SKKN Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán trong một số tình huống cụ thể. Bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng giải toán và khả năng sáng tạo tư duy

A. MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 1. Với mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có tri thức và tay nghề, có năng lực thực hành, năng động, sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội" (Trích văn kiện Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ VII). Tại Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khóa XI), ngày 29/10/2012 cũng đã ban hành Kết luận số 51 KL/TW về Đề án “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế”. Trong những năm qua giáo dục nước ta đã và đang có những đổi mới mạnh mẽ cả về nội dung, phương pháp và đã thu được những kết quả khả quan.
 2. Việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt. Đổi mới phương pháp dạy học không chỉ trong các bài giảng lí thuyết, mà ngay cả trong quá trình luyện tập. Luyện tập ngoài việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận mà thông qua qua đó còn giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức một cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập một cách năng động sáng tạo.
 3. Về mặt phương pháp, từ các phương pháp dạy truyền thống như phương pháp dùng lời (thuyết trình, đàm thoại ...), các phương pháp trực quan, các phương pháp thực hành, luyện tập.... đến các xu hướng dạy học hiện đại như: dạy học giải quyết vấn đề, lý thuyết tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có sự hỗ trợ của công nghệ thông tin, có sử dụng máy tính đã tạo ra một không khí học tập hoàn toàn mới. 
 4. Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Việc đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay nhằm phát huy tính tích cực của học sinh, qua đó khai thác tính chủ động tiếp thu và khám phá tri thức của các em, tạo hứng thú trong học tập.
 5. Với tinh thần đó, tôi cũng đã có những đổi mới về mặt phương pháp để phù hợp với giáo dục trong giai đoạn hiện nay. Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông, bản thân tôi cũng đã dự nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp bồi dưỡng học sinh ôn thi vào Đại hoc, Cao đẳng trước đây và bây giờ là thi THPT Quốc Gia hay bồi dưỡng đội tuyển học sinh Giỏi, chúng tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực của học sinh còn nhiều hạn chế. Nhiều bài toán trong các kỳ thi vào Đại học, Cao đẳng, thi THPT Quốc Gia, thi HSG mặc dù có thể áp dụng các kiến thức cơ bản và thêm một chút sáng tạo là có thể giải được, thế nhưng đa số các em gặp khó khăn. Chúng tôi thấy rằng, việc dạy học theo hướng khuyến khích tư duy sáng tạo và tìm mối liên hệ linh hoạt giữa các phần kiến thúc cần được quan tâm hơn, đặc biệt là trong việc bồi dưỡng HSG, bồi dưỡng học sinh ôn thi vào Đại học, thi THPT Quốc Gia trong các trường phổ thông là việc làm rất cần thiết hiện nay.
II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 Rèn luyện cho học sinh biết cách vận dụng các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ trong trường phổ thông. Phân loại các dạng toán thường gặp trong chương trình theo chuẩn kiến thức kĩ năng cũng như trong các kì thi THPT, thi HSG.
III. NHIỆM VỤ CỦA NGHIÊN CỨU
 Trình bày đề tài thông qua hệ thống bài tập. Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán trong một số tình huống cụ thể. Bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng giải toán và khả năng sáng tạo tư duy.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách bài tập, Sách tham khảo, đề thi THPT, đề thi HSG và các tài liệu liên quan.
2. Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ của đồng nghiệp, quan sát việc dạy và học phần bài tập này.
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành trên các tập thể lớp.
4. Phương pháp thống kê.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CỞ SỞ LÝ LUẬN: Muốn giải một bài toán ta thường thực hiện 2 bước:
Bước 1: Huy động kiến thức: Là một thao tác tư duy nhằm tái hiện các kiến thức có liên quan với bài toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, các bài toán đã gặp, do đó người làm toán phải biết và cần biết ý tưởng kiểu như: ta đã gặp bài toán nào gần gũi với bài toán này hay chưa? Nhà bác học Polia đã viết ra một quyển sách kinh điển với nội dung: "Giải bài toán như thế nào trong đó ông có đề cập đến nội dung trên như một điều kiện thiết yếu”.
Bước 2: Tổ chức kiến thức: Là một tổ hợp các hành động, thao tác để sắp xếp các kiến thức đã biết và các yêu cầu của bài toán lên hệ với nhau như thế nào để từ đó trình bày bài toán theo một thể thống nhất. Có nhiều cách lựa chọn cho việc tổ chức kiến thức mà trong đó phương pháp tương tự hay tổng quát hóa là những thao tác tư duy cần thiết cho người làm toán. 
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
 1. Trong chương trình Toán cấp THCS và THPT học sinh thường gặp nhiều bài toán về phương pháp tối ưu. Như vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để có thể giải tốt được loại toán này? Để trả lời được câu hỏi đó bản thân học sinh cần có kiến thức và nắm vững kỹ năng giải toán. Song hiểu theo cách nói là một lẽ, nhưng để giải quyết tốt loại toán này lại là một vấn đề không dễ. Khi làm các bài tập dạng này đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến không có kết quả tốt, hoặc nếu có thì kết quả cũng không cao. 
 2. Với những đặc điểm như vừa nêu, tôi cũng đã nghiên cứu, tìm tòi qua nhiều tài liệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp các em học sinh có thể tiếp cận các bài toán tối ưu một cách đơn giản, nhẹ nhàng nhưng vẫn đảm bảo các yêu cầu cần thiết của đối với nội dung này, giúp học sinh có cái nhìn cụ thể, rõ ràng hơn đối với một trong những vấn đề khó ở trường phổ thông, bởi vậy tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán thực tiễn bằng phương pháp sử dụng đạo hàm của hàm một biến”. Tôi mong rằng qua đề tài này có thể góp phần làm tăng thêm khả năng tư duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán... về các bài toán liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số mà đa phần các em gặp khó khăn.
III. NỘI DUNG VÀ BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH
PHẦN 1.2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ
Qua tìm hiểu, tổng hợp và phân tích, tác giả nhận thấy các bài toán thực tế liên quan đến việc sử dụng đạo hàm có thể chia thành 2 phần lớn:
Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học. Qua các ví dụ minh họa sau đây, tác giả sẽ chỉ ra cho bạn đọc những dạng toán thường gặp là gì? Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng đạo hàm như thế nào trong việc giải quyết bài toán mà họ đã đặt ra?
Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học. Như chúng ta biết, để có thể ứng dụng đạo hàm của hàm số thì trước tiên ta phải “thiết lập được hàm số”. Như vậy ta có thể mô tả quy trình mô hình hóa dưới đây
Dự đoán cho vấn đề thực tế
Bài toán thực tế
Mô hình toán học
Kết luận toán học
Đưa vào công thức
Giải
Giải thích
cho thực tế
Kiểm tra lại
Hình sau đây mô tả quá trình của việc mô hình hóa toán học cho một hiện tượng trong thực tế
Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau:
	Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Toán học” cho mô hình mô phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ giữa chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài.
	Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế, đời sống trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học,  Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. (Ở đây trong nội dung đang xét ta chỉ xét với tình huống 1 biến)
	Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp với bài toàn thực tế đã cho chưa.
	Sau đây để bạn đọc hiểu rõ hơn, tác giả sẽ lấy các ví dụ minh họa được trình bày theo các chủ đề ứng dụng đạo hàm:
Bài toán 1. Từ một tấm lớn hình chữ nhật có kích thước là với . Người ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Một cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp đó có thể tích lớn nhất?
Phân tích
Trước tiên, với câu hỏi của bài toán thì ta nên đặt x chính là cạnh của hình vuông cắt đi. Như vậy ta cần tìm điều kiện giới hạn của biến số x. Do khi đó 1 cạnh của tấm nhôm sau khi bị cắt trở thành nên ta có 
Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm nhôm còn lại là . Đến đây ta cần thiết lập công thức tính thể tích khối hộp 
Bài toán trở thành tìm . Mời bạn đọc xem lời giải!
Hướng dẫn giải
Gọi x là cạnh của hình vuông cắt đi, ta phải có điều kiện 
Khi đó thể tích hình hộp là 
Bài toán trở thành tìm 
Đạo hàm 
Ta có với mọi 
Do đó luông có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lý Vi-et, ta có 
Suy ra 
Hơn nữa, ta có . Do đó 
Bảng biến thiên
x
0 
 + 0 
V(x)
Max
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt giá trị lớn nhất khi
Bình luận: Qua bài toán bày ta cần lưu ý:
Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt là cực kì quan trọng. Chúng ta không nên chỉ ghi theo cách hiểu số đo đại số là một số dương. 
Hai là, nếu không thuộc công thức tính thể tích khối hộp xem như bài toán này không thể giải quyết tiếp được. Điều này đòi hỏi người giải phải biết cách vận dụng các kiến thức đã học vào bài toán thực tế.
Ba là, việc giải nghiệm từ phương trình cũng như lập bảng biến thiên của V(x) không hề đơn giản chút nào, đòi hỏi ở người giải phải có kỹ năng tốt trong biến đổi đại số.
Bài toán 2. Tìm chiều dài bé nhất của cái thang để nó có thể tựa vào tưởng và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4m, song song và cách tường 0,5m kể từ gốc của cột đỡ.
	A. Xấp xỉ bằng 	B. Xấp xỉ bằng 
	C. Xấp xỉ bằng 	D. Xấp xỉ bằng 
Phân tích
Trước tiên, ta có thể minh họa mô hình trên bằng hình vẽ sau. Để xác định được độ dài ngắn nhất của AC thì ta thử suy nghĩ xem nên phân tích độ dài AC theo hướng nào? Để từ đó định hướng cách đặt ẩn thích hợp. Đối với hình vẽ trên và các quan hệ về cạnh, ta nhận thấy có 2 hướng phân tích tốt là: hướng thứ nhất là phân tích và hướng thứ hai là 
Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta có thể thử đặt , đến đây chỉ cần tính được AB theo x là đã có thể lập được hàm số biểu diễn độ dài AC. Nhưng bằng cách nào đây? Ta sử dụng đến quan hệ tỉ lệ trong định lý Thales thuận nên ta có: . Bài toán trở thành tìm 
Nếu phân tích theo hướng thứ hai, nếu ta đặt thì khi đó ta sẽ biểu diễn độ dài (việc khảo sát hàm này không đơn giản chút nảo). Do đó ta chuyển hướng sang tìm quan hệ giữa góc và cạnh tam giác và nhận thấy . Đến đây ta thấy hướng phân tích tiếp là hoàn toàn thuận lợi vì khi đó và . Khi đó bài toán trở thành tìm 
Hướng dẫn giải.
Đặt . Theo định lý Thales ta có 
Do đó ta có 
Do vuông tại B 
Hay . Đặt 
Bài toán trở thành tìm với 
Ta có 
Cho 
Lập bảng biến thiên ta có:
x
0 2 
 0 
f(2)
Dựa vào bảng biến thiên ta có 
Do đó ta có 
Đáp án C
Cách khác: Đặt 
Khi đó ta có 
Đặt . Bài toán trở thành tìm 
Lập bảng biến thiên ta suy ra 
Đáp án C
Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:
Một là, quả thật dù giải theo cách nào, ta cũng gặp phải một số khó khăn nhất định khi giải tìm nghiệm của phương trình hay . Dựa theo cách thi trắc nghiệm ta có thể thử 4 phương án từ đáp án để tìm nghiệm (bằng chức năng CALC của máy tính cầm tay) sau đó kiểm tra qua hay .
Hai là, ngoài việc sử dụng “ứng dụng đạo hàm” để tìm GTLN – GTNN của hàm số này, ta cũng có thể vận dụng bất đẳng thức. Giả sử đặt 
Dựng hệ trục Bxy . Ta có 
Khi đó 
Bài toán trở thành tìm thỏa 
(việc giải tiếp xin dành cho bạn đọc!)
Ba là, ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Bài toán 3. Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích V ( không đổi, hệ số cho trước (k là tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy). Hãy xác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
Phân tích:
Với thể tích V cho trước và quan hệ giữa chiều rộng của đáy và chiều cao của hình hộp ta hoàn toàn có thể biểu diễn được độ dài theo 1 biến.
Như vậy ta cần hiểu yêu cầu bài toán “tiết kiệm nguyên vật liệu nhất là gì?” Đó chính là làm sao cho phần bao phủ bên ngoài hình hộp có diện tích nhỏ nhất hay diện tích toàn phần của khối hộp nhỏ nhất. 
Hướng dẫn giải
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáp hố ga.
Gọi h là chiều cao của hố ga 
Theo đề bài ta có và 
Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích toàn phần của hố ga là nhỏ nhất.
	Khi đó ta có: 
Suy ra Xét hàm số 
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) với 
 , cho 
Lập bảng biến thiên ta có
x
0 
 0 
f(x)
Dựa vào bảng biến thiên ta có 
Khi đó và 
Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:
Một là, ta có thể sử dụng bất đẳng thức để tìm 
Khi đó dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Hai là, từ ba kích thước cho trước thỏa yêu cầu bài toán trên ta đi đến quan hệ tỉ lệ giữa chúng là 
Ba là, cũng từ bài toán này nếu giữ nguyên giả thiết và thay thể hay (k là tỉ số giữa các kích thước của hình hộp) thì liệu rằng bài toán có thay đổi? Câu trả lời là kết quả vẫn tương tự như khi ta khảo sát với . Do đó
Nếu 
Nếu 
Bài tập tương tự 1. Cần phải xây dựng một hố ga có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích V (, có chiều cao gấp 3 lần chiều rộng của cạnh đáy. Hãy xác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp
Dựa vào bài toán 3, ta có 
Như vậy khi đó chiều cao sẽ gấp 2 lần chiều dài hình hộp.
Bài toán 4: Giả sử bạn là chủ của một xưởng cơ khí vừa nhận được một đơn đặt hàng là thiết kế một bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 20 lít. Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, bạn sẽ chọn giá trị nào cho độ cao bồn nước trong các giá trị dưới đây?
A. 0,3 mét	B. 0,4 mét 	C. 0,5 mét	D. 0,6 mét
Phân tích :
Ta đặt ra 1 số câu hỏi định hướng như sau :
Một là. Làm sao để tốn ít nguyên vật liệu nhất ?
Hai là, có thể tổng quát bài toán này lên không ?
Ta nhận thấy để ít tốn nguyên liệu nhất thì diện tích xung quanh của phần vỏ bao bên ngoài bồn chứa nước cùng với diện tích của đáy và nắp phải nhỏ nhất. Hay chính xác hơn ta cần tìm diện tích xung quanh nhỏ nhất ứng với thể tích mà đề bài cho.
Mà ta đã biết (với r, h lần lượt bán kính đáy và chiều cao của bồn nước hình trụ). Ta nhận thấy diện tích phụ thuộc theo 2 biến r và h. Và đến đây ta hiểu vì sao đề bài lại cho sẵn dung tích tức là đang cho mối liên hệ giữa bán kình đáy r và chiều cao h của hình trụ. Từ 
Như vậy ta cso thể tìm phụ thuộc theo 1 trong 2 biến r hoặc h. Và ta thấy nên tổng quát bài toán này lên thành V = const thay vì chỉ xét riêng lẻ trường hợp (lít)
Hướng dẫn giải
Gọi r, h (r,h>0) lần lượt bán kính đáy và chiều cao của khối trụ. Khi đó ta có 
Để ít tốn nguyên vật liệu nhất, ta cần tìm r sao cho diện tích toàn phần của khối trụ nhỏ nhất
Do đó 
Xét hàm số . Bài toán trở thành tìm 
Ta có: 
Lập bảng biến thiên, ta có
r
0
f’(r)
-
0 +
f(r)
Dựa vào bảng biến thiên, ta có 
Khi đó Đáp án A
Bình luận: ngoài cách sử dụng đạo hàm, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Thay V = 20 vào ta được Ta chọn đáp án A.
Đồng thời với việc tổng quát bài toán trên, ta nhận thấy, 
Bài toán 5. Màn hình TV đặt thẳng đứng tại một sân vận động, cao 2,4m, cạnh thấp nhất nằm phía trên tầm mặt khán giả A ngồi dưới nó là 8,5m. Một khán giả B có góc quan sát TV là thuận lợi nhất khi góc đối diện với màn hình TV là cực đại, khi đó khoảng cách giữa khán giả A và B là bao nhiêu? 
Phân tích:
Do đề bài yêu cầu góc quan sát thuận lợi nhất (tức lớn nhất) nên ta tìm cách biểu thị khoảng cách x theo góc .
Một nhận xét quan trọng là , lại có nên ta thử tính 
Đến đây, bài toán trở thành tìm 
Hướng dẫn giải
Gọi x là khoảng cách từ khán giả B đến khán giả A
Ta thấy rằng yêu cầu bài toán chính là xác định để từ đó suy ra khoảng cách 
Ta có 
Ta thấy rằng 
Đặt . Bài toán trở thành tìm 
Ta có: 
Lập bảng biến thiên
x
a 
 0 
g(x)
min
ta suy ra thỏa yêu cầu bài toán
Bình luận: Có vài điều ta cần lưu ý khi giải với các bài toán liên quan đến góc là
Một là, trong các tỉ số lượng giác thì với 
Hai là, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy nhằm tìm nhanh giá trị như sau: . 
Dấu “=” xảy ra 
Ba là, việc sử dụng công thức giúp ta chuyển bài toán từ việc tìm góc sang tìm cạnh (đúng với tinh thần đặt ra của câu hỏi).Hai bài tập tương tự dưới đây sẽ giúp các bạn rèn luyện và củng cố thêm cho mình.
Bài tập tương tự 1: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Xác định vị trí đó?
Hướng dẫn giải
Với bài toán này ta cần xác định
Điều này xảy ra khi và chỉ khi 
Đặt 
Ta có 
Bài toán trở thành tìm để đạt giá trị lớn nhất
x
0 
 + 0 
f(x)
Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất cách màn ảnh 2,4m.
Bài toán 6. Một chất điểm chuyển động theo quy luật tính theo mét, t tính theo giây. Trong 5 giây đầu tiên, thời điểm t mà tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Phân tích:
Với kiến thức vật lý đã học, ta biết . Do đó để tìm giá trị lớn nhất trong 5 giây đầu tiên thì ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm đã học
Hướng dẫn giải
Lập bảng biến thiên ta có:
t
0 2 5 
 + 0 
v(t)
 3 
Dựa vào bảng biến thiên ta có 
Bình luận: Ứng dụng của đạo hàm trong Vật lý rất đa dạng nhưng đặc biệt thể hiện rõ nét nhất chính là qua các bài toán chuyển động khi liên quan đến các đại lượng quãng đường, vận tốc và thời gian. Không chỉ riêng ở các bài toán chuyển động như vậy, ta còn bắt gặp các ứng dụng đạo hàm trong Vật lý ở các bài toán khác. Mời bạn đọc tiếp tục theo dõi các bài toán tiếp theo sau để hiểu rõ hơn.
Bài tập tương tự 1: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là (km) là hàm phụ thuộc theo biến t(giây) tuần theo biểu thức sau: . Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)?
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Bài tập tương tự 2: Cho phương trình chuyển động của một chất điểm , với đơn vị đo của t là giây, của s là mét. Khi nào chất điểm đứng yên biết rằng biểu thức của phương trình v(t) tại điểm t biết rằng 
Hướng dẫn giải
Theo đề bài ta có: 
Chất điểm đứng yên khi 
Bài toán 7. Khi cá hồi bơi với tốc độ v (km/h) ngược dòng nước, năng lượng sản ra của nó trên một đơn vị thời gian là , đơn vị là Jun. Người ta thấy rằng khi cá di cư cố gắng cực tiểu hóa năng lượng tổng thể để bơi một cách nhất định. Nếu vận tốc dòng nước là a (km/h) thì thời gian cần bơi được khoảng cách L là và năng lượng sản ra là trong đó q là hằng số dương. Để giảm thiểu tối đa năng lượng khi bơi quãng đường L thì tốc độ v cần thỏa mãn
	A. 	B. 	C. 	D. 
Phân tích: Do bài toán đã cho ta sẵn hàm nên ta có thể ứng dụng đạo hàm tìm min của E. (lưu ý v > a)
Hướng dẫn giải
 . Lập bảng biến thiên ta thấy
v
0 
 0 
E(v)
Dựa vào bảng biến thiên ta có: 
Bình luận: Trong thực tế, khi khảo sát việc bơi ngược dòng của những chú cá này, ta thấy tốc độ của chúng gấp gấn 1,5 lần tốc độ của dòng nước. 
Bài tập tương tự 1: Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm được cho bởi công thức (xe/giây), trong đó là vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm. Tính vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm sao cho lưu lượng xe là lớn nhất?
Hướng dẫn giải
Lập bảng biến thiên ta có:
v
0 
 + 0 
f(v)
max 
Bài tập tương tự 2: Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB bằng 1km và một kho hàng được đặt tại vị trí C cách B một khoảng 1km. Người canh giữ hải đăng có thể chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển nằm giữa B