SKKN Góp phần phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh thpt qua chủ đề giải toán bằng phương pháp vectơ và tọa độ trong hình học phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG PT NGUYỄN MỘNG TUÂN
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO 
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT QUA CHỦ ĐỀ GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ VÀ 
TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
 Người thực hiện: Lương Bá Tính
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2016
TT
NỘI DUNG
 Trang
1
MỞ ĐẦU
1
 2
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2
 2.1
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
 2.2
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
5
 2.3
Phương pháp nghiên cứu
6
2.4
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với học sinh
19
 3
Kết luận
20
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
- Lý do chọn đề tài
	Ngày nay ở Việt Nam, cũng như ở nhiều nước trên thế giới, giáo dục được coi là quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội. Với nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát triển toàn diện về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng được kiến thức trong tình huống công việc.
	Để làm được điều này, với lượng kiến thức và thời gian được phân phối cho môn toán bậc THPT, mỗi giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp thì mới có thể truyền tải được tối đa kiến thức cho học sinh, mới phát huy được tư duy sáng tạo của học sinh, không những đáp ứng cho môn học mà còn áp dụng được kiến thức đã học vào các khoa học khác và chuyển tiếp bậc học cao hơn sau này.
	Vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, do đó công cụ vectơ tạo điều kiện thực hiện mối liên hệ liên môn ở trường phổ thông.
	Phương pháp vectơ và toạ độ cho phép học sinh tiếp cận những kiến thức hình học phổ thông một cách gọn gàng và có hiệu quả một cách nhanh chóng, tổng quát, đôi khi không cần đến hình vẽ. Nó có tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy sáng tạo, trừu tượng, năng lực phân tích, tổng hợp...
	Từ vectơ có thể xây dựng một cách chặt chẽ phương pháp toạ độ theo tinh thần toán học hiện đại, có thể xây dựng lý thuyết hình học và cung cấp công cụ giải toán, cho phép đại số hoá hình học.
	Thực tế giảng dạy áp dụng vectơ và toạ độ để giải toán ở phổ thông hiện nay đa số còn rất sơ sài. Sách giáo khoa, với lý do sư phạm cũng chỉ dừng lại ở mức độ cơ bản, do vậy học sinh cũng chưa thực sự nắm được nhiều ứng dụng của phương pháp này.
	Với các lý do nêu trên, tôi đã tìm hiểu và nghiên cứu: "Góp phần phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh THPT qua chủ đề giải toán bằng phương pháp vectơ và toạ độ trong hình học phẳng".
- Mục đích nghiên cứu
	- Nghiên cứu quá trình rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo toán học ở học sinh bậc THPT.
	- Trên cơ sở lý thuyết vectơ, toạ độ trong mặt phẳng ở chương trình THPT, cùng với các kiến thức hình học tổng hợp khác, các dạng bài tập ứng dụng phương pháp vectơ và toạ độ trong hình học phẳng, góp phần phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh.
- Đối tượng nghiên cứu
	- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo, quá trình rèn luyện và phát triển loại hình tư duy này ở bậc THPT.
	- Đưa ra hệ thống các bài tập ứng dụng, hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển các bài toán đó theo hướng sáng tạo.
	- Đưa ra một số biện pháp sư phạm nhằm thực hiện mục đích nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu
 Nghiên cứu lý luận
	- Nghiên cứu khai thác các tài liệu về tư duy biện chứng thông qua việc giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông, đặc biệt ở khía cạnh tư duy sáng tạo.
	- Nghiên cứu khai thác các tài liệu liên quan đến hứng thú học tập, động cơ học tập, phát huy tính tích cực học tập của học sinh qua môn Toán.
	- Nghiên cứu chương trình và nội dung đổi mới sách giáo khoa và phương pháp giảng dạy bậc THPT, đặc biệt là hình học lớp 10.
Phương pháp quan sát điều tra
	- Điều tra thực trạng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh
	- Quan sát việc học tập của học sinh, khảo sát mức độ tích cực học tập, tư duy sáng tạo trong giờ học để phát hiện nguyên nhân cần khắc phục và lựa chọn nội dung thích hợp cho đề tài.	
 - Thu thập kết quả thực tế của học sinh làm cơ sở thực tiễn để đưa hệ thống bài tập phù hợp có tính khả thi .
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM	
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
- Khái niệm tư duy và tư duy sáng tạo
Tư duy là một quá nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết.
	Các hình thức cơ bản của tư duy:
+ Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng 
+ Phán đoán: Phán đoán là hình thức tư duy, trong đó khẳng định một dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng. Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi.
+ Suy luận: Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định (gọi là các quy luật, quy tắc suy luận). Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo những quy luật, quy tắc ấy. 
Các thao tác tư duy:
+ Phân tích-tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau. Còn tổng hợp là các thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần đã tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể.
+ So sánh-tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức. So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích-tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng.Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác. 	
+ Khái quát hoá- đặc biệt hoá: Khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm hợp nhất nhiều đối trượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất.
+ Trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy. Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động.
- Khái niệm tư duy sáng tạo, thành phần của tư duy sáng tạo
	Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất.
	Tư duy sáng tạo gồm các thành phần sau:
+ Tính mềm dẻo: Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán. Tính mềm dẻo gạt bỏ sự sơ cứng trong tư duy, mở rộng sự nhìn nhận vấn đề từ nhiều khía cạnh khác nhau của chủ thể nhận thức.
+ Tính nhuần nhuyễn: Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới. Tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi khả năng tạo ra số các ý tưởng mới khi nhận thức vấn đề.
+ Tính độc đáo: Là năng lực độc lập tư duy trong quá trình xác định mục đích 
cũng như giải pháp, biểu hiện trong những giải pháp lạ, hiếm, tính hợp lý, tính 
tối ưu của giải pháp.
+ Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
+ Tính nhạy cảm vấn đề: Là năng lực nhanh chóng phát hiện vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic, chưa tối ưu...và từ đó đề xuất hướng giải quyết, tạo ra 
cái mới.
- Dạy học giải bài tập ở trường phổ thông
- Vai trò của việc giải bài tập toán
	- Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môn toán ở nhà trường phổ thông. Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Thông qua việc giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhiều hoạt động như: Nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc-phương pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học. 
	- Vị trí bài tập toán: Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn.
	- Chức năng của bài tập toán là: Dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra.
	- Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: Mục đích, nội dung và phương pháp của quá trình dạy học. Cụ thể: 
+ Về mặt mục đích dạy học, bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn toán như: 
	. Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
	. Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình thành các phẩm chất trí tuệ.
	. Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
+ Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lý thuyết.
+ Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt động để học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác. Khai thác tốt bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
	Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau. Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra.... Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của học sinh, cũng như hiệu quả giảng dạy của giáo viên.
- Phương pháp giải bài tập toán
	Theo G.Pôlya, phương pháp chung giải một bài toán gồm 4 bước: 
+ Bước 1: Hiểu rõ bài toán? Đâu là dữ kiện? Có thể thoả mãn được điều kiện hay không ? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không, hay chưa đủ, hay thừa, hay có mâu thuẫn?
	- Hình vẽ. Sử dụng một ký hiệu thích hợp.
	- Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó thành công thức không?
	Qua bước 1 ở trên, ta thấy việc đánh giá được dữ kiện có thoả mãn hay không, thừa hay thiếu... đã bước đầu thể hiện tư duy sáng tạo. Nếu làm tốt được khâu này thì việc giải bài toán đã có thể rất thuận lợi để tìm được lời giải đúng.
+ Bước 2: Xây dựng một chương trình giải
	- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác?
	- Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?
	- Xét kỹ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn tương tự.
	- Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phương pháp? Có cần phải dựa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?
	- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa? Quay về định nghĩa.
	- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán có liên quan. Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải được một phần bài toán không? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố không? Có thể thay đổi ẩn hay khác dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn và các dữ kiện mới được gần nhau hơn không?
	- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
	Qua các phần dẫn dắt của bước 2, ta thấy rằng tư duy sáng tạo đã được thể hiện ở mức độ cao hơn. Chẳng hạn việc giải thử một bài toán có liên quan, hay tổng quát hơn...chính là sự thể hiện tư duy sáng tạo.
+ Bước 3: Thực hiện chương trình giải 
	Hãy kiểm tra lại từng bước. Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?
	Qua bước này ta thấy việc thực hiện được chương trình giải và chứng minh được là đúng, tức là đã hoàn thành bài toán, các yếu tố của tư duy sáng tạo đã được thể hiện đầy đủ.
+ Bước 4: Trở lại cách giải
	- Bạn có kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán không?
	- Có tìm ra được kết quả một cách khác không? Có thể thấy ngay trực tiếp kết quả không?
	- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho mọi bài toán nào khác không?
	Trong quá trình giải toán rất nên làm cho học sinh biết các nội dung của
 lôgic hình thức một cách có ý thức, xem như vốn thường trực quan trọng để làm việc với toán học cũng như để sử dụng trong quá trình học tập liên tục, thường xuyên. Để thực hiện điều này, sau khi giải xong mỗi bài toán cần có phần nhìn lại phương pháp đã sử dụng để giải. Dần dần những hiểu biết về lôgic sẽ thâm nhập vào ý thức của học sinh.
	Rất nên hệ thống hoá các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô hình nào đấy để học sinh thấy được những tính chất đa dạng thông qua các chủ đề và mô hình đó, cũng là cơ sở quan trọng để phát triển tư duy sáng tạo trong quá trình học tập và nghiên cứu.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiêm.
- Những khó khăn khi giải toán vectơ và toạ độ trong hình học phẳng của học sinh:	Từ chương trình hình học phẳng ở bậc THCS, vào lớp 10 học sinh được tiếp cận ngay hàng loạt khái niệm, phép toán hoàn toàn mới như: Mệnh đề, tập hợp, vectơ. Cách tư duy về các phép toán trên các đối tượng này cũng hoàn toàn khác so với tư duy về phép toán đã học trước đây. Do vậy, thời gian đầu các em thường bỡ ngỡ và còn hay sai lầm khi làm toán.
	Có thể nói, trong sách giáo khoa chỉnh lý hiện hành, vectơ và toạ độ là phương pháp chủ đạo trong giải toán hình học, mức độ yêu cầu của tư duy rất cao, vì nhiều bài toán không cần đến hình vẽ, và có bài cũng không thể vẽ tường minh được. Đây cũng là một khó khăn đối với học sinh.
	Hệ thống lý thuyết về vectơ và toạ độ trong chương trình cũng khá đầy đủ để giải quyết hầu hết các dạng toán cơ bản. Tuy vậy, hệ thống bài tập còn chưa đầy đủ. Cũng có thể do thời gian phân phối cho môn học, do yêu cầu giảm tải của chương trình. Nhưng đây cũng chính là một mâu thuẫn trong thực hành kỹ năng và phương pháp cho học sinh. Vì trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng, THPT quốc gia bài tập về phần hình học cũng không phải dễ lắm, dạng bài tập cũng có điều mới lạ so với dạng bài tập sách giáo khoa.
	Về các đường bậc hai như đường tròn và elip, các khái niệm và tính chất khá phức tạp khi giải toán, học sinh dễ sa vào con đường phức tạp hoá bài toán nếu nhìn nhận theo góc độ thông thường, cần phải kết hợp linh hoạt được tính chất của hình học phẳng đã học ở bậc THCS thì cách bài toán mới gọn nhẹ.
	Cũng vì các lý do trên, nên học sinh thường gặp các sai lầm trong khi giải
toán bằng phương pháp vectơ và toạ độ. Chỉ rõ cho các em được những sai lầm này cũng là một cách để các em nắm lý thuyết vững hơn và tránh các sai lầm tương tự khi học hình học không gian sau này.
- Những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán vetơ và toạ độ
1) Không xét hết các trường hợp của bài toán.
2) Sai lầm khi định dạng các hình do nắm tính chất hình không vững.
3) Không nắm vững công thức góc giữa hai đường thẳng và hai vectơ.
4) Không rõ ràng khi xác định đường phân giác trong và ngoài của một góc tam giác, không nắm được phương pháp hoặc chưa nắm vững các tính chất vectơ hoặc hình học.
2. 3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề: 
2.3.1 Các định hướng phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trường THPT qua nội dung giải bài tập bằng vectơ và toạ độ trong hình học phẳng
	 Việc trang bị kiến thức, kỹ năng cơ bản cho học sinh đại trà, đặc biệt bồi dưỡng tư duy nói chung, tư duy sáng tạo nói riêng cho học sinh là một quá trình liên tục, trải qua nhiều giai đoạn với những mức độ khác nhau. Điều quan trọng nhất trong dạy học sáng tạo là giải phóng hoạt động tư duy của học sinh bằng cách hướng hoạt động cho các em, các em tự hoạt động, tự khám phá tìm tòi, phải kết hợp tốt giữa hoạt động học tập và hoạt động nhận thức. Bên cạnh việc nâng dần tính tích cực theo mức độ từ thấp đến cao; Tính tích cực động não, độc lập suy nghĩ đến tích cực sáng tạo, người thầy cần rèn luyện học trò nâng dần các hoạt động từ dễ đến khó; Theo dõi cách chứng minh, đến hoạt động mò mẫm dự đoán kết quả và cuối cùng tự lực chứng minh. Việc dự đoán, mò mẫm kết quả không chỉ tập cho học sinh phong cách nghiên cứu khoa học, tập các thao tác tư duy tiền lôgic cần thiết, mà còn là biện pháp quan trọng nhằm nâng cao tính tích cực của học sinh. Khi tự đưa ra dự đoán, học sinh sẽ hào hứng và có trách nhiệm hơn trong quá trình tìm tòi lời giải cho kết quả dự đoán của mình.
2.3.2. Rèn luyện năng lực giải toán theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo
+ Tính mềm dẻo: Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau:
	- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như: Quy nạp, suy diễn, tương tự; dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác; điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại.
	- Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào trong hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi; có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những suy nghĩ đã có từ trước.
	- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
	Qua cơ sở lý luận tính mềm dẻo trong tư duy, ta thấy để giải một bài tập cụ thể có vướng mắc, hoặc thấy cách giải còn chưa hay, thì gợi mở cho học sinh theo các hướng trên thì hiệu quả đạt được sẽ tốt hơn.
Ví dụ: Cho DABC, biết và hai trung tuyến có phương trình (d1): x-y+1= 0 và (d2): 3x+2y-2= 0. Xác định toạ độ các đỉnh B,C.
	Nếu theo suy nghĩ thông thường, từ giả thiết tính được trung điểm M của BC, viết phương trình BC qua M, cho MB=MC thì bài toán khá phức tạp, vì phương trình tổng quát một đường thẳng có 3 ẩn, một điểm thuộc một đường thẳng có 2 ẩn. Theo các sách hướng dẫn, đa số dùng cách đối xứng A qua trọng tâm G được A', thì có A'B, A'C song song (d2), (d1), tìm ra B, C. Nhưng việc nghĩ ra đối xứng A qua G không tự nhiên lắm. Nếu ta mềm dẻo hơn khi tư duy về phương trình đường thẳng dưới dạng tham số, thì từ một điểm trên đường thẳng phụ thuộc 2 ẩn, ta đưa về sự phụ thuộc một ẩn:
	Từ giả thiếtÞ AÏ(d1), AÏ(d2), gọi (d1) là trung tuyến qua đỉnh B, (d2) là
 trung tuyến qua đỉnh C. 
Gọi G là trọng tâm DABC thì toạ độ G là nghiệm của hệ:
Þ G=(0,1). Nếu M trung điểm của BC thì: 
 Þ M=(,0).(d1) có dạng tham số: x = t, y =1+t; (d2) có dạng tham số: x =2t', y =1-3t'. 	Vì BÎ(d1), CÎ(d2) nên: B=(t,1+t), C=(2t',1-3t'). Do M trung điểm BC nên ta có: Þ t=-7/5, t'=1/5. 
Vậy B=(-7/5,-2/5), C=(2/5,2/5).
+ Tính nhuần nhuyễn: Được thể hiện rõ nét ở hai đặc trưng sau:
	- Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán: Khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau: Đứng trước một vấn đề khi giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất nhiều phương án khác nhau và từ đó đưa ra được phương án tối ưu.
	- Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cách nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiếm diện, cứng nhắ