SKKN Khai thác tính chất của tích phân nhằm phát triển tư duy ẩn hàm cho học sinh hướng tới kỳ thi trung học phổ thông quốc gia

MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Với việc đổi mới hình thức thi tốt nghiệp trung học phổ thông và xét tuyển Đại học, môn Toán được kiểm tra, đánh giá qua đề thi trắc nghiệm. Nếu học sinh biết sử dụng máy tính cầm tay thì sẽ lợi thế trong việc tìm ra đáp án cho một bài toán, đặc biệt là phần nguyên hàm, tích phân. Học sinh nhờ sự trợ giúp của máy tính mà tìm ra kết quả không cần giải, cũng không cần tư duy nhiều. Tuy nhiên, chính điều này làm cho học sinh lười tư duy, lệ thuộc quá nhiều vào máy tính. Bên cạnh đó, mục tiêu hàng đầu của giáo dục và nhất là trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể mà Bộ Giáo dục đang xây dựng đối với môn toán là nhằm hình thành và phát triển các năng lực toán học, đặc biệt vận dụng tư duy một cách sáng tạo. Tuy kiểm tra và đánh giá theo hình thức trắc nghiệm nhưng yêu cầu đặt ra cần nâng cao năng lực, phát triển tính sáng tạo cho học sinh. Chính vì lẽ đó, những bài toán yêu cầu phải có tư duy cao ngày càng nhiều. 
Mảng kiến thức về nguyên hàm – tích phân và ứng dụng trước đây vốn được học và thi khá nhẹ nhàng, nhưng hiện nay đã được khai thác sâu và có sự liên hệ chặt chẽ với các nội dung khác trong hệ thống câu hỏi trắc nghiệm. Theo xu hướng này, lớp các bài tích phân mới đối với học sinh phổ thông đã ra đời. Đó là những bài toán vận dụng tư duy sáng tạo trên nền các kiến thức cơ bản để học sinh phải suy nghĩ, liên hệ, xâu chuỗi kiến thức. Các bài toán này xuất hiện ngày càng nhiều trong đề thi năm 2017, đề thi minh họa của Bộ và đề thi thử của các trường trung học phổ thông trên cả nước năm 2018. Một trong những dạng toán được được khai thác kỹ và khá thú vị đó là vận dụng các tính chất của tích phân và ứng dụng của nó trong các lớp bài toán ẩn hàm. 
Ngoài yêu cầu đòi hỏi học sinh cần hiểu sâu và rộng kiến thức, người thầy còn phải biết cách định hướng ôn tập cho học sinh. Vì lẽ đó, muốn giúp cho học sinh đặc biệt là học sinh lớp 12 chuẩn bị tốt cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, không bị bỡ ngỡ và tâm lí khi gặp các dạng toán này. Đồng thời, giúp các em có tư duy linh hoạt và nhạy bén, có cái nhìn sâu sắc về nguyên hàm – tích phân tôi đã chọn và thực hiện đề tài: “Khai thác tính chất của tích phân nhằm phát triển tư duy ẩn hàm cho học sinh hướng tới kỳ thi trung học phổ thông quốc gia”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu của SKKN này là lớp các bài tích phân ẩn hàm để hướng dẫn học sinh nhanh chóng giải quyết được vấn đề, vận dụng tốt các tính chất của nguyên hàm, tích phân như: “sự sai khác giữa các hàm trong một họ các nguyên hàm”, “tính không phụ thuộc biến”, “sự đồng nhất của tích phân”, “quan hệ thứ tự”, “hàm tích phân”... Để giải quyết tốt các loại toán này, ta cần vận dụng thành thạo các kiến thức về đạo hàm, nguyên hàm, tích phân và ứng dụng mà phần lớn học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn. Với thực trạng như vậy, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này. Sáng kiến kinh nghiệm, chứa đựng những kỹ năng cơ bản, quan trọng mà học sinh cần phải nắm được nếu muốn tiến đến trình độ giải quyết tốt các bài toán vận dụng thấp và vận dụng cao phần tích phân. Đồng thời nó chứa đựng những kỹ thuật, ý tưởng vận dụng các năng lực toán học tương đối cao và phức tạp trong tư duy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu là:
 * Các bài toán trong đề thi THPT Quốc gia 2016 – 2017, đề minh họa của Bộ GD & ĐT năm 2018 và đề thi thử của các trường THPT trên cả nước. 
 * Vận dụng các kiến thức, kỹ năng toán vào việc nghiên cứu các phương pháp truyền đạt tới học sinh ý tưởng của bài toán.
 * Khai thác các tính chất của nguyên hàm, tích phân vào các lớp bài toán vận dụng cao trong đề thi THPT QG.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Tự giải và sáng tác các bài toán vận dụng về tích phân ẩn hàm, kết hợp với thực tế giảng dạy để đúc rút nên cách thức định hướng, truyền đạt phù hợp nhất tới học sinh.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
2.1.1. Những kiến thức cơ bản:
	Ngoài những kiến thức cơ bản về hàm số, đạo hàm, nguyên hàm – tích phân,... đã biết trong sách giáo khoa thì sáng kiến có sử dụng một số kiến thức nền sau đây được trích từ nguồn tài liệu tham khảo:
	 a. Quan hệ thứ tự trong tích phân:
	Định lí 1.1: Cho và là hai hàm liên tục trên thỏa mãn với Khi đó 
	Định lí này, ta có thể dễ dàng suy ra từ công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong và các đường thẳng Ngoài ra, ta cũng có:
	Định lí 1.2: Cho là hàm liên tục, không âm trên và tồn tại sao cho Khi đó 
Ở đây, ta không chứng minh định lí này. Nhưng từ ứng dụng tính diện tích hình phẳng giới hạn và tính liên tục của hàm thì không khó để hình dung. Từ định lí trên, ta có ngay hệ quả rất quan trọng như sau:	
Hệ quả: Cho là hàm liên tục, không âm trên và Khi đó với 
b. Tính chất của hàm tích phân:
	Trong sáng kiến này, ta sẽ khai thác và sử dụng một hàm có tên gọi là hàm tích phân, được xây dựng như sau:
	Cho là một hàm số liên tục trên và là số thực bất kì. Khi đó, ta xét sự tương ứng được xác định:
 “Với mỗi số thực ta đặt ”. Khi đó, dễ dàng khẳng định là một hàm số. Ngoài ra, còn có một số tính chất sau:
	 + 
	 + với và do đó là hàm có đạo hàm liên tục.
Tiếp sau đây, ta sẽ đi vào phần nội dung chính của sáng kiến.
2.1.2. Các dạng toán:
2.1.2.1. Ẩn hàm qua dạng thức vi phân:
Ta xét các dạng toán sau:
Dạng 1: 
Ví dụ 1.1.1: 
Cho hàm số không âm, liên tục trên thỏa mãn và với Tính 
	Phân tích
	- Từ giả thiết, ta liên tưởng tới dạng thức vi phân 
	- Từ đó, ta có thể dùng nguyên hàm để biểu diễn hàm 
Lời giải
	 Do nên 
	Mặt khác, nên hay 
	Vậy 
Ví dụ 1.1.2: 
Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn với và Tính 
Phân tích
	- Từ giả thiết, ta liên tưởng tới dạng 
	- Từ đó, ta có thể dùng nguyên hàm để tìm hàm 
Lời giải
	 Do với nên
	Suy ra, Mặt khác, nên hay 
	Vậy 
Ví dụ 1.1.3: 
	Cho hàm số liên tục trên với và thỏa Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
	Phân tích
	- Từ giả thiết, liên tưởng ta tới dạng thức vi phân 
	- Từ đó, ta dùng nguyên hàm và giả thiết để có được hàm 
	Lời giải
	 Do với nên 
	Suy ra 
	Theo giả thiết, nên hay 
	Vậy Ta chọn đáp án B.
	Tiếp theo, ta sẽ xét một câu trắc nghiệm trong đề thi thử như sau:
Ví dụ 1.1.4: (Câu 43 – Thi thử lần 1 THPT chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi)
Cho hàm số có đạo hàm không âm trên thỏa và với biết Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Phân tích
	- Từ giả thiết hàm dương, đạo hàm không âm và trên không khó để ta có giúp liên tưởng tới dạng thức vi phân 
	- Bước tiếp theo là vận dụng kiến thức nguyên hàm để đưa ra hàm 
	Lời giải
	 Ta có, là hàm dương, có đạo hàm không âm nên: 
	Suy ra 
	Với việc đặt thì Khi đó,
	Mặt khác, nên do đó 
	Vậy Ta chọn đáp án B.
	 Nhận xét: Không dừng lại ở mối liên hệ giữa hàm và đạo hàm của nó. Ta có thể mở rộng bài toán cho quan hệ giữa đạo hàm các cấp liên tiếp như ví dụ sau:
Ví dụ 1.1.5: (Câu 48 – Thi thử THPT Như Thanh – Thanh Hóa)
Cho hàm số có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn đồng thời thỏa mãn các điều kiện và với Đặt Hãy chọn khẳng định đúng ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Phân tích
	- Trong các ví dụ trên là hệ thức giữa hàm và đạo hàm cấp một. Nhưng ví dụ này thay vào đó là quan hệ giữa đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của nó. 
	- Mặt khác, yêu cầu bài toán là tính giá trị của nên ta có thể hướng tư duy tới việc xác định 
	- Chính vì vậy, về bản chất thì bài toán này không có gì thay đổi.
	Lời giải
	 Do với nên Do đó
	Mặt khác, nên do đó 
	Ta lại có 
	Vậy Ta chọn đáp án B.
Nhận xét, đánh giá: Trong các ví dụ trên, tư duy chủ yếu là ta tách hàm ẩn và hàm tường minh để dùng kỹ thuật tích phân xử lí bài toán. Nhưng không phải khi nào cũng làm được như vậy, ta xét tiếp dạng sau đây:
Dạng 2: 
Ví dụ 1.2.1: 
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn với Tính 
Phân tích
	- Đối với bài toán này, ta dễ dàng thấy vế trái có dạng vế phải là hàm Từ đó, ta có thể xác định được qua tích phân trên 
	Lời giải
	 Ta có với nên:
 Do đó, ta có ngay 
Ví dụ 1.2.2: 
	Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn với Tính 
 	Phân tích
	- Đối với bài toán này thì việc tách trực tiếp như dạng 1 là không thể.
	- Xuất phát từ yêu cầu tính và giả thiết với qua đó không khó giúp ta liên tưởng tới việc tách từ 
	- Giúp học sinh tư duy cách sử dụng tích phân từng phần. 
	- Mặt khác, từ vế trái của giả thiết ta sẽ liên tưởng ngay tới dạng thức Tuy nhiên, vận dụng thế nào là cả vấn đề.
	Lời giải
	 Ta có với 
	Nên 
	Mặt khác, ta dễ dàng nhận thấy Để tính thì ta có:
	Lấy tích phân hai vế, ta có:
	Vậy 
	Nhận xét: Từ ví dụ trên cho học sinh tư duy tách hàm hàm từ hàm Tuy nhiên, từ ví dụ đó cũng giúp ta có một tư duy khác là vận dụng dạng thức vi phân Ví dụ sau sẽ minh chứng cho điều này.
Ví dụ 1.2.3: 
Cho hàm số có đạo liên tục trên thỏa mãn và Tính 
Phân tích
	- Đối với bài toán này nếu học sinh tư duy theo ví dụ trên một cách máy móc với thì việc tách và là không thể.
	- Tuy nhiên, trong ví dụ đó có một tư duy ta cần để tâm đó là vận dụng dạng thức đạo hàm của hàm tích 
	- Nhưng với giả thiết thì vế trái có phải là đạo hàm của tích hai hàm hay không? Điều này làm ta phân vân, liệu hàm đó là hàm như thế nào? Tuy nhiên, nếu ta viết lại giả thiết bài toán như sau: thì ta có thể tư duy ngay theo ba hàm. Vấn đề là tích của ba hàm nào? Rất may trong trường hợp này có sự xuất hiện của ở vế phải. Từ đó, ta có thể tư duy ra hàm tích cần xác định.
	Lời giải
Ta có 
	Suy ra 
 Vậy 
Ví dụ 1.2.4: 
Cho hàm số có đạo liên tục trên thỏa mãn với và Biết rằng tính 
Phân tích
	- Cũng với tư duy sử dụng đạo hàm của hàm tích, nhưng trong trường hợp này thì tìm ra hàm tích có vẻ khó hơn.
	- Ta nhớ lại công thức tính: Từ đó, nếu chia cả hai vế cho thì ta có ngay hàm tích cần tìm.
Lời giải
	 Với ta chia cả hai vế cho 
	Từ đó, ta có 
	Mặt khác, nên Do đó,
 Suy ra 
	Vậy nên 
Nhận xét, đánh giá: Trong dạng toán thứ hai, tư duy chính là khai thác, vận dụng và mở rộng công thức đạo hàm của hàm tích hay chính xác là dạng thức vi phân Tuy nhiên, không dừng lại ở dạng tích ta có thể khai thác ý tưởng này cho cả dạng thương Ý tưởng này nằm trong một số câu trắc nghiệm đã được đưa vào phần bài tập vận dụng và nâng cao của sáng kiến.
2.1.2.2. Ẩn hàm dưới dấu tích phân:
Trong phần này, ta sẽ sử dụng một tính chất khá thú vị của tích phân được nhắc tới từ phần kiến thức cơ bản. Đây cũng là dạng toán xuất hiện trong đề thi minh họa môn Toán năm 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Ta sẽ xét các ví dụ sau để làm rõ cái hay của tính chất này: 
Ví dụ 2.1: 
	Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa mãn Tính 
Phân tích
	- Nếu thì ta giải quyết quá dễ dàng. Tuy nhiên, vấn đề là không phải đơn giản như vậy. Giả thiết cho ta nên ta sẽ tư duy theo hướng đi tìm tham số sao cho: 
Lời giải
	 Ta có 
	Mặt khác và nên:
	 Trên liên tục suy ra và liên tục nên 
Do đó Mặt khác, nên Ta lại có trên nên Vậy 
Ví dụ 2.2: 
Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa mãn Tính 
Phân tích
	- Vấn đề ở đây là ta phải tìm ra hàm thì mới tính được . Theo giả thiết, ta có thể đưa về dạng không ? Vậy số ở vế phải của đẳng thức trên có vai trò như thế nào ?
	- Từ đó, hướng ta tới việc tính 
Lời giải
	 Ta có 
	Mặt khác nên
	Trên liên tục nên liên tục, do đó 
	Ta suy ra 
	Mặt khác, nên hay (Do ).
	Vậy 
Ví dụ 2.3: (Câu 50 – Đề thi thử lần 1 THPT Hà Văn Mao – Thanh Hóa)
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn Tích phân bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
	Phân tích
	- Để khai thác được giả thiết và ta phải tìm
được mối liên hệ giữa hai biểu thức trong dấu tích phân. Chính vì vậy, ta sẽ dùng kỹ thuật để từ tích phân thứ hai làm xuất hiện hàm 
	- Sau khi có được mối liên hệ, ta sẽ tìm cách đưa về dạng tích phân của hàm liên tục, không âm (hoặc không dương) bằng 
	- Từ đó, ta tìm được hàm và suy ra hàm 
Lời giải
	 Theo phương pháp tích phân từng phần, ta sẽ tính 
	Đặt Ta có: 
 nên 
Mặt khác, hàm trong dấu tích phân có sự xuất hiện của hàm nên ta nghĩ ngay tới tích phân 
	Từ giả thiết, và ta có ngay:
	Do và liên tục trên nên trên Vậy trên Từ đó, ta có nên Mặt khác, suy ra Vậy trên 
 	Ta có ngay Ta chọn đáp án D.
Ví dụ 2.4: (Câu 50 – Đề minh họa của Bộ GD & ĐT năm 2018) 
	Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn và Tích phân bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
	Phân tích
	- Vấn đề ở đây là phải xác định hàm Theo giả thiết, ta sẽ tìm mối liên
hệ giữa và Như ví dụ trên, ta phải làm xuất hiện hàm Sau đó, định hướng để đưa về dạng 
Lời giải
	 Trước hết, ta sẽ tính theo phương pháp tích phân từng phần:
Đặt Ta có Nên do đó 
	Từ giả thiết và ta sẽ tìm tham số sao cho:
	Ta lại có nên 
	Suy ra Mặt khác và liên tục trên nên trên Từ đó, ta có nên Mà Do đó trên 
Vậy Ta chọn đáp án A.
Nhận xét, đánh giá: Tư duy để giải quyết dạng toán này chính là khai thác giả thiết để làm xuất hiện tích phân có giá trị bằng không mà hàm dưới dấu tích phân liên tục, không âm (hoặc không dương) thì hàm sẽ đồng nhất bằng không.
Đây là một dạng toán vận dụng dành cho học sinh khá, giỏi. Học sinh muốn làm được cần phải nắm vững các kiến thức về đạo hàm, tích phân. Đặc biệt, học sinh cần phải có tư duy tốt về bộ môn Toán. Tuy nhiên, nếu truyền đạt để học sinh nắm bắt được kỹ thuật khai thác mối liên hệ giữa các tích phân thì học sinh trung bình hoàn toàn có khả năng giải quyết tốt dạng này.
2.1.2.3. Ẩn hàm qua tính không phụ thuộc vào biến của tích phân:
Ví dụ 3.1: 
	Cho hàm số liên tục trên thỏa với Tính 
Phân tích
	- Đối với dạng toán này, nếu chưa gặp nhiều học sinh sẽ lúng túng đi tìm hàm như các dạng trước. Tuy nhiên, nếu tư duy thì học sinh sẽ tìm ra hướng đi.
	- Ta đã biết, tích phân không lệ thuộc vào biến. Vì thế, ta sẽ lấy tích phân từ tới hai vế và xử lí dạng để đưa về 
Lời giải
	 Do nên 
	Ta xét đặt ta có ngay 
	Nên 
	Vậy 
Ví dụ 3.2: 
	Cho hàm số liên tục trên thỏa với Tính 
Phân tích
	- Nếu học sinh tư duy thì dạng này gần giống như dạng trước.
	- Tuy nhiên, thay vì tính bài toán này lại yêu cầu tính 
	- Nhưng tích phân từng phần giúp ta có thể tách từ 
Lời giải
 Ta có 
	Từ ta dễ dàng nhận thấy Mặt khác, lấy tích phân hai vế, ta có 
Bằng việc đặt ta có ngay Khi đó, 
	Vậy 
Ví dụ 3.3: 
	Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa với Tính 
Phân tích
	- Ta thấy biểu thức tính khá phức tạp. Chính vì thế, ta nghĩ ngay tới việc đổi biến số. 
	- Nhưng vấn đề là đổi biến số thì biểu thức liên hệ thế nào với giả thiết ?
Lời giải
	 Đặt thì (*)
	Tương tự, đặt thì (**)
	Kết hợp (*) và (**) ta có 
	 Từ giả thiết lấy đạo hàm hai vế, ta thấy ngay 
	Nên nhân cả hai vế với và lấy tích phân trên ta có:
 Từ đó, ta có: 
	Mặt khác, giải các phương trình và ta có Do đó, từ (***) ta tính được 
Ví dụ 3.4: 
	Cho hàm số lẻ và liên tục trên thỏa và Tính 
Phân tích
	- Theo yêu cầu bài toán, ta nhận định ngay là phải đổi biến số để đưa về tích phân của hàm 
	- Sau đó, tùy thuộc vào cận tích phân mà ta có thể tìm ra mối liên hệ với 
Lời giải
	 Đặt thì nên 
	Tương tự, đặt thì suy ra Mặt khác, hàm lẻ nên đặt Khi đó, ta có: 
 nên 
	Vậy 
Nhận xét, đánh giá: Như vậy, tư duy về tính không phụ thuộc vào biến lấy tích phân giúp chúng ta có được một kỹ thuật khá hay để giải quyết lớp các bài toán ẩn hàm. Bằng việc khai thác và mở rộng lớp hàm ẩn qua các hàm như căn thức, lượng giác, mũ, logarit,... thông qua tính chất hàm hợp đã làm đa dạng hóa lớp các bài toán tích phân.
2.1.2.4. Ẩn hàm qua hàm tích phân:
	Sau đây, ta sẽ nghiên cứu một dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của tích phân qua một lớp hàm đặc biệt – hàm tích phân.
Ví dụ 4.1: 
	Cho hàm số có giá trị không âm và liên tục trên ta đặt Biết với tìm GTLN của 
Phân tích
	- Để giải quyết được bài toán này, ta phải đánh giá được hàm thông qua một hàm cụ thể nào đó.
	- Trước hết, ta phải tìm mối liên hệ tường minh giữa hàm và thông qua các tính chất của hàm tích phân.
Lời giải
	 Ta đặt khi đó Theo giả thiết, ta có:
	 Xét hàm số trên 
	Ta có nên đồng biến trên hay suy ra Hay 
Vậy dấu bằng xảy ra khi 
Ví dụ 4.2: 
	Cho hàm số có giá trị không âm và liên tục trên ta đặt Biết với tìm GTLN của 
Phân tích
	- Bài toán này có sự thay đổi một chút ở bất đẳng thức .
	- Về tư duy thì bài toán này không có nhiều sự thay đổi.
Lời giải
 	Ta đặt khi đó Theo giả thiết, ta có:
	Xét hàm số trên 
	Ta có nên nghịch biến trên 
Suy ra, với mọi thì nên Do đó,
	Vậy dấu bằng xảy ra khi 
Ví dụ 4.3: 
	Cho hàm số có giá trị không âm và liên tục trên ta đặt thỏa với Tìm GTNN của 
Phân tích
	- Trong trường hợp này cận thay đổi là cận dưới. Tuy nhiên, nếu cần thiết ta có thể đổi hai cận cho nhau. Tiếp sau, để tìm giá trị nhỏ nhất của ta
 sẽ phải đánh giá qua hàm tích phân. 
Lời giải
	 	Đặt khi đó Trên ta luôn có: 
	Xét hàm số trên 
	Ta có nên nghịch biến trên 
	Suy ra, với mọi ta có nên hay
 Do đó, 
	Vậy dấu bằng xảy ra khi 
Ví dụ 4.4: 
	Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời ta đặt thỏa với Tìm GTNN của 
Phân tích
	- Để tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân ta phải đánh giá 
	- Còn muốn đánh giá ta phải dựa vào bất đẳng thức 
Lời giải
Đặt khi đó 
	 Ta luôn có hay với 
	Nên 
 Ta lại có, 
	Mà nên 
	Ta suy ra, 
 	Vậy dấu bằng xảy ra khi 
Nhận xét, đánh giá: Như vậy, nội dung của phần này chủ yếu giúp học sinh vận dụng tư duy linh hoạt về mối liên hệ qua lại giữa tính chất hàm ẩn, đạo hàm cũng như tích phân của nó. Qua đó, giúp học sinh có tư duy linh hoạt khi khai thác các bài toán phần nguyên hàm – tích phân.
 Trong khuôn khổ một bài viết nhỏ tuy không nhiều nhưng các ví dụ phần nào thể hiện được ý tưởng của tác giả muốn gửi gắm tới học sinh và người đọc. Sau đây, tôi đề xuất thêm một số bài tập vận dụng và khai thác sâu các ý tưởng. 
2.1.3. Bài tập vận dụng và nâng cao:
Câu 1. (THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An) Cho hàm số khác không thỏa mãn và Biết với và tối giản. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2. (THPT Kinh Môn – Hải Dương) Hàm số liên tục và dương trên thỏa mãn và Giá trị của thuộc:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 3. Cho hàm số xác định, có đạo hàm liên tục trên đồng thời và với Biết và với Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4. Cho hàm không âm thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của trên 
	A.	B.	C.	D. 
Câu 5. (PT Năng Khiếu – ĐHQG TPHCM) Cho hai hàm số và có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn và Tính 
	 A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 6. Cho hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn và Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 7. (Sở GD & ĐT Bắc Ninh) Cho hàm số liên tục và có đạo hàm tại thỏa mãn và Khi đó, thuộc khoảng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 8. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên biết với và Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9. Cho hàm đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên và biết Tính 
 	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 10. (Sở GD & ĐT Quảng Nam) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và nhận giá trị dương trên thỏa mãn Tính 
 	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 11. (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa) Cho hàm số có đạo
hàm dương, liên tục trên đoạn thỏa mãn và Tính tích phân 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12. (THPT Thường Xuân – Thanh Hóa) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời thỏa mãn và Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13. (Sở GD & ĐT Bắc Giang) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa và Tính
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 14. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 15. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và với Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 16. (Sở GD & ĐT Thanh Hóa) Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn . Tính tích phân 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 17. Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 18. (Sở GD & ĐT Nam Định) Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn với Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 19. Cho hàm số chẵn liên tục trên và thỏa mãn Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 20. Cho hàm số có giá trị không âm và liên tục trên ta đặt biết với GTLN của là: 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 21. Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đồng thời có một nguyên hàm liên tục trên Đặt thỏa mãn
 với Tìm GTNN của 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 22. Cho hàm số có giá trị dương và liên tục trên ta đặt biết với GTLN của bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi t