SKKN Khai thác và xây dựng các bài tập hình học không gian có tính hệ thống để phát triển tư duy sáng tạo, tính tích cực và năng lực giải bài tập cho học sinh lớp 11 và học sinh lớp 12 ôn thi đại học

A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong bối cảnh toàn ngành Giáo dục và Đào tạo đang nỗ lực đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực chủ động của học sinh trong hoạt động học tập. Điều 24.2 của Luật giáo dục đã nêu rõ : “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Như vậy, chúng ta có thể thấy định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được khẳng định, không còn là vấn đề tranh luận. Cốt lõi của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông là giúp học sinh hướng tới việc học tập chủ động, sáng tạo, tích cực, chống lại thói quen học tập thụ động. 
Trong học tập môn Toán thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học sinh là hoạt động tư duy giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo đồng thời rèn luyện phát triển trí tuệ. 
Trong chương trình toán học lớp 11, 12, hình học không gian giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở tất cả các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, đề thi tốt nghiệp và đề thi quốc gia trong những năm gần đây và thường chiếm một điểm. Ngoài ra nó còn là tiền đề để các em học sinh học phần hình học giải tích trong không gian là một phần mà trong đề thi cũng luôn chiếm một điểm. Tuy nhiên đây là nội dung mà đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, trí tưởng tượng hình không gian phong phú và phải đi từng li từng tí kiến thức, kiên trì, chịu khó tìm tòi học hỏi ngay từ vấn đề đầu tiên, cơ bản là vẽ hình. Đối với học sinh đây là mảng kiến thức khó nên thường không làm được hoặc thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. 
Trong sách giáo khoa, sách bài tập cũng như sách tham khảo hầu hết chưa hình thành cho học sinh cách thức để giải quyết các dạng, loại bài tập. Đối với giáo viên, có nhiều lí do mà dẫn đến việc dạy học còn nhiều hạn chế chẳng hạn như do lượng thời gian ít ỏi ở trên lớp để truyền đạt kiến thức, không kiên trì đối với học sinh từ khâu nhỏ nhất, không kiểm tra một cách kịp thời việc học tập ở nhà của học sinh, do đó mà lượng kiến thức của học sinh thường bị rỗng, dần dần trở thành nắm không vững hoặc không còn biết gì về hình không gian.
Với người thầy phải biết hướng dẫn học sinh nghiên cứu bài học và sắp xếp các bài tập có tính hệ thống thì sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi giải bài tập hình học không gian, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho các em. 
Từ những lí do trên tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:
“KHAI THÁC VÀ XÂY DỰNG CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CÓ TÍNH HỆ THỐNG ĐỂ PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO, TÍNH TÍCH CỰC VÀ NĂNG LỰC GIẢI BÀI TẬP CHO HỌC SINH LỚP 11 VÀ HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI ĐẠI HỌC”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Góp phần tìm ra phương pháp dạy học thích hợp với học sinh. Xây dựng, sắp xếp các bài tập hình học không gian có tính hệ thống, thông qua đó để phát huy trí tưởng tượng không gian, tính tích cực, tư duy sáng tạo và năng lực giải bài tập cho học sinh nhằm giúp học sinh có phương pháp để giải quyết các bài toán và tạo hứng thú cho học sinh, lôi kéo thêm số lượng các em hứng thú với môn hình không gian, giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
+ Tìm hiểu khái niệm, cấu trúc của tư duy sáng tạo, tư duy tích cực.
+ Khai thác và xây dựng hệ thống bài tập hình học không gian 
+ Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài chủ yếu là học sinh khối lớp 11, 12 năm học 2015 - 2016.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Đề tài kết hợp giữa các phương pháp nghiên cứu:
1. Nghiên cứu lý luận:
 Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, các sách giáo khoa, sách bài tập, sách bồi dưỡng nâng cao, các công trình nghiên cứu có liên quan đến sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh.
2. Điều tra, quan sát:
Thăm lớp, dự giờ, trao đổi với các giáo viên nhiều kinh nghiệm.
3. Tổng kết kinh nghiệm:
Tổng kết kinh nghiệm qua những giờ dạy ở các lớp 11, 12, trường THPT Yên Định 1 – Huyện Yên Định – Tỉnh Thanh Hóa.
4. Thực nghiệm giáo dục.
VI. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI.
- Xây dựng được hệ thống bài tập hình học không gian một cách khoa học, lôgic.
- Rèn luyện các thao tác vẽ hình biểu diễn, trí tưởng tượng không gian, mở đầu cho các ý tưởng vẽ thêm các đường, chọn điểm.
- Rèn luyện tư duy độc lâp, rèn luyện tính linh hoạt và phê phán trong tư duy.
B. NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. KHÁI NIỆM, CẤU TRÚC CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO. TƯ DUY TÍCH CỰC:
Tư duy sáng tạo là gì?
Sáng tạo được hiểu theo từ điển Việt Nam là làm ra cái mới chưa ai làm hoặc là tìm tòi làm tốt hơn một việc gì đó mà không bị gò bó.
Tư duy sáng tạo là quá trình tìm cách nhận thức, phát hiện ra quy luật của sự vật, có ý thức luôn tìm ra cái mới để hiểu hơn bản chất của sự vật hiện tượng cũng như tìm ra nguyên nhân, ngăn chặn, loại bỏ những cái xấu và phát triển cái tốt.
	Như vậy tư duy sáng tạo là thuộc tính bản chất của con người để tồn tại và phát triển những điều tốt đẹp, trong các loại hình tư duy nhằm phản ánh hiện thực thì tư duy sáng tạo là loại hình tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới độc đáo và hiệu quả, phát hiện ra nội dung mới, tìm ra hướng đi mới đồng thời tạo ra kết quả mới.
1.1.2. Các yếu tố đặc trưng và các thuộc tính của tư duy sáng tạo:
Tư duy sáng tạo có 5 yếu tố cơ bản: Tính mềm dẻo, tính nhuận nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề.
Ngoài ra còn có những yếu tố quan trọng khác như tính chính xác, năng lực định giá, phán đoán, năng lực định nghĩa lại ...
Lecne đã chỉ ra các thuộc tính sau đây của quá trình tư duy sáng tạo:
1. Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới.
2. Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết “đúng quy cách”,
3. Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
4. Nhìn thấy cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu.
5. Nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm kiếm lời giải.
6. Kết hợp những phương thức giải đã biết thành một phương thức mới.
7. Sáng tạo một phương thức giải độc đáo tuy đã biết những phương thức khác.
1.1.3. Tư duy tích cực là gì?
Là loại tư duy dựa vào tính tích cực nhận thức của học sinh trong quá trình học tập. Tính tích cực là trạng thái hoạt động của học sinh đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức(theo Kharlanop)
Theo Shukina GL tính tích cực có thể phân thành 3 loại: Tính tích cực tái hiện bắt chước, tính tích cực tìm tòi và tính tích cực sáng tạo.
Trong tư duy sáng tạo luôn có tư duy tích cực và tư duy độc lập.
1.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Trong quá trình dạy học từ khi vào ngành đến nay, việc dạy học hình học không gian đối với bản thân và giáo viên trong trường đang còn nhiều lúng túng. Đặc biệt là trong đề thi đại học, quốc gia, qua quá trình theo dõi kết quả thi của các em học sinh nhiều năm trước thì bản thân tôi thấy rằng có một số học sinh học lực giỏi thường làm tốt các bài toán này. Tuy nhiên số lượng đó không nhiều. Một điều đáng tiếc và làm ta phải suy nghĩ là tại sao còn một số lượng tương đối lớn vẫn bỏ câu này hoặc làm sai? Điều này rõ ràng trách nhiệm đầu tiên là ở bản thân giáo viên dạy, vẫn chưa nêu bật được bài toán gốc và giải quyết bài toán gốc. Chưa hình thành cho học sinh tư duy giải từng loại bài toán do vậy mà học sinh không được rèn luyện nhiều, dẫn đến học sinh không thích và không làm được bài. Trên đây là một trong những lí do mà học sinh còn chưa hứng thú với bài tập hình không gian.
1.3. MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH .
 Theo các tác giả Isen và Barron việc bồi dưỡng trí sáng tạo cần:
 1. Phát triển một cái nền phong phú rộng rãi.
 2. Bồi dưỡng tính độc lập
 3. Khuyến khích sự tò mò ham hiểu biết.
 Theo tác giả Trần Thúc Trình, trong cuốn “Tư duy và hoạt động toán” đã nêu ra các biện pháp sau để phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh:
 1. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác.
 2. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh đặt trọng tâm vào việc bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới.
 3. Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo và trang bị cho học sinh phương tiện, thủ pháp các hoạt động nhận thức.
 4. Quá trình bồi dưỡng tư duy sáng tạo là quá trình lâu dài, cần tiến hành qua các bước trong tất cả các khâu của quá trình dạy học.
 5. Vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải quyết vấn đề qua các giờ lên lớp.
Để thực hiện đề tài, tôi xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, phân chia thành hệ thống các bài tập dưới dạng những vấn đề, những loại bài tập, hướng dẫn các em thói quen sử dụng các loại hình tư duy như tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa, giải bài toán bằng nhiều cách,... tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo, tích cực của mình.
 Tiến hành xen kẽ hướng dẫn, định hướng học sinh trong khi chữa bài tập trên lớp cũng như trong các tiết học tự chọn và bỗi dưỡng. 
 Các bài tập được đề cập bắt nguồn từ sách giáo khoa, sách bài tập, trong các đề thi Đại học, cao đẳng, được lựa chọn theo hướng cơ bản, có những kiến thức để khai thác, khắc sâu.	
CHƯƠNG II:
KHAI THÁC VÀ XÂY DỰNG CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CÓ TÍNH HỆ THỐNG ĐỂ PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO, TÍNH TÍCH CỰC VÀ NĂNG LỰC GIẢI BÀI TẬP CHO HỌC SINH .
2.1. RA CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ :
Tương tự là một trong những thao tác tư duy cơ bản, là quá trình suy nghĩ, phát hiện sự giống nhau giữa hai đối tượng, để từ những sự kiện đã biết đối với đối tượng này ta dự đoán những sự kiện tương ứng đối với đối tượng kia. Như vậy những đối tượng tương tự thường là đối tượng có tính chất giống nhau, có vai trò giống nhau .
Vấn đề tương tự của các bài toán có thể xem xét dưới nhiều khía cạnh
+ Các bài toán có đường lối giải giống nhau , phương pháp giống nhau
+ Nội dung của chúng có những nét giống nhau hoặc chúng có chung giả thiết hay là có cùng kết luận giống nhau .
+ Các bài toán đề cập đến những vấn đề giống nhau , những đối tượng có tính chất giống nhau .
Từ một số tính chất giống nhau của 2 đối tượng ta có thể dự đoán một số tính chất giống nhau khác của chúng. Như vậy khi học sinh làm việc với các bài toán tương tự, sẽ rèn luyện cho học sinh khả năng dự đoán một số các tính chất mới của toán học, tạo tiền đề cho học sinh có khả năng tự nghiên cứu khoa học. Từ bài toán ban đầu đến bài toán tương tự giúp học sinh xem xét một vấn đề toán học dưới những góc độ khác nhau, giúp học sinh biết khai thác các kết quả khác nhau từ những dữ kiện không thay đổi, nhiều khi bài toán tương tự khó hơn bài toán ban đầu rất nhiều, có khi phải đòi hỏi lời giải độc đáo, sáng tạo .
Các ví dụ :
*Bài toán 1 : Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC nằm trên mặt phẳng (P). Gọi β,γ là góc hợp bởi 2 đường thẳng AB, AC và mặt phẳng (P). Gọi α là góc tạo bởi 2 mặt phẳng (ABC) và (P).
Chứng minh rằng : Sin2α =Sin2β + Sin2γ
Trong bài toán này điều phải chứng minh liên quan đến đường cao AI^BC và hai cạnh góc vuông AB,AC. Điều phải chứng minh có được nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông là:
 P
I
B
A
H
C
	= + 
 * Giải
Kẻ đường AH^(P) và AI^BC thì 
β =ABH; γ = ACH; α = AIH và vì 
∆ABC vuông ở A có đường cao AI nên 
= + = + 
 Sin2α = Sin2β + Sin2γ
*Bài toán 2: (có lời giải tương tự bài 1)
Cho tứ diện OABC có tam giác OAB, OBC, OCA đều là các tam giác vuông đỉnh O; OA = a; OB = b; OC = c ; Gọi α, β, γ là góc lần lượt hợp bởi các mặt (OBC), (OCA), (OAB) với mp (ABC).
Chứng minh rằng : Cos2α + Cos2β +Cos2γ =1
H
B
C’'
A
O
B'
A'
C'
*Giải:
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O
 xuống (ABC). Dễ thấy H là trực tâm của 
tam giác ABC.Gọi AA', BB',CC' là 
đường cao của tam giác ABC
Thì OA'H=α ; OB'H=β; OC'H=γ
Trong tam giác vuông AOA' ta có 
AOH=α (vì bằng OA'H) 
Tương tự BOH=β ; COH=γ;
Như vậy: 
Cos2α + Cos2β + Cos2γ = + + 
 = OH2 [ + + ]	(1)
Mặt khác trong tam giác vuông AOA’ ta có : = + 
Mà 	 = + 	(vì các tam giác có đỉnh O vuông )
Vậy 	= ++ 	 (2)
Từ (1) và (2) ta có: Cos2α + Cos2β +Cos2γ =1
Ta thấy: Hai bài toán trên có giả thiết và kết luận khác nhau, nhưng chúng có đường lối giải tương tự nhau, sau khi giải được bài toán 1 thì bài toán thứ 2 cũng được giải quyết dễ dàng, mặc dù quá trình giải cần phải qua các bước trung gian phức tạp hơn. Cái chung mà học sinh thấy ở hai bài toán này là: Các góc phẳng nhị diện, các tam giác vuông và có thể áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: = + 
Như vậy khi học sinh giải các bài toán này, học sinh còn rèn luyện khả năng nhìn thấy cái chung bên trong cái có bề ngoài khác nhau, tạo tiền đề cho khả năng khái quát hóa.
*Bài toán 3 : Chứng minh rằng các cạnh đối diện của tứ diện đều ABCD đôi một vuông góc với nhau 
Giải: 
Ta gọi H là hình chiếu của A trên mp (BCD) ; K= BH CD
 H là tâm vòng tròn ngoại tiếp ∆ABH
B
C
K
D
A
I
C
 CD^BK vì AH^(BCD) 
AH^CD CD^mp(ABK)
 CD^AB.
Tương tự ta có AD^BC; AC^BD.
*Bài toán 4:(Tương tự bài toán 3)
Chứng minh rằng nếu một tứ diện MNPQ thỏa mãn điều kiện MN^PQ ; MP^NQ thì MQ^NP
*Giải:Q
P
A
N
M
D
E
F
H
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M
xuống mp (NPQ) nghĩa là MH^(NPQ)
nên PQ^MH. Theo giả thiết PQ^NM
PQ^NH. Tương tự NQ^PH.
Gọi F,E,D theo thứ tự là giao điểm của 
các tia NH, PH, QH với các cạnh PQ, QN, NP. 
Theo trên thì NF, PF là đường cao của ∆ NPQ
 QD cũng là đường cao QD^NP.
Do MH^ (NPQ) NP^ MH 
 NP^ (MQD) NP^ MQ.
Điều nhận thấy ở hai bài toán trên là : Giả thiết khác nhau, nhưng phần kết luận và phương pháp giải giống nhau.
+ Khi giải bài toán thứ 4 chúng ta phải đi chứng minh những dữ kiện mà bài toán 3 đã có sẵn , do đó bài toán 4 tương tự như bài toán 3 nhưng ở mức độ khó hơn.
+ Việc cho học sinh làm những bài toán này sẽ rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy linh hoạt, học sinh thấy được nhiều con đường khác nhau để dẫn đến một kết quả giống nhau và học sinh có thể tự mình hình thành phương pháp chung để giải một bài toán.
2.2. RA BÀI TOÁN ẨN CHỨA KHẢ NĂNG SÁNG TẠO
Đây là dạng bài toán trong đó điều phải tìm không được nêu lên một cách rõ ràng, cụ thể, tường minh, khi học sinh giải phải tìm hoặc chứng minh tất cả các kết quả có thể có, hoặc phải đón nhận, phát hiện các kết luận cần phải chứng minh.
Bài tập loại này kích thích óc tò mò, khoa học , đặt học sinh trước tình huống có vấn đề với những cái chưa biết , những cái cần khám phá , làm cho học sinh tháy có nhu cầu , có hứng thú và quyết tâm huy động kiến thức , kinh nghiệm và năng lực tư duy sáng tạo của bản thân để tìm tòi , phát hiện các kết quả còn tiềm ẩn trong bài toán.
Ví dụ :
*Bài toán 5
Cho hai hình vuông ABCD và ADEF không cùng nằm trên một mặt phẳng . Trên cạnh AB và DE lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM=DN
Tứ giác BCEF là hình gì ?
Xác định giao điểm của đường thẳng BF và mp (MED)
Xét vị trí tương đối của MN và (BCE)
Ở bài toán 5: Yêu cầu đặt ra là tứ giác BCEF là hình gì? điều này buộc học sinh phải có óc phán đoán, suy luận trên cơ sở, điều kiện của đầu bài, sau đó dự đoán xem khả năng hình đó là hình gì? Và đi chứng minh điều dự đoán của mình. Tương tự như vậy nếu yêu cầu chứng minh MN song song với (BCE) thì quá dễ, nhưng để xét vị trí tương đối thì học sinh lại cần xem xét một trường hợp có thể xảy ra đối với MN và (BCE) và chọn ra phương án phù hợp, điều này rèn luyện cho học sinh rất nhiều trong việc nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều khía cạnh, góc độ khác nhau. Đây là một trong những phẩm chất, trí tuệ mà giáo viên cần quan tâm bồi dưỡng cho học sinM
A
B
C
E
F
D
N
I
h, để 
tạo tiền đề cho các hoạt động sáng tạo tiếp theo.
* Giải:
1) Theo giả thiết AD và BC là hai 
cạnh đối của hình vuông nên AD // BC 
và AD = BC (1)
Tương tự EF//AD và EF = AD (2)
Từ (1) và (2) ACEF có BC// EF
BC = EF BCEF là hình bình hành.
2) Trong mp (ABF) từ M kẻ MI//AF (IBF).Do MI//AF và theo giả thiết DE//AF MI//DE. Vậy I BF và I mp (MDE) BF ( MDE )
3) Vì ABCD và ADEF là hai hình vuông có cạnh chung là AD nên DE=AF=AB, tam giác AFB cân (đáy BF)
ME//AF 
 cân với MI=MB
Ta có MB= AB – AM = DE – DN=EN MI=EN ; Mà MI // EN tứ giác IENM là hình bình hành MN//IE ; IE (BCE) MN// mp ( BCE )
* Bài toán 6:
Cho hình vuông ABCD cạnh a , các nửa đường thẳng Bm,Dn vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và về cùng một phía với mp ấy .
Tính thể tích tứ diện ACMN theo a,x,y
Tìm hệ thức liên hệ giữa x,y để các mp (ACM) và (ACN) vuông góc với nhau. 
Giả sử x, y thỏa mãn điều kiện ở phần 2 . Gọi HK là đường vuông góc chung của AC và MN ( H AC; K MN).
Chứng minh rằng khi x,y thay đổi thì H cố định và HK không đổi.
* Giải :
 1) H= AC BD vì AC ^ BD 
và AC^Bm nên AC^ (BDMN)A
C
D
K
B
M
N
n
m
x
a
H
y
VACMN = VAHMN + VCHMN = ( AH+ HC) dt (∆ HMN)
= a[dt(BDMN)–dt(∆BHM)-dt(∆DHN)]
= 
2) Vì AC^(BDMN) nên MHN là góc 
phẳng của nhị diện tạo bởi các mp (ACM) và (ACN) nên :
	(ACM) ^(ACN) MHN = 900 BMH = DHN
 ∆ BMH ̴ ∆ DHN = xy = 
3) Trong tam giác HMN kẻ HK^MN. Theo trên AC^ (BDMN) nên HK^AC . Vậy HK là đường vuông góc chung của AC và BN nên H cố định.
	Tứ giác BHKM nội tiếp đường tròn đường kính HM do đó ta có BKH= BMN= 900 – BHM (1). Tương tự ta được DKH=DNH= 900 – DHN góc BKD = 1800 – (BHM+ DHN) = 900
∆ BKD vuông tại K nên HK = BD = HK không đổi.
Qua hai bài toán trên, những với những câu hỏi mang tính chất gợi ý sáng tạo như: tứ giác BCEF là hình gì?. Vị trí tương đối của MN và (BCF ) hay tìm hệ thức liên hệ giữa x,y để các mp (ACM) và (ACN) vuông góc với nhau? Sẽ giúp cho học sinh tạo thói quen độc lập trong suy nghĩ của mình, trên cơ sở các câu hỏi có tính chất gợi ý đó, học sinh vận dụng các kiến thức đã học, tìm tòi sáng tạo để xây dựng nên kiến thức mới phù hợp với yêu cầu kiến thức đặt ra. 
2.3. RA CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT HÓA, KHÁI QUÁT HÓA:
Trong chương trình phổ thông hệ thống bài tập thường có mục đích củng cố, rèn luyện các kĩ năng kiến thức cho học sinh. Giáo viên cần giúp cho học sinh có ý thức vận dụng khaí quát hóa, đặc biệt và tương tự để xét bài tập tổng quát lớn, trường hợp đặc biệt hoặc bài tập tương tự của bài tập đã góp phần mở rộng, đào sâu hệ thống hóa kiến thức và cao hơn là sáng tạo toán học
a) Đặc biệt hóa bài toán ban đầu:
Để tạo ra bài toán mới, giáo viên có thể thêm vào bài toán ban đầu một số yếu tố, có thể thêm vào giả thiết một số dữ kiện hoặc thêm vào kết luận một số điều phải chứng minh. Trong nhiều trường hợp thêm một số yếu tố vào bài toán ban đầu có thể chuyển việc nghiên cứu vào một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho. Chẳng hạn, có thể xem hình lập phương là trường hợp đặc biệt của hình hộp chữa nhật, hoặc có thể xem là trường hợp đặc biệt của hình hộp. Khối tứ diện đều là trường hợp đặc biệt của hình chóp tam giác đều hay là trường hợp đặc biệt của chóp tam giác nếu nhìn ở góc độ yếu tố bằng nhau giữa các cạnh.
Ví dụ:
*Bài toán 7:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Lấy một đỉnh bất kì A chẳng hạn, ta có ba cạnh chung đỉnh A, đó là AB, AD, AA'. Ba đỉnh B, D, A' làm thành một miền tam giác gọi là mặt chéo tam giác ứng với đỉnh A
Chứng minh rằng:
a) Hai mặt chéo tam giác ứng với 2 đỉnh đối diện thì nằm trên hai mặt phẳng song song
b) Hai mặt chéo nói trên chia đường chéo nối 2 đỉnh tương ứng thành 3 đoạn thẳng bằng nhau
c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện đi qua trọng tâm của 2 mặt chéo tương ứng với hai đỉnh đó
* Giải:
a) Hai mặt chéo tam giác ứng với 2 đỉnh A, C' là mặt A'BD và mặt CB'D' Ta có BD//B'D' và A'B//B'C Vậy mp ( A'BB'
C
B
O
D
J
O'
A'
D'
C'
A
I
D ) // mp ( CB'D' ) nghĩa là hai mặt chéo đó nằm trên hai mặt phẳng song song 
 b) O, O' là giao của hai đường chéo của hai
mặt ABCD và A'B'C'D'. Gọi I = A'OA'C
 I = AC'(A'BD) ; J = CO' AC' 
J = AC' (CB'D'); vì A'O // CO' và 
OA=OC nên AI = IJ.
Lí luận tương tự ta có : IJ = JC'.
Vậy hai mặt chéo A'BD và CB'D chia đường chéo