SKKN Kinh nghiệm giải bài toán theo hướng phát triển tư duy sáng tạo dành cho học sinh khá, giỏi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT SẦM SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN THEO HƯỚNG
 PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO DÀNH CHO
 HỌC SINH KHÁ, GIỎI
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Dũng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
 MỤC LỤC 
NỘI DUNG
Trang
1. MỞ ĐẦU
1
 Lời mở đầu
1
1.1. Lý do chọn đề tài
1
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiến cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức thực hiện
2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
6
2.3 Giải pháp để giải quyết vấn đề
7
Kinh nghiệm giải bài toán theo hướng tư duy sáng tạo dành cho học sinh khá, giỏi
8
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệmđối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
14
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
15
1. MỞ ĐẦU
Năm học 2016 – 2017 Bộ GD&ĐT thay đổi hình thức thi môn Toán từ thi tự luận sang trắc nghiệm. Vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi đối với các thầy cô được giao nhiệm vụ rất khó khăn, chính vì thế mà việc tạo ra hứng thú học tập để đạt kết quả cao trong kỳ thi HSG cấp tỉnh, kỳ thi THPTQG càng trở nên cấp thiết hơn, Chính vì điều đó giáo viên cần đổi mới phương pháp dạy học tích cực, tư duy tìm tòi thêm những vấn đề phù hợp với tình hình mới. Một trong những vấn đề đó là nhìn nhận bài toàn theo nhiều góc độ khác nhau để có thể đưa đến kết quả nhanh nhất có thể đối với một số bài toán với mức độ vận dụng cao đặc biệt là các bài toán về hình học. Xuất phát từ tinh thần đó tôi mạnh dạn đư vấn đề tọa đọ hóa một bài toán hình học vào giảng dạy cho học sinh, nhằm mục đích chỉ cho học sinh một cách nhìn đa chiều về các bài toán. Trong quá trình giảng dạy và thực hiện đề tài này tôi đã nhận được sự giúp đỡ vô cùng quý báu của các đồng nghiệp trong nhóm toán trường THPT Sầm sơn, các đồng nghiệp dạy môn toán trong tỉnh và các em học sinh lớp 12A1,12A2 năm học 2016 – 2017, học sinh lớp 10A1, 10A4 năm học 2017 -2018
Tôi xin chân thành cảm ơn và mong muốn được giúp đỡ nhiều hơn nữa trong công tác giảng dạy để có thể dạy tốt môn Toán. Tôi rất mong được các đồng chí đồng nghiệp đóng góp những ý kiến để tôi hoàn thiện tốt hơn những ý tưởng trong bản sáng kiến kinh nghiệm của mình.
1.1. Lý do chọn đề tài
 Rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo toán học cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng trong trường phổ thông vì: Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học, kỹ thuật. Sự nghiệp cách mạng trong công cuộc CNH - HĐH đất nước cần thiết có một đội ngũ những công dân có năng lực toán học. 
Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ sản xuất và đời sống xã hội hiện đại nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá sản xuất trở thành công cụ thiết yếu của mọi ngành khoa học và được coi là chìa khoá của sự phát triển. 
Trong việc phát triển tư duy toán học "Toán học là một môn thể thao của trí tuệ "Toán học giúp học sinh rèn luyện cách suy nghĩ, rèn luyện tính độc lập, rèn luyện tính linh hoạt. Học sinh phải nắm vững những dạng cơ bản, tổng hợp kiến thức, kỹ năng. Trong việc dạy toán ở trường phổ thông người giáo viên phải truyền thụ kiến thức, dạy học sinh cách lĩnh hội kiến thức suy nghĩ giải quyết vấn đề và phát triển sáng tạo. 
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Để đáp ứng yêu cầu của xã hội. Trong tương lai gần, vấn đề số hóa rất cần được quan tâm và dần thay đổi những tư duy trừu tượng phù hợp với tốc độ phát triển của thế giới và các nước trong khu vực. Trọng tâm của ngành giáo dục là phải đào tạo ra những con người năng động, sáng tạo, có khả năng giải quyết vấn đề. Điều này đã được luật GD quy định "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, bồi dưỡng năng lực tự học, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học lòng say mê học tập và ý chí vươn lên". 
Từ những lý do trên tôi chọn đề tài "Phương pháp giải bài toán theo hướng phát triển tư duy, sáng tạo dành cho học sinh khá, giỏi” thông qua việc “ dạy cho học sinh giải một số bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ hóa”. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu. 
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là đề xuất một số phương pháp nhằm góp phần rèn luyện một số yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy bài tập tọa độ hóa bài toán hình học. 
Trên cơ sở tôn trọng nội dung chương trình SGK hiện hành. Nếu xây dựng được một hệ thống bài tập cho học sinh thì ta có thể : 
+Rèn luyện năng lực, tính tư duy sáng tạo cho học sinh. 
+Góp phần nâng cao chất lượng dạy - học toán ở trường THPT. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu. 
Dự giờ, quan sát việc học của học sinh trong quá trình khai thác bài tập trong sách giáo khoa. 
Tham khảo các tài liệu hướng dẫn phương pháp dạy học trong trường phổ thông. 
Tham khảo sách giáo khoa, sách bồi dưỡng học sinh, các đề thi Đại học trong những năm gần đây, các sách bài tập và bài viết có liên quan đến đề tài. 
Tham khảo ý kiến giáo viên có kinh nghiệm giảng dạy trong tổ. 
Tổ chức thực nghiệm trên các lớp đã dạy tại trường THPT Sầm Sơn. Tổng hợp kết quả so sánh và rút ra kết luận. 
Vận dụng kết quả đạt được vào giảng dạy các bài học cụ thể 
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
a- Khái niệm sự sáng tạo và tư duy sáng tạo. 
 Sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần hoặc sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị phụ thuộc, gò bó vào cái đã có. Nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính, có tính mới ( khác với cái cũ, cái đã biết và cái có lợi ích ( tốt, có giá trị hơn cái cũ, cái đã biết ). 
 Ví dụ 2: Khai thác từ một dạng toán đơn giản sách giáo khoa đại số 10 nâng cao: Giải hệ phương trình : [1]
 Đây là bài toán tương đối đơn giản với học sinh trung bình, khá. Xong với học sinh giỏi thì giáo viên cần khai thác thêm để học sinh có thể phát triển thêm về mặt tư duy sáng tạo 
Cách 1:
Từ (2) rút ra x = 4-2y (3) thế vào (1)
(GV: Nên rút x vì khi đó biểu thức sau khi rút sẽ gọn hơn)
Ta được : 
 thay vào biểu thức (3) ta có : x=2
Vây hệ có nghiệm duy nhất :
Đặt vấn đề: Ngoài cách giải trên có còn cách giải nào khác để giải hệ trên không?
 Cách 2: Ta có thể chuyển một phương trình của hệ thành dạng a2+b2 = 0 được không ?
 Nhân phương trình (2) với -4 sau đó cộng vế với vế vào phương trình (1) ta được: 
thế vào hệ (1.2) thấy thoả mãn, vậy hệ có nghiệm duy nhất x=2 ,y=1.
Một cách giải khác về hệ phương trình trên
 Gọi (xo,yo) là nghiệm của hệ phương trình, tức 
 Ta xét phương trình bậc hai ẩn α : 
 Rõ ràng phương trình đã cho nếu có nghiệm thì nghiệm đó là : α = x0= 2y0
 Mặt khác ta thấy
 Phương trình 
Vậy xo = 2 ; yo =1 . Thử lại kết quả ta thấy thoả mãn.
Cách 3: phương pháp hình học hoá
Yêu cầu học sinh nhận xét về các số hạng tương ứng ở hai phương trình(1) và (2).
Rõ ràng đây không phải là hệ đối xứng với hai ẩn x,y, nhưng hãy tìm ẩn mới để hệ đối xứng. Từ đó ta có cách 2:
Hệ (1.2) Đặt : 2y=t khi đó hệ trở thành 
(Đây là hệ đối xứng với hai ẩn x và t )
 Hệ Vậy x, t là nghiệm của phương trình nên hệ có nghiệm x = t = 2 Suy ra nghiêm của hệ (1.2) là :
Một cách suy nghĩ về hệ phương trình 
 Hệ phương trình : thì phương trình là phương trình đường tròn tâm O(0,0) và bán kính R = . Còn phương trình thứ hai của hệ : x+t = 4 là phương trình đường thẳng cắt trục Ox tại điểm A(4,0) cắt trục Ot tại điểm B(0,4).
Khi thử biểu diễn hình học của hai đường, trên hệ trục toạ độ Oxt ta thấy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, vậy ta có cách giải thứ 4:
Cách 5
Ta phán đoán thêm một cách giải nữa của hệ, đó là phương pháp đánh giá
Vấn đề bây giờ là phải đánh giá như thế nào ?
Ta để ý : Hạng tử thứ nhất của PT thứ nhất là 
 Hạng tử thứ nhất của PT thứ hai là x
 Hạng tử thứ hai của PT thứ nhất là 
 Hạng tử thứ hai của PT thứ hai là 2y
Ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức liên hệ giữa các số a,b và , 
Ta nhớ lại: bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xky cho hai bộ số trang 111 SGK-ĐS 10 nâng cao: 
Ta có : Áp dụng bất đẳng thức này cho 4 số : x; 2y; 1; 1 ta có:
 (4) Vậy theo (2) ta có : 
 Để có (1) cần có , thay vào (2) ta được : y=1 ; x=2.
 Vẫn với phân tích để tìm ra cách 4 , ta còn thấy một phép toán hình học có liên quan đến mối liên hệ giữa 2 cặp số (a,b) và .Đó là : 
Vậy nếu chọn . Từ đó gợi cho ta cách giải 5.
Cách 6 Một cách giải khác nhờ công thức tích vô hướng 
Đặt 
Mặt khác : 
Lưu ý cho học sinh: ở bên trái là trị tuyệt đối của một số 
 ở bên phải là độ lớn của một véc tơ.
Vậy ta được : (5) . 
 (Trở lại bất đẳng thức (4)), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
‌ hoặc cùng phương hay tồn tại 
 để :
Ta để ý bất đẳng thức (4) ở cánh 3 và bất đẳng thức (5) ở cách 4 là giống nhau mặc dù hai cách dẫn đến là khác nhau.
Vì vậy mà gợi cho ta nghĩ đến việc đặt vấn đề ngược lại, tìm cách chứng minh bài tập bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ .
Nếu bắt trước cách làm trên ta có cách chứng minh như sau:
Xét ,và 
do: ‌‌‌‌‌ nên .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Cũng với việc phân tích để dẫn đến cách 3 gợi cho ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức quen thuộc khác: 
 từ đó ta có cách 5:
Cách 7 Áp dụng BĐT trên với a = x và b = 2y 
Nếu để ý đến phương trình (1) ta thấy VT có dạng : x2+(2y)2 . Điều đó lại gợi cho ta liên tưởng đến một công thức trong hình học 
 (SGK hình học 10)
Nhưng vấn đề vế trái của công thức là 1 , đế được điều đó ta chia hai vế của phương trình (1) cho 8 khi đó: (1).
Vậy nếu có góc α để thì . Nhưng để có : cần có điều kiện . Ta quay lại xét hệ (1.2). Ta thấy :
Từ PT(1) . Nếu có một trong hai số x hoặc 2y nhỏ hơn không thì từ PT(2):x+2y=4 dẫn đến số còn lại phải lớn hơn 4, điều này mâu thuẫn với (*).Vậy ta được ; .Từ đây ta có cách 6:
Cách 8 Lượng giác hoá bài toán đại số
Theo lý luận trên thì có góc α để Thay vào PT(1) suyra: Ta được . Thay vào phương trình (2) ta được : 
Ta đã có bài tập: Với thì 
(Bài tập này có thể ra cho hoc sinh làm ở phần tích vô hướng của hai véc tơ).
Vậy Suy ra 
Tính linh hoạt, tính độc lập, tính mềm dẻo là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới tuy nhiên chúng ta không xem nhẹ cái cũ bởi vì kiến thức cơ bản là gốc của mọi vấn đề phát triển lên cái mới. 
2.2.Thực trạng vấn đề. Trong giảng dạy học sinh THPT vấn đề dạy học sinh phát triển tư duy sáng tạo trong học tập là vấn đề khá khó, do thói quen ỷ lại, tính tự lập, cách phát triển một vấn đề của học sinh không cao do đó giáo viên cần nắm vững các đặc trưng của sáng tạo để phần nào giúp học sinh có tư duy tốt trong học tập.
Một số đặc trưng của tư duy sáng tạo. [2]
Tư duy sáng tạo có những đặc trưng cơ bản sau: 
a- Tính mềm dẻo: Là năng lực dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận động linh hoạt phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá, cụ thể hoá: Có thể chuyển hoá một bài toán từ dạng này sang dạng khác bằng cách: Hình học hoá bài toán đại số, lượng giác hoá bài toán đại số. Đại số hoá bài toán hình học, lượng giác v.v 
b- Tính nhuần nhuyễn: Là tạo ra một cách nhanh chóng sự tổng hợp giữa các yếu tố riêng lẽ của tình huống, đưa ra giả thiết mới. Tính đa dạng của cách xử lý bài toán, có cách nhìn khác nhau một hiện tượng, một sự vật và cụ thể là một bài toán .Tránh cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc. 
c- Tính độc đáo: Tức là khả năng tìm ra các giải pháp hay, lạ tuy đã biết những giải pháp khác. 
d- Tính nhạy cảm vấn đề: Khả năng nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu lô gíc, chưa tối ưu từ đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới. 
e- Tính hoàn thiện: Khả năng lập kế hoạch, quy trình giải phối hợp các kiến thức đã biết, hành động để thực hiện ý tưởng, kiểm tra kết quả thực hiện. 
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề
a- Các yêu cầu cơ bản. 
Học sinh nắm vững định nghĩa: Trục tọa độ, hệ trục tọa độ Oxy, Oxyz. Tọa độ véc tơ, tọa độ điểm trong hệ trục, các biểu thức tọa độ, các bài toán cơ bản trong hệ trục tọa độ.. 
Về kỹ năng: Yêu cầu học sinh biết cách tìm tọa độ điểm, phương trình đường thẳng , đường tròn, conic trong Oxy, phương trình đường thẳng , phương trình mặt phẳng, mặt cầu vv... Trong Oxyz
Học sinh biết linh hoạt vận dụng các kiến thức đã học vào bài toán tìm tọa độ điểm, phương trình các đường theo yêu cầu bài tóan. 
 Học sinh biết vận dụng các bài toán cơ bản vào việc phát triển khả năng sáng tạo trong quá trình giải toán. 
Một số kiến thức chuẩn bị. 
Kiến thức véc tơ, phương pháp tọa độ trong mặt phẳng lớp 10 
Kiến thức về hình học không gian lớp 11, phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12
Kiến thức hình học liên quan đến tích vô hướng, độ dài đoạn thẳng, khoảng cách. 
Tài liệu bồi dưỡngthường xuyên: Dạy và học tích cực, các phương pháp dạy và học tích cực...vv
b. Một số ví dụ minh họa. Tọa độ hóa bài toán hình học theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh dành cho học sinh khá, giỏi. 
Rèn luyện cách nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh.
Trước hết phải lựa chọn bài toán có những đối tượng, những quan hệ có thể xem xét dưới nhiều khía cạnh khác nhau. 
 Việc cho học sinh làm quen với bài toán đó sẽ giúp học sinh rèn luyện khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, rèn luyện khả năng nhìn một đối tượng toán học dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Qua đó giúp học sinh bước đầu rèn luyện tư duy mềm dẻo, nhuần nhuyễn và độc đáo. Hơn nữa trên cơ sở tập hợp nhiều lối giải khác nhau cho một bài toán ta so sánh các lời giải nhờ đó tìm ra lời giải mới lạ nhất, hay nhất, ngắn nhất. 
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 3a, AC = 4a. Đường cao AH, điểm I thuộc cạnh AB sao cho . CI cắt AH tại E. Tính CE. [3]
Phân tích bài toán: Đây là bài toán không khó đối với học sinh lớp 9 vì chỉ cần các kiến thức về tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác vuông là các em có thể giải quyết được. Xong với học sinh lớp 10 giáo viên cần hướng dẫn để học sinh có thể vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyết bài toán và từ đó tìm ra hướng giải quyết bài toán một cách nhanh nhất, tối ưu nhất, ít thời gian nhất. Sau đây tôi đưa ra một vài phương án giải quyết bài toán này.
y
Lời giảix
H
I
B
C
A
 HÌNH VẼ 1 HÌNH VẼ 2
A
C
B
I
H
E
K
E
E
Cách 1: ( Hình vẽ 1
Kẻ IKBC. Ta có: mà theo hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A ta tính được AH =; CH = ; CI = ; IK= thì CK = . Mà: 
Cách 2: ( Hình vẽ 1) Theo định lý cosin trong tam giác BIC thì: . Xét tam giác vuông CHE vuông tại H: CH.cosBCI=
Cách 3: (Hình vẽ 2) Do ABAC. Chọn hệ trục tọa độ Oxy: A, C(4a;0) B(0;3a). Khi đó: I(0;2a): phương trình CI là phương trình đoạn chắn: , phương trình AH có véc tơ pháp tuyến nên có phương trình: 4x - 3y = 0. E là giao điểm của CI và AH nên toa độ E là nghiệm của hệ phương trình: Vậy thì .
Nhận xét về cách giải: Cách giải 3 không phải là cách giải ngắn gọn nhất. Nhưng với việc tọa độ hóa bài toán thì đây là cách giải quyết mà học sịnh học trung bình cũng có thể làm được. So với cách giải 1, 2 thì đơn giản hơn, vì phải sử dụng đến đường vẽ phụ mà học sinh ít khi nghĩ tới trong bài toán hình học
 ( Trừ học sinh khá, giỏi)
 BÀI TẬP VẬN DỤNG VÀO CHO HỌC SINH LỚP 12
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông AB=3a, AC=4a,
I thuộc cạnh AB sao cho . AHBC. Các mặt (SCI) và (SAH) đều vuông góc với mặt phẳng đáy. [4]
a) Tính thể tích khối chóp: S.ABC nếu SC hợp với đáy góc 450.
b) Tính thể tích khối chóp: S.ABC nếu (SBC) hợp với mặt đáy góc 600.
c) Tính thể tích khối chóp: S.ABC nếu SC .
 Rèn luyện sự mềm dẻo trong suy nghĩ giải quyết vấn đề. 
Một trong những nhiệm vụ quan trọng của người thầy giáo là rèn luyện cho học sinh lòng say mê học tập, ham muốn hiểu biết, biến nó thành nhu cầu, một nguồn vui trong cuộc sống. Cần rèn luyện cho học sinh ý chí tiến lên không ngừng, luôn sáng tạo không bằng lòng với những cái hiện có mà luôn luôn tìm cách cải tiến, cần giúp học sinh tránh ý nghĩ rằng " vấn đề đó đã cạn, chẳng còn gì để đào sâu, mở rộng, cải tiến, sáng tạo mới" ý nghĩ đó sẽ làm cằn cỗi khả năng sáng tạo của học sinh. Người thầy giáo cũng cần giúp học sinh tránh định kiến cho rằng kiến thức còn quá ít chưa thể sáng tạo được, cần rèn luyện cho học sinh tinh thần học tập kiên trì, nhẫn nại, vượt khó khăn, để có thể giải quyết những bài toán khó hơn. 
Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, góc . Gọi O là tâm đáy, (SAC) vá (SBD) vuông góc với (ABC), SC hợp với mặt đáy góc 450. Tính khoảng cách giữa AB và SC. [5]
Nhận xét: Đây là bài toán tương đối đơn giản mà hầu hết học sinh từ trung bình trở lên đều có thể giải quyết được . Xong nếu chỉ dừng lại ở chổ tính được khoảng cách của AB và SC thì học sinh hoặc không có một cảm xúc gì về bài toán đã giải được hoặc không giải được vì lý do lý thuyết về khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau. Giáo viên cần hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức hợp lý vào giải bài toán để có thể khái quát một số phương pháp tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau hoặc đơn giản là tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng mà hầu hết các đề thi đều có.
Một vài cách giải thể hiện “sự mềm dẻo trong suy nghĩ giải quyết vấn đề”
x
S
z
A
D
C
O
B
y
S
B
D
A
C
H
O
K
 HÌNH VẼ 1 HÌNH VẼ 2 
Do bài toán cho (SAC) và (SBD) cùng vuông góc (ABC) nên ta dễ dàng xác định được đường cao hình chóp là SO.
Cách giải 1 ( trực tiếp): Tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Lưu ý: AB, SC không vuông góc với nhau do đó việc tìm đoạn vuông góc chung của chúng là không hề đơn giản.
a
b
A
P
b/
N
M
B
Lý thuyết chung: Cho a, b chéo nhau và không vuông góc với nhau. Tìm đoạn vuông góc chung. 
Về mặt lý thuyết việc tìm đoạn vuông góc chung của chúng là : Ví dụ a, b chéo nhau và không vuông góc với nhau thì quy trình là:
+ Chọn (P) vuông góc với a, gọi b/ là hình chiếu của b trên (P)
+. Kẻ ABb/, qua B kẻ BN // a. BN ( N thuộc b). Kẻ NM//AB, M thuộc a . Thì doạn vuông góc chung là MN.
Như vậy: cách 1 là cách làm không khả thi( không phải là chúng ta không giải quyết được mà vì chúng ta cần hạn chế về thời gian để giải quyết một vấn đề ), trong đó nếu chúng ta mềm dẻo hơn thì bài toán trở thành đơn giản rất nhiều.
Cách giải 2 ( cách giải gián tiếp). Hình vẽ 1:
Do AB//CD nên AB//(SCD) do đó: d(AB,SC) = d(AB,(SCD))= d(A, (SCD)).
Ta tính khoáng cách từ O đến (SCD). Lý do A,O,C thẳng hàng mà C thuộc (SCD), O là trung điểm AC nên d(A,(SCD)( = 2d(O,(SCD))
Kẻ OH thì (SCD) (SOH) khi đó Kẻ OKSH thì
 OK(SCD).D(O,(SCD)) = OK, để tìm: OH = , SO = a, thì OK =.
Vậy d( AB,SC) = (đvd)
Cách giải 3 ( cách giải gián tiếp). Hình vẽ 1:
Do AB//CD nên AB//(SCD) do đó: d(AB,SC) = d(AB,(SCD))= d(A, (SCD)).
Do VA.SCD =VS.ABCD =.SO.AC.BD = (đvtt)
D(A,(SCD))=Vậy d( AB,SC) = 
Cách giải 4 (trực tiếp). Hình vẽ 2:
Do OD,OC,OS đôi một vuông góc: OD = , OC = a. OS = a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ: O(0;0;0), D(, C(0;a;0), S(0;0;a)
Khi đó: A(0;-a;0), B(. Ta tính được:, ,
. , 
d(AB,SC) =.
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình vuông cạch a.
 SA = a và SA vuông góc với đáy.
1) Tính diện tích tam giác SBD, chứng minh BDSC
2) Tính góc SC và (SBD).
3) Tính khoảng cách BD và SC bằng các cách khác nhau.
Bài tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/. Cạnh bằng a. I là trung điểm CC/, O là tâm của mặt AA/B/B ,các điểm M,N trên các đường thẳng AD, A/B/ sao cho MN luôn cắt và vuông góc với OI. Tính MN theo a [6]
 Rèn luyện tính độc lập, tính linh hoạt trong việc giải toán:
Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự tìm phương hướng, tìm ra cách giải quyết. Tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả. Tự đánh giá và được người khác đánh giá ý nghĩ của mình. Cần có tinh thần hoài nghi ( đặt những câu hỏi, tại sao?; vì sao? ; như thế nào? khi /lĩnh hội kiến thức). Tránh phụ thuộc vào suy nghĩ của người khác, đặc biệt là suy nghĩ của thầy áp đặt học sinh. Trong quá trình giải quyết vấn đề có thể bài toá