SKKN Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi một số nội dung trong phần Tổ hợp - Xác suất ở Trường THPT Triệu Sơn 2

MỤC LỤC
	 Trang
I. Mở đầu	2
1.1. Lí do chọn đề tài	2
1.2. Mục đích nghiên cứu	2
1.3. Đối tượng nghiên cứu	2
1.4. Phương pháp nghiên cứu	2
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm	3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm	3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề	5
2.3.1. Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho các em theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề	5
2.3.2. Thường xuyên hướng dẫn học sinh thực hiện Tương tự hóa, Khái quát hóa để tạo ra các bài toán mới	8
2.3.3. Rèn luyện cho học sinh thực hiện phân chia ra thành các trường hợp nhỏ để dễ thực hiện giải toán.	11
2.3.4. Luôn linh hoạt trong giải toán, đôi khi có thể sử dụng phương pháp thủ công	13
2.3.5. Khuyến khích học sinh sáng tạo trong giải toán	15
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường	17
III. Kết luận, kiến nghị	18
3.1. Kết luận	18
3.2. Kiến nghị	18
Tài liệu tham khảo	19
I. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ quan trọng trong việc nâng cao chất lượng giáo dục, bồi dưỡng nhân tài cho nhà trường nói riêng, cho địa phương nói chung. Bồi dưỡng học sinh giỏi là một công việc khó khăn và lâu dài, đòi hỏi nhiều công sức của thầy và trò. Trong những năm trước đây, kết quả thi học sinh giỏi của Trường THPT Triệu Sơn 2 rất thấp. Tuy nhiên, những năm gần đây, với sự nỗ lực của thầy và trò kết quả các kỳ thi học sinh giỏi của nhà trường đã đạt được những thành công nhất định.
Phần Tổ hợp - Xác xuất trong chương trình toán học phổ thông là phần khó đối với các em học sinh. Các bài toán loại này mang tính tổng hợp và khái quát hóa cao. Vì vậy nhiều học sinh học đến phần này thường ngại, sự say mê, sáng tạo giảm. Những năm đầu dạy đội tuyển học sinh giỏi của trường, bản thân tôi gặp nhiều khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán về phần này. 
Để giúp học sinh khắc phục tình trạng trên, giúp cho các em có sự say mê, tư duy sáng tạo trong việc học phần Tổ hợp - Xác xuất. Tôi đã đọc tài liệu, nghiên cứu, phân tích, cải tiến cách dạy, tìm tòi thêm các công thức khác, hướng dẫn các em tự tìm tòi, tự phát triển ra các công thức mới dựa trên các công thức đã có, các bài tập để trang bị cho các em lượng kiến thức để các em vận dụng làm bài tập một cách khoa học hơn, sáng tạo hơn. Tạo ra sự hứng thú trong học tập đồng thời giúp các em rèn luyện phương pháp giải bài tập không những loại bài tập này mà còn vận dụng cách tư duy đó cho các loại bài tập khác. Trong khuôn khổ đề tài “Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi một số nội dung trong phần Tổ hợp - Xác suất ở Trường THPT Triệu Sơn 2” tôi chỉ nêu một số phương pháp thường dùng để các em giải quyết bài toán một cách khoa học hơn, có cơ sở và có tính sáng tạo hơn. Từ đó để các em củng cố kiến thức, rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học, đồng thời cũng trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho kỳ thi Học sinh giỏi năm học 2017-2018. 
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là tìm ra các phương pháp dạy học phù hợp dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi một số nội dung trong phần Tổ hợp - Xác suất ở Trường THPT Triệu Sơn 2.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là các đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Trường THPT Triệu Sơn 2.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về Tổ hợp, Xác xuất, Phương pháp dạy học môn Toán, ... có liên quan đến đề tài Sáng kiến kinh nghiệm.
Quan sát: Quan sát thực trạng Dạy - Học của đội tuyển HSG môn Toán nói chung và phần Tổ hợp - Xác suất nói riêng ở Trường THPT Triệu Sơn 2
Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của việc vận dụng dạy học một số nội dung trong phần Tổ hợp - Xác suất vào đội tuyển học sinh giỏi Toán ở Trường THPT Triệu Sơn 2.
	II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
1. Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách.
2. Quy tắc nhân
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể thực hiện theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo nm cách.
3. Hoán vị
Cho tập hợp A có n () phần tử. Khi sắp xếp n phần tử theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A).
Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là 
4. Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với . Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).
Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử () là: 
.
5. Tổ hợp
Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với . Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)
Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử () là 
Tính chất: , 
6. Công thức nhị thức Niu – tơn 
Công thức nhị thức Niu – tơn (gọi tắt là nhị thức Niu – tơn)
(quy ước )
7. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:
-Kết quả của nó không đoán trước;
-Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.
Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ W (đọc là ô-mê-ga) 
8. Biến cố
Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T.
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.
tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là WA. Khi đó người ta nói biến cố A được mô tả bởi tập WA.
-Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T. Kí hiệu W.
Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử được thực hiện. Kí hiệu Æ
9. Xác suất của biến cố
Giả sử phép thử T có không gian mẫu W là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và WA là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức 
10. Biến cố hợp
Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là AÈB, được gọi là hợp của hai biến cố A và B.
Nếu WA và WB lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho AÈB là WAÈ WB
11. Biến cố xung khắc
Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.
12. Quy tắc cộng xác suất
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là 
13. biến cố đối
Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là , được gọi là biến cố đối của A.
Xác suất của biến cố đối là 
14. Biến cố giao
Cho hai biến cố A và B. Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra” , kí hiệu là AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B
15. Biến cố độc lập
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
16. Quy tắc nhân xác suất
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(AB) = P(A)P(B) [3]
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Khi dạy học phần Tổ hợp - Xác xuất đối với các đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Trường THPT Triệu Sơn 2 các năm trước đây thường gặp nhiều khó khăn.
Nhiều học sinh học đến phần này cảm thấy rắc rối và dẫn đến ngại. Một số em khi gặp các bài toán mà các em chưa tìm ra hướng giải các em sẽ bỏ cuộc ngay, không có tính kiên trì tìm tòi, ỷ lại, chờ thầy giáo, cô giáo chữa. Những năm đầu dạy đội tuyển học sinh giỏi của trường, bản thân tôi gặp nhiều khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán về phần này. 
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Qua nhiều năm phụ trách đội tuyển học sinh giỏi môn Toán của trường THPT Triệu Sơn 2. Tôi đã nghiên cứu, tìm tòi và đưa ra được 5 giải pháp để khắc phục vấn đề đã nêu.
2.3.1. Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho các em theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề
Hướng dẫn học sinh tìm hiểu bài toán, tìm tòi lời giải bài toán, thực hiện lời giải mà và khai thác bài toán. [2]
Trong quá trình học sinh suy nghĩ tìm ra hướng giải, giáo viên có thể đưa ra những gợi ý để học sinh phát hiện ra lời giải theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề. [1]
Ví dụ 1. Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau
Bài toán 1: Có 10 bạn nam, 3 bạn nữ. Có bao nhiêu cách xếp 13 bạn đó theo một hàng dọc mà không có nữ đứng kề nhau.
Khi gặp bài toán này nhiều học sinh đã gặp khó khăn.
Giáo viên có gợi ý cho học sinh với những gợi ý sau:
Đây thuộc vào loại bài toán gì? (Bài toán đếm số cách sắp xếp đối với người).
Nếu bỏ đi dữ kiện “không có nữ đứng kề nhau” thì giải như thế nào? (Đáp số là 13!).
Có thể giải một số bài toán phụ dễ hơn như sau:
Bài toán 1.1: Có 3 bạn nam, 2 bạn nữ. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn đó theo một hàng ngang mà không có nữ đứng kề nhau.
Giáo viên có gợi ý cho học sinh với những gợi ý sau đối với Bài toán 1.1:
- Khi sắp xếp, nếu đổi chỗ 2 bạn nữ có được cách mới không? (có) . 
- Em có thể liệt kê ra một số phương án được không? (Nam1-Nữ1-Nam2-Nữ2-Nam3; Nữ1-Nam1-Nữ2-Nam2-Nam3;  có 72 cách như vậy). 
Bài toán 1.2: Có 3 bạn nam, 2 bạn nữ. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn đó theo một hàng ngang mà nữ đứng kề nhau.
Giáo viên có gợi ý cho học sinh với những gợi ý sau đối với Bài toán 1.2:
- Khi sắp xếp, nếu đổi chỗ 2 bạn nữ có được cách mới không? (có) . 
- Em có thể liệt kê ra một số phương án được không? (Nam1-Nữ1-Nữ2-Nam2-Nam3; Nữ1-Nữ2-Nam1-Nam2-Nam3;  có 48 cách như vậy). 
- Đáp số Bài toán 1.2 là gì? (Đáp số 4!2=48)
- Qua Bài toán 1.2 có gợi ý gì đến Bài toán 1.1 (Tính các cách bỏ qua điều kiện không có nữ đứng kề nhau trừ các cách có điều kiện nữ đứng kề nhau)
- Đáp số Bài toán 1.1 là gì? (Đáp số 5!-48=72)
Giáo viên quay lại gợi ý cho học sinh đối với Bài toán 1:
	Có thể áp dụng cách giải Bài toán 1.2 cho Bài toán 1 không? (có nhưng khó hơn). 
- Có thể học sinh đưa ra cách giải Bài toán 1 như sau:
Số cách sắp xếp 13 bạn (bỏ qua điều kiện không có nữ đứng kề nhau) là: 13!.
Tính số cách sắp xếp không thỏa mãn điều kiện (nữ đứng kề nhau):
Trường hợp 1: Ba nữ đứng kề nhau 11!3!= (coi 3 bạn nữ là 1 bạn và xếp chung với 10 bạn nam, sau đó hoán vị 3 bạn nữ).
Trường hợp 2: Hai nữ đứng kề nhau : (12! 2!)
Vậy các cách thỏa mãn điều kiện là 
13! - 11!3! - (12! 2!)
Giáo viên phân tích cho học sinh thấy cách giải trên khá lằng nhằng, vả lại là cách giải sai vì có một số trường hợp trùng nhau.
Giáo viên hỏi học sinh có thể tìm cách giải khác không?
Giáo viên Hướng dẫn học sinh tìm cách giải khác:
Cách giải Bài toán 1.2. 
Xếp 10 HS nam trước có 10! Cách
Đưa 3 HS nữ vào 3 trong 11 vị trí mà 10 bạn nam tạo ra: 
Vậy số cách thực hiện là 10!=3.592.512.000 cách 
Ví dụ 2: Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau
Bài toán 2. Tính S = . Có thể giải một số bài toán phụ dễ hơn như sau:
Bài toán 2.1: Tính 
Với bài toán này học sinh dễ dàng tìm ra cách giải như sau:
Xét khai triển 
Thay x = 1 ta được:
Sau đó Giáo viên gợi ý công thức: cho học sinh.
Lúc đó Học sinh thấy
 	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Cộng vế với vế ta được: Từ đó ta có: 
Do đó: 
Hay 
Giáo viên cũng có thể hướng dẫn HS giải theo Cách 2 sau đây:
Cách 2: Áp dụng công thức: 
Ta có:
 . . . . . . . . . . . . . 
Cộng vế với vế ta được:
Xét khai triển 
Thay x = 1 ta được:
Do đó: 
Giáo viên cũng có thể hướng dẫn HS dùng đạo hàm để giải.
Cách 3. Xét khai triển (1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
Thay x = 1 ta có . 
Nhận xét:
Khi học sinh đã được học đạo hàm thì việc dùng đạo hàm để giải bài toán này sẽ nhanh hơn cách giải ở phần trước. 
2.3.2. Thường xuyên hướng dẫn học sinh thực hiện Tương tự hóa, Khái quát hóa để tạo ra các bài toán mới
Có nhiều bài toán, sau khi giải xong ta có thể thực hiện Tương tự hóa, Khái quát hóa để tạo ra các bài toán mới. 
Ví dụ 1: Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau
Bài toán 1. Chứng minh:
Đối với bài này học sinh Áp dụng công thức: 
Để có:
; 
; 
. . . . . . . . 
Cộng vế với vế ta được:
Xét khai triển 
Thay x = 2 ta được:
Do đó: 
Hay điều phải chứng minh. 
Giáo viên làm cho học sinh hiểu rõ: Nếu ở ví dụ này ta thay x bởi một số tự nhiên khác thì chúng ta lại có một bài toán mới. Từ đó giáo viên cho học sinh tổng quát thành bài toán:
Bài tâp tổng quát:
Chứng minh: 
Thông qua các ví dụ này giáo viên có thể làm cho học sinh thấy rõ, từ một bài tập nào đó chúng ta có thể suy nghĩ, phát triển, mở rộng ra được các bài tập mới và từ đó giúp cho học sinh tập làm quen với khả năng tư duy, sáng tạo trong học toán. Giáo viên cũng yêu cầu học sinh về nhà tự tìm tòi ra các bài tập khác từ các ví dụ này và tìm bài tập tổng quát. 
Ví dụ 2: Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau
Bài toán 2. Cho n là số tự nhiên . Chứng minh đẳng thức sau:
Đối với bài này Giáo viên hướng dẫn học sinh Áp dụng công thức 
Để có . Do đó: 
; 
; 
. . . . . . . . . . . . .
Cộng vế với vế ta được:
Xét khai triển (1)
Thay x = 1 ta được:
Do đó: 
được điều phải chứng minh. 
Giáo viên gợi ý thêm nếu ở khai triển (1) của ví dụ này ta thay x = 2; x = 3 thì kết quả như thế nào? giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu thành một bài toán. Từ đó cho học sinh phát triển thành bài tập tổng quát với x = a. 
Ví dụ 3: Hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo định hướng Tương tự hóa giải bài toán sau
Bài toán 3. Chứng minh:
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo định hướng Tương tự hóa
Đặt: (1)
Sử dụng công thức: 
và ta có:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Cộng vế với vế ta được:
Xét khai triển: 
 và 
Thay x = 1 ta được: dẫn đến điều phải chứng minh. 
2.3.3. Rèn luyện cho học sinh thực hiện phân chia ra thành các trường hợp nhỏ để dễ thực hiện giải toán.
Trong quá trình giải các bài toán về đếm, Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thực hiện phân chia ra thành các trường hợp nhỏ để dễ thực hiện giải toán.
Ví dụ 1. Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau
Bài toán 1.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ? (Đề thi HSG tỉnh 2014-2015).
Đối với bài toán này, giáo viên gợi ý học sinh phân ra các trường hợp nhỏ. Khi đó học sinh dễ nhân thấy có 3 trường hợp nhỏ là: A có 1 chữ số lẻ, A có 2 chữ số lẻ, A có 2 chữ số lẻ. Trong mỗi trường hợp lại có những trường hợp nhỏ khác. 
Từ đó Học sinh có thể giải bài toán như sau:
Gọi số đó là . Từ giả thiết suy ra A có 1 hoặc 2 hoặc 3 chữ số lẻ. 
TH1: A có 1 chữ số lẻ
+) lẻ: Số các số A là 
+) chẵn: Có 4 cách chọn . Số các số A là 
Tổng có: 600 + 2400 = 3000 số các số A trong đó có đúng một chữ số lẻ.
TH2: A có 2 chữ số lẻ
+) lẻ: Có 5 cách chọn . Có 5 cách chọn chẵn. 
Vậy số các số A là 
+) chẵn: Có 4 cách chọn . Có 6 cách chọn hai vị trí không kề nhau của hai số lẻ trong . Vậy số các số A là 
Tổng có: 9600 + 11520 = 21120 số các số A.
TH3: A có 3 chữ số lẻ
+) lẻ: Có 5 cách chọn . Có 5 cách chọn . Có 3 cách chọn hai vị trí không kề nhau của hai số lẻ trong .. Vậy số các số A là 
+) chẵn: Có 4 cách chọn . Có 1 cách chọn 3 vị trí không kề nhau của 3 số lẻ trong . Vậy số các số A là 
Tổng có: 10800 + 2880 = 13680 số các số A.
Tóm lại có: 3000 + 21120 + 13680 = 37800 số các số A.
Ví dụ 2. Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau
Bài toán 2. Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau. (Đề thi HSG tỉnh 2013-2014)
Đối với bài toán này, giáo viên gợi ý học sinh phân ra các trường hợp nhỏ. Khi đó học sinh dễ nhân thấy có 2 trường hợp nhỏ là: Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c ; 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó. Trong mỗi trường hợp lại có những trường hợp nhỏ khác. 
Từ đó Học sinh có thể giải bài toán như sau:
Ta có: 
Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có: 
Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là . Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau đây:
TH1. Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị của các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH1 này có cả thảy số tự nhiên.
TH2. 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH2 này có cả thảy số tự nhiên.
Vậy: .
Kết luận: 
Ví dụ 3. Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau
Bài toán 3. Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp trường, một trường THPT đã dùng 7 cuốn sách tham khảo môn Toán, 6 cuốn sách tham khảo môn Vật lí, 5 cuốn sách tham khảo môn Hóa học để làm phần thưởng cho 9 học sinh có kết quả cao nhất. Các cuốn sách cùng thể loại: Toán, Vật lí, Hóa học đều giống nhau. Mỗi học sinh nhận thưởng sẽ được 2 cuốn sách khác thể loại. Trong số 9 học sinh trên có hai học sinh tên là An và Bình. Tìm xác suất để hai học sinh An và Bình có phần thưởng giống nhau. (Đề thi HSG tỉnh 2015-2016)
Đối với bài toán này, giáo viên gợi ý học sinh phân ra các trường hợp nhỏ. Khi đó học sinh dễ nhân thấy có 3 trường hợp nhỏ là: An và Bình cùng nhận sách Toán, Lý; An và Bình cùng nhận sách Toán, Hóa; An và Bình cùng nhận sách Hóa, Lý. Trong mỗi trường hợp lại có những trường hợp nhỏ khác. 
Từ đó Học sinh có thể giải bài toán như sau:
Gọi lần lượt là số học sinh nhận phần thưởng là sách (Toán, Lý); (Toán, Hóa); (Lý, Hóa) ta có : .
Xét phép thử: “Trao phần thưởng cho 9 học sinh”, suy ra 
Xét biến cốA: “An và Bình có phần thưởng giống nhau”.
TH1:An và Bình cùng nhận sách Toán, Lý có 
TH2:An và Bình cùng nhận sách Toán, Hóa có 
TH3:An và Bình cùng nhận sách Hóa, Lý có 
Suy ra . Vậy xác suất cần tìm 
2.3.4. Luôn linh hoạt trong giải toán, đôi khi có thể sử dụng phương pháp thủ công
Việc linh hoạt trong giải toán Tổ hợp – Xác suất là thực sự cần thiết, không nên gò bó trong một khuôn mẫu nhất định, đôi khi có thể sử dụng phương pháp thủ công để làm cho vấn đề trở nên quen thuộc hơn.
Ví dụ 1. Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau
Bài toán 1. Một lớp học có 42 học sinh xếp thành một vòng tròn. Chọn ngẫu nhiên ra 3 học sinh để tham gia vào một trò chơi. Tính xác suất để trong 3 học sinh được chọn không có hoc sinh đứng kề nhau.
	Với bài toán này, việc tìm ra không có gì khó khăn. Tuy nhiên giải quyết vấn đề trong 3 học sinh được chọn không có hoc sinh đứng kề nhau và 42 học sinh xếp thành một vòng tròn không phải là đơn giản.
	Lúc này giáo viên có thể gợi ý cho học sinh suy nghĩ một cách linh hoạt là thay dữ kiện một lớp học có 42 học sinh xếp thành một vòng tròn thành một lớp học có 42 học sinh xếp thành một đường thẳng thì như thế nào?
	Sau đó lại có thể gợi ý cho học sinh suy nghĩ một cách linh hoạt khác là thay dữ kiện Chọn ra 3 học sinh để tham gia vào một trò chơi thành đưa 3 học sinh quay lại hàng thì như thế nào?
	Chẳng hạn như đối với Bài toán 1.1 sau đây
Bài toán 1.1. Một lớp học có 42 học sinh xếp thành một hàng ngang. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh để tham gia vào một trò chơi sao cho trong 3 học sinh được chọn không có hoc sinh đứng kề nhau.
	Với suy nghĩ một cách linh hoạt khác là thay dữ kiện Chọn ra 3 học sinh để tham gia vào một trò chơi thành đưa 3 học sinh quay lại hàng thì học sinh có thể nhận ra với 39 học sinh còn lại sẽ tạu