SKKN Giúp học sinh giải tốt một số bài toán có liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
GIÚP HỌC SINH GIẢI TỐT MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐẠO HÀM
Người thực hiện: Lê Thị Hằng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài........................................................................................trang1
2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm.......................................................trang1
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu.........................................trang 1
4 . Phương pháp nghiên cứu.....................................................................trang 1
II.NỘI DUNG...............................................................................................trang 1
1. Cơ sở lý luận..........................................................................................trang 1
2. Thực trạng của vấn đề..............................................................................trang 2
3. Các phương pháp đã tiến hành.................................................................trang 2
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm....................................................trang 12
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ...................................................................trang 13
1.Kết luận................................................................................................trang 13
2.Kiến nghị ...............................................................................................trang 13
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................trang 15
I.MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
 Trong giải tích đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán. Giữa hàm số f(x) và đạo hàm của nó f’(x) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ. Điển hình là sự đồng biến nghịch biến cực trị. Đạo hàm của hàm số ngoài việc biểu diễn dưới dạng công thức thì nó còn được thể hiện thông qua đồ thị. Việc dựa vào đồ thị của f’(x) để tìm ra được các tính chất của hàm số f(x) đưa đến cho chúng ta những điều thú vị cũng như bài toán hay.
 Trong các đề thi hiện nay, xuất hiện nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị của hàm số f’(x) và yêu cầu chỉ ra các tính chất về sự biến thiên cũng như cực trị và một số tính chất khác của hàm số f(x).Một yêu cầu mặc dù không phải mới mẻ nhưng giống như hầu hết các bài toán nếu học sinh không nắm vững các kiến thức liên quan và rèn luyện thường xuyên thì nó trở thành khó. Đây là lí do tôi chọn đề tài:”Giúp học sinh giải tốt một số bài toán có liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm”.
2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm	
 Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về bài toán sử dụng đồ thị hàm số f’(x)” .
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
 Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán sử dụng đồ thị hàm số f’(x). .
 Phạm vi nghiên cứu của đề tài là chương trình giải tích lớp 12 thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần: ứng dụng của đạo hàm, ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.
4 . Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận.
- Tìm hiểu, quan sát.
- Thực nghiệm sư phạm.
II.NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận
Một số kiến thức cấn nhớ
 Định lí 
Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K
a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f’(x) đồng biến trên K.
a) Nếu f’(x) <0 với mọi x thuộc K thì hàm số f’(x) nghịch biến trên K.
Dựa vào đồ thị hàm số f’(x) ta nhận thấy: 
a) Nếu f’(x)>0 tương ứng phần đồ thị nằm phía trên trục hoành.
b) Nếu f’(x) < 0 tương ứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành.
Từ đó ta có kết luận: 
a) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị f’(x) nằm phía trên trục hoành thì trong khoảng đó hàm số f(x) đồng biến (tăng).
b) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị f’(x) nằm phía dưới trục hoành thì trong khoảng đó hàm số f(x) đồng biến (tăng).
Ta nhắc lại kết quả:
 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x thì f’( x)=0
 Từ đó ta suy ra, nếu hàm số y = f(x ) đạt cực trị tại điểm x thì đồ thị của hàm số y= f’(x) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (x;0) 
 Ngược lại,nếu hàm số y = f(x ) liên tục và có đạo hàm tại x và đồ thị của hàm số y= f’(x) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (x;0) đồng thời f’(x) đổi dấu khi đi qua x thì x là điểm cực trị của hàm số y = f(x) 
 Ngoài ra nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x thì x là điểm cực đại của hàm số y = f(x) và nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x thì x là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) .
 2. Thực trạng của vấn đề
 Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như sau:
 Trong đầu năm 2017 cho các em học sinh lớp lớp 12 trong phần ôn tập môn toán có một số tiết ôn tập về phần ứng dụng của đạo hàm tôi cho học sinh lớp 12c4 và 12c5 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong giờ tự chọn nâng cao Kết quả thu được với các mức điểm được tính tỉ lệ phần trăm như sau: 
 Điểm
 Lớp
1 – 2,5
3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
Lớp 12c4
(42 HS )
11%
27%
42%
16,5%
3,5%
Lớp 12c5
( 42 HS )
18%
36%
35%
11%
0%
3. Các phương pháp đã tiến hành 
 Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu là phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tự chọn nâng cao, tôi đã lồng ghép các bài tập liên quan đến đồ thị cảu hàm số f’(x). Nhưng vì thời gian không có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập để các em về nhà nghiên cứu tìm lời giải. Trên lớp tôi cho một số học sinh lên bảng làm bài và một số học sinh khác nhận xét lời giải. Sau đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng.
 Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của mình thành hai phần sau: 
Phần I: Các ví dụ đồ thị hàm số y = f ’(x) và tính đồng biến nghịch biến của hàm số y = f(x).
Phần II: Các ví dụ đồ thị hàm số y = f’(x) và cực trị của hàm số y = f(x)
PHẦN I: CÁC VÍ DỤ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f’(x) VÀ TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ y =f(x)
Ví dụ 1. Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Giải. Ta có 
Dựa vào đồ thị ta có: 
Vậy hàm số đồng biến trên Chọn đáp án C.
Ví dụ 2 :Cho hàm số xác định, liên tục trên R và có đạo hàm . Biết rằng hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng
	A. Hàm số đồng biến trên khoảng 
	B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
	C. Hàm số đồng biến trên khoảng 
	D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
 Giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
 đồng biến trên khoảng nên D sai
+ f’(x) < 0 mọi x thuộc khoảng (-¥ ; -3) và (-2; 0) và (0 ;+¥ ) hàm số nghịch biến trên các khoảng đó.Chọn đáp án B.
Ví dụ 3:Cho hàm số có đạo hàm trên và có đồ thị hàm như hình vẽ. Xét hàm số . Mệnh đề nào dưới đây sai?
	A. Hàm số nghịch biến trên 
	B. Hàm số nghịch biến trên 
	C. Hàm số nghịch biến trên 
	D. Hàm số nghịch biến trên 
Giải: Đáp án A
Ta có: 
Do đó hàm số nghịch biến trên và .Mệnh đề A sai.
Ví dụ 4: Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 
	A. Hàm số đồng biến trên khoảng 
.	B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
	C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
	D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
Giải. Đáp án D.Ta có: tức là đồ thị nằm trên đường thẳng 
Dựa vào đồ thị suy ra 
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên 
Ví dụ 5: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R hàm số đồ thị như hình vẽ bên. 
Khẳng định nào sau đây đúng? 
	A. Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị
	B. Hàm số nghịch biến trên 
	C. Hàm số đồng biến trên và 
	D. Hàm số đồng biến trên 
Giải: Đáp án D
đồng biến trên khoảng 
Ví dụ 6: Cho hàm số là hai hàm liên tục trên R có đồ thị hàm số là đường cong nét đậm và là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi 3 giao điểm A, B, C của đồ thị 
 trên hình vẽ lần lượt có hoành độ là a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Giải:Đáp án C
Ta có: 
Với thì đồ thị nằm trên nên hàm số nghịch biến trên đoạn 
Tương tự với thì đồng biến.
Do đó 
 Ví dụ 7: Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ bên. Biết rằng . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của trên đoạn lần lượt là 
A. 	B. 	C. 	D. 
Giải: Đáp án D
0 2 3 
 0 + 
 CT 
Từ đồ thị trên đoạn , ta có bảng biến thiên của hàm số như hình vẽ bên 
Suy ra . Từ giả thiết, ta có 
Hàm số đồng biến trên 
Suy ra 
Ví dụ 8: Cho hàm số xác định và liên tục trên đoạn , có đồ thị của hàm số như hình sau. 
Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Giải :Đáp án B : đạt giá trị lớn nhất tại hoặc mà . 
Ví dụ 9: Hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Xét hàm số 
Trong các mệnh đề dưới đây:
 Hàm số nghịch biến trên 
Số mệnh đề đúng là: 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Giải: Đáp án D
Ta có Căn cứ vào đồ thị ta có: 
Vẽ Parabol trên cùng hệ trục với đồ thị của hàm số 
Ta có: Trên thì nên 
Trên thì nên 
Khi đó BBT của hàm số trên đoạn :
Vậy hàm số nghịch biến trên và 
-
+
Ví dụ 10: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên R. Biết rằng đồ thị hàm số f’(x) như hình 2 dưới đây.
Lập hàm số Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Giải : Đáp án D.
Ta có Phương trình (*).
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng (*) có 3 nghiệm phân biệt là 
Dựa vào vào bảng biến thiên của hàm số suy ra hàm số nghịch biến trên 
PHẦN II: CÁC VÍ DỤ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f’(x) VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ f(x)
Ví dụ 1: Hàm số có đồ thị như hình vẽ. Khi đó số điểm cực trị của hàm số 
	A. 2	B. 1	C. 3	D. 4
 Giải: Ta thấy đổi dấu qua 1 điểm hàm số có 1 cực trị chọn đáp án A
Ví dụ 2: Cho hàm số xác định trên R và có đồ thị của hàm số là đường cong ở hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? 
	A. 6
	B. 5
	C. 4
	D. 3
Giải : Đáp án D
Do đổi dấu qua 3 điểm nên hàm số có 3 điểm cực trị
Ví dụ 3: Đồ thị sau đây là của hàm số . Khi đó hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A .0. B.1. C.2. D.3 .
Giải: Chọn D 
Từ đồ thị của hàm số x
y’
y
X1
X2
0
0
-
+
-
, ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên của đồ thị hàm số, ta chọn đáp án D.
Ví dụ 4: Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại ?
	A. 3.	B. 5.	C. 2.	D. 1.
Giải: Đáp án C
Ta có: 
Lập bảng xét dấu của y′ suy ra hàm số đạt cực đại tại các điểm và đạt cực tiểu tại các điểm 
Ví dụ 5: Biết rằng hàm số có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số 
	A. 5	B. 3	C. 4	D. 6
Giải: Đáp án C
Ta có 
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy rằng:
	Phương trình có 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn 
	Phương trình có 1 nghiệm đơn 
Khi đó, có thể coi hàm số có 4 điểm cực trị
Ví dụ 6: Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng Đồ thị của hàm số như hình vẽ.
Đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu?
	A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu	B. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu
	C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu	D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại
Giải: Đáp án B
 trong đó 
Dấu của và 
+
-
-
-
-
+
-
-
+
-
+
+
-
+
-
+
-
+
Từ bảng xét dấu y’ ta có hàm số đạt cực tiểu tại , đạt cực đại tại và . Hàm số có 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu.
Ví dụ 7: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số như hình vẽ sau: 
Số điểm cực trị của hàm số là: 
	A. 3	B. 1
	C. 4	D. 2
Giải: Đáp án B
Ta có: 
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm bội lẻ duy nhất
Suy ra hàm số có 1 điểm cực trị
Ví dụ 8: Cho đồ thị của hàm số như hình vẽ dưới đây 
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các giá trị của các phần tử của tập S bằng 
	A. 7	B. 6
	C. 5	D. 9
Giải : Đáp án A
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị
Dựa vào ĐTHS có 7 điểm cực trị
Do đó, để hàm số có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi 
 Kết hợp với điều kiện mÎ R suy ra 
Chú ý: Đồ thị hàm số được cho bởi cách tịnh tiến đồ thị hàm số theo trục C đơn vị
Ví dụ 9: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. 
A. 	B. 	C. 	D. 
Giải: Đáp án D
Dựa vào đồ thị hàm số, dễ thấy hàm số 
Xét hàm số với xÎ R
Chú ý : Cực trị là điểm làm đổi dấu và 
Do đó . Khi đó có 5 điểm cực trị có 4 nghiệm phân biệt có 4 nghiệm 
Cách 2: Đồ thị hàm số được suy ra từ
 Đồ thị hàm số muốn có 5 điểm cực trị khi ở bước thứ 1ta dịch chuyển đồ thị sang phải nhiều hơn 2 đơn vị 
Ví dụ 10: Hình vẽ bên là đồ thị (C) của hàm số . Giả sử m là tham số thực nhận giá trị thuộc nửa khoảng . Hỏi hàm số có thể có bao nhiêu điểm cực trị
	A. 5 hoặc 7 điểm	B. 3 điểm	C. 6 hoặc 8 điểm	D. 4 điểm
Giải: Chọn đáp án A
Nhận xét: Số giao điểm của với Ox bằng số giao điểm của với Ox.
Vì nên có được bằng cách tịnh tiến lên trên m đơn vị
TH1: 	. Đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị
TH2: . Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị
Đáp án A
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một số bài tập người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để có được sự kết luận toàn diện nên cuối học kỳ I năm học 2017 – 2018 khi học sinh đã học song các phần liên quan đến nội dung của bài viết này tôi đã cho các lớp 12c4 , 12c6 , 12c5 và 12c9 làm bài kiểm tra 55 phút. Trong đó hai lớp 12c4 và 12c5 là các lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tài còn hai lớp 12c6 và 12c9 là các lớp đối chứng không tham gia trong việc triển khai đề tài 
 Lớp thực nghiệm:
 Điểm
Lớp
1 1 – 2,5
3 3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
Lớp 12c4
( 42 HS )
0%
5,5%
29%
38,5%
27%
Lớp 12c5
( 42 HS )
2%
9%
35%
36%
18%
 Lớp đối chứng: 
 Điểm 
Lớp
1 – 2,5
3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
Lớp 12c5
( 42 HS )
11%
24%
44,5%
18,5%
2%
Lớp 12c9
( 42 HS )
13%
28%
44%
15%
0%
 Căn cứ vào kết quả kiểm tra của hai lớp thực nghiệm trước và sau khi thực hiện đề tài sáng kiến. Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của hai lớp thực nghiệm và hai lớp còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy: Với các nội dung đã trình bày trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp 12 thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa hàm số f(x) và đạo hàm f’(x) của nó trong phạm vi toán học THPT góp phần đáng kể hỗ trợ cho các em học sinh trong việc ôn thi vào Đại học.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1.KẾT LUẬN
 Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số giờ tự chọn nâng cao, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm đã giúp cho học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa hàm số f(x) và đạo hàm f’(x) của nó, giúp học sinh có những lập luận chặt chẽ hơn khi gặp những bài toán sử dụng đồ thị của hàm f’(x).
 2.KIẾN NGHỊ 
 Mặc dù Sách giáo khoa đã giảm tải khá nhiều nhưng trong các đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều bài rất khó được phát triển từ các bài tập trong sách giáo khoa, nên tôi mong muốn với lần xuất bản tới, sau chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Sách bài tập giải tích 12 sẽ có thêm những bài tập tự luyện (có hướng dẫn) liên quan đến đồ thị hàm số f’(x). Với thời gian ngắn, tuổi nghề chưa nhiều nên việc thực hiện đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Lê Thị Hằng
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo viên , Sách giáo khoa và Sách bài tập Giải tích 12, theo chương trình chuẩn và chương trình nâng cao của nhà xuất bản 
 Giáo Dục
2. Tuyển tập các đề thi tuyển sinh vào các trường Đai học và Cao đẳng từ 
 năm 2017 của nhà xuất bản Hà Nội.