SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp tìm nhanh đáp án bài toán trắc nghiệm phần tiếp tuyến của đồ thị hàm số

	 MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Một số phương pháp tìm đáp án bài toán trắc nghiệm về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số để đưa ra lựa chọn đúng
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
II. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trang
2
2
3
3
3
5
5
14
14
15
16
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
	Cách thức thi THPT QG trong năm nay đã có một bước ngoặt mới đó là thi TRẮC NGHIỆM toàn phần. Chia sẻ với báo Thanh niên GS Vũ Hà Văn (ĐH Yale, Mỹ) cho biết: “thi trắc nghiệm đòi hỏi ở thí sinh một số kỹ năng mới, trong đó kỹ năng loại bỏ những lời giải trông quá vô lý cũng quan trọng, vì khi bài toán quá khó, thí sinh phải đoán thì ít nhất cũng tăng được khả năng đoán trúng một cách đáng kể. Các kỹ năng này trong cuộc sống quan trọng không kém kỹ năng giải được bài toán một cách trọn vẹn. Thi trắc nghiệm rất thông dụng ở Mỹ, chẳng những trong những cuộc thi đại trà như SAT, mà cả trong rất nhiều cuộc thi cho học sinh năng khiếu”. Còn GS Hà Huy Khoái (nguyên Viện trưởng Viện Toán học, Viện Hàn lâm khoa học và công nghệ VN), chia sẻ: “Trắc nghiệm có cái lý của nó. Ra đời, người ta thường cần khả năng quyết định nhanh, và gần đúng, hơn là tính rất đúng nhưng quá muộn. Tức là cần khả năng “chọn phương án nhanh” theo kiểu trắc nghiệm”[3].
	Một cái hay của thi trắc nghiệm đó là chúng ta đã có các phương án và chỉ cần chỉ ra được phương án đúng. Tuy nhiên thời lượng tìm ra phương án lựa chọn cho một bài toán lại rất ngắn. Do đó, học sinh cần phải được cung cấp nhiều hơn các kĩ năng tìm được đáp án đúng trong thời gian ngắn nhất.
	Phương trình tiếp tuyến và các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những nội dung quan trọng, thường xuyên có mặt trong các kì thi toán THPT. Các dạng bài toán về tiếp tuyến rất đa dạng và phong phú, đầy đủ cấp độ nhận thức nên đây là một thách thức, khó khăn đối với học sinh. Vì vậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhiều phương pháp giải hơn để tìm đáp án đúng của các dạng bài toán này một cách nhanh nhất có thể.
	Với những lí do đó, bản thân tôi qua thực tiễn giảng dạy môn toán, dự giờ các đồng nghiệp, tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu, tích lũy đã rút ra được kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh một số phương pháp tìm nhanh đáp án bài toán trắc nghiệm phần tiếp tuyến của đồ thị hàm số”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu trong SKKN này là rèn năng lực giải toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho học THPT theo định hướng thi trắc nghiệm thông qua nhiều phương án giải quyết các bài toán cụ thể để lựa chọn ra đáp án đúng nhanh nhất. 
Góp phần nghiên cứu một cách có hệ thống, làm rõ hơn các bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Giúp học sinh có thêm cách giải khác cho nhiều bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số, từ đó lựa chọn cách làm phù hợp với nhận thức của mình.
Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho công tác giảng dạy, ôn luyện THPT QG.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Một số dạng bài toán về tiếp tuyến thường gặp và cách giải của nó.
Các phương pháp tìm nhanh đáp án trắc nghiệm của bài toán tiếp tuyến:
- Lời giải tự luận.
- Lựa chọn đáp án trắc nghiệm bằng phép thử.
- Lời giải tự luận kết hợp máy tính Casio fx 570 – ES.
- Lựa chọn đáp án bằng phép đánh giá.
Sự khác biệt cơ bản giữa bài toán tự luận và bài toán trắc nghiệm.
Tính hiệu quả về mặt thời gian của các phương pháp được áp dụng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết:
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, lý luận dạy học môn toán.
- Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài.	
- Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin qua các tiết giảng dạy và kết quả các bài khảo sát, kiểm tra đánh giá năng lực học sinh.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Kiến thức cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số [1].
	Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm .
	Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có phương trình là . 
2.1.2. Các bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và cách giải tự luận
Cho hàm số có đồ thị (C). Khi đó hãy:
Ø Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại một điểm ?
 Phương pháp giải tự luận:
Tính 
Tính hệ số góc của tiếp tuyến 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm là: 
 Phương pháp tìm đáp án kết hợp máy tính Casio fx 570 – ES [5].
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là:
- Tìm A: Nhập 
- Tìm B: Nhập và bấm CALC với ta được B.
Ø Viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc cho trước?
 Phương pháp giải tự luận 1:
Tính .
Gọi tại đó tiếp tuyến có hệ số góc .
Þ là nghiệm phương trình . Thay vào hàm số Þ 
Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: .
Phương pháp giải tự luận 2:
Đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
Khi đó, nghiệm của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm [2].
Ø Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua một điểm cho trước?
Phương pháp giải tự luận 1:
Gọi là tiếp tuyến với (C) có hệ số góc và đi qua . Gọi tại đó tiếp tuyến có hệ số góc Þ có phương trình: 
Hoành độ tiếp điểm xo và hệ số góc của tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương trình:
Giải hệ phương trình tìm , thay vào (1) ra phương trình tiếp tuyến.
Phương pháp giải tự luận 2:
Giả sử có tiếp tuyến đi qua , tiếp xúc với (C) tại tiếp điểm Þ có phương trình: .
Vì (2) 
Giải phương trình (2) tìm . 
Viết phương trình tiếp tuyến dạng: 
2.1.3. Một số dạng toán điển hình liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tìm hoành độ (hoặc tung độ hoặc tọa độ) tiếp điểm của tiếp tuyến.
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến.
Lập phương tình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm.
Lập phương tình tiếp tuyến khi biết hệ số góc.
Lập phương tình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước.
Tìm điểm kẻ được tiếp tuyến tới đồ thị hàm số.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Khảo sát thực tế cho thấy đa số học sinh rất lúng túng trong quá trình giải các bài toán tiếp tuyến vì các dạng bài toán này là đa dạng và phong phú về cách hỏi, học sinh chưa biết phân tích để tìm ra bản chất và vận dụng kiến thức một cách thích hợp.
 Các em còn chưa vững về kiến thức tiếp tuyến, sự phân biệt giữa tiếp tuyến tại một điểm hay đi qua một điểm đôi khi còn nhầm lẫn, hay các cách hỏi khác nhau của cùng bản chất một bài toán cũng đã làm các em bối rối. 
Thời lượng mà phân phối chương trình dành cho tiếp tuyến là rất ít, các bài toán trong SGK thì thường đơn hơn nhiều so với sự đa dạng của các bài toán trong đề thi thực tế; học sinh còn mất nhiều thời lượng để tìm ra đáp án đúng cho một bài toán, không đủ thời gian để hoàn thành bài thi. 
2.3. Một số phương pháp tìm đáp án bài toán trắc nghiệm về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số để đưa ra lựa chọn đúng. 
Bài 1. Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm 
A. 
B. 
C. 
D. 
Đáp án trắc nghiệm C.
Ø Lời giải tự luận: Ta có . 
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A là: .
Do đó, đáp án cần lựa chọn là C.
Ø Lựa chọn đáp án bằng đánh giá kết hợp sử dụng máy tính Casio fx 570 - ES
Với đường thẳng trong đáp án A, ta thấy đường thẳng không đi qua , nên đáp án A bị loại.
Với đường thẳng trong đáp án B, ta thấy đường thẳng đi qua , nhưng sử dụng máy tính Casio fx 570 - ES kiểm tra phương trình hoành độ giao điểm không có nghiệm bội nên đáp án B bị loại.
Với đường thẳng trong đáp án C, ta thấy đường thẳng đi qua , và sử dụng máy tính Casio fx 570 - ES kiểm tra phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm bội. 
Do đó, đáp án cần lựa chọn là C.
@ Nhận xét: 
Trong giải tự luận chúng ta không nên sử dụng phương pháp nghiệm bội cho tiếp tuyến vì gây tranh cãi trong trường hợp tiếp tuyến tại điểm uốn và một số hàm đặc biệt khác, tuy nhiên trong thi trắc nghiệm, việc kiểm tra đáp án bằng phương pháp nghiệm bội cũng rất hiệu quả.
Trong trường hợp khi biết hoành độ (hoặc tung độ) tiếp điểm ta tìm yếu tố còn lại và làm tương tự như trên.
Bài 2. Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ .
A. 
B. 
C. 
D. 
Đáp án trắc nghiệm D.
Ø Lời giải tự luận: Ta có: 
. 
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A là: .
Do đó, đáp án cần lựa chọn là D.
Ø Lựa chọn đáp án bằng phương pháp sử dụng máy tính Casio fx 570 - ES
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng là: 
+ Tìm A: Nhập 
+ Tìm B: 
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại là: .
Do đó, đáp án cần lựa chọn là D.	
@ Nhận xét: Việc sử dụng máy tính Casio fx 570 – ES còn rất hiệu quả trong những bài mà hàm số phức tạp. Chẳng hạn: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hàng độ . 
Ta có A= = - 2; B= = 5
Vậy nên phương tình tiếp tuyến là: 
Bài 3.Cho hàm số: . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ bằng ? [1]
A. 
B. 
C. 
D. 
	Đáp án trắc nghiệm B.
Ø Lời giải tự luận 
Ta có . Gọi là hoành độ tiếp điểm Þ ta có .
Với 
Þ Phương trình tiếp tuyến tại là: 
Ø Lời giải tự luận kết hợp phép thử
Với đường thẳng trong đáp án A, sử dụng máy tính Casio fx 570-ES kiểm tra phương trình hoành độ giao điểm không có nghiệm bội nên đáp án A bị loại.
Với đường thẳng trong đáp án B, sử dụng máy tính Casio fx 570-ES kiểm tra phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm bội . Mặt khác khi đó ta được điểm thỏa mãn cả phương trình hàm số và đường thẳng .
Do đó, đáp án cần lựa chọn là C.
@ Nhận xét: 
Qua ví dụ trên cho thấy, một số dạng bài toán làm tự luận thuần túy cũng tương đối nhanh gọn. Tuy nhiên, nếu học sinh nắm vững được kiến thức về tiếp tuyến và các tính chất của tiếp điểm thì có thể kiểm tra bằng phép thử cũng sẽ là một giải pháp tốt.
Bài 4. Cho hàm số có đồ thị là (C). Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng 2 có phương trình là:
A. 
B. 
C. 
D. 
	Đáp án trắc nghiệm D.
Ø Lời giải tự luận 
Ta có . Gọi tọa độ tiếp điểm là . 
Khi đó: 
Þ Phương trình tiếp tuyến là: 
Do đó, đáp án cần lựa chọn là D.
Ø Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá kết hợp phép thử
Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2 nên đáp án B và C bị loại.
Với đường thẳng trong A xét phương trình hoành độ giao điểm: , không có nghiệm kép không phải là phương trình tiếp tuyến Þ Đáp án A bị loại.
Do đó, đáp án cần lựa chọn là D.
@ Nhận xét: 
Trong một số bài toán, để tăng mức độ kiến thức người ta thường phát biểu dưới dạng “Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước hoặc có hệ số góc thỏa mãn điều kiên K nào đó (ví dụ hợp với chiều dương của trục hoành một góc )”.
Cụ thể, nếu hai đường thẳng , có hệ số góc lần lượt là và . Khi đó:
 .
 cắt 
 hợp với một góc thì 
Bài 5. Cho hàm số . Hai tiếp tuyến của song song với đường thẳng tiếp xúc với tại hai điểm . Phương trình đường thẳng là gì?	[4]
A. 
B. 
C. 
D. 
	Đáp án trắc nghiệm C.
Ø Lời giải tự luận 
Ta có . Giả sử là tiếp điểm, khi đó: 
Khi đó, phương trình đường thẳng được cho bởi:
Do đó, đáp án cần lựa chọn là C.
Ø Lời giải tự luận kết hợp phép thử
Ta có . Giả sử là tiếp điểm, khi đó: 
Ta nhận thấy chỉ có phương trình trong C là thỏa mãn tọa độ hai điểm .
Do đó, đáp án cần lựa chọn là C.
Ø Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá
B
A
U
Nhận xét, đường thẳng phải đi qua điểm uốn của đồ thị hàm số.
Ta có .
Suy ra tọa độ điểm uốn là . 
Nhận thấy, tọa độ chỉ thỏa mãn phương trình trong C.
Do đó, đáp án cần lựa chọn là C.
@ Nhận xét: Như vậy đối với dạng bài toán này chúng ta có tới 3 phương án tìm đáp án đúng.
Ta đi tìm tọa độ các tiếp điểm và lập phương trình đường thẳng đi hai điểm đó.
Ta đi tìm tọa độ các tiếp điểm và kết hợp với phép thử để tìm ra đáp án đúng.
Ta dùng tính chất của hàm đa thức bậc ba “ Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng”. Khi đó giả sử các tiếp điểm là thì điểm là trung điểm của đoạn nên chúng ta chỉ cần tìm ra tọa độ và dùng phép thử.
Bài 6. Cho hàm số . Hai tiếp tuyến của song song với đường thẳng tiếp xúc với tại hai điểm. Tọa độ trung điểm của là gì? [4]	
A. 
B. 
C. 
D. 
	Đáp án trắc nghiệm C.
Ø Lời giải tự luận
 Ta có . Giả sử là tiếp điểm, khi đó: 
 và 
 Tọa độ trung điểm 
Do đó, đáp án cần lựa chọn là C.
Ø Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá
Do tiếp tuyến tại hai điểm là song song với nhau nên hai điểm phải đối xứng qua tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Vậy trung điểm của là .
Do đó, đáp án cần lựa chọn là C.
@ Nhận xét: Việc nắm được tính chất của đồ thị hàm số là rất quan trọng (đồ thị của hàm bậc nhất trên bậc nhất có tâm đối xứng ), cho phép ta đưa ra lựa chọn đáp án đúng một cách hết sức nhanh chóng.
Bài 7. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm và tiếp xúc với đồ thị hàm số ?
A. 
B. 1
C. 
D. 
	Đáp án trắc nghiệm A.
Ø Lời giải tự luận 1
Đường thẳng đi qua có phương trình . Do tiếp 
xúc với đồ thị hàm số nên hệ phương trình sau có nghiệm: 
 vô nghiệm.
Vậy qua không kẻ được đường thẳng nào tiếp xúc với đồ thị hàm số.
Ø Lời giải tự luận 2
Ta có . Gọi tọa độ tiếp điểm là . Khi đó: 
Þ Phương trình tiếp tuyến có dạng là: . Để đi qua thì điều kiện cần là: , vô nghiệm.
Vậy nên qua không kẻ được đường thẳng nào tiếp xúc với đồ thị hàm số.
Do đó, đáp án cần lựa chọn là A.
Ø Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá 
Vì điểm nằm trong Parabol (vì xét dấu ) nên qua không kẻ được tiếp tuyến nào tới đồ thị hàm số.
Do đó, đáp án cần lựa chọn là A.
@ Nhận xét: Với Parabol thì:
Nếu điểm nằm trong sẽ không kẻ được tiếp tuyến tới .
Nếu điểm nằm trên sẽ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới .
Nếu điểm nằm ngoài sẽ kẻ được hai tiếp tuyến tới .
Bài 8. Cho đồ thị (C): , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm .
A. 
B. 
C. 
D. 
	Đáp án trắc nghiệm D.
Ø Lời giải tự luận 1 
Ta có:. Gọi là tiếp điểm. 
Hệ số góc của tiếp tuyến là 
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại là : 
 qua nên ta có: 
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: 
Do đó, đáp án cần lựa chọn là D.
Ø Lời giải tự luận 2
Đường thẳng đi qua có phương trình . 
Do tiếp xúc với đồ thị hàm số nên hệ sau có nghiệm: 
Với , ta được tiếp tuyến có phương trình .
Với , ta được tiếp tuyến có phương trình .
Do đó, đáp án cần lựa chọn là D.
Ø Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá kết hợp phép thử
Trong đáp án A, đường thẳng không đi qua nên đáp án A bị loại.
Trong đáp án B, hai đường thẳng là song song nên không thể cùng đi qua một điểm nên đáp án B bị loại.
Trong đáp án C, cả hai đường thẳng cùng đi qua điểm . Tuy nhiên xét phương trình hoành độ giao điểm: , không có nghiệm bội không phải là phương trình tiếp tuyến nên đáp án C bị loại.
Do đó, đáp án cần lựa chọn là D.
Bài 9. Cho đồ thị . Hai tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm tiếp xúc với tại hai điểm . Phương trình đường thẳng là gì? [4]
A. 
B.
C. 
D. 
	Đáp án trắc nghiệm B.
Ø Lời giải tự luận 1: Ta có:. Gọi là tiếp điểm. 
Hệ số góc của tiếp tuyến là 
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại là : 
 qua nên ta có: 
Khi đó, phương trình đường thẳng được cho bởi:
Do đó, đáp án cần lựa chọn là B.
Ø Lời giải tự luận 2
Đường thẳng đi qua có phương trình . Do tiếp xúc với đồ thị hàm số nên hệ phương trình sau có nghiệm: 
Nhận xét rằng tọa độ các điểm thỏa mãn phương trình trong B
Do đó, đáp án cần lựa chọn là B.
A
M
B
O
x
y
(C)
Ø Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá kết hợp phép thử
Phác thảo hình vẽ (hình bên) ta thấy đường thẳng có hướng đi lên nên đáp án C, D bị loại.
Với đường thẳng trong đáp án A, phương trình hoành độ giao điểm của và là: 
 hoặc . 
Lúc này tiếp tuyến tại có phương trình 
Tiếp tuyến này không đi qua nên đáp án A bị loại.
Do đó, đáp án cần lựa chọn là B.
@ Nhận xét:
 Nếu học sinh nắm vững kiến thức hình dạng và tính chất của đồ thị hàm số học sinh chỉ cần giải tự luận một phần và kết hợp với phép thử đã tìm ra được đáp án đúng một cách nhanh chóng.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
 Qua các tiết tự chọn sử dụng giải pháp của SKKN này cho thấy:
Học sinh chủ động xây dựng kiến thức, phát hiện và chiếm lĩnh các đơn vị kiến thức trong bài, điều đáng kể là các em không những hiểu bài mà nhận biết dạng cùng hướng giải bài toán, khả năng giải hoàn chỉnh bài toán cao.
Thông qua các hoạt động học sinh bị cuốn hút vào các công việc học tập, tạo cho học sinh lòng ham học, kích thích tính tích cực chủ động sáng tạo, khơi dậy khả năng tiềm ẩn của mỗi học sinh.
Việc sử dụng phương pháp và phương tiện dạy học hợp lí đã tăng tính tích cực, chủ động sáng tạo, tạo niềm tin vào khả năng của mỗi học sinh.
Sau thời gian thực nghiệm học sinh cảm thấy yêu thích môn toán hơn, đặc biệt là việc tìm tòi các phương pháp giải nhanh các bài toán trắc nghiệm. 
Trong quá trình giảng dạy tại trường, tôi đã được đồng nghiệp giúp đỡ phân chia lớp thành hai nhóm tương đương để kiểm tra và đánh giá tính hiệu quả của việc hướng dẫn học sinh nhiều phương pháp tìm đáp án của bài toán tiếp tuyến qua các bài kiểm tra, một nhóm chỉ sử dụng cách giải tự luận thông thường và một nhóm kết hợp nhiều phương pháp (tương ứng với các dạng bài toán trên), kết quả thu được như sau:
Lớp
Nhóm chỉ sử dụng phương pháp tự luận thông thường
Nhóm được hướng dẫn sử dụng nhiều phương pháp kết hợp
Giỏi
Khá
T.B
Yếu
Giỏi
Khá
T.B
Yếu
12A6
2
9,1%
7
31,8%
11
50,0%
2
9,1%
5
22,7%
9
41,0%
7
31,8%
1
4,5%
12A4
3
13,0%
8
34,8%
10
43,5%
2
8,7%
6
26,1%
12
52,2%
4
17,4%
1
4,3%
12A3
3
13,6%
8
36,4%
9
41,0%
2
9,1%
7
31,8%
11
50,0%
4
18,2%
0
0.0%
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận 
Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy đã thu được một số kết quả nhất định sau: 
Lời giải ngắn ngọn, logic và tiết kiệm được thời gian làm bài.
Tính toán đơn giản, ít các bước trung gian dễ gây nhầm lẫn sai sót.
Áp dụng được với nhiều dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biết vận dụng ở dạng cơ bản tìm ra được lời giải.
Học sinh khá, giỏi có thể sử dụng phương pháp trình bày trong nhiều dạng bài toán khác nữa để tìm ra đáp án.
Ngoài ra, còn bổ sung cho học sinh những kiến thức:
Về phương trình tiếp tuyến và các kiến thức liên qua.
Ý nghĩa hình học của việc nắm vững tính chất của đồ thị hàm số.
Về việc sử dụng hiệu quả máy tính cầm tay trong hỗ trợ giải toán.
Sau phần tiếp tuyến, tôi tiếp tục nghiên cứu để áp dụng SKKN trên đối với các bài toán về những phần khác trong chương trình toán THPT.
3.2. Kiến nghị
Với nhà trường: Tạo diễn đàn trao đổi kinh nghiệm giải toán cũng như tìm nhanh đáp án bài toán trắc nghiệm vào những buổi học tự chọn hoặc hoạt động ngoại khóa để học sinh tham gia chia sẻ học hỏi lẫn nhau.
Với sở GD-ĐT: Dù ở trường THPT Sầm Sơn các SKKN hay đều đã được tổ chuyên môn trao đổi và chia sẻ để áp dụng vào giảng dạy. Tuy nhiên chúng tôi mong muốn sở GD-ĐT có thêm nhiều những buổi sinh hoạt chuyên đề về sự ứng dụng thành công của SKKN ở các trường trong tỉnh để các chúng tôi cùng có cơ hội trao đổi học tập lẫn nhau, nâng cao chất lượng giáo dục của toàn tỉnh.
Mặc dù đã rất nỗ lực, cố gắng song trong quá trình làm việc chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót về hình thức cũng như nội dung. Tác giả rất mong được Hội đồng xét duyệt đóng góp thêm ý kiến để SKKN này được hoàn thiện hơn. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đại số và giải tích nâng cao 11, Đoàn Quỳnh, NXB Giáo dục, 2011.
2. Giải tích 12 nâng cao, Đoàn Quỳnh, NXB Giáo dục, 2011. 
3. Báo Thanh niên - Ngày 10.9.2016.
4. Các phương pháp tìm nhanh đáp án bài tập trắc nghiệm môn toán, Lê Hồng Đức, NXB ĐHQG Hà Nội, 2017.
5. Cao Văn