SKKN Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp độ lệch pha và biểu thức sóng để giải ngắn gọn một số bài toán giao thoa và sóng dừng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2
**********
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỘ LỆCH PHA VÀ BIỂU THỨC SÓNG ĐỂ GIẢI NGẮN GỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO THOA VÀ SÓNG DỪNG
 Người thực hiện : Nguyễn Thọ Tuấn
 Chức vụ : Giáo viên
 SKKN thuộc môn : Vật lý
THANH HÓA NĂM 2017
MỤC LỤC
Trang
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
2
I. Lời mở đầu
2
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
2
III. Phương pháp, đối tượng, thời gian nghiên cứu áp dụng
3
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
3
I. Cơ sở lý thuyết
3
1. Độ lệch pha của hai dao động
3
2. Độ lệch pha của hai sóng
3
II. Các bài toán sóng dừng giải bằng hai phương pháp: xét độ lệch pha và sử dụng biểu thức sóng
4
III. Các bài toán giao thoa giải bằng phương pháp: xét độ lệch pha
9
1. Bài toán 1: Tìm số điểm dao động với biên độ cực đại, số điểm dao động với biên độ cực tiểu trên đoạn nối hai nguồn S1, S2
9
2. Bài toán 2: Tìm số điểm dao động với biên độ cực đại, số điểm dao động với biên độ cực tiểu trong khoảng giữa hai điểm MN bất kỳ
12
3. Bài toán 3: Tìm số điểm dao động với biên độ AM bất kì (Amin < AM < Amax) trên S1S2 hoặc trên MN
14
IV. Một số bài tập tự luyện tập kiểm tra năng lực tiếp thu của học sinh
16
C. Kết quả nghiên cứu và đối chứng
19
D. Kiến nghị, đề xuất
20
TÀI LIỆU THAM KHẢO
21
A- ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI MỞ ĐẦU
Trong mấy năm gần đây, trong các kỳ thi, đặc biệt là thi Đại học, thi học sinh giỏi xuất hiện nhiều bài toán về giao thoa sóng và sóng dừng mà nếu giải các bài này một cách nhanh chóng và chính xác thì ta phải viết được phương trình sóng hoặc xét độ lệch pha.
Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy chương trình 12, Chương sóng cơ, tôi nhận thấy, sách giáo khoa (SGK) và đa số sách tham khảo đề cập đến vấn đề độ lệch pha của hai sóng một cách đơn giản, chưa mang tính tổng quát và thống nhất, đôi khi một số sách tham khảo còn trình bày chưa rõ ràng, đặc biệt có sách lại nói sai lệch vấn đề về độ lệch pha.
Bằng sự học hỏi và kinh nghiệm giảng dạy của mình, tôi đã mạnh dạn và kiên trì nghiên cứu những kiến thức về phương trình sóng và độ lệch pha của sóng, từ đó phục vụ cho việc giảng dạy hiệu quả hơn, nâng cao chất lượng dạy và học của trường chúng tôi, giúp học sinh hiểu sâu hơn về chương sóng cơ, một chương được coi là khó đối với học sinh lâu nay, đồng thời mong muốn các đồng nghiệp có thêm tài liệu để phục vụ tốt hơn nữa công tác giảng dạy của mình.
Vì những lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp độ lệch pha và biểu thức sóng dừng để giải ngắn gọn một số bài toán giao thoa sóng, sóng dừng”
	Đề tài trên được tôi phát triển từ đề tài SKKN của tôi đã nghiên cứu và thực hiện năm 2013.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
Ta có thể thấy, SGK cố gắng đưa ra những kiến thức đơn giản nhất cho học sinh. Điều này rất đúng theo tinh thần giảm tải của Bộ GD và ĐT. Tuy nhiên đối với những học sinh học khá trở lên, đặc biệt đối với những em học để thi Đại học và thi Học sinh giỏi thì kiến thức mà SGK cung cấp là chưa đủ, không muốn nói là quá sơ sài. Khi gặp các câu trong đề thi về giao thoa sóng và sóng dừng, nếu đề bài cho phương trình sóng tại S1 và S2 là 
	và ,
trong đó các pha ban đầu của sóng tại S1 và S2 là φ1≠ φ2 ≠ 0 và biên độ A1 ≠ A2 thì học sinh và ngay cả giáo viên cũng lúng túng khi tìm số cực đại và cực tiểu trên S1S2. Khó khăn bởi vì ta không thể dễ dàng viết được phương trình sóng tổng hợp tại M để biện luận cho biên độ sóng tại M cực đại hay cự tiểu. Càng khó khăn hơn nếu ta muốn tìm số điểm dao động với biên độ AM bất kì (Amin < AM < Amax) trên S1S2. Tuy nhiên, với những bài toán về sóng dừng, đặc biệt là những bài toán phức tạp thì cách giải nhanh và tối ưu lại là sử dụng biểu thức sóng dừng trên sợi dây. 
Để giải quyết khó khăn các bài toán giao thoa một cách triệt để, nhanh chóng và chính xác, ta nên sử dụng kiến thức về tổng hợp dao động và xét độ lệch qua của hai sóng tới.
III. PHƯƠNG PHÁP, ĐỐI TƯỢNG, THỜI GIAN NGHIÊN CỨU ÁP DỤNG 
Đề tài được nghiên cứu, trải nghiệm trong quá trình dạy học trên lớp và hướng dẫn học sinh học, làm bài tập ở nhà. Các lớp học sinh được thử nghiệm, nghiên cứu là các lớp Ban Khoa học tự nhiên (KHTN), trong các chủ đề ôn luyện thi Đại học, Cao đẳng và bồi dưỡng đội tuyển thi học sinh giỏi cấp Tỉnh trong những năm gần đây của trường THPT Triệu Sơn 2, Thanh Hoá. Kết quả là các em nắm bài rất tốt và giải rất nhanh phần lớn những bài toán giao thoa sóng và sóng dừng bằng phương pháp độ lệch pha và dựa vào phương trình sóng.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Độ lệch pha của hai dao động 
Ta hiểu độ lệch pha của hai dao động là hiệu số pha của hai dao động ấy.
Giả sử có hai dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là :
	và 
Độ lệch pha của hai dao động này là : 
	- Nếu , ta nói dao động (1) sớm pha hơn dao động (2).
	- Nếu , ta nói dao động (1) trễ pha hơn dao động (2).
	- Nếu , ta nói dao động (1) cùng pha với dao động (2).
	- Nếu , ta nói dao động (1) ngược pha với dao động (2).	[1]
* Lưu ý: Độ lệch pha trong bài này chỉ áp dụng cho trường hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số.
2. Độ lệch pha của hai sóng 
O
M
N
x
d
2.1. Độ lệch pha của hai sóng tại hai điểm trên cùng một phương truyền sóng 
Giải sử có sóng ngang tại O có phương trình truyền dọc theo trục Ox. 
Xét hai điểm M và N trên Ox lần lượt cách O các đoạn x1 và x2 và MN = d.
Phương trình sóng tại M và N do O truyền đến là : 
và 
Độ lệch pha của hai sóng tại M và N là: 
	[2]
2.2. Độ lệch pha của hai sóng tại một điểm do hai nguồn truyền đến
S1
S2
M
d1
d2
Phương trình sóng tại S1 và S2 có dạng: 
và 
Sóng từ S1 và S2 tới M có phương trình: 
và 
Sóng tại M là tổng hợp của hai sóng từ S1 và S2 truyền đến (nói cách khác, dao động tại M là tổng hợp của hai dao động từ S1 và S1 truyền đến)
Độ lệch pha của hai sóng tại M là: 
II. CÁC BÀI TOÁN SÓNG DỪNG GIẢI BẰNG HAI PHƯƠNG PHÁP : XÉT ĐỘ LỆCH PHA VÀ SỬ DỤNG BIỂU THỨC SÓNG 
A
1
2
B
C
D
L
E
F
G
H
I
K
Sóng dừng là trường hợp đặc biệt của hiện tượng giao thoa sóng, có bản chất là sự giao thoa của sóng tới và sóng phản xạ trên cùng một sợi dây. 
Giả sử ở thời điểm t, sóng tới (1) từ trái sang (nét liền trên hình vẽ), sóng phản xạ (2) từ phải sang(nét đứt trên hình vẽ). Sợi dây có vị trí như hình vẽ nét liền. Hai sóng cùng pha tại A, E, I,... nên chúng tăng cường lẫn nhau và tạo thành các điểm bụng tại A, E, I,... Điểm C, G, L,... lúc này đang là nút. Sau 1/4 chu kì thì mỗi sóng di chuyển được 1/4 bước sóng và tại các điểm A, E, I,... đến vị trí cân bằng, các điểm C, G, L chúng ngược pha nhau nên các điểm này vẫn là nút. Sau 1/4 chu kì tiếp theo, các điểm A, E, I,... lên tới vị trí trên cùng, các điểm C, G, L,... vẫn nằm tại chỗ là nút. 
Vậy các điểm A, E, I,... luôn là điểm bụng, các điểm C, G, L,... luôn là nút sóng.
* Hai điểm trên dây cách nhau d thì dao động lệch pha 
* Nếu chọn gốc tọa độ trùng với nút thì biểu thức sóng dừng có dạng:
 (A là biên độ sóng tại điểm khảo sát; là khoảng cách từ điểm khảo sát đến nút làm gốc).	
	Nếu chọn gốc tọa độ trùng với bụng thì biểu thức sóng dừng có dạng:
( A là biên độ sóng tại điểm khảo sát; y là khoảng cách từ điểm khảo sát đến bụng làm gốc).	[3]
Ví dụ 1: Sóng dừng trên một sợi dây có biên độ ở bụng là 5 cm. Hai điểm M, N có cùng biên độ 2,5 cm cách nhau d = 20cm, giữa M và N các điểm luôn dao động với biên độ nhỏ hơn 2,5 cm. Tính bước sóng.	[4]
Giải: 
Cách 1:
 5
Dj 
M 
M2 
M1 
N 
 2,5
- 2,5
-5
+ Độ lệch pha giữa M, N xác định theo công thức: . 
Ta dùng đường tròn biểu diễn độ lệch pha như sau:
+ Do các điểm giữa M, N đều có biên độ nhỏ hơn biên độ dao động tại M, N nên chúng là hai điểm gần nhau nhất đối xứng qua một nút sóng. 
+ Độ lệch pha giữa M và N dễ dàng tính được : 
. 
Cách 2 : 
Vì các điểm nằm trong khoảng MN luôn dao động với biên độ nhỏ hơn 2,5 cm nên M và N nằm ở hai bó sóng liền kề và đối xứng nhau qua nút sóng.
Chọn nút sóng làm gốc, điểm N có tọa độ: 
Vậy bước sóng bằng 120 cm.
Ví dụ 2: Một sợi dây AB đàn hồi căng ngang dài 120 cm, hai đầu cố định đang có sóng dừng ổn định. Bề rộng của bụng sóng là 4a. Khoảng cách giữa hai điểm dao động cùng biên độ a trên cùng một bó sóng bằng 20 cm. Số bụng sóng trên AB là
Giải:
Cách 1 :
Dj 
M 
M1 
N 
a
-2a
2a
N1 
Từ đề bài ta có biên độ tại bụng sóng là 2a.
Áp dụng mối liên hệ với chuyển động tròn đều, ta vẽ được hình như trên.
Từ hình vẽ dễ dàng thấy độ lệch pha giữa M và N có cùng biên độ a là
 cm.
Chiều dài dây l = .
Vậy trên dây có 6 bụng sóng.
Cách 2 : Chọn điểm bụng làm gốc, tọa độ của điểm nằm về một bên của bụng là : x = 20/2 = 10 cm.
Theo biểu thức biên độ sóng dừng : 
Suy ra cm.
Chiều dài dây l = .
Vậy trên dây có 6 bụng sóng.
Ví dụ 3: Một sợi dây đàn hồi dài 2,4 m, căng ngang, hai đầu cố định. Trên dây đang có sóng dừng với 8 bụng sóng. Biên độ bụng sóng là 4 mm. Gọi A và B là hai điểm trên dây cách nhau 20 cm. Hỏi biên độ của hai điểm A và B hơn kém nhau một lượng lớn nhất bằng bao nhiêu?	
4 mm
u
- 4 mm
t
O
B
A
aB
aA
Giải: 
Cách 1 :
Bước sóng : Có 8 bụng nên .
Độ lệch pha giữa hai điểm A và B là :
. 
Vẽ đường tròn lượng giác, trên đường tròn ta thấy biên độ của hai điểm A và B hơn kém nhau một lượng lớn nhất khi A là nút, tức biên độ sóng tại A là aA = 0. Độ lệch giữa hai biên độ bằng biên độ điểm B.
Ta có: mm.
Vậy chúng hơn kém nhau một lượng lớn nhất bằng mm.
Cách 2 : Biên độ của A và B lệch nhau một lượng lớn nhất khi A là nút. Độ lệch giữa hai biên độ bằng biên độ điểm B.
Chọn nút A làm gốc, tọa độ B là x = 20 cm.
Độ lệch cực đại : cm.
Ví dụ 4: Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây, A là một điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất, C là trung điểm của AB, với AB = 10 cm. Biết khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là 0,2 s. Tính tốc độ truyền sóng trên dây. [5]
Giải:
Cách 1 :
Dj 
C 
M 
B
A 
u
Vì khoảng cách giữa một nút sóng và bụng sóng liên tiếp là cm.
Theo đề bài, khoảng cách CB là cm.
Độ lệch pha giữa C và B là (rad).
Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C ứng với véc tơ quét được góc
 (rad).
Theo đề bài ta có : s. 
Vậy tốc độ sóng là = 50 cm/s = 0,5 m/s.
Cách 2:
Vì khoảng cách giữa một nút sóng và bụng sóng liên tiếp là cm.
Theo đề bài, khoảng cách CB là AC = AB/2 = 5 cm. 
Chọn nút A làm gốc, từ biểu thức biên độ sóng tại C là :
Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là thời gian điểm B đi từ đến Ab rồi về đến , ta dễ dàng tính được t = T/4 = 0,2 s => T = 0,8 s.
Vậy tốc độ sóng là = 50 cm/s = 0,5 m/s.
Ví dụ 5: Trên một sợi dây căng ngang với hai đầu cố định đang có sóng dừng. Không xét các điểm bụng hoặc nút, quan sát thấy những điểm có cùng biên độ và ở gần nhau nhất thì đều cách đều nhau 15cm. Tính bước sóng trên dây. [6]
Abụng
u
a
-a
Q
P
N
M
Giải:
Cách 1:
Theo đề bài, các điểm M, N, P và Q gần nhau nhất cách đều nhau dao động với cùng biên độ, suy ra độ lệch pha của các điểm này bằng nhau là , do đó, nếu ta vẽ đường tròn thì các điểm M, N, P và Q cách đều nhau trên một vòng tròn. 
Gọi khoảng cách của các điểm này theo thứ tự lần lượt là: MN = NP = PQ = d = 15 cm, ta có :
 cm.
Vậy bước sóng bằng 60 cm.
Cách 2: Các điểm cách đều nhau 15 cm có cùng biên độ tức là chúng cách bụng và nút những khoảng bằng nhau và bằng x = 15/2 = 7,5 cm. 
Ta có, theo biểu thức biên độ sóng dừng : 
Suy ra cm.
Vậy bước sóng bằng 60 cm.
III. CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP XÉT ĐỘ LỆCH PHA
1. Bài toán 1: Tìm số điểm dao động với biên độ cực đại, số điểm dao động với biên độ cực tiểu trên đoạn nối hai nguồn S1, S2.
* Cách giải quyết thứ nhất: Theo SGK chương trình Chuẩn và Nâng cao
Giả sử phương trình sóng của hai nguồn là: (coi pha ban đầu φ1 = φ2 = 0)
Xét điểm M trên S1S2, cách hai nguồn S1, S2 lần lượt là d1, d2
Phương trình dao động tại M do S1 và S2 truyền đến là:
 và 
Phương trình dao động tại M là: 
=
 =
Biên độ dao động tại M là: 	[7]
M dao động với biên độ cực đại khi: 
 (k nguyên)
Từ đó ta suy ra khi M thuộc đoạn S1S2 thì :
Số điểm dao động với biên độ cực đại trên S1S2 là các giá trị k nằm trong đoạn:
M dao động với biên độ cực tiểu khi: 
Từ đó ta suy ra số điểm dao động cực tiểu giữa S1 và S2 thỏa mãn:
 Số điểm dao động với biên độ cực tiểu trên S1S2 là các giá trị k nằm trong đoạn:
SGK Nâng cũng đề cập đến phương pháp xét độ lệch pha, nhưng vẫn coi biên độ A1 = A2 = A và coi pha ban đầu của sóng tại S1 và S2 bằng φ1 = φ2 = 0.
* Cách giải quyết thứ 2: Xét độ lệch pha
- Để tại M, sóng có biên độ cực đại thì hai sóng tới M phải cùng pha, tức là: 
Ta có : 
Mặt khác, do nên ta suy ra số cực đại là số giá trị của k thỏa:
 	(1)
Biên độ sóng cực đại tại M là AM(max) = A1 + A2.
- Để tại M, sóng có biên độ cực tiểu thì hai sóng tới M phải ngược pha, tức là: 
Ta có: Mặt khác, do nên ta suy ra số cực tiểu là số giá trị của k
 	(2)	
Biên độ sóng cực tiểu tại M là AM(min) = │A1 - A2│
* Nhận xét: So sánh với cách giải quyết thứ nhất, ta thấy cách giải quyết thứ hai với việc xét độ lệch pha sẽ giải được các bài toán trong trường hợp tổng quát một cách nhanh chóng và thuận lợi hơn việc viết phương trình sóng tổng hợp tại M khi biên độ A1 ≠ A2 và φ1≠ φ2 ≠ 0.
Ví dụ 1: Ở bề mặt một chất lỏng có hai nguồn phát sóng kết hợp S1 và S2 cách nhau 20cm. Hai nguồn này dao động theo phương trẳng đứng với phương trình lần lượt là u1 = 5cos(40πt + π/3) (mm) và u2 = 5cos(40πt - π/2) (mm). Tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 80 cm/s. Tính số điểm dao động với biên độ cực đại và cực tiểu trên đoạn thẳng S1S2. 	[8]	
Giải:
Ta có bước sóng : cm.
Gọi M là điểm trên S1S2, cách S1S2 các đoạn d1 và d2. 
Áp dụng công thức (1) và (2) trên ta có :
- Số cực đại trên S1S2 thỏa 
Với ta được: . Có 10 giá trị của k.
Vậy có 10 điểm dao động cực đại trên S1S2.
- Số cực tiểu trên S1S2 thỏa 
Với ta được: . Có 10 giá trị của k.
Vậy có 10 điểm dao động cực tiểu trên S1S2.
Ví dụ 2: Ở mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồn sóng kết hợp S1 và S2 cách nhau 20cm, dao động theo phương thẳng đứng với phương trình u1 = 5cos(40πt + π/3) (mm) và u2 = 7cos(40πt - π/2) (mm). Biết tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 30 cm/s. Tính số điểm dao động với biên độ bằng 2 mm trên đoạn thẳng S1S2. [9] 
Giải:
Ta có bước sóng : cm.
Gọi M là điểm trên S1S2, cách S1S2 các đoạn d1 và d2. 
Theo đề bài, ta thấy với biên độ sóng tổng hợp tại M bằng 2 mm thì , nghĩa là biên độ sóng tạ M đạt cực tiểu. Thay cho việc tính số điểm dao động với biên độ bằng 2 mm, ta đi tính số điểm dao động với biên độ cực tiểu trên S1S2.
Dùng phương pháp xét độ lệch pha như trên ta có: 
 Số cực tiểu trên S1S2 thỏa 
Với ta được: . Có 27 giá trị của k.
Vậy có 27 điểm dao động với biên độ 2 mm trên S1S2.
Ví dụ 3: Trong hiện tượng giao thoa sóng nước, hai nguồn S1 và S2 cách nhau 10cm dao động theo phương vuông góc với mặt nước có phương trình u1 = 4cos(20πt - π/6) (mm) và u2 = 8cos(20πt + π/4) (mm). Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 40 cm/s. Xét các điểm trên mặt nước thuộc đường tròn tâm S1, bán kính S1S2, điểm mà phần tử tại đó dao động với biên độ 12 mm cách điểm S2 một đoạn ngắn nhất bằng bao nhiêu?
Giải:
Ta có bước sóng : cm.
* Nhận xét: Ta thấy điểm mà phần tử tại đó dao động với biên độ 12 mm chính là điểm dao động với biên độ cực đại (vì A = A1 + A2 = 4 + 8 = 12 cm). Vì vậy, thay cho việc đi tìm khoảng cách từ điểm mà phần tử tại đó dao động với biên độ 12 mm đến S2, ta đi tìm khoảng cách từ điểm cực đại đến S2.
Trước tiên, ta tìm số cực đại trên S1S2.
Gọi M là điểm trên S1S2, cách S1S2 các đoạn d1 và d2. 
	Số cực đại trên S1S2 thỏa 
Với ta được: . Có 5 giá trị của k.
Tức là có 5 điểm dao động cực đại trên S1S2.
Điểm N trên đường tròn cách S1 và S2 lần lượt và dao động cực đại thỏa mãn .
Để N gần S2 nhất thì k = 2.
Suy ra:	 cm, với 
Vậy ta có khoảng cách ngắn nhất là : cm.
2. Bài toán 2: Tìm số điểm dao động với biên độ cực đại, số điểm dao động với biên độ cực tiểu trong khoảng giữa hai điểm MN bất kỳ
Ta giải quyết bài toán bằng cách xét độ lệch pha như sau:
Vì khi M thuộc MN thì: (lấy dấu bằng nếu tính cả M và N). Coi 
Tương tự như trên ta cũng có: 
- Số điểm cực đại trên MN là số giá trị của k thỏa: 
- Số điểm cực tiểu trên MN là số giá trị của k thỏa: 
Ví dụ 1: Trên mặt chất lỏng có hai nguồn phát sóng kết hợp tại S1, S2 cách nhau 30cm dao động theo phương thẳng đứng có phương trình u1 = 4cos10πt (mm) và u2 = 7cos(10πt + π/6) (mm). Biết tốc độ truyền sóng trên bề mặt chất lỏng là 15 cm/s. Gọi O là trung điểm S1S2. 
a) Tính số điểm dao động cực đại trên đường tròn tâm O và có bán kính 10 cm.
b) Xét trên hình chữ nhật S1ABS2, với S1A = 20 cm. Tính số đường dao động cực đại qua đoạn AB.
c) Trên đường thẳng đi qua S1 và vuông góc với S1S2, hai điểm I và K nằm cùng phía so với S1, cách S1 lần lượt là IS1 = 5 cm và KS1 = 30 cm. Tính số điểm đao động cực tiểu trên đoạn IK.
Giải:
S1
S2
M
N
a) Ta có bước sóng : cm.
Một điểm trên S1S2, cách S1S2 các đoạn d1 và d2. 
Áp dụng công thức (1) trên ta có :
Số điểm cực đại trên MN là số giá trị của k thỏa: 
Với ta được: . Có 13 giá trị của k.
Vậy có 13 điểm dao động cực đại trên đường kính MN của đường tròn, tức là có 26 điểm cực đại trên đường tròn.
	b) Ta có AS1 = 20 cm, AS2 = cm, BS1 = cm và BS2 = 20 cm.
Áp dụng xét độ lệch pha: 
Với ta được: . Có 11 giá trị của k.
Vậy có 11 đường dao động cực đại đi qua AB.
	c) Ta có IS1 = 5 cm, IS2 = cm, KS1 = 30 cm và BS2 = cm.
Áp dụng xét độ lệch pha: Số cực tiểu trên IK thỏa mãn: 
Với ta được: . Có 4 giá trị của k.
Vậy có 4 điểm dao động cực tiểu đi qua IK.
Ví dụ 2: Có hai nguồn dao động kết hợp S1 và S2 trên mặt nước cách nhau 8 cm có phương trình dao động lần lượt là u1 = 2cos(10pt - p/4) (mm) và u2 = 2cos(10pt + p/4) (mm). Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 10 cm/s. Xem biên độ của sóng không đổi trong quá trình truyền đi. Điểm M trên mặt nước cách S1 khoảng S1M = 10 cm và S2 khoảng S2M = 6 cm. Điểm nằm trên đoạn S2M dao động với biên độ cực đại và xa S2 nhất, cách S2 một đoạn bao nhiêu?
Giải:
- Ta có: vuông tại .
- Gọi N là điểm xa nhất trên MS2 mà dao động với biên độ cực đại. Đặt: NS2 = x (x > 0).
- Độ lệch pha của hai sóng:
+ Tại M: .
+ Tại N: . 
Do N dao động với biên độ cực đại nên (). 
Do N gần M nhất nên (dao động tại N nhanh pha hơn tại M). Do đó: 
Vậy điểm N xa S2 nhất, cách S2 một đoạn bằng 3,07 cm.
3. Bài toán 3: Tìm số điểm dao động với biên độ AM bất kì (Amin < AM < Amax) trên S1S2 hoặc trên MN. 
Để giải bài toán này, ta cũng xét độ lệch pha như sau: 
Vì dao động tại M là sự tổng hợp của hai dao động từ S1 và S2 gửi tới nên ta áp dụng công thức tính biên độ trong dao động tổng hợp:
Với tính như trên. 
Biết AM, A1 và A2 thay vào công thức trên, sau đó rút 
Cho biến thiên như bài toán 1 và 2 ta được giá trị của k cần tìm chính là số điểm dao động với biên độ AM trên S1S2 hoặc MN.
Ví dụ 1: Ở mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồn kết hợp S1, S2 cách nhau 10 cm, dao động theo phương thẳng đứng với phương trình lần lượt là u1 = 3cos(40pt + p/6)cm và  u2 = 4cos(40pt + 2p/3) (cm). Cho biết tốc độ truyền sóng là 40 cm/s. Một đường tròn có tâm là trung điểm của S1S2, nằm trên mặt nước, có bán kính R = 4 cm. Giả sử biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền sóng. Tính số điểm dao động với biên độ 5 cm có trên đường tròn.
Giải: 
Ta có bước sóng : cm.
Gọi M là điểm trên S1S2, cách S1S2 các đoạn d1 và d2. 
Áp dụng công thức độ lệch pha trên ta có:
Biên độ trong dao động tổng hợp tại M:
Thay AM = 5 cm, A1 = 3 cm và A2 = 4 cm vào trên ta được : 
Kết hợp với độ lệch pha trên ta rút ra: (cm)
+ Số điểm có biên độ 5cm trên đoạn thẳng là đường kính vòng tròn trên AB là:
-8 £ d2 - d1 £ 8 => => 17 điểm (tính cả biên) 
=> 15 điểm không tính 2 điểm biên 
Vậy số điểm trên vòng tròn bằng 15.2 + 2 =  32 điểm. 
Ví dụ 2: Trên mặt nước