SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 12 xét tính đơn điệu của hàm tổng và hàm hợp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 XÉT TÍNH
 ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM TỔNG VÀ HÀM HỢP
Người thực hiện : Lê Thị Sáng
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn : Toán
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài:... 1
1.2. Mục đích nghiên cứu: 1
1.3. Đối tượng nghiên cứu:....1
1.4 Phương pháp nghiên cứu:1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:...1
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: ..2
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số là tổng của hai hay nhiều hàm số :2
a.Tìm khoảng đơn điệu của hàm số tổng g(x) = f1(x) + f2(x) khi biết biểu thức của hàm sô y = f1(x) hay y = f1’(x):.......2
b.Tìm khoảng đơn điệu của hàm số tổng g(x) = f1(x) + f2(x) khi biết đồ thị của hàm số y = f1’(x):...........................................................4
2.3.2.Xét tính đơn điệu của hàm hợp g(x) = f(u(x)):....5
a.Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)= f(u(x)) khi biết biểu thức của hàm số 
y = f(x) hay y = f’(x):................................5
b.Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)= f(u(x)) khi biết bảng biến thiên của hàm sô y = f(x):.....................................................7
c. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)= f(u(x)) khi biết đồ thị của hàm số 
 y=f(x): ..9
d.Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)= f(u(x)) dựa vào đồ thị của hàm số 
 y= f’(x):.....11
2.3.3.Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số kết hợp giữa hàm hợp và tổng..13
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:... 14
3. Kết luận, kiến nghị. 15
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................16
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 Trong trường trung học phổ thông, môn Toán có một vị trí quan trọng. Các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy độc lập sáng tạo. Trong dạy học Toán, cùng với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lý thì việc dạy học giải các bài tập toán có tầm quan trọng đặc biệt là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học Toán. Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các kiến thức cơ bản để có thể vận dụng vào làm bài tập, thì việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi là một mục tiêu quan trọng. Do đó, việc hướng dẫn học sinh tìm tòi, sáng tạo trong quá trình giải toán là rất cần thiết và không thể thiếu.
 Như chúng ta đã biết các bài toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm là một trong những dạng toán không thể thiếu và chiếm số lượng câu hỏi nhiều nhất trong kì thi THPT quốc gia. Đặc biệt trong những năm gần đây số lượng bài toán liên quan đến hàm tổng và hàm hợp trong các đề thi tương đối nhiều. Mặt khác trong SGK giải tích 12 hiện hành không trình bày cụ thể về dạng toán này, học sinh muốn làm được bài toán liên quan đến hàm tổng và hàm hợp trong các đề thi thì phải kết hợp giữa kiến thức: định nghĩa hàm hợp, đạo hàm của hàm hợp, xét tính đơn điệu của hàm số. Vì vậy nên học sinh thường rất khó khăn khi tiếp cận những bài tập dạng này. Bản thân là một giáo viên tôi thấy chúng ta phải có những bài giảng cụ thể và phương pháp dạy học phù hợp để học sinh dễ tiếp thu kiến thức, tự tin khi làm những bài toán trong các kỳ thi. Chính vì lí do trên mà tôi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 xét tính đơn điệu của hàm tổng và hàm hợp”. 
1.2. Mục đích nghiên cứu:
 +Đề xuất một số phương pháp, một số dạng toán về xét tính đơn điệu của hàm số tổng và hàm số hợp để giúp học sinh hình thành được tư duy giải các bài toán liên quan đến phần này. Giúp nâng cao chất lượng dạy học môn Toán, giúp học sinh trường THPT Yên Định 3 yêu thích môn Toán hơn.
 + Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán. Từ đó cung cấp cho học sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào các kì thi, đặc biệt là kỳ thi THPTQG 
 1.3. Đối tượng nghiên cứu: 
 +Các bài toán về xét tính đơn điệu của hàm số tổng và hàm số hơp.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
 +Trong đề tài này tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết, phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp các dạng toán liên quan đến hàm số tổng và hàm số hợp.. Thông qua các kiến thức trong sách giáo khoa, các bài tập trong các kỳ thi THPT quốc gia gần đây từ đó chia ra các dạng toán khác nhau. 
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
a, Hàm hợp:
 Giả sử u = g(x) là hàm số của x, xác định trên (a;b) và lấy giá trị trên khoảng (c;d); y = f(u) là hàm số của u, xác định trên (c;d) và lấy giá trị trên R. Khi đó ta lập một hàm số xác định trên (a;b) và lấy giá trị trên R theo quy tắc sau:
 Ta gọi hàm y =f(g(x)) là hàm hợp của y = f(u) với u = g(x)
b, Đạo hàm của hàm hợp :
 Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là :
c, Tính đơn điệu của hàm số :
 Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu f’(x)>0 với mọi thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng K.
Nếu f’(x)<0 với mọi thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng K.
Nếu f’(x) = 0 với mọi thì hàm số f(x) không đổi trên khoảng K.
d, Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số f(x)
Tìm TXĐ
Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm ( i = 1,2,3,,n)
Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
 Đối với hàm số tổng g(x) = f1(x)+f2(x) thì việc tính đạo hàm là g’(x)=f’1(x)+f’2(x) 
 2.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
 Thực tế là từ năm 2017 đến nay khi môn Toán thi THPT Quốc gia được thi theo hình thức trắc nghiệm thì số lượng câu hỏi về xét tính đơn điệu của hàm số tổng và hàm số hợp các mã đề thường xuyên xuất hiện. Trong sách giáo khoa hiện hành không có một bài tập nào liên quan đến xét tính đơn điệu của hàm số hợp. Nên khi đứng trước một bài toán như vậy học sinh rất lúng túng không biết giải theo hướng nào và áp dụng công thức nào? Với tình hình thực tế như vậy để giúp học sinh không còn bỡ ngỡ khi đứng trước các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số tổng, hợp giáo viên cần rèn cho học sinh luyện tập các dạng toán này để học sinh phân tích và có lời giải đúng. Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán.
2.3. Các giải pháp đã tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề
2.3.1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số là tổng của hai hay nhiều hàm số.
a.Tìm khoảng đơn điệu của hàm số tổng g(x) = f1(x) + f2(x) khi biết biểu thức của hàm sô y = f1(x) hay y = f1’(x)
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm,Hỏi hàm số g(x)=f(x) - đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.(-∞;1) B. (3;+∞) C. (-1; 0) D.(1;2) 
Phân tích: g(x) là hàm số tổng của hai hàm số. Để tìm khoảng đồng biến của hàm số ta làm như phương pháp chung ở trên.
Lời giải:
Bảng xét dấu 
 1 3 
 + 0 - 0 + 0 - 
Dựa vào bảng xét dấu chọn đáp án D
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm . 
Tìm tất cả các tham số thực m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;2).
 A. B. C. D. 
Phân tích: Sử dụng cách làm tương tự dạng toán tìm m để hàm số nghịch biến ( đồng biến) trên khoảng K: 
Lời giải:
. Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (-1;2).
Thì
 Dùng máy tính ta sẽ tìm được 
 Chọn đáp án A
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm. Có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng (-20; 20) để hàm số g(x)=f(x)+2mx+1 nghịch biến trên R?
18 B.19 C.16 D. 17
Phân tích: Sử dụng cách làm tương tự dạng toán tìm m để hàm số nghịch biến ( đồng biến) trên khoảng K: 
Lời giải:
Để hàm số nghịch biến trên R thì 
Hay 
Sử dụng máy tính ta được 
Kết hợp với điều kiện đề bài ta chọn đáp án B
 Tổng kết: Như vậy việc xét tính đơn điệu của hàm số tổng g(x) = f1(x) + f2(x) khi biết biểu thức của hàm sô y = f1(x) hay y = f1’(x) làm giống phương pháp chung của bài toán xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể.
b.Tìm khoảng đơn điệu của hàm số tổng g(x) = f1(x) + f2(x) khi biết đồ thị của hàm số y = f1’(x).
Phương pháp: 
Tính đạo hàm của hàm số g’(x)=f’1(x)+f’2(x) 
Căn cứ vào đồ thị của hàm số y = f1’(x). Xét phần đồ thị hàm số f’1(x) và f’2(x). Nếu đồ thị của f’1(x) nằm trên (- f’2(x)) thì hàm số g(x) là hàm đồng biến. Nếu đồ thị của f’1(x) nằm dưới (- f’2(x)) thì hàm số g(x) là hàm nghịch biến.
Ví dụ 1:
Hàm số y = f’(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số 
g(x) = f(x) - 3x - 2019 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.(-1;1) 
B. (0;1)
C. (-2; -1) và (2;)
D.(1; 2)
Phân tích: Hàm số g(x) là tổng của hàm f(x) và f2(x)= -3x – 2019
 Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số g(x). Đề bài yêu cầu tìm khoảng đồng biến tức là giải bất phương trình g’(x) > 0. Tức là tìm giá trị của x tương ứng với phần đồ thị f’(x) nằm trên đường thẳng y = 3.
Lời giải: 
Nên 
Dựa vào đồ thị hàm số f’(x) phần đồ thị nằm trên đường thẳng y = 3 
Ta chọn đáp án D
Ví dụ 2 :
Hàm số y = f’(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số 
đồng biến trên khoảng (các khoảng) nào dưới đây?
A.( ;-1) và (1 ;2) 
B. (-1;1) và (2; )
C. (-1; 2)
D. (; 1) và (2; ) (
Phân tích: Hàm số g(x) là tổng của hàm 2f(x) và . Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số g(x). Đề bài yêu cầu tìm khoảng đồng biến tức là giải bất phương trình g’(x) > 0. Tức là tìm những giá trị của x tương ứng với phần đồ thị f’(x) > x – 2.
Lời giải:
Kẻ đường thẳng y = x- 2. Đường thẳng 
y = x-2 đi qua điểm (-2 ;-3) và (1 ;-1)
giải tương ứng phần đồ thị nằm trên đường thẳng y = x- 2
Dựa vào đồ thị chọn đáp án C
Ví dụ 3:
Cho hàm số y = f’(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên cạnh và hàm số (C)
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số (C ) đồng biến trên khoảng (-3;0)
B. Hàm số (C ) đồng biến trên khoảng
C. Hàm số (C) nghịch biến trên khoảng 
D.Hàm số (C ) đồng biến trên khoảng(0;1)
Phân tích: Hàm số g(x) là tổng của hàm f(x) và . Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số g(x). Giải bất phương trình tìm tập nghiệm và lập bảng xét dấu g’(x) 
Lời giải: 
Giải bất phương trình g’(x) > 0
Hay.
Vẽ parabol. Có tọa độ đỉnh 
 và đi qua điểm (-2 ;0), (1;0), (0;2)
Nghiệm bpt là 
Bảng xét dấu g’(x)
 0 1 
g’(x)
 + 0 - 0 + 
Chọn đáp án C
2.3.2.Xét tính đơn điệu của hàm hợp g(x) = f(u(x)):
a.Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)= f(u(x)) khi biết biểu thức của hàm số y = f(x) hay y = f’(x)
Phương pháp:
Tính đạo hàm g’(x) = f’(u(x)).u’(x).
Để tìm khoảng đồng biến ta giải bất phương trình g’(x) >0 hay f’(u(x)).u’(x) >0.
Để tìm khoảng nghịch biến ta giải bất phương trình g’(x) < 0 hay f’(u(x)).u’(x) < 0
Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
(2;3) B. (-1;3) C. D. (3;4)
Phân tích: Đặt u=3 – x thì u’ = -1 .Nên. Để tìm khoảng đồng biến của hàm số g(x) ta giải bất phương trình g’(x)>0 
Lời giải: .Giải bpt 
 Hay:
 Đối chiếu các đáp án ta chọn D
Ví dụ 2: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm. Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
(-1;1) B. (-2;0) C. (3;) D. (2;3)
Phân tích: Đặt thì .Nên . Để tìm khoảng nghịch biến của hàm số g(x) ta giải bất phương trình g’(x)<0 hay 
Lời giải: 
 Giải bất phương trình 
 Hay: 
 Đối chiếu các đáp án ta chọn B
Ví dụ 3: Cho hàm số có đạo hàm . Hỏi có bao nhiêu giá trị của m nguyên âm để hàm số đồng biến trên khoảng?
A.3 B. 5 C.6 D. 4
Phân tích: Đặt thì . Nên . Để hàm số đồng biến trên khoảng thì hay .
Lời giải: 
. Để hàm số đồng biến trên khoảng thì hay 
 Hay: 
 Nên . 
 Sử dụng máy tính bỏ túi để tìm 
 Ta được 
 Đối chiếu các đáp án ta chọn D
Ví dụ 4: Cho hàm số . Có bao nhiêu số nguyên để hàm số đồng biến trên khoảng . 
A. 1969 B. 1971 C. 1968 D. 1970
Phân tích: Đặt (). Bài toán trở thành tìm a để hàm số đồng biến trên khoảng 
Lời giải: 
Đặt () =
Bài toán trở thành tìm a để 
 Vì a là số nguyên và nên có 1970 số a thỏa mãn. 
 Chon đáp án D 
b.Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)= f(u(x)) khi biết bảng biến thiên của hàm sô y = f(x).
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau :
 -1 3 
 + 0 - 0 + 
 2018 
 - 2018
Hàm sô nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
Hàm sô g(x) nghịch biến trên 
Hàm sô g(x) nghịch biến trên 
Hàm sô g(x) nghịch biến trên 
Hàm sô g(x) nghịch biến trên 
Phân tích: Đặt u = x – 2017. Tính g’(x) = f’(u). Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số g(x).
Lời giải:
 Đặt u = x – 2017 thì u’ = 1 nên g’(x) = f’(u)
Giải bất phương trình g’(x) < 0 hay f’(u)<0 -1 <u < 3
 Nên -1 < x – 2017 < 3 2016 < x < 2020
 Đối chiếu với đáp án ta chọn đáp án B 
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
 0 1 2 
 + 0 - + 0 - 
 3 2 
Xét hàm số g(x) = f(3 – x). Chọn khẳng định đúng:
Hàm số g(x) đồng biến trên B.Hàm số g(x) nghịch biến trên 
C.Hàm số g(x) đồng biến trên (1;3) D.Hàm số g(x) nghịch biến trên 
Phân tích: Đặt u = 3 - x. Tính u’ = -1 nên g’(x) = - f’(u)
 Tìm các khoảng đồng biến của hàm số g(x) tức là giải bất phương trình 
g’(x) > 0. Từ đó lập bảng xét dấu g’(x)
Lời giải:
 Đặt u = 3-x thì u’ = -1 nên g’(x) = -f’(u)
Giải bất phương trình g’(x) > 0 hay -f’(u)>0 
 Nên Đối chiếu với đáp án ta chọn đáp án A
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
 - 2 0 
 + 0 - 0 + 
 2 
 - 2
 Xét hàm số . Chọn khẳng định đúng:
A.Hàm số g(x) đồng biến trên B.Hàm số g(x) nghịch biến trên 
C.Hàm số g(x) đồng biến trên D.Hàm số g(x) nghịch biến trên 
Phân tích: Đặt . Tính u’ = -2x+3 nên g’(x) = (-2x+3)f’(u)
 Tìm các khoảng đồng biến của hàm số g(x) tức là giải bất phương trình 
g’(x) > 0. Từ đó lập bảng xét dấu g’(x)
Lời giải:
 Đặt thì u’ = -2x+3 nên g’(x) = (-2x+3)f’(u)
Giải bất phương trình g’(x) > 0 hay (-2x+3)f’(u)>0 
TH1: 
TH2: 
Lập bảng xét dấu g’(x)
x
 0 3 
g’(x)
 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 -
Đối chiếu với đáp án ta chọn đáp án A
Chú ý: Đối với ví dụ 3 được hỏi dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm vì vậy sau khi làm xong TH1 ta suy ra được đáp án đúng là A.
c. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)= f(u(x)) khi biết đồ thị của hàm số 
 y=f(x).
 Phương pháp: 
-Tính đạo hàm của hàm hợp.
-Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến.
 Chú ý: Khoảng đồng biến tương ứng với phần đồ thị có hướng đi lên, khoảng nghịch biến tương ứng với phần đồ thị có hướng đi xuống tính từ bên trái sang phải.
Ví dụ 1: 
Hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g(x) = f(x+1) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.(0;2) B. (2;4)
C. D. 
Phân tích: Đặt u = x+1. Tính u’ = 1 nên g’(x) = f’(u)
 Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số g(x) tức là giải bất phương trình 
g’(x) < 0 hay f’(u)<0. Từ đó dựa vào đồ thị tìm khoảng tương ứng với phần đồ thị có hướng đi xuống, suy ra được đáp án đúng.
Lời giải:
 Đặt u = x+1 thì u’ = 1 nên g’(x) = f’(u)
Giải bất phương trình g’(x) < 0 hay f’(u)< 0 
 Nên 
 Đối chiếu với đáp án ta chọn đáp án A
Ví dụ 2: 
Hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số 
 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A B. (-1;4)
C. D. 
Phân tích: Đặt . Tính u’ = 2x+2 nên g’(x) = (2x+2)f’(u)
 Tìm các khoảng đồng biến của hàm số g(x) tức là giải bất phương trình 
g’(x) > 0. Từ đó lập bảng xét dấu g’(x)
Lời giải: Đặt thì u’ = 2x+2 nên g’(x) = (2x+2)f’(u)
Giải bất phương trình g’(x) > 0 hay (2x+2)f’(u)>0 
TH1: 
TH2: 
Lập bảng xét dấu g’(x)
x
 -3 -1 1 
g’(x)
 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 +
Đối chiếu với đáp án ta chọn đáp án A
Chú ý: Đối với ví dụ 2 được hỏi dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm vì vậy sau khi làm xong TH1 ta suy ra được đáp án đúng là A.
d.Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)= f(u(x)) dựa vào đồ thị của hàm số 
 y= f’(x)
Phương pháp:
Tính đạo hàm g’(x) = f’(u(x)).u’(x).
Phần đồ thị hàm f’(x) nằm trên Ox hàm đồng biến. Phần đồ thị f’(x) nằm dưới Ox hàm nghịch biến.
Chú ý: -Cho một đường cong bất kì là đồ thị f’(x). Chọn hàm hợp f(u(x)) có đạo hàm xét được tính biến thiên dựa vào đồ thị f’(x). Chú ý các điểm đồ thị f’(x) giao với trục Ox.
-Cho hàm số y = f1(x) và y = f2(x). Giải phương trình f1(x)=f2(x) có các nghiệm . Khi đó :
 +Nếu trên khoảng đồ thị hàm số f1(x) nằm trên đồ thị hàm số f2(x) thì .
 +Nếu trên khoảng đồ thị hàm số f1(x) nằm dưới đồ thị hàm số f2(x) thì .
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y=f’(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số đồng biến trên khoảng
A.
B. 
C. 
D. 
Phân tích: Đặt u = 2 - x. Tính u’ = -1 nên g’(x) = - f’(u)
 Tìm các khoảng đồng biến của hàm số g(x) tức là giải bất phương trình 
g’(x) > 0. Từ đó dựa vào đồ thị hàm số f’(x) để tìm khoảng đồng biến của hàm số g(x).
Lời giải :
Ta có 
 Chọn đáp án C
Ví dụ 2: 
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y=f’(x) có đồ thị như hình bên. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A.Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng 
B.Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng 
C.Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng 
D.Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng
Phân tích: Đặt . Tính u’ = 2x nên g’(x) = 2xf’(u)
 Tìm các khoảng đồng biến của hàm số g(x) tức là giải bất phương trình 
g’(x) > 0. 
Lời giải: g’(x) = 2xf’()
Giải bất phương trình g’(x) > 0 hay 2xf’()>0
TH1: 
TH2: 
Lập bảng xét dấu g’(x)
x
 -2 0 2 
g’(x)
 - 0 + 0 - 0 + 
Đối chiếu với đáp án ta chọn đáp án C
Ví dụ 3:
Cho hàm số f(x) có đồ thị f’(x) như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. B. (2;4)
C. D. 
Phân tích: Đặt . Tính u’ = nên g’(x) = 
 Tìm các khoảng đồng biến của hàm số g(x) tức là giải bất phương trình 
g’(x) > 0. 
Lời giải : 
Ta có g’(x) = (Vì )
Chọn đáp án A
Ví dụ 4:
Cho hàm số f(x) có đồ thị f’(x) như hình vẽ bên. Hàm số g(x) = f(lnx+1) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. B.
C. D.
Phân tích: Đặt . Tính u’ = nên g’(x) = .Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số g(x) tức là giải bất phương trình g’(x) < 0. 
Lời giải : TXĐ : 
Ta có (Vì x >0 )
 Chọn đáp án B
2.3.3.Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số kết hợp giữa hàm hợp và tổng.
 Tương tự như hai phần trên để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số kết hợp giữa hàm hợp và tổng ta cần tính đạo hàm, sử dụng giả thiết của đề bài để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến. Sau đây tôi xin trình bày một số ví dụ liên quan đến xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số kết hợp giữa hàm hợp và tổng.
 Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm . Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
 A. B. (-2;4) C. D. (-1;0)
 Lời giải:
 Đối chiếu với đáp án chọn đáp án C
Ví dụ 2 : 
Hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ bên cạnh. Trong khoảng (-1000 ;1000) có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng đồng biến của hàm số  ?
A. 997 B. 994
C. 996 D. 995
Lời giải :
Đặt t = x+2
Bất phương trình trên trở thành 
f’(t)> - t -1
Vẽ đường thẳng y = -x – 1
Đường thẳng đi qua các điểm 
(-3 ; 2), (1 ; -2), (3 ; -4)
Từ đồ thị ta thấy 
f’(t)> - t -1 
Hay  
Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng và 
Đối chiếu các đáp án ta lựa chọn đáp án D.
Tôi đã chia bài toán xét tính đơn điệu của hàm số tổng và hàm số hợp thành các dạng như trên. Dựa vào các dạng trên tôi đã vận dụng vào quá trình giảng dạy bằng các biện pháp cụ thể sau:
 1. Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên 
 2. Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán cụ thể.
 3. Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh. 
 4. Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện. 
Để tăng cường tính chủ động cho học sinh trong mỗi buổi học, tôi đã cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập cơ bản về các dạng để cho học sinh tự suy luận và tìm ra công thức cho bài toán gốc, Sau mỗi dạng là hệ thống các bài tập nhằm củng cố kiến thức cho dạng toán đó.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
 Qua một năm thực hiện đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 xét tính đơn điệu của hàm tổng