SKKN Giải bài toán trắc nghiệm về cực trị số phức bằng bất đẳng thức và phương pháp toạ độ trong mặt phẳng nhằm nâng cao kỹ năng cho học sinh lớp 12 thi THPT Quốc gia

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài. 
Toán học là môn học quan trọng trong chương trình giáo dục THPT hiện nay. Việc giảng dạy môn Toán đối với các giáo viên không những trang bị cho học sinh những kiến thức, rèn luyện cho học sinh các kỹ năng và phương pháp tư duy toán học cụ thể mà cần tạo cho học sinh hứng thú, phương pháp tư duy tích cực, mạch lạc và tối ưu trong khi học. Qua đó học sinh có thể áp dụng chúng trong các môn học khác cũng như trong thực tiễn cuộc sống.
 	Nghiên cứu và đổi mới phương pháp giảng dạy là những nhiệm vụ quan trọng của mỗi giáo viên luôn luôn được quan tâm và thực hiện. Chính vì vậy trong những năm qua ở các trường trung học phổ thông rất coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên của nhà trường thông qua nhiều hình thức như: Đổi mới sinh hoạt tổ chuyên môn theo hướng nghiên cứu bài học, ứng dụng CNTT trong các các giờ dạy; phát động phong trào viết chuyên đề; sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy; nghiên cứu các đề tài khoa học sư phạm ứng dụng; tổ chức ngoại khoá, phát động phong trào “mỗi thầy cô là tấm gương sáng tự học, tự sáng tạo”.
Việc nâng cao phương pháp dạy học và nghiên cứu khoa học là cần thiết và thường xuyên đối với giáo viên của tất cả các bộ môn. Đối với môn toán có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải thực sự tích cực trau dồi, bồi dưỡng kiến thức và phương pháp thì mới đạt hiệu quả khi truyền tải kiến thức cho học sinh. Hơn nữa, trong thời điểm hiện nay, với cấu trúc đề thi minh họa THPT Quốc Gia môn Toán của Bộ GD&ĐT năm 2018 có những câu hỏi vận dụng và vận dụng cao. Vì vậy mỗi giáo viên phải tìm tòi, sáng tạo, tìm ra phương pháp mới để học sinh có thể giải quyết các bài toán khó này trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi THPT Quốc Gia. 
Về bài toán tính GTLN, GTNN của môđun số phức cũng không phải là ngoại lệ. Dạng toán này trong sách giáo khoa và một số tài liệu tham khảo mới chỉ ở một số dạng đơn giản, giáo viên thì thường chưa trú trọng. Tuy nhiên, trong Kì thi THPT QG năm 2018, đề thi minh hoạ môn toán thì dạng toán này có ở mức độ vận dụng và vận dụng cao cụ thể là câu 46. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này giới thiệu cách giải nhanh các bài toán tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức bằng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và bất đẳng thức Bunhiacopxki mà đa phần giáo viên và học sinh ít quan tâm, mà đặc biệt là phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, qua đó học sinh có thêm một công cụ giải bài tập. Với những lý do trên, tôi đã chọn đề tài:
“Giải bài toán trắc nghiệm về cực trị số phức bằng bất đẳng thức và phương pháp toạ độ trong mặt phẳng nhằm nâng cao kỹ năng cho học sinh lớp 12 thi THPT Quốc gia”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Rèn luyện tư duy sáng tạo, năng lực tự học và tự nghiên cứu trong dạy - học toán.
Rèn luyện kỹ năng dùng bất đẳng thức, phương pháp tọa độ trong nặt phẳng giải nhanh bài toán trắc nghiệm tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức ở mức độ vân dụng và vận dụng cao.
Bằng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng người dạy, người học có thể tạo ra hàng loạt các bài tập trắc nghiệm tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức.
1.3. Phương pháp nghiên cứu.
 	Nghiên cứu tài liệu, tự nghiên cứu.
1.4. Phạm vi nghiên cứu của đề tài.
Nghiên cứu phương pháp toạ độ trong mặt phẳng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức.
Nghiên cứu bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
1.5. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.
Nghiên cứu phương giải nhanh bài toán trắc nghiệm tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức.
Xây dựng hệ thống các bài tập trắc nghiệm mức độ vận dụng và vận dụng cao về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức. 
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng. Tuy nhiên hầu hết chúng ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn, kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó. 
Trong giáo dục THPT hiện nay hoạt động dạy học nói chung và hoạt động dạy học môn Toán nói riêng thì kỹ năng được thể hiện qua phương pháp dạy - học, sự sáng tạo, kỹ năng trình bày, kỹ năng thuyết trình...Trong môn Toán ngoài những kỹ năng chung về dạy học nó còn được thể hiện qua những yếu tố đặc thù của bộ môn chẳng hạn: kỹ năng giải toán, rồi giải nhanh, kỹ năng suy luận logic, kỹ năng tính toán...và không thể thiếu kỹ năng sáng tạo các bài toán mới, khái quát các bài toán đây là những hoạt động chính của một giáo viên dạy bộ môn này. 
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Trong giảng dạy toán lâu nay tại trường THPT Như Thanh nói riêng và tại các trường THPT nói chung đa số GV đã thực hiện rất tốt công tác chuyên môn như: Đổi mới sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn theo hướng nghiên cứu bài học; phát động phong trào viết các chuyên đề, các đề tài SKKN, các đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng... Tuy nhiên chuyên đề “Sử dụng bất đẳng thức và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải và giải nhanh bài toán cực trị trong số phức” còn chưa được nghiên cứu một cách bài bản và có hệ thống. Trong dạy học phần số phức các bài tập chưa đa dạng và chưa có nhiều bài khó, đặc biệt là phương pháp sử dụng bất đẳng thức để giải, do vậy đa số giáo viên chưa nghiên cứu sâu, kỹ và có hệ thống phần này, nhất là cách khái quát bài toán cũng như cách sáng tạo bài toán tương tự hay bài toán mới.
Đối với học sinh chỉ có một số ít học sinh khá giỏi có thể tiếp cận với dạng toán trắc nghiệm về cực trị số phức các em cũng chưa được nghiên cứu một cách có hệ thống các bài tập và bài tập trắc nghiệm dạng này ở mức độ vận dụng và vận dụng cao, trong khi đó ở kỳ thi THPT Quốc Gia, câu hỏi về phần này là rất đa dạng và khó vì vậy các em cần được rèn luyện thêm các phương pháp đặc biệt, để trang bị cho mình kiến thức, kỹ năng hoàn thiện hơn trước khi bước vào các kỳ thi quan trọng.
2.3. Giải quyết vấn đề
Câu 46. Xét các số phức thỏa mãn Tính khi đạt giá trị lớn nhất. 
A. 	B. 	C. 	D. 
 	Trong kỳ thi THPT QG năm 2018, đề thi minh họa môn Toán có bài toán:
	Đây là bài tương đối khó đối với hầu hết các em học sinh phổ thông và theo tôi lí do là từ cách liên hệ giữa điều kiện và đạt giá trị lớn nhất khi nào. Sau đây là một số cách giải bài toán này.
Cách 1: Ta có
Mặt khác 
Suy ra 
Khi đó . Ta có
Vậy khi 
Khi đó 
Cách 2: Ta có M(a; b) biểu diễn z
 suy ra M thuộc đường tròn (C ) tâm I(3; 4) bán kính 
Mặt khác 
Suy ra 
Gọi là trung điểm của 
 Do đó mà suy ra với C là điểm giao của (C ) và đường thẳng EI
Khi đó dấu bằng xảy ra khi 
Cách 3: 
Ta có . Đặt 
Khi đó 
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki
Nên khi 
Vậy .
 	Nhận xét: Trên đây là ba cách giải bài toán đã cho và còn nhiều cách giải khác nữa. Đối với đa số học sinh việc tiếp cận bài toán cực trị của số phức gặp nhiều khó khăn. Từ đó, tôi thấy cần thiết phải xây dựng một cách có hệ thống cách giải và giải nhanh bài toán này bằng sử dụng bất đẳng Bunhiacopxki và phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, nhằm giúp học sinh giải quyết các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao trong đề thi trắc nghiệm THPT QG môn toán hiện nay. 
 2.3.1. Các kiến thức cơ bản cần nhớ
a) Môđun số phức
	* Số phức được biểu diễn bởi điểm trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của vectơ được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu .
	* Tính chất
+ ;	+ ;
+ ;	+ ;
+ ; 	+ ;
+ .
Lưu ý: 
 dấu bằng xảy ra khi ;
 dấu bằng xảy ra khi ;
 dấu bằng xảy ra khi ;
 dấu bằng xảy ra khi ;
;
b) Một số tập điểm biểu diễn số phức 
Biểu thức liên hệ x, y
Tập hợp điểm biểu diễn
 Đường thẳng 
 Đường trung trực của đoạn AB với A(a; b), B(c; d).
 hoặc 
Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R
 hoặc
Elíp có tiêu điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) và có trực lớn 2a, với 
Cho F1, F2 cố định F1F2 = 2c (0 <c < a) khi đó điểm M thoả mãn MF1 +MF2=2a là Elíp có hai tiêu điểm F1, F2.
c) Một số kiến thức cần áp dụng
+) Một số bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ Oxy 
 Cho đường thẳng d và điểm A. Tìm trên d điểm M sao cho MA nhỏ nhất.
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d, ta có MA AH
 MA nhỏ nhất bằng AH khi M trùng với H.
	Cho đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d. Tìm trên d điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Trường hợp1: A, B nằm về hai phía đối với d. 
Khi đó MA +MB AB ( không đổi)
 MA +MB nhỏ nhất bằng AB khi A, B, M thẳng hàng tức M trùng với giao điểm I của d với đoạn thẳng AB.
Trường hợp2: A, B nằm cùng phía đối với d. 
Lấy A' đối xứng với A qua d, khi đó:
 MA +MB = MA' +MB A'B (khôngđổi)
(MA+ MB) min =A'B khi A', B, M thẳng hàng hay M trùng với giao điểm I của A'B và d.
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d. Tìm trên d điểm M sao cho lớn nhất.
Trường hợp1: A, B nằm về cùng phía đối với d. Khi đó lớn nhất bằng AB khi A, B, M thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn AB hay M trùng với giao điểm I của AB và d.
Trường hợp2: A, B nằm về hai phía đối với d. Lấy A' đối xứng với A qua d. Khi đó lớn nhất bằng A'B khi A', B, M thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn A'B hay M trùng với Mo là giao điểm của d và A'B.
+) Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số thực
, dấu bằng xảy ra khi 
2.3.2. Các phương pháp chính
Phương pháp 1. Sử dụng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức.
Bài toán cho tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường thẳng
Ví du 1: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun số phức .
Giải.
Gọi 
Từ tập điểm biểu diễn là thuộc đường thẳng d:.
Ta có điểm biểu diễn số phức .
Ví du 2: Cho số phức thỏa mãn và . Tìm biết môđun của nhỏ nhất.
Giải
Từ tập điểm biểu diễn là thuộc đường thẳng d:. 
, với điểm biểu diễn số phức .
 khi MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên d.
Suy ra hay . Đáp án A.
	Nhận xét: Qua Ví dụ 1, Ví dụ 2, chúng ta có thể khái quát lên phương pháp giải bài toán dạng này như sau: 
Bài toán 1. Cho số phức z thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun số phức .
+ Bước 1. Từ điều kiện suy ra được tập điểm biểu diễn số phức là một đường thẳng d trung trực của AB, với A, B lần lượt biểu diễn .
+ Bước 2. khi ( I là điểm biểu diễn số phức ) hay M là hình chiếu vuông góc của I lên d.
	Lưu ý: Trong một số đề thi học sinh cần phải biến đổi điều kiện về dạng hay đưa yêu cầu bài toán về dạng tìm , như:
+ Điều kiện ; ; ...
+ Yêu cầu bài toán tìm ; ...
Ví du 3: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Giải
Từ tập điểm biểu diễn là thuộc đường thẳng d:. Với biểu diễn hai số phức và là trung điểm của AB.
 nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d
	Nhận xét: Gọi là các điểm biểu diễn số phức , I là điểm thoả nãm , là các số thực, khi đó:
+ thì P nhỏ nhất khi nhỏ nhất.
+ thì P lớn nhất khi lớn nhất.
Ví du 4: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Giải
 Từ tập điểm biểu diễn là thuộc đường thẳng d:. Với biểu diễn hai số phức .
mà nằm khác phía đối với d
	Nhận xét: Tương tự như Ví dụ 4 một số bài toán tìm GTLN, GTNN của môđun số phức sẽ đưa về bài toán sau:
Bài toán 2. Cho số phức z thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (hoặc tìm giá trị lớn nhất của )
+ Bước 1. Từ điều kiện suy ra được tập điểm biểu diễn số phức là một đường thẳng d trung trực của IH, với I, H lần lượt biểu diễn .
+ Bước 2. ( hoặc ) với A, B là hai điểm biểu diễn hai số phức . Đến đây bài toán GTLN, GTNN của môđun số phức được chuyển về bài toán GTLN, GTNN trong hình học phẳng.
Bài toán cho tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường tròn
Ví dụ 5: Cho số phức thỏa mãn . Tìm số phức môđun nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải
	Gọi 
Từ tập điểm biểu diễn là thuộc đường tròn (C ) tâm I(2; 4) và bán kính .
Ta có 
	Phương trình đường thẳng OI : , đường thẳng OI cắt (C ) tại hai điểm .
Ta có 
Suy ra 
	Nhận xét: Trong cách giải trên chúng ta lưu ý nếu yêu cầu bài toán là tìm GTLN, GTNN của môđun số phức hay thì ta có thể tổng quát bài toán như sau:
Bài toán 3. Cho số phức z thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của môđun số phức . (điều kiện bài toán có tập điểm biểu diễn số phức là một đường tròn).
+ Bước 1. Xác định được điều kiện bài toán suy ra được tập điểm biểu diễn số phức là một đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R;
+ Bước 2. nhỏ nhất, lớn nhất khi MA nhỏ nhất, lớn nhất ( A là điểm biểu diễn số phức ). Tức là ; .
 * Ta cũng có thể làm khó Bài toán 2 hơn như Bài toán 1 là bằng cách cho điều kiện bài toán mà yêu cầu học sinh phải biến đổi nhiều hơn hay biểu thức môđun số phức nhỏ nhất, lớn nhất phức tạp hơn.
Ví dụ 6: Cho số phức thỏa mãn . Gọi M, m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của . Tính giá trị của tổng .
	Với câu hỏi này ta có thể giải nhanh như sau: Từ điều kiện ta có đường tròn tâm , điểm 
Suy ra 
Vậy . Đáp án B
 Bài toán cho tập hợp điểm biểu diễn số phức là mmột đường thẳng, số phức là một đường tròn.
Ví dụ 7: Cho số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Giải
	Gọi 
Từ tập điểm biểu diễn là thuộc đường thẳng 
 tập điểm biểu diễn là thuộc đường tròn (C ) tâm I(5; 0) và bán kính .
Ta có 
Ví dụ 8: Cho số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
	Để làm câu hỏi trắc nghiệm này, học sinh chỉ cần giải như sau:
, 
Ta có . Đáp án A.
Bài toán 4. Cho số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
+ Bước 1. Xác định được điều kiện bài toán suy ra được tập điểm biểu diễn số phức là một đường thẳng d, biểu diễn số phức là một đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R;
+ Bước 2. nhỏ nhất khi MN nhỏ nhất. 
Tức là 
 Bài toán cho tập điểm biểu diễn số phức là một đường Elíp
Ví dụ 9: Cho số phức thỏa mãn . Gọi là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của . Tính .
Giải
Gọi . Ta có:
 bằng cách bình phương hai vế hai lần ta được phương trình nên tập hợp điểm biểu diễn là thuộc đường Elíp có tiêu cự .
 là khoảng cách OM
, 
Vậy .
Ví dụ 10: Cho số phức thỏa mãn . Tính biết có môđun lớn nhất.
Giải
	Gọi 
Từ tập điểm biểu diễn là thuộc đường Elíp có tiêu cự .
 là khoảng cách OM 
. Đáp án A.
	Nhận xét: Ví dụ 6, Ví dụ 7 là hai ví dụ rất cơ bản về điều kiện của bài toán có tập biểu diễn các số phức đã cho là đường Elíp dạng phương trình chính tắc. Vậy, chúng ta có bài toán sau:
Bài toán 5. Cho số phức z thoả mãn (hoặc ). Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của môđun số phức z.
+ Điều kiện bài toán là
 thì:
 ;
+ Điều kiện bài toán là thì:
 và 
Ví dụ 11: Cho số phức thỏa mãn . Tìm sao cho có môđun lớn nhất.
Giải
Gọi 
Từ tập điểm biểu diễn là thuộc đường Elíp có tiêu cự , .
 là khoảng cách IM với 
 với là đỉnh của Elíp.
Ví dụ 12: Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của .
Giải
	Gọi . Từ
 ta có biểu diễn hai số phức , và là điểm biểu diễn số phức là trung điểm của , khi đó:
nên tập hợp điểm biểu diễn số phức
là thuộc đường Elíp có tiêu cự , .
. Đáp án C.
Ví dụ 13: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .
Giải
	Gọi 
	Từ ta có biểu diễn hai số phức , , gọi là trung điểm của 
 và là điểm biểu diễn số phức , khi đó:
 nên tập điểm biểu
 diễn là thuộc đường Elíp có tiêu cự .
Mặt khác và suy ra A nằm trên trục lớn và phía ngoài Elíp. Khi đó
. Đáp án A.
	Nhận xét: Đến đây chúng ta có thể tổng quát bài toán ở Ví dụ 9, Ví dụ 10, như sau:
Bài toán 6. Cho số phức z thoả mãn
. Tính GTLN, GTNN của .
Giải: Gọi là các điểm biểu diễn số phức ; và I là trung điểm của . 
* A nằm trên trục lớn và ngoài Elíp thì: 
	và .
* A nằm trên trục lớn và trong Elíp thì:
 và chưa xác định nhanh được.
* A nằm trên trục nhỏ của Elíp thì: 
	 và chưa xác định nhanh được.
Phương pháp 2. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải bài toán tìm GTLN, GTNN của môđun số phức.
	Trong việc giải các bài toán, phương pháp áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc để giải là rất hiệu quả. Câu 46 trong đề thi THPT Quốc gia minh hoạ môn toán năm 2018 cũng đã sử dụng phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải. Tuy nhiên, hiện nay một số giáo viên và đa số học sinh lại ít quan tâm đến phương pháp dùng các bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức Bunhiacopxki nói riêng trong giải toán. Phần lớn bài toán tìm GTLN, GTNN của môđun số phức lại là ở mức độ vận dụng và vận dụng cao, chỉ số ít học sinh khá, giỏi là tìm hiểu, nghiên cứu. Để góp phần phong phú các cách giải và để người học có thể lựa chọn phương pháp phù hợp và tối ưu để giải một bài toán. Tôi mạnh dạn đưa phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải bài 
toán tìm GTLN, GTNN của môđun số phức.
Ví dụ 14: Cho số phức thỏa mãn . Tìm số phức môđun nhỏ nhất, lớn nhất.
	Bình luận: Với bài toán này chúng ta có thể sử dụng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng để giải, tuy nhiên nếu biết gắn kết giữa điều kiện và yêu cầu bài toán và các phép phân tích, tách các biến chúng ta có thể giải bằng cách áp dụng bất đẳng thức như sau:
	Gọi 
Từ 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
Dấu “ = ” xảy ra khi 
Suy ra . Vậy 
Ví dụ 15: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của .
Giải
	Gọi 
Từ 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
	Vậy . Đáp án A.
Ví dụ 16: Cho số phức thỏa mãn và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số số phức .
 Giải
	Gọi 
Từ 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
Suy ra khi và 
. Đáp án C.
Ví dụ 17: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Giải
	Gọi 
Từ 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
	Suy ra .
Ví dụ 18: Cho số phức thỏa mãn , . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Giải
	Ta có , 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
Suy ra . Đáp án B.
Nhận xét
Trên đây là việc sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và phương pháp toạ độ trong mặt phẳng giải nhanh câu hỏi trắc nghiệm về tìm cực trị của số phức ở mức độ câu hỏi vận dụng và vận dụng cao. Ở đây mục tiêu của tác giả là muốn học sinh không những thành thạo kỹ năng giải các bài toán tìm cực trị của số phức mà học sinh có thể tự ra được những câu hỏi tương tự hoặc có thể khó hơn của các dạng toán này.
Đối với phần xây dựng câu hỏi trắc nghiệm về bài toán tìm cực trị của số phức tác giả yêu cầu học sinh sau khi tiếp thu chuyên đề xong sẽ phải tự xây dựng bài tập trắc nghiệm về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức. Do chưa có nhiều thời gian nên tác giả chưa xây dựng được hệ thống bài tập thực sự có chiều sâu và đa dạng về phương pháp, điều này tác giả sẽ tiếp tục nghiên cứu trong trong thời gian sắp tới. 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Qua việc nghiên cứu và áp dụng SKKN vào Trường THPT Như Thanh hiệu quả của SKKN rất cao, rất thiết thực.
- Đối với bản thân: chất lượng giảng dạy và giáo dục được nâng lên rõ rệt, tạo cho bản thân động lực trong công tác giảng dạy, luôn tìm tòi và tháo gỡ những vướng mắc trong quá trình dạy học, từ đó có thể truyền tải đến học sinh những nội dung, kiến thức phù hợp và hiệu quả...
- Đối với đồng nghiệp và nhà trường: chia sẻ kinh nghiệm, chuyên đề tham khảo bổ ích, tạo động lực thúc đẩy phong trào tự học tập, tự nghiên cứu của đồng nghiệp, nhà trường; giúp nhà trường có kết quả cao trong các kỳ thi.
- Đối với học sinh: giúp các em học sinh khá giỏi lớp 12 có thêm kỹ năng giải bài toán khó; nâng cao tính tích cực, chủ động và sáng tạo trong học tập cũng như trong nghiên cứu khoa học....cụ thể như sau:
+ Chọn lớp đối chứng gồm 15 học sinh lớp 12B1, chọn lớp thử nghiệm gồm 15 học sinh khác lớp 12B1 (lớp chọn khối A, B) của trường THPT Như Thanh
+ Chọn các bài tập đã xây dựng ở trên và một số bài tập khác trong các đề thi THPT QG của Bộ GD&ĐT những năm gần đây và của các trường có uy tín trong cả nước.
+ Tiến hành hướng dẫn học sinh nghiên cứu chủ đề ”Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và phương pháp toạ độ trong phẳng để giải bài toán GTLN, GTNN của môđun số phức”. Yêu cầu HS viết thành đề tài, nạp cho GV ( chỉ chọn lớp 12B1, 12B2, 12B3 ). 
+ Tiến hành kiểm tra đánh giá bằng một bài trắc nghiệm 15 phút cho cả hai nhóm nói trên. Kết quả kiểm tra: Đối với nhóm 15 học sinh lớp 12B1 kết quả bài kiểm tra là rất khả quan, điểm của HS đều đạt từ loại khá trở lên, đối với lớp nhóm còn lại kết quả đạt được từ loại trung bình trở lên.
+ Đối với chủ đề tự nghiên cứu của nhóm học sinh lớp 12B1, các em đ