SKKN Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất Nguyên hàm và Tích phân giải một số phương trình chứa trong đề thi THPT Quốc Gia

MỤC LỤC
Trang
1. Phần mở đầu..................................................................................... 
1
1.1 Lý do chọn đề tài........... 
1.2. Mục đích nghiên cứu............................................................ 
1.3. Đối tượng nghiên cứu...........................................................
1.4.Phương pháp nghiên cứu.................................................... 
1
1
1
2
2. Nội dung.............................................................................................. 
2
2.1. Cơ sở lí luận của skkn.............................................................
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm......................................................................................................
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề......................
2
2
3
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
19
3. Kết luận, kiến nghị. ........................................................................... 
20
3.1. Kết luận................................................................................ ..
3.2 Kiến nghị................................................................................. 
20
20
1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài.
Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ. Ý thức được điều đó, tôi luôn tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em.
Trong giảng dạy, tôi luôn nghiên cứu, trao đổi với đồng nghiệp, tìm tòi các phương pháp mới phù hợp nhằm giúp học sinh thích nghi tốt hơn với sự thay đổi của hình thức thi THPT Quốc Gia . Đặc biệt bắt đầu từ năm học 2016 - 2017 (Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017), môn Toán sẽ áp dụng hình thức thi trắc nghiệm. Đây là thử thách và cũng là cơ hội không chỉ với giáo viên mà cả với học sinh trong giảng dạy và học tập ở tầm phát triển mới. nhiều học sinh lo lắng Việc chuyển từ thi tự luận sang trắc nghiệm đồng nghĩa với việc thay đổi cách học, cách làm bài quen thuộc của các em. Do hình thức thi trắc nghiệm môn Toán các câu hỏi khá rộng nên việc tìm tòi các tài liệu về dạy và học môn Toán theo hình thức thi trắc nghiệm là một trong nhiệm vụ quan trọng của hoạt động chuyên môn. 
 Trong các chuyên đề ôn luyện thi THPT Quốc Gia có nhiều chuyên đề hay được áp dụng như: Các bài toán vận dụng Toán học vào thực tế; Bài toán về cực trị hình học; Tuy nhiên, chuyên đề tích phân khi khai thác các câu vận dụng với các hàm tổng quát chưa cụ thể đối với học sinh là khá khó. Vì vậy để xây dựng hướng tiếp cận rõ ràng hơn , quen hơn trong các nhìn nhận của học sinh có thể sử dụng các tính chất của tích phân để tính các tích phân đối với những hàm số chưa xác định biểu thức của nó (dạng chống bấm máy tính). Trong khuôn khổ đề tài này. Vì vậy tôi đã lựa chọn đề tài“ Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất Nguyên hàm và Tích phân giải một số phương trình chứa trong đề thi THPT Quốc Gia.” 
1.2 Mục đích nghiên cứu.
	Phương trình chứa là dạng toán được khai thác không nhiều trong sách giáo khoa. Nhưng trong các đề thi THPTQG lại là một dạng của nội dung Nguyên hàm – Tích phân theo hướng chống bấm máy tính áp dụng đúng bản chất Toán. Đây là hướng khai thác với học sinh là mới nên ít tài liệu dạy và học; Trong đó đề thi THPTQG, hay các đề thi thử của các trường trong toàn quốc lại khai thác nó với những câu ở mức độ vận dụng, thậm chí vận dụng cao. 
	Mục đích: Xây dựng các dạng - nhận dạng - nêu dạng tổng quát (nếu có) và rèn luyện kĩ năng giải dạng toán “ Giải phương trình chứa ”. Qua đó học sinh có thể định hướng và giải được, giải đúng,giải nhanh dạng toán liên quan trong các đề thi.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
 +) Lớp 12A5;12A6 năm học 2018-2019 của trường THPT Đông Sơn 2
1.4 Phương pháp nghiên cứu. 
 Phối hợp nhiều phương pháp trong đó chủ yếu là phương pháp: 
 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Dựa trên cơ sở kiến thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia , đề minh họa , đề thi thử các trường THPT làm tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài, rèn luyện kĩ năng phân tích, nhận dạng và áp dụng lí thuyết vào bài toán cụ thể.
 Phương pháp thực hành: Soạn và thiết kế chuyên đề theo phương pháp định hướng năng lực, tiến hành thực nghiệm tại lớp 12A5 và lớp12A6 năm học 2018-2019.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. 
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 *.Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “ Phương pháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ”.
 2.1.1.Dựa vào các kiến thức nguyên hàm sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao.
 + Định nghĩa nguyên hàm 
 + Tính chất chât của nguyên hàm
 2.1.2. Dựa vào các kiến thức về tích phân trong sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao.
 + Công thức định nghĩa tích phân: Cho hàm số f liên tục trên K và a,b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
 .
 + Các tính chất của tích phân.
 Các hàm số f, g liên tục trên K và a,b,c là ba số bất kì thuộc K. Khi đó ta có:
 a) ;	 
 b) 	
 c) 	 
 d) 
 e) với 
 f)
2.2. Thực trạng của vấn đề.
	Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán với những bài tính tích phân của một hàm số cụ thể học sinh bấm máy tính để chọn đáp án, do đó bản chất kiến thức toán không được áp dụng. Chính vì vậy bộ giáo dục và đào tạo khi xây dựng đề thi đã chú trọng nhiều hơn dạng toán học sinh phải vận dụng bản chất kiến thức Toán vào bài thi. 
	Ban đầu khi gặp dạng toán chứa ở mức độ cơ bản trong sách giáo khoa Giải Tích 12 thì học sinh có thể suy luận được. Khi bài toán mức độ yêu cầu vận dụng thì học sinh lúng túng và không có định hướng giải bài toán một cách chủ động.
	Đề thi THPT Quốc Gia và đề minh họa, đề thi thử có những câu chứa mức độ vận dụng thậm chí ở mức độ vận dụng cao. Trong quá trình giảng dạy học sinh tôi nhận thấy các em còn gặp nhiều khó khăn trong cách nhận dạng, phương pháp giải và kĩ năng giải. Vì vậy tôi xây dựng đề tài “Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất Nguyên hàm và Tích phân giải một số phương trình chứa trong đề thi THPT Quốc Gia .” 
2.3. Giải pháp cụ thể.
Bài toán xây dựng : Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng K cho trước và ,thỏa mãn liên hệ cho trước . Tìm và tính chất của nó. 
 Phương pháp: 
+ Vận dụng các công thức đạo hàm và phép toán đạo hàm đưa phương trình chứa về dạng , trong đó đã xác định.
+ Lấy nguyên hàm hoặc tích phân phương trình (*).
+ Vận dụng tính chất của , 
Bài toán 1. Cho Tìm và các tính chất của nó , biết 
 Đây là bài toán ban đầu cơ bản và quen thuộc với học sinh, chỉ là câu hỏi nhận biết hay thông hiểu, nhưnglại là bài toán cơ sở của các bài toán sau. Để giải bài toán này học sinh chỉ cần nhớ khái niệm nguyên hàm là có thể thực hiện được .
Phương pháp: 
 + Lấy nguyên hàm 2 vế của (1) thì ta có 
 + Dựa vào điều kiện bài cho tìm hằng số C phù hợp. 
Ví dụ 1: [MH-THPTQG2018] 
Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa mãn .Tính giá trị của biểu thức 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải : 
 Ta có .
Theo giả thiết , nên 
Do đó . Chọn đáp án A
Ví dụ 2: [ Thi thử THPTQG trường Lương Thế Vinh 2019]
 Hai người A và B ở cách nhau 180m trên một đoạn đường thẳng và cùng chuyển động thẳng theo một hướng với vận tốc biến thiên theo thời gian, A chuyện động với vận tốc , B chuyển động với vận tốc (a là hằng số), trong đó t (giây) là khoảng thời gian từ lúc A, B bắt đầu chuyển động. Biết rằng lúc đầu A đuổi theo B và sau 10 (giây) thì đuổi kịp. Hỏi sau 20 giây, A cách B bao nhiêu mét? 
A. 320 (m) B. 720 (m) C. 360 (m)	 D. 380 (m)
 Đây là bài toán rất hay gặp liên quan đến chuyển động, yêu cầu học sinh nhớ ứng dụng cơ học của đạo hàm. 
Lời giải:	
Ta có nên theo bài ra 
Quãng đường người A đi được trong 10 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động là 
Quãng đường người B đi được trong 10 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động là 
Vì sau 10 giây người A đuổi kịp người B và người A lúc ban đầu cách người B là 180m nên ta có phương trình suy ra 
Quãng đường người A đi được trong 20 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động là 
Quãng đường người B đi được trong 20 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động là 
Khoảng cách giữa hai người A và người B sau 20 giây là 
Chọn đáp án D
Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Cho hàm số xác định trên thỏa mãn và . Phương trình có hai nghiệm , . Tính tổng .
A. . B. .	C. .	D. .
Bài 2: Cho hàm số xác định trên thỏa mãn , và . Giá trị của biểu thức bằng
A. . B. .	 C. .	D. .
Bài 3: [MH- THPTQG2017] Một ô tô đang chạy với tốc độ thì người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với , trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. . B. . 	 C. .	 D. .	
Bài toán 2. Tìm hàm số biết với có công thức xác định.
 Khi gặp phương trình (2) đặt câu hỏi cho học sinh gợi nhớ công thức đạo hàm nào? Từ đó liệu có đưa về Bài toán 1 được hay không? rồi xây dụng phương pháp thực hiện.
Phương pháp: 
 + Biến đổi phương trình (2) về dạng .
 + Lấy nguyên hàm 2 vế ta có 
Ví dụ 3: Cho hàm số xác định và liên tục trên . Biết . Khi đó phương trình có bao nhiêu nghiệm?
A..	B. .	C. .	D. .
Lời giải : 
 .
Suy ra: .
Từ .
Phương trình có nghiệm trái dầu do . Chọn đáp án A
Ví dụ 4:Cho hàm số liên tục trên và với mọi . và . Cho là phân thức tối giản của tổng sau . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. . D..
Lời giải : 
Ta có 
Mà nên .
Mặt khác 
Khi đó . Chọn đáp án D.
Bài tập áp dụng 
Bài 4: Cho hàm số xác định và liên tục trên . Biết . Khi đó phương trình có bao nhiêu nghiệm?
A..	B. .	C. .	D. .
Bài 5: Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện , ; , và . Tính giá trị của .
A. . B. . C. . D..
Bài 6: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn đồng thời thỏa mãn và . Tính .
A. .	B. . C.. D. .
Bài 7: Cho hàm sốxác định và liên tục trên thỏa mãnvới và . 
Tính .
A.. B. . C. .	 D. .	
Bài 8:[THPTQG-2017] Cho hàm số thỏa mãn và với mọi . Giá trị của bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài toán 3. Tìm biết thỏa mãn phương trình trong đó là các hàm số đã xác định.
 Khi gặp phương trình (3) học sinh gợi nhớ công thức đạo hàm tích. Dẫn dắt về dạng Bài toán 1cơ bản, để tự tìm phương pháp giải. 
 Phương pháp : 
+ Biến đổi phương trình (3) về dạng .
 + :ấy nguyên hàm ta có 
Ví dụ 5: Cho hàm số liên tục trên ,với ta có . Có bao nhiêu giá trị a để .
A. . 	B. . 	 C. .	 D.
 Hướng dẫn học sinh cách tìm hàm bằng quan sát biểu thức trước là 1 và x từ đó nhận xét rồi biến đổi theo bài toán.
Lời giải: 
Ta có .
Vậy nên , mà .
Suy ra ,để thì ta có phương trình ,
Vậy là giá trị cần tìm . Chọn đáp án B
Ví dụ 6: Cho hàm số thỏa mãn , và . Giá trị của bằng
A. .	B. .	C. .	D..
Học sinh khá lo sợ khi phương trình đã cho có đạo hàm cấp 2. Hãy cho học sinh quan sát kỹ để có phép tương ứng đạo hàm cấp hai là đạo hàm cấp 1 của hàm , vì vậy đưa về đúng dạng cần tìm khi đó bài toán trở nên dễ dàng.
Lời giải:
 Ta có: , .
, 
Do nên ta có Do đó: 
Mà nên ta có Do đó.
Vậy Chọn đáp án D
Trong các hàm cơ bản , có một hàm số rất đặc biệt mà khi đạo hàm hay nguyên hàm nó không thay đổi , đáy là hàm . Tận dụng sự thú vị đó ta xây dụng thêm một số bài toán liên quan mà khi ta nhân thêm để được đạo hàm của tích rất bất ngờ thông qua các Bài toán 3.1, Bài toán 3.2, Bài toán 3.3.
Bài toán 3.1: Tìm hàm số biết thỏa mãn phương trình 
.
Phương pháp : 
+ Biến đổi phương trình (3.1) về dạng Bài toán 3 bằng cách nhân 2 vế với 
 + Ta có 
 + Lấy nguyên hàm ta có 
Ví dụ 7:[THPT Thăng Long-Hà Nội 2018] 
Cho là hàm số liên tục trên thỏa mãn và 
Tính 
A. .	 B. .	 C..	 D. .
Lời giải : 
Chọn đáp án B
Ví dụ 8: Cho hàm số có đạo hàm cấp 2, liên tục trên thỏa mãn 
 và Tính 
A. .	 B. .	 C..	 D. .
 Đây là bài toán nhìn khá lạ mắt . Ta để ý đến dạo hàm cấp 2 đã có trong biểu thức thì ắt hẳn sẽ có một biểu thức chứa đạo hàm lên. Do biểu thức liên quan đến tổng nên ta nghĩ tới đạo hàm của tổng hoặc tích . Vì vậy ta đưa biểu thức về tổng quen thuộc Bài toán 3
Lời giải: 
Ta có 
Với .
 Xét phương trình 
Suy ra 
Ta có , mà 
Ta lại có
Chọn đáp án A
Bài toán 3.2. Tìm hàm số biết thỏa mãn phương trình 
.
Phương pháp : 
+ Biến đổi phương trình (3.2) về dạng Bài toán 3 bằng cách nhân 2 vế với 
 + Ta có 
 + Lấy nguyên hàm ta có 
Ví dụ 9: [Thi thử trường chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi 2018]
Cho là hàm số liên tục trên thỏa mãn và Tính .
A. .	 B. .	 C..	 D. .
Lời giải: 
Mà 
Chọn đáp án D
 Trong các bài toán 3.1 hay bài toán 3.2 ta chỉ xét các hệ số của đặc biệt là 1 hay -1. Câu hỏi đặt ra nếu thay đổi hệ số khác thì có thực hiện được như vậy hay không? Dẫn dắt đến Bài toán 3.3 tổng quát hơn. 
Bài toán 3.3: Tìm hàm số biết thỏa mãn phương trình 
.	
Phương pháp : 
+ Biến đổi phương trình (3.3) về dạng Bài toán 3 bằng cách nhân 2 vế với 
 + Ta có 
 + Lấy nguyên hàm hai vế ta có 
Ví dụ 10: Cho là hàm số liên tục trên thỏa mãn và Tính 
A. .	 B. .	 C..	 D. .
Lời giải : 
Mà Chọn đáp án C
Bài tập áp dụng
Bài 9: Cho hàm số thỏa mãn và . Khi đó có giá trị là 
 A. .	 B. .	 C.1	 D. .
Bài 10: Cho hàm số thỏa mãn và . 
Tính .
A. .	 B. .	 C.1	 D. .
 Bài 11:Cho hàm số thỏa mãn và . Tính .
 A. .	 B. .	 C.1	 D. .
Bài 12: Cho hàm số có liên tục trên nửa khoảng thỏa mãn . Khi đó:
A. . B. .
C..D. .
Bài toán 4. Tìm biết thỏa mãn phương trình , trong đó là các hàm số đã xác định.
 Khi gặp phương trình (4) học sinh gợi nhớ công thức đạo hàm thương . Dẫn dắt về dạng Bài toán 1cơ bản, để tự tìm phương pháp giải. 
 Phương pháp : 
+Biến đổi phương trình (4) về dạng . 
 .
 + Lấy nguyên hàm 2 vế ta có 
Ví dụ 11: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tính 
A. .	B..	C. .	D. .
 Hướng dẫn học sinh cách tìm hàm bằng quan sát biểu thức trước là 1 và x từ đó nhận xét ở mẫu số , rồi biến đổi theo bài toán về dạngđạo hàm của thương hai hàm số .
Lời giải : 
Do nên 
.
Do nên .
Vậy .Chọn đáp án B
Ví dụ 12: Cho hàm số , , thỏa mãn và. Tính .
A. .	B. .	C..	D. .
 Bài toán này thoạt nhìn khá giống dạng cơ bản nhưng việc xuất hiện hệ số 2 và hàm cũng như đạo hàm cấp 2 làm cho học sinh thấy khá lạ mắt, vì vậy hướng dẫn học sinh nhận định số 2 sẽ là lũy thừa 2 đạo hàm xuống và định hướng tìm hàm mẫu số là .
Lời giải: 
Ta có: 
.
Do đó 
.Chọn đáp án C
Bài tập áp dụng: 
Bài 13: Cho hàm sốliên tục và có đạo hàm tại mọi đồng thời thỏa mãn điều kiện: và Khi đó nằm trong khoảng nào?
A. . B.. C..	 D..
Bài 14: Cho hàm số có đạo hàm cấp liên tục trên thỏa mãn.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D..
Bài 15: Cho hàm số . Có đạo hàm liên tục trên . Biết và , . Tính .
A. . B. . C. . D..
Bài toán 5: Tìm biết thỏa mãn phương trình , trong đó là các hàm số đã xác định.
 Khi gặp phương trình (5) điều đặc biệt có chứa hàm căn bậc hai, học sinh gợi nhớ công thức đạo hàmcủa hàm căn thức . Dẫn dắt về dạng Bài toán 1 cơ bản, để tự tìm phương pháp giải. 
Phương pháp : 
 +B iến đổi phương trình (4) ta có 
 + Lấy nguyên hàm ta có 
Ví dụ 13: Cho hàm số liên tục, không âm trên đoạn , thỏa mãn và , . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .
A.,.B.,.C.,.D., 
 Khi quan sát bài toán ta thường quan tâm đến biểu thức dưới dấu căn bậc hai và đạo hàm của nó như thế nào, trong bài này khi nhìn đạo hàm dưới dấu căn thức sẽ có biểu thức từ đó ta có cách giải bài toán.
Lời giải :
Từ giả thiết 
Suy ra .
Do .
Vậy 
, vì hàm số liên tục,Ta có , xét hàm số có hoành độ đỉnh loại.
Suy ra , .Chọn đáp án A
Ví dụ 14: Cho hàm số đồng biến trên ; liên tục, nhận giá trị dương trên và thỏa mãn và Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A..	B. .
C. .	D. .
Lời giải: 	
Hàm số đồng biến trên nên suy ra .
Mặt khác liên tục, nhận giá trị dương trên nên
, 
, ;
;
Từ suy ra 
Chọn đáp án B
Bài tập áp dụng: 
Bài 16: Cho hàm số liên tục, , và thỏa mãn . Tính .
A. .	B..	C. .	D. .
Bài 17: Cho không âm thỏa mãn điều kiện và . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên là
A. B. C. 	 D.	
Bài 18: Cho xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên thỏa mãn . Giá trị bằng:
A.	B. 	C. 	D. Bài toán 6: Tìm hàm số biết thỏa mãn phương trình 
.
Phương pháp : 
+ Biến đổi phương trình (6) về dạng .
 + Lấy nguyên hàm 2 vế ta có 
 Ví dụ 15: Giả sử hàm số liên tục, dương trên ; thỏa mãn và . Khi đó hiệu thì có giá trị là
 A. .	 B. .	 C..	 D. .
Lời giải : 
Ta có .
Vậy , mà . Do đó .
Nên .
Chọn đáp án A.
Ví dụ 16: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn , . Biết và . Tìm các giá trị thực của tham số để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.
A. . B. . C.. D. .
Lời giải : 
Ta có .
. Mà suy ra .
Ta có . Suy ra và ứng với một giá trị thực thì phương trình sẽ có hai nghiệm phân biệt.
Vậy để phương trình có nghiệm phân biệt khi .
Chọn đáp án C.
Bài tập áp dụng:
Bài 19: Giả sử hàm số liên tục, nhận giá trị dương trên và thỏa mãn , , với mọi . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. .C. . D. .
Bài 20: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn , thỏa mãn và . Biết , tính .
A. .	B. . C.. D. .
	 Khi dạy học sinh phần kiến thức vận dụng này tôi đã xây dựng từ bài toán rất cơ bản để học sinh không thụ động tiếp nhận mà tiếp nhận một cách tự nhiên. Chính vì vậy đưa Bài toán 7 mang tính chât khá tổng quát dành cho việc vận dụng rộng và đa dạng hơn dành thời lượng cuối cùngcủa chuyên đề. 
Bài toán 7.Tìm hàm số biết thỏa mãn phương trình 
. Vói là các hàm cho trước.
Phương pháp : 
+ Biến đổi phương trình chứa (7) về Bài toán 3 bằng cách nhân 2 vế với 
 + Ta có 
 + Lấy nguyên hàm hai vế ta có 
Ví dụ 17: [Thi thử trường THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An -2018]
Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn và . Tính 
A. .	B. . C.. D. .
Lời giải:
Ta đi tìm , nên nhân 2 vế của (*) cho ta có 
Mà . Chọn đáp án C
Ví dụ 18: Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn và . Biết . Tính 
A. .	B. . C.. D. .
Lời giải:
Theo bài toán tổng quát 1.8 thì phải độc lập, vì vậy ta tìm cách biến đổi để thỏa mãn điều kiện . 
 Chia 2 vế phương trình đề bài cho ta có 
Ta đi tìm , nên nhân 2 vế của (*) cho ta có 
 Mà 
Chọn đáp án D
Bài tập áp dụng
Bài 21:[HKII Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM-2018]
Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn và . Tính 
A. .	B. . C.. D. .
Bài 22: [Thi thử THPTQG Cẩm Bình – Hà Tĩnh-2018]
 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn và .Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 2 là 
A. .	B. . C.. D. 
Bài 22: [Thi thử THPTQG Cẩm Bình – Hà Tĩnh-2018]
 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn và .Tính 
A. .	B. . C.. D. .
Bài 23: Cho hàm số . Có đạo hàm liên tục trên . Biết và , . Tính .
A. . B. . C. . D..
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.	
- Trong năm học 2018- 2019 tôi xây dựng hai đề kiểm tra mức độ tương đương nhau kiểm tra học sinh ở các lớp 12A5, 12A6.
 Đề số 1 : Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Đề số 2 : Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Lớp
Sĩ số
Tỉ lệ điểm
Trước khi áp dụng
SKKN
Sau khi áp dụng
SKKN
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Giỏi
Khá
TB
Yếu
12A5
41
2%
15%
73%
10%
15%
30%
50%
5%
12A6
40
10%
30%
52%
8%
30%
50%
18%
3%
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
 3.1. Kết luận.
 Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy : số lượng học sinh giải được dạng bài tập dạng này đã tăng lên rõ rệt các em đã tự tin và chủ động trong việc tìm tòi lời giải ,có tư duy về dạng bài tập này cũng tăng lên (có thể các em chưa giải đúng) nhưng đối với tôi điều quan trọng hơn cả là đã giúp các em thấy không hoang mang khi gặp những dạng toán như thế , cũng