SKKN Giúp học sinh nhận dạng và phương pháp giải các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình Hình học 12, bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian là bài toán hay và không quá khó. Để làm tốt bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng. Là dạng toán luôn có mặt trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làm tốt được dạng toán này là hết sức cần thiết.
Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy cô giáo phải tích cực học tập, không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng khả năng tự học, khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho học sinh.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng trong việc giải quyết một bài toán hình học tọa độ nói chung, có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, nhưng theo tôi, nguyên nhân chủ yếu là khi học hình học toạ độ, học sinh chỉ “giải hình học bằng đại số” mà không để ý đến các tính chất hình học.
Các phương pháp giải còn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài toán nào thì chỉ chú trọng tìm cách giải cho riêng bài toán đó mà không có một cách nhìn tổng quát. Chính vì vậy dẫn đến tình trạng các em bị lúng túng trước các câu hỏi mặc dù các câu hỏi đó chỉ xoay quanh một vấn đề: Viết phương trình đường thẳng trong không gian. 
Với vai trò là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi cùng các thầy cô đồng nghiệp với mong muốn tìm ra hướng giải quyết đơn giản nhất cho một bài toán, làm cho học sinh nhớ được kiến thức cơ bản trên cơ sở đó để sáng tạo. 
Tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của mình về việc giải quyết bài toán Viết phương trình đường thẳng trong không gian đó là:
"GIÚP HỌC SINH NHẬN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN".
Với ý tưởng trên, tôi đã phân ra các dạng bài tập viết phương trình đường thẳng từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thành tư duy tự học, tự giải quyết vấn đề. Ngoài ra, giúp cho các em làm tốt các bài thi tốt nghiệp cũng như thi vào các trường Cao đẳng và Đại học.
1. 2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài với mong muốn giúp học sinh:
 + Khắc phục được những yếu điểm đã nêu ở trên, từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.
+ Tìm được một phương pháp tối ưu nhất để giải toán, cũng như nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc nhận dạng và phương pháp giải các bài toán thích hợp. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
1. 3. Đối tượng nghiên cứu.
- Các dạng toán viết phương trình của đường thẳng và phương pháp giảng dạy toán 
- Học sinh lớp 12A1, 12A2 Trường THPT Tô Hiến Thành - TP Thanh Hóa năm học: 2015 - 2016.
1. 4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập, sách tài liệu tham khảo và các đề thi 
- Phương pháp điều tra thực tiễn : Dự giờ, quan sát việc dạy và học phần bài tập này
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm 
- Phương pháp thống kê
PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
	Kiến thức cơ bản: Trong chương trình Sách giáo khoa Hình Học Lớp 12 Chuẩn thì phư¬ng tr×nh của đường thẳng trong không gian có hai dạng đó là: Phương trình tham số và phương trình chính tắc.
	ĐÓ viÕt phư¬ng tr×nh của đường thẳng trong không gian cÇn ph¶i x¸c ®Þnh hai yÕu tè:
+ Mét ®iÓm mµ đường thẳng ®i qua.
+ Mét vÐc t¬ chỉ phương của đường thẳng.
Khi đó, nếu đường thẳng đi qua ®iÓm và nhËn vÐc t¬ lµm vÐc t¬ chỉ phương thì:
Phương trình tham số của đường thẳng có dạng: (t là tham số)
Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng : 
Kiến thức có liên quan: 
1. Phương trình tổng quát của () có dạng: 
2. Nếu có phương trình: thì véc tơ pháp tuyến của 
 là 
3. Nếuđi qua điểm và nhận là véc tơ pháp tuyến thì phương trình của là : 
4. Nếuchứa hay song song với giá của hai vectơ không cùng phương , thì véc tơ pháp tuyến của là : 
5. Cho và điểm 
 	- Vectơ = 
	- Toạ độ trung điểm I của AB là: 
Chú ý: Trªn c¬ së kiÕn thøc h×nh häc kh«ng gian líp 11, cã c¸c c¸ch x¸c ®Þnh đường thẳng như sau:
Cã mét vµ chØ mét đường thẳng ®i qua hai ®iÓm phân biệt cho trước.
Cã mét vµ chØ mét đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng.
... Ngoµi ra cßn rÊt nhiÒu c¸ch x¸c ®Þnh đường thẳng kh¸c n÷a.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
	Như vậy để viết phương trình của đường thẳng trong không gian (cụ thể là phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc) ta cần phải xác định hai đại lượng:
 +) Điểm mà đường thẳng đi qua.
 +) Véctơ chỉ phương của đường thẳng.
 Nhưng không phải trong mọi trường hợp, ta đều có thể tìm được một cách dễ dàng hai đại lượng nói trên, và cũng như nhiều vấn đề khác của toán học. 
 Bài toán viết phương trình đường thẳng cũng chủ yếu có hai dạng: tường minh và không tường minh 
Dạng tường minh: 
- Các đại lượng để giải quyết bài toán thì đề bài cho sẵn, dạng toán này chủ yếu để học sinh củng cố công thức.
- Dạng tường minh theo tôi đó là: Viết phương trình tham số (hoặc chính tắc) của đường thẳng biết:
1) Đường thẳng đi qua hai điểm.
2) Đường thẳng đi qua một điểm và có véctơ chỉ phương.
Dạng không tường minh:
 - Các đại lượng để giải quyết bài toán thì đề bài không cho sẵn mà được ẩn dưới một số điều kiện nhất định nào đó.
 - Dạng toán này đòi hỏi người học phải biết kết hợp kiến thức, có tư duy logíc toán học, vận dụng linh hoạt các điều kiện có trong đề bài.
	Trong đề tài này tôi xin được bàn về các dạng toán không tường minh, đây cũng là dạng toán chủ yếu xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp và đại học. Tùy thuộc vào yêu cầu của các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian, thì tôi chia thành hai bài toán để học sinh dễ nhận dạng:
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm mà đường thẳng đi qua. 
 + Ở bài toán này: đề bài chỉ cho biết một điểm đi qua, không cho trực tiếp phương của đường thẳng.
 + Yêu cầu phải xác định phương của đường thẳng dựa vào các điều kiện của bài toán.
Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước 
 + Ở bài toán này: đề bài không cho trực tiếp điểm đi qua và phương của đường thẳng, 
 + Yêu cầu phải xác định các đại lượng đó dựa vào các điều kiện của bài toán.
	Chú ý: Trong bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian tôi đặc biệt chú ý đến các điều kiện xác định của đường thẳng trong không gian đó là:
Cã mét vµ chØ mét đường thẳng ®i qua hai ®iÓm phân biệt cho trước.
Cã mét vµ chØ mét đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng.
Từ đó, tôi hướng cho học sinh giải quyết bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian theo hai cách sau:
 Cách 1: Tìm hai điểm mà đường thẳng đi qua.
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
 Một vấn đề đặt ra ở đây là: Phương trình dạng tổng quát của đường thẳng không được trình bày trong sách giáo khoa, vậy nếu học sinh vẫn để dưới dạng tổng quát thì có được chấp nhận hay không? nếu không được chấp nhận thì làm thế nào?
Cách khắc phục không có gì khó khăn, ta có thể hướng dẫn học sinh chuyển về dạng tham số thông qua ví dụ sau:
Ví dụ 1: (Cách thứ nhất) Đường thẳng D là giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Ta có thể đặt bất kì một ẩn làm tham số
Đặt: 
Vậy ta có phương trình dạng tham số của D: 
Ví dụ 2: (Cách thứ hai) Đường thẳng D là giao tuyến của hai mặt phẳng và .
 +) Với ta có: D đi qua .
+) Đường thẳng D là giao tuyến của hai mặt phẳng nên có một véctơ chỉ phương là tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đó: 
Vậy D có phương trình dạng tham số:
Ngoài ra trong từng trường hợp cụ thể, với các mối quan hệ trong từng bài toán cũng cần hướng cho học sinh sáng tạo, tìm tòi cách giải mới.
2. 3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề.
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày trong sách giáo khoa Hình học 12. Kiến thức cơ bản về đường thẳng trong không gian lớp 11. Tôi xin được trình bày nội dung đề tài dưới hai dạng bài toán cơ bản mà phương pháp giải được rút ra từ hai phương pháp cơ bản nêu trên.
a. Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm mà đường thẳng đi qua
 +) Điểm đi qua đã cho trong đề bài.
 +) Phương của đường thẳng xác định thông qua các đại lượng, các mối quan hệ trong bài toán.
Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cắt cả hai đường thẳng và 
Phân tích bài toán: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
 1) Đề cho:
 +) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : .
 +) Đường thẳng đi qua điểm và có véctơ chỉ phương .
 +) Đường thẳng đi qua điểm và có véctơ chỉ phương .
 +) Quan hệ: Đường thẳng D cắt cả hai đường thẳng và .
 2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng D.
Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
 +) Đường thẳng D cắt đường thẳng tại P.
 +) Đường thẳng D cắt đường thẳng tại Q.
 Vậy đường thẳng D chính là đường thẳng PQ. 
Giải: Gọi P là giao điểm của D và , ta có 
Gọi Q là giao điểm của D và , ta có 
Ta có: , .
Mặt khác ba điểm P, A, Q cùng thuộc đường thẳng D nên thẳng hàng do đó 
A
P
Q
·
Với ta có: . 
 Đường thẳng D có véc tơ chỉ phương: 
 phương trình 
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
 +) Đường thẳng D cắt đường thẳng nên xác định một mặt phẳng .
 +) Đường thẳng D cắt đường thẳng nên xác định một mặt phẳng .
 Vậy đường thẳng D là giao của hai mặt phẳng và .
Giải: Gọi là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau D và .
Khi đó có hai véc tơ chỉ phương là: và 
suy ra véc tơ pháp tuyến của : .
Gọi là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau D và . Khi đó có hai véc tơ chỉ phương là và 
 véc tơ pháp tuyến của : 
véc tơ chỉ phương của D là: 
 phương trình 
 Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng D đi qua đồng thời vuông góc với d1 và cắt d2 biết , .
Phân tích bài toán: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : .
+) Đường thẳng đi qua điểmvà có véctơ chỉ phương .
+) Đường thẳng đi qua điểm và có véctơ chỉ phương .
+) Quan hệ: Đường thẳng D cắt, đường thẳng D vuông góc với (có thể cắt hoặc không cắt).
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng D.
 Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau (không thể dựa vào điều kiện D cắt vì mối quan hệ này không chắc chắn xảy ra).
Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
 +) Đường thẳng D cắt đường thẳng tại .
 +) Đường thẳng D vuông góc với nên .
 Suy ra đường thẳng D chính là đường thẳng .
Giải: Gọi giao của đường thẳng D với là ta có 
 . 
Mặt khác 
Ta có: phương trình .
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
+) Đường thẳng D cắt đường thẳng nên xác định một mặt phẳng .
+) Đường thẳng D vuông góc với nên xác định một mặt phẳng qua A và vuông góc với . Vậy đường thẳng D là giao của hai mặt phẳng và .
Giải: Gọi là mặt phẳng xác định bởi D và 
có véc tơ pháp tuyến là: 
phương trình . 
Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với nên nhận là véctơ pháp tuyến phương trình .
Vì D là giao của và nên có véc tơ chỉ phương: .
Phương trình của đường thẳng .
Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng D đi qua vuông góc và cắt đường thẳng 
Phân tích bài toán: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : .
+) Đường thẳng đi qua điểm và có véctơ chỉ phương .
+) Quan hệ: Đường thẳng D cắt . Đường thẳng D vuông góc với .
Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng D.
Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
 +) Đường thẳng D cắt đường thẳng tại .
 +) Đường thẳng D vuông góc với nên .
 Suy ra đường thẳng D chính là đường thẳng .
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
 +) Đường thẳng D cắt đường thẳng nên xác định một mặt phẳng .
 +) Đường thẳng D vuông góc với nên xác định một mặt phẳng qua A và vuông góc với . Vậy đường thẳng D là giao của hai mặt phẳng và .
Giải: Ta có: , gọi là mặt phẳng qua A và chứa d 
 có véc tơ pháp tuyến là : 
Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với d 
 có véc tơ pháp tuyến là : 
Vậy đường thẳng cần tìm có chỉ phương: 
Phương trình của đường thẳng .
Nhận xét: Qua các ví dụ trên cho thấy, mỗi bài toán không phải chỉ có một cách giải mà trong từng trường hợp cụ thể, học sinh có thể định hướng cho mình nhiều cách giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm của bài toán đó. 
b. Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước.
+ Điểm mà đường thẳng đi qua 
+ Phương của đường thẳng 
Đều được xác định thông qua các đại lượng cho trước và các mối quan hệ hình học.
Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình của đường thẳng D biết nó vuông góc với mặt phẳng (P) : và cắt cả hai đường thẳng chéo nhau và 
Phân tích bài toán: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho: 
+) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến .
+) Đường thẳng đi qua có chỉ phương .
+) Đường thẳng đi qua có chỉ phương .
+) Quan hệ: Đường thẳng . Đường thẳng D cắt cả và .
 2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng D.
Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
Giải: Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng với hai đường thẳng và . Ta có:
D1
D2
D
P
M
·
·
N
+)
+)
+)
Theo giả thiết nên:
Do đó: và 
 Đường thẳng D có phương trình : 
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Giải: Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với (P)
D1
D2
D
P
a
b
 Theo bài ra ta có véc tơ pháp tuyến của là: 
 có phương trình 
Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với (P)
Theo bài ra ta có véc tơ pháp tuyến của là:
 có phương trình 
Đường thẳng D là giao tuyến của hai mặt phẳng 
và . Đặt 
Đường thẳng D có phương trình: 
Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : và đường thẳng . Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong (P), cắt và vuông góc với d.
Phân tích bài toán: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho: 
+) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến .
+) Đường thẳng đi qua và có chỉ phương .
+) Quan hệ: Đường thẳng . Đường thẳng D cắt cả và .
 2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng D.
Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
Giải: Gọi là điểm thuộc đường thẳng D. Vì đường thẳng D cắt d và nằm trong mặt phẳng (P) nên đi qua giao điểm của d và (P). Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ:
 D đi qua điểm .
Gọi là điểm thuộc đường thẳng D. Ta có: . 
Do 
Đặt phương trình tham số của đường thẳng: 
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Gợi ý: Trong cách 2 đường thẳng D chính là giao tuyến của mặt phẳng (a) với mặt phẳng (P) trong đó (a) chứa d và vuông góc với (P). 
Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng nằm trong mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng D nằm trong (P) và cách d một khoảng là .
Phân tích bài toán: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến .
+) Đường thẳng d đi qua và có véc tơ chỉ phương .
+) Quan hệ: Đường thẳng . Đường thẳng .
 2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng D.
Cách giải:
Cách 1: Xác định điểm mà đường thẳng đi qua.
Giải: Đường thẳng D có cùng chỉ phương với d . Gọi là hình chiếu của M trên đường thẳng D suy ra: . Đặt ta có hệ : 
+ Với Þ D có phương trình: 
+ Với D có phương trình: 
Vậy D có hai phương trình: và .
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Giải: Đường thẳng D là giao của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (a) vuông góc với (P) và cách d một khoảng bằng . 
Mặt phẳng (a) có véctơ pháp tuyến: nên phương trình có dạng: 
Mà 
+ Với 
 Đường thẳng D là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) với mặt phẳng (a)
 D có phương trình: 
+ Với 
 Đường thẳng D là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) với mặt phẳng (a)
 D có phương trình: 
Vậy có hai đường thẳng cần tìm: và.
Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình hình chiếu vuông góc D của đường thẳng trên mặt phẳng 
Phân tích bài toán: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
Đề cho: 
+) Mặt phẳng (a) có véctơ pháp tuyến .
+) Đường thẳng d đi qua có véc tơ chỉ phương .
 2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng D.
Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
+) Nếu d cắt (a) tại N thì N là một điểm đi qua của D, lấy một điểm M bất kì trên d không thuộc (a), xác định hình chiếu M’ của M trên(a). Ta có hai điểm đi qua của D.
+) Nếu d không cắt (a) thì lấy hai điểm phân biệt M, N trên d, xác định hình chiếu M’, N’ của M và N trên (a). Ta có hai điểm đi qua của D.
Giải: Để xét sự tương giao của d và (a), ta xét hệ: 
Vậy d giao với (a) tại đường thẳng D đi qua điểm N.
Gọi d’ là đường thẳng qua A và vuông góc với (a), nhận véctơ pháp tuyến của (a) là chỉ phương phương trình: 
Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (a) là giao điểm của đường thẳng d’ với mặt phẳng (a). Có tọa độ là nghiệm của hệ:
 . Đường thẳng D cũng là đường thẳng NM’ đi qua và có chỉ phương nên có phương trình: 
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Giải: Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng(a)
Theo bài ra mp đi qua và có véctơ pháp tuyến: 
phương trình . Hình chiếu vuông góc cần tìm là giao của (a) và thỏa mãn hệ: . Đặt , ta có: 
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình: 
Bài tập tự luyện
Bài 1: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng 
d: trên mặt phẳng .
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
 d1: và d2: (t R). Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 
( Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2007).
Bài 3: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm , vuông góc với đường thẳng d1: và cắt đường thẳng d2: (t R).
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểmvà hai đường thẳng d1: , d2:. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2 
(Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2006).
Đáp số
Bài 1: Bài 2: 
Bài 3: Bài 4: 
2. 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Đánh giá định tính
 Tôi đã áp dụng đề tài của mình vào tiết dạy của một lớp, qua quá trình thực nghiệm quan sát thì tôi thấy: ở lớp đối chứng học sinh rất ngại và rất ít em giải được bài toán kiểu này. Còn khi dạy cho lớp thực nghiệm, học sinh không còn ngại mà rất hứng thú. Các em đã giải khá tốt những bài toán giáo viên yêu cầu, một số em đã bước đầu sáng tạo được những cách giải khác cho những bài đó thông qua gợi ý giáo viên như ví dụ 3, ví dụ 4, ví dụ 6,...
 Điều đó cũng rút ra cho mỗi giáo viên khi đứng lớp giảng dạy, nếu chúng ta chịu khó đọc các tài tiệu tham khảo kết hợp với sự sáng tạo trong phương pháp giảng dạy. Sẽ mang lại cho học sinh nhiều tiết dạy hiệu quả hơn, làm cho học sinh hiểu rõ được mọi vấn đề và giúp các em hứng thú hơn khi học môn toán, nhất là hình tọa độ trong không gian. Chúng ta càng cụ thể bao nhiêu càng tốt, nên quy các bài toán về từng dạng. Từ đó giúp học sinh có cách nhìn khái quát tổng hợp hơn và tìm ra được phương pháp chung để giải toán
 b. Đánh giá định lượng
Kết quả làm bài của lớp đối chứng và lớp thực nghiệm qua bài kiểm tra như sau:
 Điểm
Lớp 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tổng bài kiểm tra
Đối chứng (12A2)
5
6
5
5
3
6
3
2
1
0
0
36
Thựcnghiệm ( 12A1) 
0
0
1
5
5
6
8
8
5
1
0
39
 Loại
Lớp
Yếu
TB
Khá
Giỏi
Tổng học sinh
Đối chứng (12A2)
50
42
8
0
36
Thực nghiệm ( 12A1)
15
49
33
3
39
Căn cứ vào kết quả này việc giúp các em khai thác và tìm ra cách giả