SKKN Hướng dẫn học sinh sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài tập phần phương trình và bất phương trình

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài	..2
1.2. Mục đích nghiên cứu	..2
1.3. Đối tượng nghiên cứu	..2
1.4. Phương pháp nghiên cứu	..3
2. NỘI DUNG
 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm	..3
 2.2. Thực trạng	..4
 2.3. Các giải pháp thực hiện	..5
 2.3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các phương trình, bất phương trình........................................................................................................................5
 2.3.2. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước ..........................................9
 2.4. Hiệu quả	14
 2.4.1. Tổ chức thực nghiệm	15
 2.4.2. Kết quả thực nghiệm 	15
3. KẾT LUẬN
 3.1. Kết luận 	16
 3.2. Kiến nghị.	16
TÀI LIỆU THAM KHẢO
MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài 
Ngày nay, khi mà trí tuệ đã trở thành yếu tố hàng đầu thể hiện quyền lực và sức mạnh của một quốc gia, thì các nước trên thế giới đều ý thức được rằng giáo dục không chỉ là phúc lợi xã hội, mà thực sự là đòn bẩy quan trọng để phát triển kinh tế, phát triển xã hội.
Ở Việt Nam giáo dục đã và đang được Đảng, Nhà nước coi là quốc sách hàng đầu. Chính sách giáo dục mới luôn hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề. Vì vậy, ở các trường phổ thông nói chung và trường THPT Lam Kinh nói riêng, bên cạnh việc quan tâm giáo dục đại trà, thì giáo dục mũi nhọn luôn được coi trọng. Mỗi giáo viên trong trường dều có ý thức trau dồi chuyên môn, tìm cách nâng cao hiệu qủa tập của học sinh. 
Trong chương trình Toán THPT nội dung phần phương trình, bất phương trình được phân bố xuyên suốt ở cả ba khối lớp. Tuy nhiên, sách giáo khoa chỉ giới thiệu những dạng phương trình, bất phương trình đơn giản, và một số phương pháp giải thường dùng. Trong khi đó, ở đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh và đề thi THPT quốc gia đây lại là một nội dung khó. Vì vậy, tôi rất mong muốn bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá, giỏi năng lực giải bài tập phần phương trình và bất phương trình đáp ứng tốt yêu cầu về kiến thức, kỹ năng để thực hiện tốt phần bài tập này trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi THPT quốc gia. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình được giới thiệu trong chương trình sách giáo khoa khá muộn-chương II, Giải tích 12. Nhưng đây lại là phương pháp giải đem lại hiệu quả bất ngờ, bởi nó giúp giải quyết bài toán nhanh chóng, thuận lợi hơn, gây hứng thú cho học sinh hơn. Và, tôi đã nghĩ đến việc cho các em tiếp cận phương pháp đó sớm hơn- ngay từ lớp 10, tạo tiền đề nền tảng cho kỹ năng sử dụng công cụ hàm số trong giải toán; đồng thời giúp các em phát huy tối đa tính sáng tạo trong việc tìm ra con đường giải toán nhanh nhất, hay nhất. Từ đó các em tích lũy được kiến thức, hình thành được kỹ năng để làm tốt bài tập phần phương trình, bất phương trình ở cả ba khối.
Xuất phát từ những lí do đó mà tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài tập phần phương trình và bất phương trình” 
 Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh hình thành phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài tập phần phương trình và bất phương trình từ lớp 10.
- Cung cấp kiến thức, rèn luyện kỹ năng để học sinh khá giỏi có thể giải tốt các bài tập về phương trình và bất phương trình trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi THPT quốc gia.
 Đối tượng nghiên cứu
- Phương trình và bất phương trình vô tỉ, phương trinh lượng giác, phương trình và bất phương trình mũ, logarit.
- Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài tập phần phương trình và bất phương trình. 
 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phương pháp dạy học môn Toán, nghiên cứu các tài liệu về phương trình và bất phương trình.
- Quan sát, điều tra: Thông qua thực tế giảng dạy của bản thân và học hỏi kinh nghiệm từ các đồng nghiệp.
- Thực nghiệm sư phạm: Để kiểm nghiệm kết quả của đề tài được áp dụng trong thực tiễn dạy học.
NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết các bài toán về phương trình và bất phương trình học sinh cần nắm vững các kết quả sau:
1, [3] Cho hàm số bậc hai 
+ Nếu thì hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng 
+ Nếu thì hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng 
+ Bảng biến thiên 
Nếu 
x
-∞ +∞
y
+∞ +∞
Nếu 
x
-∞ +∞
y
-∞ -∞
2, [5] Cho hàm số xác định trên khoảng . Nếu (hoặc ) với thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( Dấu bằng xảy ra ở một số hữu hạn điểm).
3, Nếu hàm sốđồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng thì phương trình trên khoảng có tối đa một nghiệm.
4, Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng thì phương trình 
5, Nếu hàm sốđồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng thì bất phương trình 
( hoặc )
6, Cho hàm số liên tục trên tập D
+ Phương trình có nghiệm trên tập D 
+ Bất phương trình có nghiệm trên tập D 
+ Bất phương trình có nghiệm trên tập D 
+ Bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
+ Bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
7, [5] Cho hai hàm số và có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2). Khi đó số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C1) và (C2).
 2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
 Phương trình và bất phương trình là một trong những nội dung nền tảng của toán học phổ thông. Xuất hiện trong chương trình sách giáo khoa ở mức độ rất cơ bản, nhưng lại xuất hiện ở mức độ vận dụng trong các đề thi học sinh giỏi và thi THPT quốc gia. Khi tiếp cận các phương trình và bất phương trình không mẫu mực đa số học sinh lúng túng và không hào hứng. Các phương pháp giải thường dùng như bình phương hai vế, đặt ẩn phụ, nhân liên hợp không có hiệu quả trong nhiều bài toán hoặc có thể áp dụng được nhưng lại thiếu tính tự nhiên.
 2.3. Các giải pháp thực hiện
 2.3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các phương trình, bất phương trình
Dạng 1: Phương trình được đưa về dạng f(x) = g(x) (I), trong đó f(x) là hàm đồng biến, g(x) là hàm nghịch biến hoặc hàm hằng
Các bước giải:
+ Tìm tập xác định của phương trình
+ Đưa phương trình về dạng (I)
+ Chứng minh f(x) là hàm đồng biến, g(x) là hàm nghịch biến hoặc hàm hằng
 + Nhận xét phương trình có tối đa 1 nghiệm, nhẩm để tìm 1 nghiệm và kết luận đó là nghiệm duy nhất
Ví dụ 1: [7] Giải phương trình: 
Phân tích: Đối với phương trình (1) học sinh có thể nghĩ đến phương pháp bình phương hai vế để giải nhưng quá trình biến đổi đại số khá phức tạp. Cũng có thể nghĩ đến phương pháp nhân liên hợp nhưng không phải học sinh nào cũng tìm ra được biểu thức liên hợp. Trong khi đó học sinh có thể dễ dàng nhận ra khi x tăng thì hai biểu thức trong căn cũng tăng, nghĩa là hàm số ở vế trái đồng biến, trong khi đó hàm số ở vế phải là hàm hằng. Vì vậy, nếu dùng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình (1) sẽ rất nhanh và thuận lợi.
Lời giải : Tập xác định 
Xét hàm số trên tập 
Ta có nên hàm số f(x) đồng biến trên tập . Do đó phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Mặt khác . Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1
Lời bình: Như vậy sau khi phân tích bài toán, định hướng được cách giải, và thực hiện theo các bước giải đã được giáo viên nêu ở trên, học sinh có thể đưa ra được lời giải một cách nhanh chóng và rất tự nhiên. Và các bạn đều có thể thấy rằng đây là cách giải ưu việt nhất.
	Chúng ta cũng có thể tiếp tục khẳng định được sự ngắn gọn, súc tích, sự tự nhiên, dễ hiểu của phương pháp giải này thông qua các ví dụ tiếp theo
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)
Phân tích: Đánh giá sơ bộ từ hai vế của phương trình học sinh có thể nhận định được rằng : nếu bình phương hai vế của phương trình sẽ dẫn đến một phương trình bậc cao, nếu nhân với biểu thức liên hợp thì cũng khó để xác định được biểu thức liên hợp. Vì vậy giáo viên sẽ gợi ý giúp học sinh sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình (2)
Nhận xét: Khi giá trị của x tăng giá trị của biểu thức cũng tăng, còn giá trị của biểu thức lại giảm
Lời giải: Điều kiện xác định: 
Xét hàm số 
Ta có: nên f(x) là hàm đồng biến
 trên tập D
Xét hàm số 
Ta có nên hàm số g(x) nghịch biến trên tập D
Do đó phương trình (2) có tối đa một nghiệm trên tập D. 
Mặc khác: nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2).
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)
Với nhận xét ta biến đổi phương trình (3) như sau:
Phương trình (3) 
Học sinh có thể nhận xét vế trái luôn dương, vì vậy nếu thì phương trình (3) vô nghiệm.
Khi thì hướng dẫn học sinh biến đổi phương trình thành:
Sau đó xét trên tập 
Ta có 
Do đó hàm sô nghịch biến trên tập . Mà f(1) = 0. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (3)
Ví dụ 4: Giải phương trình: (4)
Nhận xét: nếu biến đổi phương trình (4) thành thì dễ dàng nhận thấy vế trái là một hàm đồng biến, còn vế phải là hàm hằng. Vì vậy sử dụng chiều biến thiên của hàm số để giải phương trình (4) là lựa chọn tối ưu.
Lời giải: 
Tập xác định 
Xét 
Ta có : 
Do đó hàm số đồng biên trên tập D, mà f(1) = 5 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Tiếp theo ta sẽ khẳng định tính ưu việt của công cụ hàm số trong các ví dụ ở dạng 2.
Dạng 2: Phương trình (bất phương trình) đưa về dạng f(u) = f(v) (hoặc dạng f(u) > f(v)) (II); trong đó u = u(x), v = v(x), f(t) là hàm đồng biến hoặc nghịch biến 
 Các bước giải:
 + Tìm tập xác định của phương trình	
 + Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng (II)
 + Xét hàm số f(t) và chứng minh f(t) là hàm đồng biến hoặc nghịch biến
 + Khi đó phương trình 
 bất phương trình khi f(t) là hàm đồng biến 
 và khi f(t) là hàm nghịch biến.
 + Giải phương trình u = v (hoặc bất phương trình u > v
 hoặc bất phương trình u < v) 
 + Kết luận nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình: (5)
Phân tích: Khi giao bài tập này cho học sinh tôi đã quan sát các em giải quyết vấn đề. Một số em lúng túng vì các cách mà các em hay sử dụng như lập phương hai vế, đặt ẩn phụ giờ đây không khả thi. Một số khác tốt hơn đã dùng máy tính tìm được một nghiệm của phương trình là x = -1, sau đó giải bài toán này bằng cách nhân liên hợp. Ta hãy theo dõi tiếp cách làm này của các em:
 	Nhưng đến đây các em lại không thể giải được phương trình còn lại. Chúng ta cũng đều thấy rằng việc giải phương trình còn lại rất phức tạp.
	Vậy tại sao ta không áp dụng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình (5). 
	Trước tiên hướng dẫn các em biến đổi phương trình (5) về dạng (II)
Ta có: (5.1)
Xét hàm số có . Nên hàm số đồng biến trên .
Do đó:
 Pt 
Vậy phương trình (4) có các nghiệm: .
	Ngạc nhiên, thích thú là những điều mà tôi nhìn thấy ở các em. Từ một bài toán các em đang cho rằng “ khó lắm cô ơi”, một bài toán đang bị “tắc” giữa chừng, giờ đây các em đã “ chinh phục” được chỉ bằng một vài bước giải rất ngắn gọn. 
Ví dụ 2: [8] Giải phương trình: (6)
Lời giải:
Đặt ; . Khi đó phương trình (6) trở thành (6.1)
Xét hàm số có nên hàm số đồng biến khi . 
Do đó từ phương trình (6.1) ta có:
Vậy nghiệm của phương trình (6) là 
Ví dụ 3: Giải phương trình: (7)
Lời giải:
Biến đổi Pt (7.1)
Xét hàm số có . Do đó hàm số đồng biến.
Do đó Pt 
Vậy phương trình (7) có các nghiệm là: 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: (8)
Lời giải:
Điều kiện: 
Xét hàm số trên 
Ta có , 
Nên hàm số đồng biến trên 
Mà nên 
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình (8) là 
Ví dụ 5: [8] Giải bất phương trình: (9)
Lời giải:
Điều kiện: 
Đặt 
Khi đó bất phương trình (9) trở thành: 
Xét hàm . Hàm số này là tổng hai hàm đơn điệu giảm nên là hàm đơn điệu giảm.
Mặt khác nên 
Với ta có 
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình (9) là: 
	Đến đây có lẽ ta không thể phủ nhận được sự “ hấp dẫn” của phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trinh và bất phương trình.
2.3.2 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
Một số thầy cô thường “để dành” đến khi học về ứng dụng của đạo hàm mới hướng dẫn các em dùng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và bất phương trình. Nhưng tôi thiết nghĩ chúng ta nên cho các em tiếp cận phương pháp này từ lớp 10. Hãy cùng cảm nhận hiệu quả tuyệt vời của nó thông qua các bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
 	Các bước giải :
 + Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng : ( hoặc hoặc ) ( Ta thường gọi là bước ‘cô lập’ tham số)
 + Xét hàm số f(x) và lập bảng biến thiên. 
 + Từ kết quả ở bảng biến thiên kết luận điều kiện của tham số m
Chú ý : Trường hợp phương trình, bất phương trình chứa những biểu thức phức tạp ta thường phải đặt ẩn phụ theo các bước sau :
 + Đặt ẩn phụ t = u(x)
 + Từ điều kiện của ẩn x, ta tìm điều kiện của ẩn phụ t
 + Đưa phương trình (hoặc bất phương trình) ẩn x về phương trình (hoặc bất phương trình) ẩn t, có dạng h(t) = g1(m) (hoặc dạng h(t) > g1(m) hoặc dạng 
h(t) < g1(m)).
 + Xét hàm số h(t) và lập bảng biến thiên. 
 + Từ kết quả ở bảng biến thiên kết luận điều kiện của tham số m
Ví dụ 1: [7] Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi 
 (1) 
Phân tích : Ta có thể biến đổi để phần chứa biến của biểu thức trong căn và biểu thức ngoài căn trở nên giống nhau. Vì vậy, nên đặt ẩn phụ để đưa bất phương trình (1) thành một bất phương trình bậc hai quen thuộc. Bước tiếp theo các em có thể sử dụng định lí về dấu tam thức bậc hai và định lí Viet để giải quyết bài toán. Nhưng chúng ta hãy hướng dẫn các em giải tiếp bài toán bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số để xem sự hấp dẫn của phương pháp này 
Lời giải: 
Tập xác định: 
Đặt với . Khi đó 
( Cách tìm điều kiện của ẩn phụ không phải là nội dung chính của sáng kiến nên xin phép không trình bày)
Bất phương trình (1) trở thành: (1.1)
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi Bất phương trình (1.1) nghiệm đúng với mọi 
Xét hàm số . 
Lập BBT của hàm số: 
t
 0 2 3 
f(t)
 10 7 
 6
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra: 
 Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi 
Lời bình: Ta có thể thấy sự ngắn gọn, súc tích của lời giải. Học sinh của tôi đều thích thú với cách giải này. Và rất tự nhiên, sau khi biết đến phương pháp này thì đó là lựa chọn đầu tiên của các em khi giải các bài tập tương tự. Nó lôi cuốn và hấp dẫn các em rất nhiều so với việc dùng định lí về dấu của tam thức bậc hai và định lí Viet. Nhất là đối với học sinh lớp 10, các em thực sự thích thú khi khám phá thêm được vẻ đẹp của toán học, của phương pháp hàm số.
	Chúng ta hãy cảm nhận sự ngắn gọn, thuận lợi, vẻ đẹp của phương pháp giải này thông qua các ví dụ tiếp theo
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình:
(2) có nghiệm 
Lời giải: Phương trình (2) 
Đặt 
Phương trình (2) trở thành: 
 (2.1)
Phương trình (2) có nghiệm khi phương trình (2.1) có nghiệm 
Xét hàm số với 
Lập bảng biến thiên 
 t
 0 1 
f(t)
 0 1 
Dựa vào BBT ta suy ra: 
 Phương trình (2) có nghiệm khi 
Ví dụ 3: [7] Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 
 (3) 
Lời giải:
Do không phải là nghiệm của phương trình (3) nên
Xét hàm số trên . 
Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt Phương trình (3.1) có hai nghiệm phân biệt đường thẳng có hai điểm chung khác nhau với đồ thị hàm số trên .
Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên trên . 
Ta có: 
Giới hạn: 
Bảng biến thiên
 + +
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra: 
 Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt .
Ví dụ 4: [7] Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 
 (4)
Lời giải:
Tập xác định của phương trình : 
Khi đó phương trình 
Xét hàm số trên . 
Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt đường thẳng có hai điểm chung khác nhau với đồ thị hàm số trên .
Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên . 
Ta có: 
Giới hạn: 
và 
Bảng biến thiên
 + 0 ̶̶ 
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra: 
 Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt .
 Ví dụ 5: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
 (5) 
có đúng ba nghiệm phân biệt.
Lời giải: Phương trình (5) 
Xét hàm số với 
Ta có , .
 đồng biến trên .
Khi đó phương trình (5)
 (5.1)
Phương trình (5) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (5.1) có 3 nghiệm phân biệt.
	Như vậy, bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số ta đã chuyển từ một phương trình phức tạp về một phương trình đơn giản hơn. 
Tiếp theo để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có thể hướng học sinh theo hai cách: 
Cách 1: Xét số nghiệm của phương trình (5.1) thông qua số nghiệm của hai phương trình thành phần.
Cách 2: Xét số nghiệm của phương trình (5.1) thông qua số giao điểm của đường thẳng y = 2m và hợp của hai đồ thị của hai hàm số và 
Ta theo dõi lời giải chi tiết của cách 1
Khi phương trình (5.1) (5.2)
Khi phương trình (5.1) (5.3)
TH: phương trình (5.2) có nghiệm kép và phương trình (5.3) có hai nghiệm phân biệt khác .
Khi đó phương trình (5.2) có nghiệm , phương trình (5.3) có hai nghiệm phân biệt .(thỏa mãn)
TH2: phương trình (5.3) có nghiệm kép và phương trình (5.2) có hai nghiệm phân biệt khác .
Khi đó phương trình (5.3) có nghiệm , phương trình (5.2) có hai nghiệm .(thỏa mãn)
TH3: phương trình (5.2) và (5.3) có chung một nghiệm , khi đó , thử lại thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy . 
Bài tập rèn luyện: 
Bài 1: Giải các phương trình sau:
Bài 2: Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm
Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau đây có nghiệm 
 2.4 Hiệu quả của sáng kiến
 Tuy chưa phải là nhiều nhưng thông qua một số ví dụ điển hình mà tôi đã nêu ở trên, chúng ta một lần nữa khẳng định được rằng: công cụ hàm số quả thật rất tuyệt vời. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải các bài tập phần phương trình và bất phương trình đã mang lại hiệu quả trên cả mong đợi. Học sinh của chúng ta đã tìm được nguồn cảm hứng khi giải các bài toán về phương trình và bất phương trình. Các em cũng đã có được sự linh hoạt, sáng tạo khi giải toán, có niềm yêu thích đối với toán học. Đặc biệt, đội tuyển Toán của nhà trường đã đạt thành tích cao trong kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh trong cả hai năm học 2017-2018 và 2018-2019. 
 Để kiểm nghiệm hiệu quả của đề tài tôi đã tiến hành thực nghiệm tại một số lớp trong trường THPT Lam Kinh
 2.4.1. Tổ chức thực nghiệm.
* Chọn đối tượng thực nghiệm
 Tôi đã chọn 4 lớp để tổ chức kiểm nghiệm hiệu qủa của đề tài: 2 lớp được triển khai sáng kiến và 2 lớp chưa được triển khai sáng kiến. 
Lớp thực nghiệm
Lớp đối chứng
Lớp
Số học sinh
Lớp
Số học sinh
12C9
45
12C8
43
10B1
44
10B3
44
* Cách tổ chức: 
Làm bài kiểm tra 15 phút
* Đề bài 1( Dành cho lớp 10): Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm:
* Đề bài 2( Dành cho lớp 12): Tìm m để phương trình sau:
 có nghệm duy nhất
 2.4.2. Kết quả thực nghiệm
Sau khi học sinh làm bài kiểm tra. Kết quả thu được như sau:
 + Bảng tổng hợp điểm:
Lớp
Sĩ số
Điểm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Thực nghiệm
10B1
44
0
0
0
0
0
0
0
11
24
7
2
12C9
45
0
0
0
0
0
0
0
10
25
7
3
Đối chứng
10B3
44
0
0
0
0
1
6
11
13
10
3
0
12C8
43
0
0
0
0
1
7
14
17
3
1
0
 + Bảng đánh giá, so sánh
Xếp loại
Lớp thực nghiệm
(10B1, 12C9)
Lớp đối chứng
(10B3, 12C8)
Tổng
%
Tổng
%
Giỏi (9-10 điểm)
19
21,4
4
4,6
Khá (7-8 điểm)
70
78,6
43
49,4
Trung bình (5-6 điểm)
0
0,0
38
43,7
Yếu (<5 điểm)
0
0.0
2
2,3
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
 3.1. Kết luận 
 - Trong giai đoạn giáo dục hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là một nhiệm vụ hết sức quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội một nguồn nhân lực thực thụ. Bản thân tôi luôn cố gắng tìm tòi những phương pháp giải toán dễ hiểu nhất, tự nhiên nhất để gây hứng thú học tập cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng học tập của các em.
 - Phương trình và bất phương trình là một dạng toán khó đối với các em học sinh, nên tôi đã cố gắng tập hợp, giải quyết các bài toán đó bằng các phương pháp giải dễ hiểu, ngắn gọn . Qua ứng dụng SKKN này vào giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy đối với bài toán về phương trình, bất phương trình không mẫu mực thì đạo hàm và hàm số là công cụ tuyệt v