SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 7 chứng minh ba điểm thẳng hàng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 7 CHỨNG MINH 
BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
 Người thực hiện: Nguyễn Thùy Hương
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác: Trường THCS Thọ Xương-Thọ Xuân
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2018
MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU
1
1.1. Lí do chọn đề tài
1
1.2. Mục đích nghiên cứu
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
3
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
17
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
18
3.1. Kết luận.
18
3.2. Kiến nghị.
18
1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Theo quan điểm chỉ đạo phát triển của Bộ Giáo dục và Đào tạo trong chiến lược phát triển giáo dục Việt Nam 2009 - 2020 đã nêu: “... giáo dục phải bám sát nhu cầu và đòi hỏi của xã hội, thông qua việc thiết kế các chương trình đào tạo đáp ứng yêu cầu cung cấp nhân lực phục vụ các ngành kinh tế đa dạng. Vì học sinh có những mong muốn, nhu cầu khác nhau, điều kiện sống và học tập khác biệt, giáo dục chỉ thực sự có hiệu quả nếu không đồng nhất tất cả mọi đối tượng. Các chương trình, giáo trình và các phương án tổ chức dạy học phải đa dạng hơn, tạo cơ hội cho mỗi học sinh những gì phù hợp với chuẩn mực chung nhưng gắn với nhu cầu, nguyện vọng và điều kiện học tập của mình”.
 Để đạt được những mục tiêu của nền giáo dục tiên tiến cũng như đáp ứng được quan điểm chỉ đạo phát triển của Bộ Giáo dục và Đào tạo cần phải hướng tới cách dạy học phù hợp với đối tượng.
 Hướng đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay là tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát triển và giải quyết vấn đề, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức và thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin, hứng thú học tập cho học sinh.
 Người giáo viên khi lên lớp ngoài nhiệm vụ truyền thụ hết kiến thức cơ bản cho học sinh còn cần có trách nhiệm bồi dưỡng, phát hiện các em có khả năng về từng môn, giúp các em phát triển tư duy, rèn luyện các kĩ năng tạo điều kiện đề các em trở thành nhân tài cho đất nước.
 Ở chương trình Toán lớp 7, khi học bài “Hai đường thẳng song song”, học sinh biết cách chứng minh hai đường thẳng song song, khi học bài “Hai tam giác bằng nhau”, học về các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, học sinh biết cách chứng minh hai tam giác bằng nhau... Tuy nhiên sau khi học xong bài “Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song” học sinh chưa thành thạo ứng dụng của nó trong dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Do vậy, ở bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng các em thường không có sự định hướng tốt, lúng túng, bế tắc, không tìm ra hướng giải. 
 Qua tìm hiểu của bản thân thì hiện tại chưa có nhiều tài liệu nào bàn sâu về chứng minh ba điểm thẳng hàng dành cho học sinh lớp 7. Các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn cũng chưa có kinh nghiệm để khắc phục vấn đề này. Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của mình là: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 chứng minh ba điểm thẳng hàng”.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 Trong quá trình giảng dạy môn Toán ở lớp 7, tôi phát hiện ra rằng nhiều học sinh kĩ năng giải toán hình học còn kém đặc biệt là đối với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Vì vậy, tôi cố gắng xâu chuỗi, tìm cách hướng dẫn các dạng bài chứng minh ba điểm thẳng hàng thông qua các ví dụ cụ thể để giúp học sinh đạt kết quả cao hơn trong học tập.
 Mặt khác, triển khai đề tài giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, có cái nhìn tổng hợp, biết sử dụng nhiều kiến thức, tự tin hơn khi giải dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Từ đó chăm học hơn.
 Việc nghiên cứu đề tài giúp tôi có một tài liệu mang tính hệ thống về phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, phục vụ cho công tác giảng dạy. Qua đó giúp tôi tự tin hơn trong công tác giảng dạy.
 Qua nghiên cứu và triển khai đề tài giúp bản thân có nhiều điều kiện để giao lưu, học hỏi, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 Trong đề tài này, tôi chỉ đưa ra các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh lớp 7 qua các ví dụ cụ thể.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Căn cứ định nghĩa ba điểm thẳng hàng SGK Toán 6 tập 1; Tiên đề Ơ-clit SGK Toán 7 tập 1; các định lí về các đường đồng quy trong tam giác SGK Toán 7 tập 2 của nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
1.4.2. Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Giáo viên điều tra kiến thức trên cơ sở tiết dạy trên lớp, qua thực tế bài làm của số học sinh lớp 7 đang học tại trường.
1.4.3. Phương pháp tiếp cận vấn đề: Giáo viên quan sát trực tiếp học sinh, phân tích thông qua bài tập.
1.4.4. Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê kết quả bài kiểm tra của học sinh.
1.4.5. Phương pháp phân tích, bình luận: Giáo viên phân tích hiệu quả của các hoạt động. Sau mỗi dạng bài tập tác giả luôn đưa ra bình luận, hướng dẫn học sinh biết cách nhận dạng, tìm hướng giải cũng như sai lầm mà các em thường mắc phải khi giải. 
1.4.6. Phương pháp tổng hợp, hệ thống hóa: Nội dung đề tài được phân chia thành nhiều dạng toán, là kết quả quá trình tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu và từ bản thân rút ra.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.1. Khái niệm ba điểm thẳng hàng: Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng được gọi là ba điểm thẳng hàng.
2.1.2. Tiên đề Ơ-clit: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
2.1.3. Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước (Hình học 7 tập 1 trang 85).
2.1.4. Các định lí về các đường đồng quy trong tam giác.
 Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
 Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
 Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
 Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.2.1. Về phía học sinh: Học sinh lớp 7 thường suy nghĩ rằng toán học là phải tính toán, các em chưa quen với suy luận lôgic. Vì vậy, ngại học Hình học, chưa biết vận dụng các định lí cũng như tính chất vào giải toán hình học đặc biệt là bài toán chứng minh. Chứng minh ba điểm thẳng hàng là bài toán xa lạ đối với nhiều học sinh và vị trí của nó thường rất “khiêm tốn”có thể là một ý nhỏ hoặc một câu (thường là cuối cùng) trong bài toán hình học nào đó.
2.2.2. Về phía giáo viên: Phần lớn giáo viên đã chú trọng rèn luyện cho học sinh thao tác tư duy hình học đặc biệt là các phương pháp chứng minh hình học. Bên cạnh đó vẫn còn một bộ phận chưa chú trọng cung cấp cho học sinh phương pháp chứng minh hình học, thường chỉ chốt được một phương pháp trong bài tập cụ thể nên khi gặp bài tập học sinh chưa xác định được phương pháp giải cũng như chưa có nhiều phương pháp nào để lựa chọn. 
 Trước những nguyên nhân cơ bản làm cho học sinh ngại học hình học, đặc biệt là chứng minh hình học, người giáo viên cần: Xác định một trong những nhiệm vụ quan trọng của Toán học là rèn luyện các thao tác tư duy. Môn Toán đòi hỏi học sinh phải thực hiện những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp,so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa một cách thường xuyên. Mặt khác, phần lớn việc dạy toán của chúng ta là dạy theo chương trình hóa, dạy thuật toán. Có những bài toán hình học cần phải chứng minh thêm bước phụ ba điểm thẳng hàng và sử dụng nó để làm các câu khác. Như vậy bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là bài toán rất quan trọng nhưng học sinh thường bỏ qua nó trong các bài tập. Giáo viên cần tổng hợp một số kiến thức Hình học 6, Hình học 7 để tìm ra một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng. Việc triển khai đề tài này nhằm mục đích đó.
 Để nắm bắt được học sinh của mình có giải được dạng toán này không tôi đã mạnh dạn bổ sung thêm câu hỏi “chứng minh ba điểm thẳng hàng” vào bài 3 kiểm tra một tiết chương II: Tam giác (Tiết 46)
Cụ thể bài 3 như sau:
 Cho tam giác ABC cân tại A có < 900. Kẻ BH AC (H AC), CK AB (KAB). Gọi O là giao điểm của BH và CK.
a) Chứng minh tam giác ABH =ACK.
b) Tam giác OBC cân.
c)OBK = OCK.
d) Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy I sao cho IB = IC. Chứng minh 3 điểm A, O, I thẳng hàng.
 Kết quả về câu d bài 3 như sau:
Năm học
Lớp
Sĩ số
Bỏ trống
Làm sai hoặc không định hướng được cách làm
Làm đúng
2015 - 2016
7B
40
5
33
2
2016 - 2017
7C
35
4
28
3
 Lớp 7B (nay là lớp 9B) có 38/40 em; lớp 7C (nay là lớp 8C) có 32/35 em đều bỏ trống hoặc làm sai không định hướng được cách làm.
2.3. CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HOẶC CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 Từ thực trạng trên để công việc đạt kết quả cao hơn, để học sinh tự tin hơn, có khả năng tự học hỏi tìm ra những kĩ năng, phương pháp để chứng minh các bài toán cùng loại như: Chứng minh song song, chứng minh vuông góc... tôi đã mạnh dạn viết thành tài liệu nhỏ phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh lớp 7 để tổng hợp các phương pháp để học sinh có thể vận dụng vào chứng minh ba điểm thẳng hàng. Tôi đã sử dụng các biện pháp sau:
1) Tham khảo các loại sách tham khảo Hình học 6, 7.
2) Đọc kĩ SGK, sách giáo viên Toán 6, 7.
3) Đọc kĩ sách bài tập Toán 7.
 Cuối cùng dựa trên nghiên cứu các tài liệu tôi đã tổng hợp được các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
2.3.1. Phương pháp 1: Chứng minh độ dài một đoạn thẳng bằng tổng độ dài hai đoạn thẳng còn lại.
 Phương pháp này dựa trên cơ sở công nhận nhận xét trong bài 8: Khi nào thì AM + MB = AB? Nhận xét đó như sau: “Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB. Ngược lại nếu điểm AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B” (SGK Toán 6 tập 1 trang 120). Trên cơ sở đó có những bài toán đã cho sẵn độ dài các đoạn thẳng, học sinh có thể dựa vào đó lí luận ba điểm thẳng hàng và vẽ hình một cách rất dễ dàng. Sau đây là một ví dụ.
 Ví dụ 1 (Bài tập 49 - trang 102, SBT Toán 6 tập 1):
 Cho các đoạn thẳng có độ dài sau đây cho biết ba điểm A, B, M có thẳng hàng không?
a) AM = 3,1cm; MB = 2,9cm; AB = 6cm.
b) AM = 3,1cm; MB = 2,9cm; AB = 5cm.
 Bài giải:
a) Ta có: 3,1 + 2,9 = 6 hay AM + MB = AB Điểm M nằm giữa hai điểm A và B A, M, B thẳng hàng.
b) AB > AM; AB > MB mà AM + MBAB A, M, B không thẳng hàng.
2.3.2. Phương pháp 2: Chứng minh các điểm trùng nhau (Các điểm cần chứng minh thẳng hàng trùng với các điểm đã thẳng hàng)
A
D
E
M
B
N
C
M’
N’
x
 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = AE. Nối D với E. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BE và BC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng.
 Bài giải: 
GT
ABC (AB = AC); 
AB = AE. D AB; EAC; MD = ME.
(MDE); NB = NC (NBC)
KL
A, M, N thẳng hàng.
+ Phân tích, tìm tòi lời giải: Với phương pháp này ta thường đã biết ba điểm thẳng hàng và chứng minh cho các điểm cần thẳng hàng trùng với ba điểm đã biết thẳng hàng. Ta đã biết ba điểm A, M’, N’ thẳng hàng vì đều thuộc tia phân giác Ax của . Do đó, ta chứng minh cho các điểm cần thẳng hàng trùng với ba điểm đó.
 + Bài giải 
Vẽ tia phân giác Ax của , Ax cắt DE và BC lần lượt tại M’ và N’. 
 Xét và có:
 AB = AC (GT)
 (vì Ax là tia phân giác của )
 AN’: Cạnh chung.
 Suy ra: = (c.g.c) N’B = N’C (hai cạnh tương ứng)
 Mà N’ nằm giữa B và C nên N’ là trung điểm của đoạn thẳng BC . Chứng minh tương tự ta có .
 Ta có: M’, N’ thuộc tia Ax. Do đó, A, M, N thẳng hàng.
+ Nhận xét: Ta có thể chứng minh AM và AN đều là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Do đó, A, M, N thẳng hàng.
+ Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng (theo phương pháp ở 2.3.9)
2.3.3. Phương pháp 3: Sử dụng tiên đề Ơ-clit
 Trong SGK Toán 7 tập 1, tiên đề Ơ-clit được phát biểu như sau: “Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó” (Trang 92).
A
B
C
a
.
.
.
 Điều đó có nghĩa là nếu ta chỉ ra được qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng cho trước thì hai đường thẳng đó phải trùng nhau (nếu không sẽ trái với tiên đề Ơ-clit) và những điểm nằm trên hai đường thẳng đó là thẳng hàng. Cụ thể:
 thẳng hàng.
 Ví dụ 3 (Bài tập 48 Sách bài tập Toán 7 tập 1): 
 Cho tam giác ABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh rằng A là trung điểm của MN. 
A
B
C
M
N
K
E
GT
ABC; KA = KB (KAB)
ABC; EA = EC (EAC)
KM = KC; EN = EB
KL
A là trung điểm của MN.
+ Phân tích, tìm tòi lời giải: 
 Nếu ta chú ý vào thao tác khi vẽ hình bài toán này thì thấy rằng cần chứng minh AM = AN và M, A, N thẳng hàng. 
+ Bài giải: Xét AKM và BKC có:
 KA = KB (GT)
 (đối đỉnh)
 KM = KC (GT)
Suy ra: AKM = BKC (c.g.c) AM = BC; 
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM // BC (1)
Chứng minh tương tự ta có: AN = BC; AN // BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM = AN.
 Qua A ta có: AM // BC và AN // BC. Vậy theo tiên đề Ơ-clit AMAN. 
A, M, N thẳng hàng. 
Kết hợp với AM = AN ta có A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Vậy A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
+ Nhận xét: Có thể chứng minh M, A, N thẳng hàng bằng cách chứng minh 
(theo phương pháp của 2.3.4).
+ Bài tập tương tự
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D. Kẻ DF song song BC (F AC ). Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Ax sao cho . Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ tia Ay sao cho . Chứng minh các điểm thuộc tia Ax, các điểm thuộc tia Ay thẳng hàng.
2.3.4. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất của góc bẹt
 Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau. Cụ thể: 
 Nếu thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
.
.
.
.
D
A
B
C
 Ví dụ 4 (Bài tập 26 sách Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán Hình học 7): Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Nối D với E. Gọi I là trung điểm của của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, C thẳng hàng.
GT
 (AB = AC); D AB; BD = CE ; ID = IE (I DE)
KL
B, I, C thẳng hàng.
A
D
B
F
I
C
E
+ Phân tích, tìm tòi lời giải:
 Để chứng minh B, I, C thẳng hàng ta cần 
chứng minh . 
Do dó, ta cần chứng minh .
Ta vẽ thêm điểm F trên cạnh BC sao cho 
+ Bài giải: 
 Vẽ DF // AC (FAC);
Ta có và đồng vị = 
Mà (ABC cân tại A) DBF cân tại D DB = DF
Xét DIF và EIC có:
 DI = EI (GT)	
 (so le trong do DF//AC) 
 DF = CE (= BD)
DIF =EIC(c.g.c) (hai góc tương ứng)	
Mà F, I, C thẳng hàng 
 B, I, C thẳng hàng.
+ Nhận xét: Việc vẽ thêm đường phụ DF // AC đã giúp ta chứng minh dễ dàng hơn. Nhiều học sinh không biết vẽ thêm đường phụ và thường nhầm lẫn nên đã giải sai bài toán.
+ Bài tập tương tự
 Bài 1: Cho tam giác ABC có . Vẽ ra phía ngoài của tam giác hai tam giác đều AMB và ANC. Chứng minh M, A, N thẳng hàng.
 Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc với CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.
2.3.5. Phương pháp 5: Sử dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao)
 Ví dụ 5 (Bài tập 40 trang 73 SGK - Toán 7 - tập 2):
 Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng.
A
B
C
.
.
G
I
GT
ABC (AB = AC); 
G là trọng tâm; I là điểm nằm trong ABC và cách đều ba cạnh của ABC.
KL
A, G, I thẳng hàng
M
+ Phân tích, tìm tòi lời giải: 
 Ta biết rằng giao điểm ba đường trung tuyến (trọng tâm) bao giờ cũng nằm trên một đường trung tuyến bất kỳ của tam giác; giao điểm ba đường phân giác trong tam giác bao giờ cũng nằm trên một đường phân giác bất kỳ của tam giác; giao điểm ba đường trung trực trong tam giác bao giờ cũng nằm trên một đường trung trực bất kỳ của tam giác; giao điểm ba đường cao (trực tâm) trong tam giác bao giờ cũng nằm trên một đường cao bất kỳ của tam giác. 
+ Bài giải:
 Gọi AM là đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân tại A suy ra AM cũng là đường phân giác xuất phát từ A (tính chất tam giác cân). 
 Theo giả thiết G là trọng tâm của tam giác ABC, mà AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên G AM (1).
 Mặt khác, I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó, suy ra I là giao điểm của ba đường phân giác trong ABC. Mà AM là đường phân giác của ABC nên I AM (2). 
 Từ (1) và (2) suy ra A, G, I thẳng hàng. 
 Ví dụ 6 (Bài tập 35 trang 136 sách Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán Hình học 7): Chứng minh rằng trực tâm, trọng tâm và giao điểm ba đường trung trực của một tam giác cùng nằm trên một đường thẳng.
B
C
A’
C’
O
B’
H
G
.
.
.
D
A
.
 (Đường thẳng chứa trực tâm, trọng tâm và giao điểm ba đường trung trưc của một tam giác mang tên nhà toán học nổi tiếng tìm ra nó đó là nhà toán học Ơle (người Thụy Sỹ) là đường thẳng Ơle. Bài toán này cũng là một bài toán nằm trong chương trình toán THPT mà học sinh lớp 10 thường hay chứng minh bằng phương pháp vectơ).
GT
ABC; O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác; G là trọng tâm của tam giác.
H là trực tâm của tam giác.
KL
H, G, O thẳng hàng.
+ Phân tích, tìm tòi lời giải: 
 Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC và A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AC, AB. Ta chọn thêm điểm D sao cho O là trung điểm của CD để chứng minh G là trọng tâm của tam giác CDH. Hai tam giác ABC và CDH có chung trọng tâm G vào có HO là trung tuyến của tam giác CDH nên H, G, O thẳng hàng.
+ Bài giải:
 Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC và A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AC, AB. 
 Vẽ tia đối của tia OC; trên tia này lấy điểm D sao cho OD = OC. Suy ra O, A’ lần lượt là trung điểm các cạnh DC, BC của tam giác DBC nên OA’ = BD và OA’ // BD (Ta dễ dàng chứng minh).
 Mặt khác AH BC (H là trực tâm ABC) và OA’ BC (O, A’ cách đều B và C) AH // OA’ AH // BD. Chứng minh tương tự ta có: DA // BH
Vì AH // BD; DA // DH nên AH = BD (Tính chất đoạn chắn).
Xét C’BD và C’AH có:
 BD = AH (chứng minh trên)
 = (BD//AH); 
 C’B = AC’ (GT)
Do đó C’BD =C’AH (c.g.c) C’D = C’H và =
Mà + = 180 (hai góc kề bù) + = 180 D, C’, H thẳng hàng và C’D = C’H C’ là trung điểm của DH.
 Hai tam giác ABC và tam giác CDH có chung đường trung tuyến CC’ nên có chung trọng tâm. Mà G là trọng tâm của ABC nên G cũng là trọng tâm của CDH. Mặt khác HO cũng là đường trung tuyến của CDH. Do đó H, G, O thẳng hàng. 
+ Nhận xét: Cách giải khác có thể chứng minh 
+ Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là một điểm nằm tong tam giác sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh A, M, N thẳng hàng.
a
.
.
A
B
C
.
 2.3.6. Phương pháp 6: Sử dụng tính chất: Nếu ABa và ACa thì ba điểm A, B, C thẳng hàng (Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước) (Hình học 7 trang 85) (Hình vẽ)
 Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM AC, CN AB (), H là giao điểm của BM và CN. Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.
GT
ABC (AB = AC). BM AC, 
CNAB(),