SKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ.................................................................................Trang 2.
I. Lời mở đầu.......................................................................................Trang 2.
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu.......................................................Trang 3.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ...................................................................Trang 3.
I. Các giải pháp thực hiện....................................................................Trang 3.
II. Biện pháp tổ chức thực hiện...........................................................Trang 3.
1. Kiến thức chuẩn bị...........................................................................Trang 3.
2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải.........................Trang 3.
3. Bài tập vận dụng...........Trang18
C. KẾT QUẢ........................................................................................Trang 22.
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lời mở đầu.
	Căn cứ vào đường lối, chủ trương chính sách của Đảng và Pháp luật của Nhà nước. Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn của trường THPT Hoàng Lệ Kha năm học 2016 – 2017.
	Trong quá trình giảng dạy môn Toán, tôi được nhà trường giao cho dạy các lớp có đối tượng học sinh chủ yếu là học sinh trung bình, trung bình khá và một số ít học sinh khá. Chính vì nhiệm vụ trọng tâm của tôi là giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản của các vấn đề theo định hướng của Bộ GD&ĐT, của Sở GD&ĐT Thanh Hóa. Mục tiêu đặt ra là giảng dạy học sinh thi Tốt nghiệp THPT môn Toán hầu hết phải đạt từ 5 đến 8 điểm trở lên là vấn đề khó khăn với đối tượng học sinh của mình. 
	Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng và gần đây là thi tốt nghiệp THPT Quốc gia phần Hệ phương trình đóng vai trò quan trọng trong việc phân loại học sinh ở mức độ vận dụng cao. Hầu hết học sinh lớp tôi giảng dạy thường né tránh câu này, thậm chí khi làm bài thi nhiều em học sinh đã chấp nhận bỏ qua ngay từ đầu khi gặp bài toán giải hệ phương trình vì nghĩ rằng đây là vấn đề khó. Từ thực tế nhiều năm ra đề thi của Bộ GD&ĐT và sự né tránh của học sinh khi gặp bài toán giải hệ phương trình, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu và mạnh dạn dẫn dắt học sinh tiếp cận với bài toàn giải hệ phương trình để đạt được kết quả tốt nhất.
	Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán Hệ phương trình bằng phương pháp hàm số’’. Trong chuyên đề này tôi chỉ xây dựng bài toán giải hệ phương trình bằng cách phân tích, sử dụng các điều kiện của bài toán kết hợp với những tính chất và phép toán cơ bản để xuất hiện phương trình dạng f(u(x)) = f(v(x)) từ đó xét tính đơn điệu của hàm số f(t). .
	Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một số phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể tự tin khi tiếp cận với bài toán giải hệ phương trình. Từ đó có thể giải quyết được một số bài toán về hệ phương trình. Hy vọng rằng đề tài này sẽ giúp các bạn đồng nghiệp và các em học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi gặp một số bài toán về hệ phương trình.
	II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
	1. Thực trạng vấn đề
	Hiện nay khi gặp một số các bài toán giải hệ phương trình trong đề thi Đại học-Cao đẳng và thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia, một số học sinh đặc biệt là những học sinh ở mức độ trung bình, trung bình khá chưa tìm ra cách giải hoặc nếu có tìm ra cách giải thì mới chỉ giải quyết được một phần . Hầu hết học sinh vẫn chưa giải xong được bài toán. .
	2. Hệ quả của thực trạng trên
	Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian để biến đổi bài toán, hoặc không giải được. Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách chọn phương pháp cho phù hợp. Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán. 
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
	I. Các giải pháp thực hiện.
 	Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải sử dụng kiến thức nào phù hợp. Sau đó giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù hợp.
	II. Biện pháp tổ chức thực hiện.
	Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức về tính đơn điệu của hàm số và một số tính chất, phép toán cơ bản về giải phương trình, hệ phương trình. Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh vận dụng.
 	Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài toán tương đối đầy đủ về các bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số.
	1. Kiến thức toán có liên quan
- Định nghĩa và tính chất của hàm số.
- Tính đơn điệu của hàm số. 
- Các phép biến đổi tương đương phương trình, hệ phương trình.
- Các biểu thức liên hợp.
	2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình.
(1)
(2)
 [6]
Phân tích bài toán Nhận thấy phương trình thứ nhất có thể làm xuất hiện hai biến x, y ở hai vế khác nhau bằng cách chia hai vế cho y2 (với đk y 0) để hai vế là hai ẩn tách biệt. Từ đó ta xét hàm số.
Lời giải
	Điều kiện: 
Ta có: (do )
Phương trình 	(*)
Xét hàm số ) trên 
Ta có là hàm số đồng biến trên 
Phương trình (*) (**)
Thế vào (2) ta được:
Phương trình vô nghiệm (do x)
 Thế vào (**) ta được (t / m)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = 
Ví dụ 2  Giải hệ phương trình.
(1)
(2)
	 [6]
	Phân tích bài toán: Nhìn vào phương trình (1) chứa các biểu thức liên hợp như (x+ ) và nên ta khai thác phương trình này để đưa về phương trình có hai vế là hai ẩn tách biệt. Sử dụng hàm số để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó thế vào phương trình (2) để giải.
	Lời giải:
Điều kiện: , và với 
Phương trình (1) 	 
	 	(*)
Xét hàm số trên 
Ta có 
 đồng biến trên 
Phương trình (*) (**) thế vào phương trình (2)
Ta được: 	 
Phương trình vô nghiệm do 
 (t/m) thế vào (**) ta được (t/m)
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (x;y)= 
(2)
(1)
	Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: [7]
	Phân tích bài toán: Phương trình (2) có thể rút y theo x ( sẽ thu được phương trình bậc bốn đới với x) thế vào phương trình (1) sẽ đưa về phương trình khá phức tạp vì vậy ở phương trình (1) nhận thấy bậc ba đối với ẩn x, đồng thời chứa căn thức với y nhưng nếu đặt thì phương trình sẽ là phương trình chứa đa thức bậc ba với ẩn t. Vì vậy ta có thể biến đổi phương trình (1) về phương trình có hai biến tách biệt.
	Lời giải 
Điều kiện: 
Phương trình (1) 	 
	 (*)
Xét hàm số trên với 
 hàm số f(t) đồng biến trên 
Phương trình (*) (**)
Thế vào phương trình (2): 
Phương trình vô nghiệm vì 
	 (t/m) thế vào (**) ta được 
(1)
Vậy phương trình có nghiệm (x;y)=(0;2)
(2)
	Ví dụ 4 Giải hệ phương trình: () [8]
	Phân tích bài toán: Phương trình (1) dễ dàng rút y theo x để thế vào phương trình (2) và dẫn đến phương trình chứa căn thức và đa thức bậc ba khá phức tạp. Vì vậy ta dễ thấy ở phương trình (2) có thể biến đổi về phương trình tách biệt với hai biến x, y. Ta có thể thêm bớt 2y=2y-1+1 thì phương trình (2) xuất hiện dạng phương trình 
	Lời giải
Điều kiện: 
Phương trình (2) 	 (*)
Xét hàm số trên 
 với 
Phương trình (*)	 
	 (**) Thế vào phương trình (1)
Do phương trình vô nghiệm
	 (t/m) thế vào (**) ta được 
Vậy phương trình có 1 nghiệm là (x;y)=(1;1)
	(1)
(2)
Ví dụ 5 : Giải hệ phương trình: [6] 
	Phân tích bài toán Phương trình thứ nhất dễ dàng đưa được về dạng ta xét hàm số để được sau đó thế vào phương trình thứ hai 
	Lời giải 
Điều kiện: 
 (*)
Xét hàm số: 
Ta có:	 với đồng biến trên 
Phương trình (*) 	 
	 (**) thế vào phương trình (2)
Ta được: 	 
Phương trình vô nghiệm vì ( nên )
 (t/m) thế vào (**) ta được 
(1)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm (x;y) = 
(2)
	Ví dụ 6 Giải hệ phương trình: [6]
	Phân tích bài toán: Nhận thấy phương trình hai có khả năng liên hợp giống dạng hàm số thường gặp. Với đưa phương trình hai về dạng
 sau đó xét hàm số ) từ đó được 
	Lời giải
Điều kiện: 
Nếu thay vào phương trình (2) được 1=0 vô lý, Loại
Nếu , chia hai vế phương trình (2) cho ta được:
	 (*)
Xét hàm số trên 
Ta có: nên hàm số f(t) đồng biến trên 
Phương trình (*)	 
Thế vào phương trình (1) ta được: 
	 (**)
Nếu (Không t/m)
Nếu (t/m)
Nếu (Không t/m).
Vậy phương trình (**) có nghiệm duy nhất ta được 
Vậy hệ phương trình có nghiệm 
	Ví dụ 7 Giải hệ phương trình:
(2)
(1)
	 [6]
	Phân tích bài toán: Nếu xét từng phương trình trong hệ thì chưa có dấu hiệu dùng hàm số. Tuy nhiên từ phương trình (1) có dấu hiệu hai biểu thức chứa căn ở hai vế của phương trình nên ta làm xuất hiện hàm số f(t) bằng cách lấy vế cộng với vế của phương trình (1) và phương trình (2) để đưa về dạng: 
	Lời giải
Hệ phương trình 
Cộng hai vế hai phương trình ta được:
	 (*)
Xét hàm số: 	 
	 là hàm số đồng biến trên 
(*) 	 
	 kết hợp với phương trình (2) ta được.
	 	hoặc 
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm 
	Ví dụ 8 Giải hệ phương trình: 
(1)
(2)
	 [7] 
	Phân tích bài toán : Mới nhìn hệ phương trình ta thấy cả hai phương trình đều khá phức tạp, việc phân tích đưa về phương trình tích ở mỗi phương trình đều khó khăn. Tuy nhiên ở phương trình (2) với ta có thể đưa về phương trình hai ẩn x, y nằm về hai vế riêng biệt bằng cách chia hai vế cho 
	Lời giải
	Điều kiện: 
Xét y=0 phương trình (2) trở thành -8=0 vô lí loại
Xét phương trình (2) 
	 	(*)
Xét hàm số trên trên hàm số f(t) đồng biến trên 
(*) thế vào phương trình (1)
 	(**)
Đặt 
Phương trình (**) 
Với 
Với phương trình vô nghiệm vì vế trái 
(1)
(2)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
	Ví dụ 9 : Giải hệ phương trình: [7]
	Với điều kiện 
	Phân tích bài toán: Từ hai phương trình trong hệ ta có thể đưa về phương trình tách biệt hai ẩn x, y tuy nhiên từ phương trình (1) dễ thấy làm xuất hiện hàm số là hàm số đồng biến trên . Vì vậy ta nên biến đổi phương trình (1).
	Lời giải
	 D=
Phương trình (1) 	 
	 	(*)
Xét hàm số trên 
Ta có với 
=> hàm số f(t) luôn đồng biến trên 
Phương trình (*) (**)
Thế vào phương trình (2) ta được: 
	 thế vào (**) ta được 
Vậy phương trình có hai nghiệm (x;y) = 
	Ví dụ 10 Giải hệ phương trình: 
(1)
(2)
	 [6]
	Phân tích bài toán Từ phương trình (1) dễ dàng biến đổi thành từ đó xuất hiện hàm số là hàm số đồng biến trên .
	Lời giải
	D= 
Phương trình (1) 	(*)
Xét hàm số trên 
Ta có với hàm số f(t) đồng biến trên 
Phương trình (*) thế vào phương trình (2)
Ta có: 	 
	 (3)
Với thỏa mãn
Với phương trình (3) 
 vô nghiệm
Với ta được 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(0;1)
(1)
	Ví dụ 11 Giải hệ phương trình:
(2)
	 [7]
	Phân tích bài toán 
Từ phương trình (1) tách hằng số 2 ta được và phá ngoặc ta được phương trình: từ đó xét hàm số với là hàm số đồng biến.
	Lời giải
	Điều kiện: 
Phương trình (1) (*)
Xét hàm số trên 
Ta có hàm số đồng biến trên 
Phương trình (*) (**)
Phương trình (2) 
Với thế vào (**) (vô nghiệm)
Với thế vào (**) 
Với ta được 
Vậy hệ phương trình có nghiệm là 
	Ví dụ 12 Giải hệ phương trình:
(2)
(1)
	 [6] 
	Phân tích bài toán Nhận thấy phương trình (1) có dấu hiệu là hai vế chứa hai ẩn x, y riêng biệt. Ta chỉ cần biến đổi phương trình này xuất hiện hàm số f(t) và chỉ ra tính đơn điệu của nó để đưa ra điều kiện ràng buộc giữa hai biến x, y.
	Lời giải
 ĐK: 
Phương trình (1) (*)
Xét hàm số trên 
Ta có với hàm số đồng biến trên 
Phương trình (*) 
Với thế vào phương trình (2) ta được
Nhận thấy phương trình vô nghiệm vì vế trái luôn dương với 
	Với 
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(5;1)
(2)
(1)
	Ví dụ 13: Giải hệ phương trình: [7] 
	Phân tích bài toán: 
	Nhận thấy phương trình (1) có hai vế là hai ẩn x, y riêng biệt với điều kiện xác định thì ta phân tích phương trình (1) xuất hiện hàm số .
	Lời giải:
	ĐK: 
Phương trình (1) 
(*)
Xét hàm số với 
Ta có với hàm số đồng biến trên 
Phương trình (*) (**)
Từ (2) kết hợp với (**) ta được
	 với 
Phương trình vô nghiệm 
Với ta được 
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(3;1)
(2)
(1)
	Ví dụ 14: Giải hệ phương trình: [7] 
	Phân tích bài toán: Từ phương trình (1) dễ dàng phân tích thành dẫn đến xuất hiện hàm số là hàm số đồng biến trên .
	Lời giải:
	ĐK: 
Từ phương trình (1) (*)
Xét hàm số trên 
Ta có với hàm số đồng biến trên 
Phương trình (*) 
Thế vào phương trình (2) ta được.
phương trình vô nghiệm do 
 Với ta được 
	 ta được (t/m điều kiện)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 
	Ví dụ 15: Giải hệ phương trình: 
(2)
(1)
	 [7] 
	Phân tích bài toán: 
Nhận thấy phương trình (1) khá phức tạp cho việc biến đổi do đó ta xem xét phương trình (1) có dấu hiệu đưa về xét hàm số thường gặp bằng cách biến đổi: 
	Lời giải:
	Đk: 
Phương trình (1) (*)
Xét hàm số với 
Ta có với hàm số đồng biến trên 
Phương trình (*) 
	 thế vào phương trình (2) ta có:
(3)
Với ta được ( t/m điều kiện)
Phương trình (3) 
	 (**)
Xét hàm số trên với hàm số đồng biến trên .
Phương trình (**) 
(Loại)
(Thỏa mãn)
	Với 
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 
	3. Bài tập vận dụng
Bài 1 Giải hệ phương trình: 
Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: 
Bài 2: Giải hệ phương trình: 
 	Đáp số: 
Bài 3  Giải hệ phương trình: 
Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: 
Bài 4: Đề thi tuyển sinh đại học năm 2010 - khối A
	Giải hệ phương trình: 
Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm: 
Bài 5 : Giải hệ phương trình: 
Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm: 
Bài 6 Giải hệ phương trình: 
Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm: 
Bài 7 : Giải hệ phương trình: 
Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: 
Bài 8 Giải hệ phương trình: 
Đáp số: Hệ phương trình có hai nghiệm: 
Bài 9 : Giải hệ phương trình: 
Đáp số: Hệ phương trình có hai nghiệm: 
Bài 10 : Giải hệ phương trình: 
Đáp số: Hệ phương trình vô nghiệm. 
 C. KẾT QUẢ
	I. Kết quả nghiên cứu
	Thông qua hệ thống các bài toán giải hệ phương trình, ta thấy khi gặp các vấn đề trở nên đơn giản hơn rất nhiều, dễ vận dụng, không quá phức tạp với học sinh.
	Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài tập trên, học sinh đã biết vận dụng một cách linh hoạt, vào các bài toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp. Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn.
	II. Kiến nghị
	Thứ nhất: Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, nhất là các sáng kiến đổi mới phương pháp giảng dạy cần được tập hợp trong một kỷ yếu khoa học của Sở GD& ĐT và tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh và phụ huynh được tham khảo. 
	Thứ hai: Ngoài việc đánh giá và xếp giải các SKKN bộ phận chuyên môn của Sở GD& ĐT cần bổ xung thêm những hạn chế của từng đơn vị để giáo viên rút kinh nghiệm cho việc nghiên cứu lần sau.
XÁC NHẬN 
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Nguyễn Văn Hà
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao.
[2]. Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao.
[3]. Sách bài tập Đại số 10 Nâng cao.
[4]. Sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao.
[5]. Hàm số . Tác giả: Lê Hồng Đức.
[6]. Các đề thi đại học môn toán từ 1996 - 2015.
[7]. Các đề thi thử của các trường THPT 
[8]. Nguồn khác: Internet.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HOÀNG LỆ KHA
&œ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
 Người thực hiện: Nguyễn Văn Hà
 Chức vụ: Giáo viên 
	 SKKN thuộc môn: Toán
 THANH HÓA, NĂM 2017