SKKN Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số bài toán tính tổng các tổ hợp

I. MỞ ĐẦU
	Trang
1. Lí do chọn đề tài	1
2. Giả thuyết khoa học
3. Mục đích của đề tài
4. Phạm vi nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
II. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng các tổ hợp
11.. Hiểu rõ ý nghĩa của kí hiệu ; nắm vững khai triển nhị thức Niu- tơn , đặc điểm của các số hạng trong khai triển đó.
1.2. Hiểu và vận dụng linh hoạt một số tính chất thường gặp của tổ hợp:
1. 3. Xác định được số hạng tổng quát của tổng
1.4. Giải bài toán theo nhiều cách để so sánh thấy được ưu, nhược điểm của từng cách 
2. Giải pháp tiến hành thực hiện	4
III. BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CÁC TỔ HỢP
1. Tính tổng các tổ hợp dựa vào định nghĩa và tính chất của tổ hợp.	5 - 
1.1 Kiến thức chuẩn bị
1.2. Các ví dụ minh họa
2. Tính tổng các tổ hợp dựa vào khai triển Nhị thức Niu – tơn.
2.1 – Kiến thức chuẩn bị
2.1.1. Chọn hợp lí trong khai triển
1.1.2. Phân tích biến đổi phần tử đại diện 
3. Ứng dụng đạo hàm trong khai triển: 
IV. Bài tập tự luyện
V. THỰC NGHIỆM DỀ TÀI
1. Mục đích thực nghiệm
2. Nội dung thực nghiệm
3. Tổ chức thực nghiệm
KẾT LUẬN
I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Qua những năm giảng dạy môn Toán lớp 11, 12 tại trường THPT Mai Anh Tuấn – Nga Sơn – Thanh hóa, Bản thân nhận thấy các bài toán về tính tổng các tổ hợp là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. trong đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và đề thi học sinh giỏi, dạng toán đó xuất hiện thường xuyên. Mặc dù đây là bài toán cơ bản nhưng đã gây khó khăn cho không ít học sinh vì tính chất khai triển khá phức tạp và việc phân tích, định hướng, lựa chọn hướng giải còn nhiều hạn chế. 
Vậy tôi manh dạn đưa ra phương pháp và cách giải một số bài toán về tính tổng các tổ hợp.
2. Giả thuyết khoa học
Xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa  các bài toán với sự trợ giúp thích hợp sẽ giúp các em nắm bắt được cách giải dạng toán này đồng thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT.
3. Mục đích của đề tài
- Hướng dẫn và phân loại hệ thống các bài tập và xây dựng các phương pháp giải bài toán tính tổng các tổ hợp.
- Rèn luyện các thao tác tư duy, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh THPT.
4. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi nội dung dạy học Đại số và Giải tích lớp 11.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến đề tài.
Nghiên cứu thực tiễn: Tiến hành dự giờ, quan sát, lấy ý kiến của học sinh, giáo viên về thực trạng dạy học chủ đề này tại trường THPT Mai Anh Tuấn.
Thực nghiệm sư phạm:
- Dạy thử nghiệm ở các lớp khối 11 tại trường THPT Mai Anh Tuấn.
- Đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các hệ thống bài tập minh họa cho các phương pháp thông qua điều tra, kiểm tra và bài thu hoạch của học sinh lớp 11.
II. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng các tổ hợp
	Để giải được bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp cần lưu ý cho học sinh lớp 11 một số vấn đề sau:
1.1. Hiểu rõ ý nghĩa của kí hiệu ; nắm vững khai triển nhị thức Niu- tơn , đặc điểm của các số hạng trong khai triển đó.
1.2. Hiểu và vận dụng linh hoạt một số tính chất thường gặp của tổ hợp:
 với 
 với 
 với 
1.3. Xác định được số hạng tổng quát của tổng
a) Nếu số hạng tổng quát chứa tích các tổ hợp ta thường sử dụng 2 khai triển Niu-tơn, xét tích và đồng nhất hoặc sử dụng trực tiếp định nghĩa là số các chọn phần tử trong phần tử (bài toán đếm).
b) Nếu số hạng tổng quát chỉ chứa 1 tổ hợp thì ta thường sử dụng 1 khai triển Niu-tơn.
Khi lựa chọn khai triển phù hợp ta cần chú ý phân tích số hạng chứa tổ hợp ở một số điểm sau:
- Quan sát chỉ số trên của các tổ hợp:
+ Nếu các số hạng chứa các tổ hợp có chỉ số trên là các số tự nhiên liên tiếp, chỉ số dưới là không đổi thì ta thường sử dụng khai triển đầy đủ của nhị thức Niu – tơn.
+ Nếu chỉ số trên là các số tự nhiên hơn kém nhau 2 đơn vị và các số hạng không đổi dấu ta thường sử dụng kết hợp hai khai triển Niu – tơn và .
+ Nếu chỉ số trên là các số tự nhiên hơn kém nhau 2 đơn vị và các số hạng đổi dấu ta phải sử dụng số phức trong khai triển liên quan đến .
+ Nếu các chỉ số trên là các số tự nhiên hơn kém nhau 3 đơn vị, 4 đơn vị, 5 đơn vị,... ta sử dụng số phức trong khai triển. Khi đó cần nắm được tính chất sau về số phức
Nếu , với . Khi đó, 
Với , thì 
Với , thì 
Vì 
- Quan sát hệ số đứng trước các tổ hợp:
+ Nếu hệ số đứng trước các tổ hợp là lũy thừa của các số tự nhiên (nghĩa là chỉ xuất hiện dạng ) thì ta sử dụng trực tiếp khai triển với lựa chọn hợp lí.
+ Nếu hệ số đứng trước các tổ hợp xuất hiện các số tự nhiên liên tiếp tăng dần, hoặc tích các số tự nhiên liên tiếp (nhưng không thay đổi về số mũ) (Ví dụ: ...) ta sử dụng tính chất với để biến đổi đưa về dạng khai triển hoặc sử dụng đạo hàm cấp 1, 2 tương ứng phù hợp.
+ Nếu hệ số đứng trước các tổ hợp xuất hiện các số hữu tỉ (không có dạng lũy thừa, không phải số nguyên) (Ví dụ: ; ; ;...) ta sử dụng tính chất với để biến đổi đưa về dạng khai triển hoặc sử dụng tích phân 
- Quan sát chỉ số dưới của các tổ hợp
+ Nếu chỉ số dưới của tổ hợp không thay đổi thì đó là số mũ trong khai triển nhị thức.
+ Nếu trong số hạng có tổ hợp mà chỉ số dưới thay đổi, ta cần khai triển tường minh công thức số hạng tổng quát đó để qui về các tổ hợp có chỉ số dưới không thay đổi.
1.4. Giải bài toán theo nhiều cách để so sánh thấy được ưu, nhược điểm của từng cách giải (Ví dụ như ở đây trong các bài toán sử dụng phương pháp đạo hàm, tích phân thì học sinh có thể dễ dàng sáng tạo ra các bài toán mới). 
2. Giải pháp tiến hành thực hiện
Lựa chọn bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh, từng thời điểm khác nhau 
Hướng dẫn học sinh phân tích, định hướng, lựa chọn hướng giải khi gặp dạng toán trên
+ Dựa vào định nghĩa và tính chất của tổ hợp.
+ Dựa và khai triển Nhị thức Niu – tơn.
Tổ chức, hướng dẫn học sinh hoạt động nhóm, các nhóm tự đề xuất đưa ra các bài tập tương tự và nêu cách giải trong quá trình học chủ đề này.
III. BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CÁC TỔ HỢP
1. Tính tổng các tổ hợp dựa vào định nghĩa và tính chất của tổ hợp.
1.1 Kiến thức chuẩn bị
- Định nghĩa tổ hợp: Cho tập hợp gồm phần tử và . Mỗi một tập con có phần tử của được gọi là một tổ hợp chập của phần tử của .
- Số tổ hợp chập của phần tử của là 
Qui ước: 
- Tính chất cơ bản của tổ hợp
+ Cho số nguyên dương và số nguyên với . Khi đó 
+ (Hằng đẳng thức Pascal): Cho số nguyên dương và số nguyên với . Khi đó 
1.2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức , với .
Hướng dẫn
Cách 1. (Sử công thức khai triển tường minh đối với tổ hợp)
Cách 2. Sử dụng tính chất tổ hợp (hằng đẳng thức Paxcal)
Cách 3. 
Trước hết ta để ý hệ số đứng trước trước các tổ hợp lần lượt là 1, 2, 1 có thể viết lại dưới dạng .
Vậy 
 Xét hai tập và không giao nhau, tập có phần tử, tập có 2 phần tử. Đặt . Khi đó chính là số cách chọn của tập , nên .
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức , với là số nguyên dương và .
Hướng dẫn
Cách 1. (Sử công thức khai triển tường minh đối với tổ hợp)
Cách 2. (Sử dụng hằng đẳng thức Pa – xcan, trước khi sử dụng khai triển tường minh)
2. Tính tổng các tổ hợp dựa vào khai triển Nhị thức Niu – tơn.
2.1 – Kiến thức chuẩn bị
Sử dụng khai triển Nhị thức Niu – tơn để tính tổng các tổ hợp cần lưu ý một số điểm sau:
2.1.1. Chọn hợp lí trong khai triển: 
 sẽ cho ta các đẳng thức tổ hợp. 
1.1.2. Phân tích biến đổi phần tử đại diện (số hạng tổng quát trong tổng) để đưa tổng cần tính về dạng cơ bản của khai triển nhị thức Niu – tơn.
3. Ứng dụng đạo hàm trong khai triển: Với một số bài toán tính tổng mà các số hạng không có dạng mà có xuất hiện thêm hệ số tự nhiên (không phải lũy thừa) thì ta phải sử dụng đạo hàm kết hợp với khai triển nhị thức Niutơn. Việc sử dụng đạo hàm (cấp 1 hoặc cấp 2) của khai triển nhị thức Niutơn nào hoàn toàn phụ thuộc vào tính chất số hạng trong tổng cần tính. Trong đó đặc biệt chú ý đến hệ số tự nhiên (không phải lũy thừa) và hệ số tổ hợp tương ứng.
Thông thường ta áp dụng khai triển
.
Với số hạng có lũy thừa thì , tức là sau khi đạo hàm cấp 1 ta được hệ số tự nhiên là tương ứng với hệ số tổ hợp . Nếu hệ số tự nhiên tương ứng với là thì ta phải tạo ra lũy thừa bằng cách nhân hai vế với trước khi đạo hàm. Ngoài ra, nếu hệ số tự nhiên là tích của hai số thì ta áp dụng đạo hàm cấp hai.
4 – Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính .
Phân tích: Các số hạng trong tổng đều có dạng với . Vì vậy, ta xét khai triển với .
Đáp số: 
Ví dụ 2: Tính .
Phân tích: Các số hạng trong tổng đều có dạng với . Vì vậy, ta xét khai triển với .
Đáp số: 
Ví dụ 3: Tính .
Phân tích: Các số hạng trong tổng đều có dạng với . Vì vậy, ta xét khai triển với .
Đáp số: 
Ví dụ 4: Tính 
Phân tích: Các số hạng trong tổng đều có dạng với . Vì vậy, ta xét khai triển với .
Đáp số: 
Ví dụ 5: Tính 
Phân tích: Các số hạng trong tổng đều có dạng với . Vì vậy, ta xét khai triển với .
Đáp số: 
Nhận xét: Qua các ví dụ trên thấy
Hệ số đứng trước các tổ hợp là các lũy thừa của một hoặc hai cơ số được viết dưới dạng tăng hoặc giảm về số mũ.
Chỉ số trên là các số tự nhiên liên tiếp tăng dần.
Chỉ số dưới của các tổ hợp quyết định số mũ trong khai triển nhị thức.
Nếu chỉ số trên hơn kém nhau 2 đơn vị (nghĩa là chỉ chứa chỉ số trên là số lẻ hoặc chẵn) thì xét thêm một tổng mới (chỉ chứa chẵn hoặc lẻ) để được 1 tổng đủ của khai triển Niu – tơn.
Vì vậy, chỉ cần hướng dẫn học sinh lựa chọn hợp lí trong công thức khai triển nhị thức Niu-tơn là giải quyết được bài toán và đưa ra các bài toán tương tự.
IV. Bài tập tự luyện
Bài tập 1. Tính tổng .
Bài tập 2. Tính tổng .
HD: Sử dụng đồng thời đạo hàm và phương pháp đồng nhất hệ số.
Bài tập 3. Tính tổng
.
Bài tập 4. Tính tổng .
Bài tập 5. (ĐHKA.2005)
Tìm số nguyên dương sao cho
.
( là số tổ hợp chập của phần tử).
HD: Xét .
Bài tập 6. Cho khai triển 
Tính tổng .
Hướng dẫn
Từ khai triển trên lần lượt cho ta được 
Cộng từng vế hai đẳng thức trên và chia cả hai vế cho 2 ta được
.
Bài tập 7. Xét khai triển: . 
Tính .
Hướng dẫn
Ta có 
Suy ra 
.
Bài tập 8. (Trích đề thi HSG lớp 12 tỉnh Bắc Ninh năm học 2013 – 2014)
Tính tổng .
Bài tập 9. Tìm số nguyên dương thỏa mãn .
Bài tập 10. Tính tổng với .
Bài tập 11. Tính tổng 
V. THỰC NGHIỆM ĐỀ TÀI
1. Mục đích thực nghiệm
	Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của một số hệ thống câu hỏi và bài tập được xây dựng nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh.
2. Nội dung thực nghiệm
Dạy thử nghiệm một số hệ thống câu hỏi và bài tập đã xây dựng theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, tạo hứng thú để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa  từ đó bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh 11.
3. Tổ chức thực nghiệm
Thiết kế phiếu học tập cho một tiết dạy minh họa:
Phiếu học tập số 1
Viết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ?
Em hãy chọn hợp lí trong công thức khai triển trên để tính các tổng sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
Tìm tòi, mở rộng (Phiếu học tập số 1)
GV: Yêu cầu học sinh nhận xét về hệ số đứng trước các tổ hợp của các số hạng trong tổng cần tính?
HS: Hệ số là các lũy thừa với số mũ tự nhiên tăng dần hoặc giảm dần.
GV: Bằng cách chọn trong khai triển
Em hãy đưa ra các bài toán ở dạng chứng minh đẳng thức tổ hợp.
GV: Yêu cầu học sinh nhận xét về chỉ số trên của các tổ hợp trong các tổng từ ?
HS: Chỉ số trên là các số tự nhiên liên tiếp tăng dần.
GV: Với cách chọn hợp lí trong khai triển, em có thể tính được các tổng sau không?
Phiếu học tập số 2
Cho 
Với cách chọn tương tự như Phiếu học tập số 1, em có thể tính được không?
Sử dụng đạo hàm trong khai triển Niu-tơn để tính tổng .
Một học sinh nhận xét rằng số hạng tổng quát trong tổng có dạng với và ta có thể sử dụng công thức (1) với để tính . Theo em nhận xét đó có đúng không? Nếu đúng em hãy chứng minh công thức (1) và vận dụng nó để tính . 
Em hãy sử dụng công thức với để tính tổng .
Tìm tòi, mở rộng (Phiếu học tập số 2)
GV: Tương tự, yêu cầu học sinh chứng minh đẳng thức sau:
GV: Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa hệ số và chỉ số trên của các tổ hợp trong tổng ?
HS: Hệ số bằng chỉ số trên của các tổ hợp trong tổng ?
GV: Qua cách tính tổng nhờ sử dụng đạo hàm, em có thể đưa ra một ví dụ về tổng tương tự như mà có hệ số hơn chỉ số trên của các tổ hợp đơn vị? 
HS: Tính , ở đây ta có thể chọn cụ thể.
GV: Sử dụng đạo hàm cấp hai đối với khai triển nhị thức hãy tính tổng
GV: Sử dụng đạo hàm cấp 3 đối với khai triển nhị thức , tính tổng 
GV: Nhấn mạnh về cách sử dụng công thức (1) với 
	+ Ta thấy sau khi sử dụng công thức (1) thì mỗi số hạng trong tổng sẽ có hệ số đứng trước các tổ hợp là một hằng số không đổi, do đó bài toán đưa về dạng tính tổng các tổ hợp trong Phiếu học tập số 1.
+ Áp dụng liên tiếp hai lần công thức ta có 
	Từ đó tính được tổng 
	+ Sử dụng linh hoạt công thức , tính tổng 
	+ Sử dụng linh hoạt công thức , chứng minh đẳng thức
GV: Qua các cách giải trên ta thấy, điểm mạnh của cách giải theo đạo hàm có thể giúp ta sáng tạo ra các bài toán mới. 
Tìm tòi, mở rộng: Hướng dẫn HS về tiếp tục phát triển bài toán theo hướng của Phiếu học tập số 2
Đối tượng thực nghiệm: Học sinh lớp 11 tai trường THPT Mai Anh Tuấn. Số lượng học sinh trong mỗi lớp là 42. Lớp thực nghiệm là 11C, 11M. Trình độ nhận thức ở hai lớp này được đánh giá là tương đương.
Đặc điểm đối tượng thực nghiệm: Là học sinh khu vực nông thôn.
Tiến trình tổ chức thực nghiệm: Tác giả trực tiếp giảng dạy những hệ thống bài tập này tại lớp những lớp 11C, 11M.
4. Đánh giá thực nghiệm
a) Kiểm tra
	Sau khi hoàn thành đợt thực nghiệm sư phạm, để đánh giá kết quả thực nghiệm tác giả đã tiến hành cho học sinh hai lớp 11C, 11M. (được đánh giá là tương đương nhau) làm bài kiểm tra 45 phút. Nội dung đề kiểm tra như sau:
Bài kiểm tra
Thời gian làm bài: 15 phút
Bài 1. 
Bài 2. Tính tổng với a € R.
b) Đánh giá kết quả thực nghiệm
Về thái độ học tập của học sinh
Học sinh rất hứng thú việc học tập theo hướng phát huy tính tích cực, bồi dưỡng năng lực tự học, học sinh là người chủ động lĩnh hội kiến thức. Học sinh đã cuốn hút vào các hoạt động một cách chủ động, tích cực, sáng tạo nhằm lĩnh hội tri thức. Đa số các em nắm vững kiến thức cơ bản và có ý thức hoàn thành hoạt động và công việc mà giáo viên giao cho.
Về kết quả bài kiểm tra
Điểm/Lớp
Yếu
TB
Khá
Giỏi
Đối chứng 11C
21,3%
53,2%
14,9%
10,6%
Thực nghiệm 11M
6,4%
38,3%
34%
21,3%
Phân tích kết quả kiểm tra
Lớp đối chứng có 78,7% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 25,5% đạt khá, giỏi.
Lớp thực nghiệm có 93,6% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó 55,3% đạt khá, giỏi.
	Nhận xét Lớp đối chứng: Khả năng tiếp cận các bài toán có tính tư duy, sáng tạo chưa cao, nhiều em trình bày lời giải còn nhiều thiếu xót.
Lớp thực nghiệm: Khả năng vận dụng linh hoạt hơn, có sự sáng tạo hơn. Một số em trình bày lời giải gọn gàng, rõ ràng, lập luận chặt chẽ. 
Bên cạnh đó, ở cả hai lớp đều có những học sinh chỉ dừng lại ở việc bắt chước một số bài tập mẫu, chưa hiểu rõ bản chất vấn đề và chỉ làm được ý a) trong mỗi bài tập.
VI. KẾT LUẬN
Sáng kiến đã có các kết quả chính sau đây:
1. Sáng kiến đã trình bày việc hưỡng dẫn học sinh giải bài toán tính tổng các tổ hợp.
 2. Kết quả thực nghiệm cho thấy tính khả thi và hiệu quả của sáng kiến. Việc tự giải quyết hệ thống bài tập giúp học sinh hiểu rõ bản chất, phương pháp giải bài toán tính tổng các tổ hợp. Từ đó, học sinh có thể tự xây dựng các bài toán tương tự, hoặc các bài toán mới. Chính điều đó kích thích sự say mê, tìm tòi khám phá, nâng cao năng lực tự học ở mỗi học sinh. Sáng kiến được kết tinh những kinh nghiệm đã được kiểm chứng qua các hoạt động giảng dạy các lớp ôn bồi dưỡng HSG trong nhiều năm và đã đạt được những kết quả đáng khích lệ. 
3. Xây dựng bộ tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh ôn thi ôn thi học sinh giỏi THPT, cũng như các bạn đồng nghiệp. 
Trên đây là báo cáo sáng kiến của tôi được đúc rút trong quá trình học tập và công tác của mình tại trường thpt Mai Anh Tuấn, chắc chắn sẽ có nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý vị và các bạn đồng nghiệp. 
Tôi xin chân thành cảm ơn.
 	Thanh hóa, ngày 22 tháng 05 năm 2018
 Xác nhận của hiệu trưởng 	 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, 
 trường THPT Mai Anh Tuấn không sao chéo nội dung của người khác.
Người viết SKKN
 Lê Thị Liên
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu chuyên toán Giải tích 11, NXBGD.
Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu chuyên toán Bài tập Giải tích 11, NXBGD.
Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Đại số và Giải tích 11_Nâng cao, NXBGD.
Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Bài tập Đại số và Giải tích 11_Nâng cao, NXBGD.
Trần Thị Vân Anh, Phân dạng và phương pháp giải toán Đại số và Giải tích 11, NXBĐHQGHN.
Hồ Sĩ Vinh, Những bài toán chọn lọc Tổ hợp – Xác suất, NXBĐHQGHN.
Nguyễn Quang Sơn, Cẩm nang luyện thị đại học tổ hợp – xác suất, NXBĐHQGHN.
 Ngô Văn Thái (Thái Bình), Nhị thức Niu – tơn với các bài toán bất đẳng thức, Tạp san THTT.
Nguyễn Anh Dũng (Hà Nội), Một số dạng toán sử dụng công thức tổ hợp và nhị thức Niu - tơn, Tạp san THTT.
Tài liệu trên mạng Internet qua một vài trang web sau 
www.mathlinks.ro/
www.toanthpt.net/ 
www.mathvn.com/