sử dụng thông qua việc tính thể tích khối chóp, đồng thời trong quá trình tính khoảng cách đó chúng ta cũng có thể sử dụng kết hợp với các tính chất:
- Nếu thì .
 - Nếu thì .
- Nếu B là trung điểm của OA thì .
DẠNG 2: Sử dụng thể tích để tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
Bài Toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một trong những bài toán khó đối với học sinh. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có ba con đường: sử dụng định nghĩa, tính bằng con đường gián tiếp, hay sử dụng công thức của hình học tọa độ bằng cách chuyển bài Toán sang bài Toán Hình Học tọa độ.
Như đã nói ở phần trên, việc chuyển bài Toán sang Hình Học tọa độ chỉ nên sử dụng và sử dụng tốt cho một lớp các bài Toán đặc trưng.
Tính bằng cách sử dụng định nghĩa là chúng ta đi dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau rồi tính độ dài đoạn thẳng đó. Tuy nhiên bằng kinh nghiệm bản thân và tìm hiểu thực tiễn cho thấy việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau chỉ được thực hiện khá dễ dàng khi hai đường thẳng đó vuông góc với nhau mà thôi. Chính vì vậy mà con đường này chỉ nên sử dụng khi hai đường thẳng chéo nhau đó là vuông góc hoặc bài toán yêu cầu dựng.
Vì vậy tôi muốn hướng học sinh tới một cách tính gián tiếp khác nhờ ứng dụng của bài toán tính thể tích tứ diện. 
Cơ sở của vấn đề này là bài Toán:
Bài Toán. (Bài 38tr10 Bài tập HH 12 nâng cao - NXBGD 2008) 
Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng minh rằng .
Các lời giải:
Lời giải 1.
Dựng hình bình hành BCDE, ta có:
 Do CD // BE nên CD // mp(ABE)
, ,
. Vậy 
Lời giải 2. 
Dựng hình hộp AMBN.FDEC ngoại tiếp tứ diện ABCD. 
Ta có,
., .
Bài toán này có một dạng phát biểu khác như sau: Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên d’. Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi. (Bài tập 6 tr26 SGKHH12 - NXB GD 2008).
Vậy thể tích tứ diện bằng một phần sáu tích của một cặp cạnh đối với khoảng cách giữa hai cạnh đó và sin của góc tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cặp cạnh đối nói trên.
Nhận xét: Với AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa chúng được cho bởi công thức . Vậy để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:
B1. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
B2. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, CD và .
B3. Áp dụng công thức , ta có khoảng cách cần tính.
Theo cách tính này thì học sinh sẽ tránh được việc phải dựng hình khó khăn.
Sau đây là hệ thống các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = h và 
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) SB và CD 	b) SC và BD	c) SC và AB.
Lời giải.
Ta có .
Từ giả thiết ta có SA là đường cao 
của hình chóp S.ABCD.	
 . 
Tam giác SAB vuông tại A. 
.
AB // CD 
. 
Từ đó (đvđd).
b) Ta có 
, .
Ta có .
Vậy (đvđd).
c) Ta có ., . AB// CD . Ta có . Vậy (đvđd).
Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau:
a) OA và BC	b) AI và OC.
Lời giải.
a) Ta có 
 là 	
đường cao kẻ từ A của tứ diện OABC.
Ta có , 
OA = , 
.Vậy .
c)Ta có . 
,.
Lấy J là trung điểm của OB , .
Ta có .
Vậy (đvđd).
Ví dụ 3. (Trích đề KA - 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN với MD. Biết SH , . Tính khoảng cách giữa DM và SC theo a.
Lời giải. 
Ta có . 
Từ gt ta có SH là đường cao của hình chóp SDCM. 
Do ABCD là hình vuông M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD 
(c-g-c).Ta có , , , Từ gt 
.Vậy (đvđd).
Ví dụ 4. (Trích đề KA – 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, mp(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mp(ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N. Biết . Tính khoảng cách giữa AB và SN theo a.
Lời giải. 
Ta có 
Từ gt nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC
, .
Do 
Vậy 
. 
 vuông tại A nên .
Ta có mp qua SM song song với BC cắt mp(ABC) theo giao tuyến qua M và song song với BC, giao tuyến này cắt AC tại N. M là trung điểm của AB nên N là trung điểm của AC .
Ta có .
Dựng hình bình hành AMND, ta có
. 
Vậy (đvđd).
Nhận xét: Ta cũng có 
Ví dụ 5. (Trích đề KA,A1 - 2012)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mp(ABC) bằng .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Lời giải. 
Ta có 
Từ giả thiết ta có SH là đường cao của hình chóp S.ABC nên , 
Do H là hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC)
. 
Ta có ,
, 
,.
Vậy (đvđd).
Ví dụ 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có kich thước tương ứng là AB = 10, AD = 15, AA1 = 20. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng B1D1 và AC, AB và A1C.
Lời giải.
+) : Ta có 
,
. Vậy 
(đvđd).	
+) :
Ta có ,
Vậy (đvđd).
Để thấy ưu điểm của phương pháp này ta so sánh các lời giải trong ví dụ sau:
Ví dụ 7. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau AI và OC.
Lời giải 1. (Sử dụng định nghĩa).
Lấy J là trung điểm của OB thì 
do đó . Vậy mp(AIJ) chứa AI 
và song song với OC. Do IJ // OC, 	
. 
Dựng OK vuông góc với AJ tại K 
. 
Từ K kẻ đường thẳng song song với OC 
cắt AI tại E. Từ E dựng đường thẳng song song 
với OH cắt OC tại F.
Khi đó EF là đoạn vuông góc chung của AI và OC, đường thẳng EF là đường vuông góc chung của AI và OC. Ta có vuông tại O nên 
Vậy (đvđd).
Lời giải 2. (Chuyển về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng).
Lấy J là trung điểm của OB thì do đó . Vậy mp(AIJ) chứa AI và song song với OC . Ta có , vuông tại J (do IJ//OC, OC , , . 
. Vậy (đvđd).
Lời giải 3.(sử dụng công thức tính thể tích tứ diện)
Ta có .
, .
Lấy J là trung điểm của OB , .
Ta có .
Vậy (đvđd).
Nói về ưu điểm tuyệt đối của cách dùng thể tích để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau so với hai cách hay dùng trước đây là chuyển về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và dựng đường vuông góc chung thì không phải mà nó còn tùy thuộc vào đặc thù của từng bài toán, chẳng hạn như trong trường hợp hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc vơí nhau thì việc dựng đường vuông góc chung là khá dễ dàng. Tuy nhiên chắc chắn đây cũng là một hướng giải tốt cho bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và đối với đại đa số học sinh thì cách giải quyết này dễ sử dụng hơn nhiều so với việc phải dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau rồi tính khoảng cách giữa chúng.
*Kết luận: Có thể sử dụng việc tính thể tích để tính khoảng cách giữa hai đường thẳn