SKKN Hướng dẫn học sinh THPT Lam Kinh ôn tập phương trình, bất phương trình vô tỉ dạng cơ bản

1. MỞ ĐẦU
	1.1. Lý do chọn đề tài
 	Năm học 2018 - 2019, tôi được phân công trực tiếp giảng dạy 2 lớp 10 cơ bản. Đa số học sinh nắm kiến thức cơ bản Toán học còn chậm và ''hổng'' kiến thức, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn.
 	Trong chương trình Toán THPT, mà cụ thể là phần môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình và bất phương trình vô tỉ. Học sinh đã được tiếp cận với một vài cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản, đơn giản ở chương III và chương IV sách giáo khoa 10 cơ bản. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng, đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình, bất phương trình vô tỉ mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày chưa được gọn gàng, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Tại sao lại như vậy?
 	Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành được trình bày ở phần đầu chương III và chương IV(Giữa học kỳ I) rất ít và hạn hẹp chỉ có một tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược 1 ví dụ và đưa ra cách giải khá rườm rà khó hiểu và dễ mắc sai lầm, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế. 
 	Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác phương trình và bất phương trình vô tỉ, đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán nhanh nhẹn thuần thục.
 	Từ những lý do trên tôi xin đưa ra đề tài: ''Hướng dẫn học sinh THPT Lam Kinh ôn tập phương trình, bất phương trình vô tỉ dạng cơ bản''.
	1.2. Mục đích nghiên cứu
 	Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản, từ đó phát hiện được đâu là điều kiện cần và đủ. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về giải phương trình và bất phương trình vô tỉ.
	1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài này hướng tới học sinh THPT nói chung và học sinh lớp 10 nói riêng. Cụ thể, đối tượng học sinh mà tôi tiến hành rèn luyện là những học sinh do bản thân trực tiếp giảng dạy, bao gồm 2 lớp : lớp 10B5 - 44 học sinh, lớp 10B8 - 40 học sinh.
	1.4. Phương pháp nghiên cứu	
	+ Nghiên cứu lý luận chung.
	+ Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
	+ Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
	+ Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn. 
	+ Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy. Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 10 trong các năm học trước và năm học 2018 - 2019.
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
	2.1. Cơ sở lý luận
 Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, rất trừu tượng, đa phần các em ngại học môn này. 
 Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi phù hợp. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn Toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải. 
 Trong chương trình môn Toán lớp 10 có phần phương trình và bất phương trình vô tỉ là tương đối khó mà sách giáo khoa đưa ra lượng bài tập ít, học sinh không được rèn luyện nhiều về dạng này.
 Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT Lam Kinh vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ.
 Trong giới hạn SKKN tôi đưa ra phương pháp giải hai dạng phương trình vô tỉ thường gặp và một số dạng bài toán không mẫu mực (dạng không tường minh) nâng cao, hai dạng cơ bản bất phương trình vô tỉ.
	2.1.1. Một số dạng phương trình vô tỉ thường gặp
	* Dạng 1: phương trình (1) 
	Phương trình (1) 
	Ta thấy g(x) 0 thì cả hai vế đều không âm, nên sau khi bình phương hai vế của phương trình chỉ cần so sánh các nghiệm vừa nhận được với điều kiện g(x) 0 để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu thử để lấy nghiệm.
	* Dạng 2: Phương trình (2) 
	Phương trình (2) 
	Điều kiện là điều kiện cần và đủ của phương trình (2). Chú ý ở đây không nhất thiết phải đặt điều kiện đồng thời cả và không âm vì. 
	* Dạng bài toán không mẫu mực
	Loại này được thực hiện qua các ví dụ cụ thể.
	2.1.2. Một số dạng bất phương trình vô tỉ
	*Dạng 1: Bất phương trình (3) 
	Bất phương trình (3) 
	Ta thấy điều kiện là điều kiện của bất phương trình và là điều kiện để hai vế đều không âm nên dẫn đến có thể bình phương hai vế, đưa về bất phương trình đơn giản hơn. Còn trường hợp thì bất phương trình vô nghiệm vì khi đó vế trái là số không âm lại nhỏ hơn vế phải luôn nhỏ hơn bằng không.
	Dạng 2: Bất phương trình (4)
	Bất phương trình (4) hoặc 
	Ta thấy nếu thì vế trái là không âm lớn hơn vế phải là luôn âm, nên bất phương trình luôn đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện. Trường hợp thì cả hai vế đều không âm nên ta bình phương hai vế cho mất dấu căn đưa về bất phương trình đơn giản.
	2.2.Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 	Học sinh trường THPT Lam Kinh ban cơ bản đa số còn nhận thức chậm, chưa hệ thống được kiến thức Toán học. Khi gặp các bài toán về giải phương trình vô tỉ chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện và biến đổi. Trong khi đó phương trình và bất phương trình loại này có rất nhiều dạng và phức tạp. 
 	Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày, tôi nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày cách giải đặt điều kiện và lấy nghiệm sai ở phần này.
 	Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận có logic tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm. Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán về phương trình vô tỉ.
	2.3. Một số giải pháp
 	Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinh với những giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ năng khi biến đổi để giải phương trình và bất phương trình vô tỉ.
 	Từ những cơ sở lý luận, tôi đưa ra một số giải pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ như sau:
	2.3.1. Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 1 : (1)
	a. Phương pháp
	Giáo viên chỉ cho học sinh thấy được rằng nếu khi bình phương hai vế để đi đến phương trình tương đương thì hai vế đó phải không âm.
	Ta thấy thì . Không cần đặt thêm điều kiện .
	b. Các ví dụ
	Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy 
	Khi gặp bài toán, Giải phương trình: (1)
	Sách giáo khoa đại số 10 đã giải như sau:
	Điều kiện pt(1) là (*)
	Phương trình cuối có nghiệm là và .
	Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay các giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị loại.
	Vậy nghiệm phương trình (1) là .
	Mặt khác, một số học sinh còn có ý kiến sau khi giải được nghiệm ở phương trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện (*) để lấy nghiệm và nghiệm phương trình là và .
	Theo tôi đối với phương trình dạng này cách giải vừa nêu trên rất phức tạp ở việc thay giá trị của nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai và dễ dẫn đến sai lầm của một số học sinh khi lấy nghiệm cuối cùng vì nhầm tưởng điều kiện là điều kiện cần và đủ.
	Sau đây là cách giải sử dụng phương pháp biến đổi tương đương:
	Vậy nghiệm của phương trình là: . 
	Các ví dụ tương tự
	+ Ví dụ 1. Giải phương trình : (1)
	Điều kiện có nghiệm của phương trình: (*)
	(Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện )
	So với điều kiện (*) ta thu được nghiệm của phương trình (1) là 
	Lưu ý: không cần phải thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà chỉ cần so sánh với điều kiện (*) để lấy nghiệm.
	+ Ví dụ 2. Giải phương trình: (2)
	Nhận xét : Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nếu sử dụng phương pháp biến đổi hệ quả sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để và thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm.
	Ta có thể giải như sau: 
	Điều kiện có nghiệm của phương trình: (**)
	Khi đó 
	Đối chiếu với điều kiện (**) ta thu được nghiệm phương trình (2) là . 
	+ Ví dụ 3. Giải phương trình : 
 	Nhận xét: Một số học sinh thường đặt điều kiện rồi bình phương hai vế đi đến một phương trình bậc bốn và rất khó để giải được kết quả cuối cùng vì phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể đối với học sinh bậc phổ thông. 
	Ta có thể giải bài toán như sau:
	Chưa vội đặt điều kiện ở bước giải này ta biến đổi
 	pt(3) 
	Đặt; đk , (***) .
	Phương trình trở thành: 
 (thoả mãn điều kiện (***) )
 	+ Với 
 , phương trình này vô nghiệm.
 	+ Với 
	Vậy nghiệm của phương trình là : , .
	+ Ví dụ 4. Giải phương trình : 
	Một số HS đã có lời giải sai như sau: 
	Ta có: 
	Nhận xét: Đây là một bài toán hết sức đơn giản nhưng nếu giải như vậy thì đã mắc một sai lầm mà không đáng có. Rõ ràng không phải là nghiệm của phương trình trên.
	Chú ý rằng: 
	Ở đây đã bị bỏ qua mất điều kiện là: (x ≥ 2).
	Như vậy khi gặp các bài toán thuộc các dạng nêu trên học sinh chủ động hơn trong cách đặt vấn đề bài giải : Điều kiện phương trình là gì? Đặt cái gì ? Biến đổi như thế nào là biến đổi tương đương ? Biến đổi như thế nào là biến đổi hệ quả? Kết luận nghiệm cuối cùng dựa vào điều kiện nào?
	2.3.2. Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: (2) 
	a. Phương pháp
	Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện và biến đổi (2) 	 
	Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả và vì .
	b. Các ví dụ
	Khi gặp bài toán, Giải phương trình : 
	Học sinh thường đặt điều kiện sau đó bình phương hai vế để giải phương trình.
	Điều đáng nói ở đây là học sinh tìm cách giải hệ điều kiện của phương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện thì vế kia cũng luôn đúng nên không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện .
	+ Ví dụ 1. Giải phương trình: (1)
	Giải:
	Vậy nghiệm của phương trình là .
	+ Ví dụ 2. Giải phương trình: (2)
	* Nhận xét: Biểu thức dưới dấu căn ở vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm. 
	Giải:
	Vậy nghiệm của phương trình là .
	+ Ví dụ 3. Giải phương trình: (*)
	Tóm tắt bài giải
	(*) 
	Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
	2.3.3. Hướng dẫn học sinh giải một số phương trình vô tỉ không mẫu mực
 	(Phương trình không tường minh).
	+ Ví dụ 1. Giải phương trình : 
	Một số học sinh có lời giải sai như sau: 
	Ta có: 
	Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
	Nhận xét: Rõ ràng là nghiệm của phương trình. Lời giải trên đã làm cho bài toán có nghiệm trở thành vô nghiệm.
	Cần chú ý rằng: 	
	Lời giải trên đã xét thiếu trường hợp ; 
	+ Ví dụ 2. Giải phương trình: (1)
	Điều kiện của phương trình là (*)
	Nhận xét: Biểu thức dưới dấu căn có dạng hằng đẳng thức 
 nên ta biến đổi như sau:
 pt(1) 
 (thoả mãn điều kiện (*) ) 
	Vậy nghiệm của phương trình là .
	+ Ví dụ 3. Giải phương trình: (2)
	Điều kiện (**)
	Ta đã biết, muốn bình phương hai vế thì cả hai vế đều phải không âm, nên ở phương trình (2) ta phải chuyển sang vế phải, thì cả hai vế đều không âm chuyển vế và bình phương hai vế ta được pt(2) (3)
	Với điều kiện (**) nên hai vế luôn không âm, bình phương hai vế ta được:
 	Pt(3) 
 tiếp tục bình phương hai vế 
 (thoả mãn điều kiện (**))
	Vậy nghiệm của phương trình là .
	+ Ví dụ 4. Giải phương trình: 
 	Lời giải : Ta có 
 	Pt 
	Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
	Lưu ý: Học sinh có thể đưa ra lời giải sai như sau:
	Ta có : 
	Vậy phương trình đã cho có nghiệm .
	Nhận xét: Ta nhận ra ngay x = 2 không phải là nghiệm đúng của phương trình đã cho nhưng, chú ý rằng: 
	+ Ví dụ 5. Giải phương trình: (3)
	Hướng dẫn : Đk (***)
 	Lưu ý: Hệ điều kiện (***) rất phức tạp nên với bài này ta không cần giải ra cụ thể.
	Từ ĐK (***) nên hai vế không âm ,bình phương hai vế ta được
 pt(3) 
	Thay giá trị của vào hệ Đk (***), thoả mãn
	Vậy nghiệm của phương trình là .
	+ Ví dụ 6. Giải phương trình: (4)
	Hướng dẫn: Điều kiện (****)
	Nhận xét: Đây là phương trình khá phức tạp nếu bình phương hai vế của phương trình ta cũng không thu được kết thuận lợi khi giải nên ta giải như sau:
	Đặt , (ĐK: )
	(4) (nhận) hoặc (loại)
	+ Với ( là phương trình thuộc dạng 1)
 	 (thoả mãn ĐK)
	Vậy nghiệm phương trình là . 
	+ Ví dụ 7. Giải phương trình : 
	Lời giải đúng:
	Ta có:
	Giải (1) 
 Giải (2) 
	Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : .
	Nhận xét: Bài toán này HS có thể giải mắc sai lầm như sau:
 	Lời giải sai:
 Ta có: 
	Giải ta có 
	Vậy phương trình đã cho có nghiệm và .
	HS có thể kết luận với và là hai nghiệm thoả mãn của phương trình. Mà không ngờ rằng phương trình đã cho còn có một nghiệm nữa là . 
	Chú ý rằng: 
	Lời giải trên đã bỏ sót mất trường hợp 
	2.3.4. Hướng dẫn học sinh giải bất phương trình dạng 1: (3)
	a. Phương pháp
	Bất phương trình (3) 
	b. Các ví dụ
	+Ví dụ 1. Giải bất phương trình sau: (I)
	Điều kiện xác định của bất phương trình đã cho là: (1)
	Dễ thấy nghiệm của bất phương trình đã cho phải thõa mãn điều kiện (2)
	Kết hợp 2 điều kiện (1) và (2) bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình (3)
	Như vậy bất phương trình đã cho tương đương với hệ gồm 3 bất phương trình (1), (2), (3)
	Sau đây là lời giải cho bất phương trình trên:
	Tập nghiệm của bất phương trình là: .
	+Ví dụ 2. Giải bất phương trình: 
	Giải:
	Ở bài toán này ta chỉ cần áp dụng phương pháp giải. 
	Vậy nghiệm của bất phương trình là: .
	+Ví dụ 3. Giải bất phương trình: 
	Nhận xét: Ở bài này cũng thuộc dạng bất phương trình trên, tuy nhiên nếu giải theo phương pháp trên thì khi bình phương hai vế, ta thấy bậc của bất phương trình là bậc 4, nên công việc giải lại khó hơn.
	Ta để ý thấy VT có .
	Khi bình phương vế trái thấy xuất hiện vế phải, tức vế phải có thể biến đổi được theo vế trái, nên ta làm như sau:
	Điều kiện: 
	Đặt và 
	Từ đó bất phương trình tương đương 
	Kết hợp với điều kiện chọn nên 
	Vậy nghiệm của bất phương trình là: .
	Lưu ý: Đối với dạng toán như bài này ta không nên bình phương mà sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về bài toán dễ hơn.
	Từ bài toán trên ta thấy không phải bài nào cũng áp dụng phương pháp của dạng tổng quát, mà cần phải linh hoạt trong biến đổi toán học thì công việc giải bài toán mới nhanh và chính xác.
	2.3.5. Hướng dẫn học sinh giải bất phương trình dạng 2: (4)
	a. Phương pháp
	Bất phương trình (4) hoặc 
	b. Các ví dụ
	+Ví dụ 1. Giải bất phương trình: 
	Sách giáo khoa cơ bản giải như sau: Hai vế của bất phương trình có nghĩa với mọi x
	a. Khi(tức ), vế phải của bất phương trình âm, vế trái dương nên trường hợp này mọi là nghiệm của bất phương trình.
	b. Khi (tức ), hai vế của bất phương trình đều không âm nên ta bình phương hai vế thì được bất phương trình tương đương .
	Như vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho trong trường hợp này là nghiệm của hệ Giải hệ này ta được nghiệm là .
	Tổng hợp lại, nghiệm của bất phương trình đã cho bao gồm và .
	Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là .
	Ở bài toán này chưa đưa ra trường hợp tổng quát nên khi học sinh gặp dạng này rất dễ măc sai lầm là quên đặt điều kiện cho biểu thức trong căn thức có nghĩa, dẫn đến đưa ra nghiệm của bất phương trình sai.
	+Ví dụ 2. Giải bất phương trình: (1)
	Nhận xét: 	Học sinh có lời giải sai như sau: 
	Vậy nghiệm của bất phương trình là: .
	Học sinh giải như trên mà không ngờ rằng còn trường hợp , thì bất phương trình luôn đúng vì khi đó vế trái là luôn lớn hơn bằng không với mọi thỏa mãn điều kiện còn vế phải luôn nhỏ hơn không, khi đó nghiệm của bất phương trình là và .
	Phân tích bài toán như sau:
	Điều kiện xác định của bất phương trình đã cho là (1)
	Để khử dấu căn chứa ẩn, ta xét hai trường hợp:
	+Trường hợp 1: (2)
	Hiển nhiên, nghiệm chung của (1) và (2) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Tóm lại trong trường hợp này, bất phương trình đã cho tương đương với hệ gồm bất phương trình (1) và (2).
	+Trường hợp 2: (3)
	Với điều kiện (1) và (3), bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình (4)
	Hiển nhiên (4) kéo theo (1). Do đó nghiệm chung của hai bất phương trinh (3) và (4) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Tóm lại trong trường hợp này, bất phương trình đã cho tương đương với hệ gồm hai bất phương trình (3) và (4)
	Sau đây là lời giải cụ thể của ví dụ trên
	Bất phương trình trên tương đương với hệ sau:
	 Ta có 
	Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là:.
	+Ví dụ 3. Giải bất phương trình: (2)
	Giải:
	Đối với bài toán này ta chỉ cần áp dụng công thức là ra
	Bất phương trình 
	Ta có:
	Lấy hợp trường hợp (I), (II) nghiệm của bất phương trình là: .
	* Sau khi ra bài tập giải phương trình vô tỉ và hướng dẫn học sinh giải. Giáo viên ra dạng bài tập tương tự để học sinh giải. Qua đó học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ năng giải phương trình và bất phương trình vô tỉ.
	2.4. Các bài tập luyện tập 
	1. Giải các phương trình sau:
 	1. 
 	2. 
 	3. 	
	Hướng dẫn: Biến đổi theo dạng 1 và dạng 2
 	4. 
 	5. 	
	Hướng dẫn: Đặt (t)
 Đáp số: hoặc .
 	6. 
 	7. 
	Hướng dẫn: Đặt ĐK sau đó bình phương hai vế
 Đáp số: .
 	8. . 
	Hướng dẫn : 
 Đáp số : Nghiệm phương trình là : x = -3.
 	9. . 
	Hướng dẫn: 
 Đáp số : Nghiệm của phương trình là: . 
 	10. 
 	11. + = 4 
 	12. x + = 2
 	13. 
 	14. 
 	15. 
 	16. 
	2. Giải các bất phương trình sau:
 	1. 
 	2. 
 	Hướng dẫn: Ở bài toán này có thể biến đổi đưa về dạng tổng quát rồi giải với lưu ý có ẩn dưới mẫu, tuy nhiên ta cũng có thể làm theo cách sau, đặt , biến đổi đưa về bất phương trình ẩn t, rồi giải.
 	3. 
 	4. . 
	Hướng dẫn: đặt 
	2.5. Kết quả
 	Cụ thể ở các lớp khối 10 cơ bản sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên, kết quả qua các bài kiểm tra của học sinh trước và sau khi áp dụng sáng kiến trên như sau:
	+ Trước khi áp dụng sáng kiến: 
Năm học
Lớp
Tổng số
Điểm 7 trở lên
Điểm từ 5 đến 7
Điểm dưới 5
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
2018- 2019
10B5
44
3
6,8%
16
36,4%
25
56,8%
10B8
40
4
10%
20
50%
16
40%
 	+ Sau khi áp dụng sáng kiến này:
Năm học
Lớp
Tổng số
Điểm 7 trở lên
Điểm từ 5 đến 7
Điểm dưới 5
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
2018-2019
10B5
44
6
14%
25
59,5 %
13
24,5 %
10B8
40
8
20 %
27
67,5 %
5
12,5%
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
	3.1. Kết luận
 	Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng dạy tại trường THPT Lam Kinh và trường THPT Hà Văn Mao.
 	Phương trình và bất phương trình vô tỉ là một nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 10 nói riêng và bậc THPT nói chung. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
 	Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải phương trình và bất phương trình vô tỉ. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. 
 	Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi.
	3.2. Kiến nghị 
	+ Nhà trường cần tăng cường dạy phụ đạo và bồi dưỡng cho học