SKKN Hình thành phương pháp giải từ việc khai thác một bài tập trong sách Hình học lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG PTTH HÀ TRUNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
HÌNH THÀNH PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỪ VIỆC KHAI THÁC MỘT BÀI TẬP TRONG SÁCH HÌNH HỌC LỚP 12
Người thực hiện: Lý Văn Đáng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2018
THANH HOÁ NĂM 2018
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU 3
 1.1. Lý do chọn đề tài...3
 1.2. Mục đích nghiên cứu.....3
 1.3. Đối tượng nghiên cứu....3
 1.4. Phương pháp nghiên cứu...4
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ....4
 2.1. Cơ sở lí luận.............................................................................................4
 2.2. Thực trạng vấn đề.........6
 2.3. Các giải pháp thực hiện........6
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến...........17
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ........ 18
 3.1. Kết luận 18
 3.2. Kiến nghị. 18
1. MỞ ĐẦU.
1.1 Lý do chọn đề tài.
Trong chương trình toán THPT hiện nay phần hình học không gian nói chung cũng như phần hình học không gian lớp 12 nói riêng ,là một phần học khó đối với hầu hết các em học sinh.Nguyên nhân thì có nhiều ,nhưng qua các năm trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy cái khó của môn học này là : để giải được một bài toán hình học không gian yêu cầu học sinh phải có một hệ thống kiến thức lô gíc, cách suy luận, tư duy trìu tượng, kỹ năng vẽ hình ,kỹ năng tính toán thành thạo mà đây lại là những điểm yếu của đa số học sinh hiện nay.
	Hơn nữa trong một số năm gần đây bộ GD&ĐT đưa cách thi trắc nghiệm khách quan đối với môn toán nên áp lực về thời gian để giải một bài toán tăng lên .Vì vậy vấn đề đặt ra là: làm thế nào để giúp các em có thể giải quyết một bài toán mạch lạc và nhanh nhất có thể .Trước tình hình đó trong quá trình giảng dạy phần thể tích khối đa diện tôi nhận thấy trong SGK lớp 12 có một bài tập mà qua đó có thể khai thác và hình thành một phương pháp giải các bài toán liên quan tới thể tích. Nhằm giúp học sinh có hứng thú trong quá trình học hình học không gian ,cũng như giúp các em đạt kết quả tốt trong quá trình học tập, thi cử và hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy tôi mạnh dạn viết đề tài “Hình thành phương pháp giải từ việc khai thác một bài tập trong sách hình học lớp 12”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Đưa ra phương pháp giải toán thông qua các bài tập từ đó đề ra giải pháp, xây dựng các hoạt động và hoạt động thành phần giúp học sinh nắm lý thuyết, giúp học sinh củng cố kiến thức, hình thành kĩ năng giải toán, phát triển tư duy sáng tạo. Đồng thời thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh thực hiện nội dung này là học sinh lớp 12.
- Đối tượng nghiên cứu: hình thành một phương pháp giải toán từ việc khai thác một bài tập trong sách giáo khoa, các dạng toán có thể áp dụng được, sai lầm của học sinh khi áp dụng và cách khắc phục
1.4. Phương pháp nghiên cứu. 
- Nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy học toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng của các trường trung học phổ thông, mạng internet,..
- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt bài học của học sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán và qua các bài kiểm tra..
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm trong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp.
- Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm ở các lớp 12C, 12D trường THPT Hà Trung trong năm học 2017 -2018.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận.
 - Các tính chất của thể tích khối đa diện[1]
+Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
+Nếu một khối đa diện được chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó
+Khối lập phương có cạch bằng 1 thì có thể tích bằng 1
 - Bài toán :[1] Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác điểm S. gọi V và lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và chứng minh rằng : (1)
Giải: 
Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A’ lên (SBC)
Ta có AH//A’H’. Ba điểm S, H, H’ cùng thuộc hai mp (AA’H’H) và (SBC) nên chúng thẳng hàng. Xét SAH ta có (a)
Do đó 
Từ (a) và (b) ta được điều phải chứng minh
Lưu ý :Trong công thức (1), nếu cho B’B và C’C ta được
	(2)
Ta lại có 
 	(3)
Tổng quát ta có bài toán sau đây:
Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2An (, trên đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1. Khi đó ta có
	(4)
Chứng minh (4) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2)
2.2. Thực trạng vấn đề.
Trong thực tế giảng dạy,khi gặp các bài toán liên quan tới tính thể tích khối đa diện, học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc xác định đường cao của đa diện. Nếu làm theo cách thông thường rất mất thời gian vì vậy không giải quyết được áp lực về thời gian khi làm bài toán trắc nghiệm Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy có rất nhiều bài toán có thể giải quyết nhanh và gọn khi áp dụng các công thức trên. Vì vậy tôi viết đề tài này nhằm giúp các em giải quyết khó khăn trên cũng như góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy.
2.3. Các giải pháp thực hiện
Trong quá trình giảng dạy để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp sau:
- Cung cấp cho các em hệ thống lý thuyết đầy đủ chặt chẽ thông qua bài toán cơ bản
- Phân dạng bài tập, đưa ra dấu hiệu nhận biết bài tập đó có thể áp dụng phương pháp này được không.
- Đưa ra các bài tập có tính hệ thống tăng dần về độ khó từ mức độ nhận biết, thông hiểu lên vận dụng. Giúp cho các em làm quen dần với dạng bài tập này. Dần hình thành kỹ năng giải toán cũng như tính chính xác và linh hoạt trong quá trình giải toán.
- Tăng cường đổi mới trong việc kiểm tra, đánh giá. Ra đề kiểm tra với 4 mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ tiếp thu, kiểm tra năng lực của học sinh và có kế hoạch điều chỉnh.
2.3.1. Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp C.A’B’FE.[3]
Giải : Cách 1. (Tính trực tiếp đường cao và diện tích đáy)
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và A’B’; J là trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng qua J và song song với AB cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Đường thẳng EF chính là giao tuyến của (JA’B’) với (ABC). Khi đó, vì EF (CJK) nên 
 Ta có: CI là đường cao tam giác đều ABC nên CI = IJ từ đó suy ra : 
Ta có Do đó 
Lại có tứ giác là hình thang có đường cao KJ nên ta có 
 do đó 
Cách 2 ( dùng công thức tỷ số thể tích ) Nhận xét : 
Ta có : 
 từ đó suy ra kết quả 
	Nhận xét Việc giải bài toán theo cách 1 đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về quan hệ vuông góc trong không gian tốt và tốn nhiều thời gian .Nhưng với cách 2 cho ta lời giải rất gọn quan trong hơn cho ra kết quả rất nhanh
Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’[4]
Giải 
Cách 1: Ta có và mà 
 Tam giác SAC vuông góc tại A và có đường cao là nên 
Ta có 
Vậy 
Cách 2 : ( dùng công thức tỷ số thể tích ) Vì khối chóp S.ABCD có mf(SAC) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau nên mà 
Từ đó suy ra 
Nhận xét : Bằng cách so sánh hai cánh giải trên ta thấy làm cách 2 giúp ta giảm đi một nửa khối lượng tính toán điều này kích thích sự sáng tạo của học sinh giúp các em tạo ra hứng thú trong học tập
Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.[3]
Giải:
Cách 1 : Gọi Q là trung điểm của AB ta có PQAB nên PQMN.Do đó MN(SPQ) nên (SAB)(SMN). Trong (SPQ) kẻ PH vuông góc với SQ Thì PH(SAB) hay PH(AMN) do đó PH chính là đường cao của hình chóp AMNP
	Trong tam giác SPQ có SO và PH là hai đường cao nên SO.PH=PH.SQ ta có PQ=BC=a tam giác SAQ vuông tại Q nên tam Giác SOQ vuông tại O nên 
Vậy PH= 
*tính diện tích tam giác AMN: 
Vậy 
Cách 2: ( sử dụng công thức tỷ số thể tích)
Do MS=MA nên d(A,(MNP))=d(S,(MNP)) suy ra ta có 
Nhận xét: rõ ràng cách 2 giải quyết bài toán một cách ngắn gọn và đẹp
Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tìm tỉ số thể tích của hai hình chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD. [2]
Giải
Giả sử AC cắt BD tại O và cắt SO tại K do là trung điểm của SB và SD nên K là trung điểm của và cũng là trung điểm của SO trong (SAC) ta có AK cắt SC tại trong tam giác kẻ do OA=OC suy ra vậy ta có nên 
Từ đó ta có 
Nhận xét : Nếu giải quyết bài toán trên bằng cách tính trực tiếp thể tích từng phần rồi sau đó mới tính tỷ số thì quá dài và đặc biệt tìm đường cao của khối chóp rất khó và ngoài ứng dụng để tính thể tích thì phương pháp trên áp dụng với các bài toán tính tỷ số thể tích giữa các phàn của khối đa diện bị cắt bởi một mặt phẳng rất hiệu quả
Ví dụ 5: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AM và song song với BD chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.[3]
Giải: 
gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của SO và AM khi đó (P) cắt (SBD) theo giao tuyến qua I và song song với BD qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB tại N cắt SD tại Q thì I là trọng tâm tam giác SAC 
nên : do đó 
tương tự ta có : 
vì nên từ (1) và (2) ta suy ra kết quả là: 
Nhận xét :với bài toán này việc tính thể tích của từng khối là công việc quá khó vì đề bài không cho các yếu tố đặc biệt do đó mối liên hệ giữa độ dài các cạch là tùy ý nếu học sinh tự đặt ra các độ dài các cạch thì bài toán trở nên rất phức tạp vì vậy sử dụng công thức tỷ số thể tích với bài toán này là tối ưu Ví dụ 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC, mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.[3]
Giải :
gọi P là giao điểm của MN và SDQ là giao điểm của BM và AD khi đó P là trọng tâm tam giác SCM và Q là trung điểm của MB
Ta có vì D là trung điểm của MC nên d(M,(BCN))=2d(D,(BCN)) 
suy ra 
Nhận xét: qua cách giải trên ta thấy bài toán được giải quyết một cách ngắn gọn một cách bất ngờ điều này giúp học sinh cách nhìn nhận, cách tiếp cận một bài toán ở nhiều góc độ khác nhau
Ví dụ 7 Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.[3]
Giải :
Kẻ MN // CD (N thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).
 + Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = . 
Suy ra VABMN.ABCD = 
 Do đó : 
Nhận xét:Thông thường khi giải bài toán này học sinh thường tự đặt độ dài cạnh đáy và cạnh bên bởi một đại lượng nào đó rồi tiến hành tính toán theo đại lượng mình đã đặt khi đó học sinh thường lúng túng khi tìm đường cao của hình chóp S.ABMN
Ví dụ 8: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng . Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho: Tìm khoảng cách từ C đến mp(SAD).[3]
Giải
Ta có: 
Áp dụng pitago ta có:
, , 
 vuông tại A nên 
 Vậy khoảng cách cần tìm là: 
Nhận xét: Công việc tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng là một việc làm khó đối với học sinh do đó cách giải trên giúp học sinh rút ra kết luận là:khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chính là độ dài đường cao của một hình chóp thích hợp do đó kích thích sự sáng tạo của học sinh
+Ngoài ra công thức tỷ số thể tích có thể vận dụng để giải nhanh các bài tập trắc nghiệm mà nếu như dùng cách thông thường thì tốn rất nhiều thời gian sau đây là một số ví dụ:
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M,N là trung điểm của SA,SB. Mặt phẳng MNCD chia hình chóp đã cho thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần S.MNCD và MNABCD là[4].
	A. 	B. 	C. 	D. 1.
Ta có và 
Khi đó và 
Vậy tỷ số
Chọn B
Câu 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành I là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp làm 2 phần. Tính tỷ số thể tính của 2 phần này[4].
+Do K là trọng tâm tam giác SAC nên:
tương tự : 
nên : 
chọn B
Câu 3: Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của AB, N là điểm thuộc AC sao cho AN=2CN. Trong các số dưới đây số nào ghi giá trị tỉ số thể tích giữa khối tứ diện AMND và phần còn lại của khối tứ diện ABCD[4].
+có 
Chọn A
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC. Trên SA, SB , SC lần lượt lấy các điểm M, N, Q sao cho SM=MA, NB=3SN, QC=4SQ tính biết [4].
+ có 
Chọn B
2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
Trong năm học 2017-2018 tôi được nhà trường phân công dạy môn toán hai lớp 12C và 12D .Sau khi hướng dẫn học sinh vận phương pháp trên trong một số bài tập cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học trò các lớp kết quả như sau 
Lớp
Điểm yếu
Điểm TB
Điểm khá
Điểm giỏi
Số bài
%
Số bài
%
Số bài
%
Số bài
%
12C
0
0
6
12,5
28
58,3
14
29,2
12D
3
6,9
7
16,4
27
62,8
6
13.9
Với số học sinh còn lại tuy các em chưa nắm bắt được hết nhưng đại đa số đã có thái độ học tập tốt hơn tới khi kết thúc năm học các em đều đạt kết quả tốt trong khả năng của mình
3. KẾT LUẬN
Sau khi kết thúc chương trình lớp 11, đại đa số các em đều than phiền là môn hình học không gian khó; đặc biệt là chương quan hệ vuông góc các bài toán thường yêu cầu tính toán nhiều mà đây lại là điểm yếu của rất nhiều học sinh . Khi các em học sang lớp 12 phần thể tích khối đa diện yêu cầu tính toán lại được nâng lên vì vậy đa số các em đều ngại môn học này .
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, nhiều em cảm đặc biệt là một số em có học lực khá, đều cảm thấy bất ngờ khi mà một số bài toán tưởng chừng như không thể giải quyết được thì nay lại được giải quyết một cách đơn giản, dễ hiểu nhờ công cụ là tỉ số thể tích. Vì vậy các em có hứng thú hơn trong học tập và đặc biệt các em không còn ác cảm với môn hình học nữa .Do đó chất lượng học tập được cải thiện một cách rõ rệt 
	Trên đây là một số ý kiến, của bản thân mà tôi rút ra trong quá trình dạy học 
3.2. Kiến nghị.
- Nhà trường cần tạo điều kiện để có nhiều tủ sách lưu lại các sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên đã được xếp loại, các chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng của giáo viên,các tài liệu khác để đồng nghiệp có tư liệu tham khảo.
- Bằng cách nào đó các cơ quan quản lý giáo dục trong tỉnh nên cho các giáo viên trong tỉnh tiếp cận được các tài liệu đặc thù của tập thể các trường khác để giáo viên có điều kiện giao lưu kiến thức
 Mặc dù đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sơ suất, thiếu sót. Kính mong hội đồng khoa học các cấp và bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây dựng, bổ sung cho bản kinh nghiệm của tôi đạt chất lượng tốt hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 22 tháng 4 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Lý Văn Đáng
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
[1]. Sách giáo khoa hình học 12; tác giả Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) Văn Như Cương (chủ biên )-Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân XB Giáo Dục năm 2010
[2] Báo Toán học tuổi trẻ.
[3].Đề thi thử đại học và cao đẳng qua các năm của các trường trong nước
[4] Nguồn khác: internet.