SKKN Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán xác suất từ đó vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản và quy tắc tính xác suất để tìm xác suất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH BÀI TOÁN XÁC SUẤT TỪ ĐÓ VẬN DỤNG HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN VÀ QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ TÌM XÁC SUẤT
 Người thực hiện: Lê Văn Thượng
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác: Trường THPT hiệu Hóa
 SKKN thuộc lĩnh vực: Toán
THANH HÓA NĂM 2019
Mục lục
Phần I. Mở đầu.............................................................................................trang 3
Lí do chọn đề tài...........................................................................................trang 3
Mục đích nghiên cứu....................................................................................trang 3
Đối tượng nghiên cứu...................................................................................trang 4
Phương pháp nghiên cứu..............................................................................trang 4
Phần II. Nội dung.........................................................................................trang 5
Cơ sở lí luận.................................................................................................trang 5
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến...........................................trang 6
Giải pháp thực hiện: Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán xác suất từ đó vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản và quy tắc tính xác suât để tìm xác suất........trang 7
Tính xác suất bằng định nghĩa.....................................................................trang 7
Áp dụng quy tắc tính xác suất để tính xác suất............................................trang 9
Bài tập tổng hợp.........................................................................................trang 13
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.........................................................................trang 22
Phần III. Kết luận và kiến nghị..................................................................trang 24
Bài tập kiến nghị........................................................................................trang 26
Tài liệu tham khảo......................................................................................trang 29
Phần I : MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích 11 ở chương II đề cập đến chủ đề: Tổ hợp - xác suất. Để có thể giải quyết được các bài toán Tổ hợp - xác suất học sinh phải nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản, các quy tắc tính xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vào những tình huống cụ thể. 
Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 và ôn tập cho hoc sinh thi THPT quốc gia tôi nhận thấy nhiều em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản của xác suất như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,Đặc biệt trong bài toán tính xác suất theo định nghĩa các em chưa nắm rõ được biến cố và tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố, chưa biết cách phân chia tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố thành nhiều nhóm kết quả thuận lợi sao cho việc đếm các kết quả thuận lợi dễ dàng hơn, chưa biết cách phân tích một biến cố thành hợp các biến cố xung khắc hoặc giao các biến cố độc lập từ đó vận dụng linh hoạt các quy tắc để tính xác suất.
	Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt so với các bài toán đại số, giải tích, hình học. Chính vì vậy, đứng trước một bài toán xác suất học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong vẫn băn khoăn cũng không dám chắc mình đã làm đúng hay chưa. Để giúp học sinh nắm rõ bài toán xác suất tôi đã chọn đề tài: Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán xác suất từ đó vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản và quy tắc tính xác suất để tìm xác suất.. 
1.2. Mục đích 
	Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết bài toán xác suất trong nhiều tình huống khác nhau và giúp các em học sinh lơp 12 ôn tập tốt phần xác suất.
1.3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 
	- Khách thể: Học sinh khối 11 và học sinh ôn thi cuối khóa trường THPT Thiệu Hóa. 
	- Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất, các bài toán xác suất. 
	- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương trình SGK cơ bản và nâng cao môn toán lớp 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học 
 Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh. 
Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải
quyết các bài toán xác suất trước và sau khi được học phương pháp phân tích này. 
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
	Tập trung phân tích các bài tập tổng hợp nâng cao phổ biến trong các kì thi học sinh giỏi tỉnh, trong kì thi THPT quốc gia.
PHẦN II: NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
1) Hai quy tắc đếm cơ bản ( quy tắc cộng và quy tắc nhân)
2) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà: 
- Không đoán trước được kết quả của nó.
- Có thể xác định được tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.
Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. Không gian mẫu của phép thử kí hiệu là .
3) Biến cố 
Biến cố là một sự kiện liên quan đến phép thử mà việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố phụ thuộc vào kết quả của phép thử.
Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C, và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con. Tập mô tả cho biến cố A là tập các kết quả thuận lợi cho biến cố A.
Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:
- Tập được mô tả cho biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không). 
- Tập được mô tả cho biến cố chắc chắn.
Phép toán trên biến cố
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử T và các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
- Cho hai biến cố A và B. Biến cố “ A hoặc B xảy ra” kí hiệu , được gọi là hợp của hai biến cố A và B và được mô tả bởi tập .
- Cho hai biến cố A và B. Biến cố “ A và B cùng xảy ra” kí hiệu , được gọi là giao của hai biến cố A và B và được mô tả bởi tập .
- Biến cố A không xảy ra gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A. Và A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
- Nếu thì ta nói A và B là xung khắc.
- Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay 
không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
4) Định nghĩa cổ điển của xác suất 
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử T có một số hữu hạn kết quả và đồng khả năng, kí hiệu là số phần tử của tập X . Ta gọi tỉ số là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A). Vậy .
5) Tính chất của xác suất:
a) Tính chất cơ bản: 
P() = 0 
P() = 1
 0 P (A) 1 với mọi biến cố A.
P () = 1- P(A) 
b) Quy tắc cộng xác suất
Nếu A và B xung khắc thì: 
Với mọi biến cố A và B bất kì ta có:
c) Quy tắc nhân xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập khi đó ta có: 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 và ôn tập cho hoc sinh thi THPT quốc gia tôi nhận thấy nhiều em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản của xác suất như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,Đặc biệt trong bài toán tính xác suất theo định nghĩa các em chưa nắm rõ được biến cố và tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố, chưa biết cách phân chia tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố thành nhiều nhóm kết quả thuận lợi sao cho việc đếm các kết quả thuận lợi dễ dàng hơn, chưa biết cách phân tích một biến cố thành hợp các biến cố xung khắc hoặc giao các biến cố độc lập từ đó vận dụng linh hoạt các quy tắc để tính xác suất.
	Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt so với các bài toán đại số, giải tích, hình học. Chính vì vậy, đứng trước một bài toán xác suất học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong vẫn băn khoăn cũng không dám chắc mình đã làm đúng hay chưa.
2.3. HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH BÀI TOÁN XÁC SUẤT TỪ ĐÓ VẬN DỤNG HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN VÀ QUY TẮC TÍNH XÁC SUÁT ĐỂ TÌM XÁC SUẤT
1. Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển của xác suất. 
Xác suất của biến cố A là: . 
Như vậy bản chất của việc tính xác suất của biến cố A là việc đếm số phần tử của phép thử ngẫu nhiên và số kết quả thuận lợi cho biến cố A. Chính vì vậy các em học sinh cần nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản và biết cách phân tích biến cố hay sự kiện hay công việc cần thực hiện thành các phương án, trong mỗi phương án lại được thực hiện theo các công đoạn từ đó tìm ra các bước giải bài toán.
Bài toán 1. Gieo ba đồng xu cân đối và đồng chất như nhau. Tìm xác suất của các biến cố sau:
	a) Có đúng hai mặt sấp xuất hiện.
	b) Có ít nhất một mặt sấp xuất hiện.
	c) Có nhiều nhất một mặt sấp xuất hiện.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Thực chất của bài toán là đếm số kết quả có thể xảy ra của phép thử gieo ba đồng xu cân đối đồng chất và đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố.
Ta kí hiệu S là mặt sấp xảy ra , N là mặt ngữa xảy ra. Các khả năng xảy ra là: đó là các khả năng: .
a) Gọi A là biến cố có đúng hai mặt sấp xuất hiện. Số kết quả thuận lợi cho A là 3 gồm NSS; SNS; SSN . Vậy 
b) Gọi B là biến cố có ít nhất một mặt sấp xuất hiện. Số kết quả thuận lợi cho B là gồm hai sấp NSS; SNS; SSN , một sấp SNN; NSN; NNS và ba sấp SSS. Vậy .
Nhậ xét: Ta có thể đếm phần bù là suy ra 
a) Gọi C là biến cố có nhiều nhất một mặt sấp xuất hiện. Số kết quả thuận lợi cho C là gồm SNN; NSN; NNS và NNN. Vậy 
Bài toán 2. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất như nhau. Tìm xác suất của các biến cố sau:
	a) Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là 8.
	b) Số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là bằng nhau.
	c) Tích số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là số chẵn.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Thực chất của bài toán là đếm số kết quả có thể xảy ra của phép thử gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất và đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố.
Các khả năng xảy ra là: đó là các khả năng : 
a) Xét biến cố A: tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.
Tập các kết quả thuận lợi của A : suy ra . Vậy 
b) Gọi B là biến cố số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là bằng nhau. Ta có: suy ra .
 Vậy .
c) Gọi C là biến cố tích số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là số chẵn. 
Trong trường hợp này ta có thể liệt kê được tất cả các kết quả thuận lợi của C là 27 kết quả. Vậy . 
Nhận xét: Tuy nhiên nếu ta đếm tích số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là số lẻ thì có kết quả đó là:
. 
	Suy ra . Cách đếm này thuận lợi hơn.
Bài toán 3. Một hộp đựng 9 thẻ có đánh số 1, 2, 3,..., 9 trên đó.Bốc ngẫu nhiên ba thẻ. Tìm xác suất để ba thẻ thu được có:
	a) Tổng số ghi trên ba thẻ là số chẵn.
	b) Tích số ghi trên ba thẻ là số chẵn.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Mỗi phần tử của không gian mẫu là một tập con ba phần tử của tập chín phần tử, nên số phần tử của không gian mẫu là .
	a) Gọi A là biến cố tổng số ghi trên ba thẻ là số chẵn. Mỗi kết quả thuận lợi của A sẽ là hai thẻ lẻ và một thẻ chẵn hoặc ba thẻ chẵn nên số kết quả thuận lợi của A là .
Vậy xác suất của biến cố A là .
b) Gọi B là biến cố tích số ghi trên ba thẻ là số chẵn. Mỗi kết quả thuận lợi của B sẽ là một thẻ chẵn hai thẻ lẻ, hai thẻ chẵn một thẻ lẻ hoặc ba thẻ chẵn nên số kết quả thuận lợi của A là .
Vậy xác suất của biến cố A là .
Nhận xét: Tuy nhiên nếu ta đếm phần bù là tích số ghi trên ba thẻ là số lẻ thì có kết quả. 
	Suy ra . Cách đếm này thuận lợi hơn.
Bài toán 4: Một đội thanh niên tình nguyện gồm 8 người, trong đó có An và Bình. Người ta phân một cách ngẫu nhiên thành hai nhóm mỗi nhóm 4 người. Tính xác suất để An và Bình thuộc cùng một nhóm.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
	Không gian mẫu là tập hợp tất cả các cách phân chia 8 người thành hai nhóm, mỗi nhóm 4 người. Mỗi cách phân nhóm lại cho ta hai nhóm. Nên số cách phân nhóm là .
	Gọi A là biến cố " An và Bình thuộc cùng một nhóm" . Số kết quả thuận lợi của A là số cách phân nhóm sao cho An và Bình thuộc cùng một nhóm. Nên số kết quả thuận lợi là .
	Vậy .
2. Áp dụng các quy tắc để tính xác suất
 Cần nhấn mạnh rằng:
Nếu A và B xung khắc thì: 
Nếu A và B độc lập khi đó ta có: 
Với mọi biến cố A và B bất kì ta có: 
Bài toán 5: Một hộp đựng 18 viên bi cùng kích thước và chất liệu trong đó có 5 bi trắng, 6 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để:
	a) Bốn bi lấy ra cùng màu.
	b) Bốn bi lấy ra có đủ ba màu.
Phân tích để giúp học sinh đưa ra nhận xét: Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của biến cố A chia thành nhiều nhóm kết quả ta có thể coi biến cố A là biến cố hợp của các biến cố A1 , , An xung khắc tương ứng. Sau đó sử dụng quy tắc cộng xác suất để tính xác suất của biến cố A.
 Trong bài này không gian mẫu gồm phần tử.
Gọi A là biến cố lấy được 4 bi cùng màu.
Gọi là biến cố 4 bi lấy ra cùng màu trắng, khi đó 
Gọi là biến cố 4 bi lấy ra cùng màu xanh, khi đó 
Gọi là biến cố 4 bi lấy ra cùng màu đỏ, khi đó 
 Các biến cố , , là các biến cố xung khắc từng đôi một và 
Vậy xác suất để bốn bi lấy ra cùng màu là: 
.
	b) Gọi B là biến cố lấy được 4 bi có đủ ba màu.
Gọi là biến cố 4 bi lấy ra có hai bi màu trắng, một bi xanh, một bi đỏ. Ta có .
Gọi là biến cố 4 bi lấy ra có hai bi màu xanh, một bi trắng, một bi đỏ. Ta có 
Gọi là biến cố 4 bi lấy ra có hai bi màu đỏ, một bi xanh, một bi trắng. Ta có 
Các biến cố , , là các biến cố xung khắc từng đôi một và 
Vậy xác suất để bốn bi lấy ra có đủ ba màu là: 
.
Bài toán 6. Có hai hộp chứa các quả cầu cùng kích thước. Hộp thứ nhất chứa 7 quả trắng và 2 quả đen. Hộp thứ hai chứa 6 quả trắng và 3 quả đen. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả cầu. Tính xác suất để lấy được:
	a) Hai quả cầu trắng.
	b) Hai quả cùng màu.
	c) Hai quả cầu khác màu.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Việc lấy mỗi bình một quả cầu là độc lập với nhau và để lấy được hai quả cầu có màu quy định thì ở mỗi bình phải lấy một quả có màu sao cho hai quả lấy ra phải được màu quy định đó. Điều này khiến chúng ta phải vận dụng quy tắc nhân cho giao các biến cố độc lập và quy tắc cộng cho hợp các biến cố xung khắc. 
Cụ thể trong bài này ta tiến hành như sau:
Gọi lần lượt là các biến cố lấy được cầu trắng từ hộp thứ nhất và hộp thứ hai. Gọi lần lượt là các biến cố lấy được cầu đen từ hộp thứ nhất và hộp thứ hai. Các biến cố trên đều độc lập với nhau. 
Ta có: .
Gọi A, B, C lần lượt là biến cố lấy được hai quả màu trắng, hai quả cùng màu và hai quả khác màu. Khi đó ta có: .
a) Xác suất lấy được hai quả cầu trắng là: .
b) Xác suất lấy được hai quả cầu cùng màu là: 
 .
c) Xác suất lấy được hai quả khác màu là: 
 .
Bài toán 7. Chọn ngẫu nhiên một vé số có năm chữ số từ 0 đến 9. Tìm xác suất để số trên vé không có mặt chữ số 1 hoặc không có chữ số 5.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Khi chọn ngẫu nhiên một vé số có 5 chữ số từ 0 đến 9, ta có các khả năng có thể xảy ra là .
Gọi A là biến cố chọn được vé số mà số trên vé không có mặt chữ số 1 hoặc không có chữ số 5. Khi đó .
Vậy .
Nhận xét: Trong bài này nếu ta gọi là biến cố không có chữ số 1 và là biến cố không có chữ số 5. Thì ta có và 
Từ đó 
Bài toán 8. Xạ thủ A bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của A trong một lần bắn là . Xạ thủ B bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của B trong một lần bắn là . Tính xác suất để mục tiêu không trúng đạn
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Gọi A1 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ nhất thì 
Gọi A2 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ hai thì . A1, A2 là độc lập 
 là biến cố A bắn trượt cả hai lần bắn. Ta có: 
 là biến cố B bắn trượt cả ba lần bắn. Ta có: 
 . 
 A, B là độc lập và là biến cố mục tiêu không trúng đạn. Ta có:
Từ đó giúp học sinh đưa ra nhận xét: Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của biến cố A phải đồng thời thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác nhau ta có thể coi biến cố A là biến cố giao của các biến cố A1,..., An độc lập tương ứng. Sau đó sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất của biến cố A.
Bài toán 9: Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25. Lớp học không đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng cháy. Tính xác suất dể lớp học không đủ ánh sáng.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25, mỗi bóng có xác suất sáng là 0,75
Gọi A1 là biến cố 4 bóng cháy 2 bóng sáng, A1 là biến cố hợp của biến cố con, 
Gọi A2 là biến cố 5 bóng cháy 1 bóng sáng, A2 là biến cố hợp của biến cố con,
Gọi A3 là biến cố 6 bóng cháy 
 là biến cố lớp học không đủ ánh sáng. 
Vậy xác suất dể lớp học không đủ ánh sáng là: 
Bài toán 10: Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008; xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15; xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Theo bài ra thì xác suất trúng vòng 10 là 0,2; xác suất trúng vòng 9 là 0,25
Gọi A1 là biến cố 1 viên 10, 2 viên 9, A1 là biến cố hợp của biến cố con, 
Gọi A2 là biến cố 2 viên 10, 1 viên 9, A2 là biến cố hợp của biến cố con, 
Gọi A3 là biến cố 2 viên 10, 1 viên 8, A3 là biến cố hợp của biến cố con, 
Gọi A4 là biến cố 3 viên 10, 
 là biến cố xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm. Vậy 
Bài toán 11.
Có 2 lô hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Xác suất để được sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là 0,7;0, 8. Hãy tính xác suất để:
Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt.
Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt.
Hướng dẫn học sinh phân tích: 
Đây là bài toán cho trước xác suất nên chắc chắn ta phải sử dụng phép toán tính xác suất để giải quyết. Biến cố cơ sở sẽ là “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” và “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”
Lời giải:
Gọi biến cố A: “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” 
 B: “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”
Khi đó ta có: P(A) = 0,7 = 1 – 0,7 = 0,3
	 P(B) = 0,8 = 1 – 0,8 = 0,2 
Gọi X là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có 
chất lượng tốt”. Suy ra X=AB
Do hai biến cố A,B là độc lập nên ta có
 PX=PAPB=0,06 ⇒PX=1-PX=0,94
Gọi Y là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng một sản phẩm có 
chất lượng tốt”. Suy ra 
Do xung khắc và biến cố và B; A và độc lập nên ta có:
3. Bài tập tổng hợp vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản và quy tắc tính xác suất.
	Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh thường gặp kho khăn hơn ở bài toán tính xác suất bằng định nghĩa và thường gặp khó khăn ở đếm các kết quả thuận lợi cho những biến cố phức tạp. Các em thường chưa biết cách phân tích để chia tập các kết quả thuận lợi cho biến cố thành nhiều tập hợp con các kết quả thuận lợi. 
	Giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh xem bài toán xác suất dạng này như là tìm tỉ số giữa các sản phẩm thỏa mãn yêu cầu với toàn thể sản phẩm tạo ra. Khi đó bài toán được tiến hành như sau:
Bước 1. Cần xác định các nguyên liệu để tạo ra sản phẩm, các công đoạn tạo ra một sản phẩm. Từ đó vận dụng quy tắc đếm cơ bản để đếm tổng số sản phẩm có thể tạo ra được.
Bước 2. Cần xác định các nguyên liệu để tạo ra sản phẩm thỏa mãn yêu cầu.
Bước 3. Cần phân tích sản phẩm đạt yêu cầu có thể được phân chia thành những nhóm sản phẩm nào.
Bước 4. Cần xác định các công đoạn để tạo ra một sản phẩm trong mỗi nhóm và cách thức tiến hành để tạo ra sản phẩm đó.
Cuối cùng xác định xem cách phân nhóm sản phẩm có tạo ra sản phẩm khác biệt hoàn toàn không hay có sự trùng lặp, nếu trùng lặp thì trùng lặp thế nào. Từ đó vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản để đém tổng số sản phẩm thỏa mãn yêu cầu và tìm xác suất của bài toán.
Bài toán 12. Chọn ngẫu nhiên 5 quâ