SKKN Định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải nhanh một số dạng bài tập tích phân ở mức độ vận dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Người thực hiện: Phạm Văn Quí
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ, NĂM 2018
MỤC LỤC
Trang
1.Mở đầu
1
1.1 Lý do chọn đề tài
1
1.2 Mục đích nghiên cứu
1
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1
1.4 Phương pháp nghiên cứu
1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
1
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
1
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 
3
2.2.1. Đối với giáo viên
3
2.2.2. Đối với học sinh
3
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
4
2.3.1. Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương pháp đổi biến số
4
2.3.2. Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
7
2.3.3. Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân liên quan đến đồ thị và diện tích hình phẳng
13
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
17
3. Kết luận, kiến nghị
20
3.1 Kết luận
20
3.2 Kiến nghị
20
Tài liệu tham khảo
21
Danh mục 
Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT và cấp cao hơn xếp loại từ C trở lên
22
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Bài toán tích phân là bài toán thường xuất hiện ở các kỳ thi, vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệt đối với học sinh cũng như giáo viên. Hơn nữa từ năm học 2016 – 2017 Bộ giáo dục đã chuyển môn toán sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan nên các bài toán về tích phân trở nên đa dạng và phong phú, đồng thời kiến thức trải rất rộng và có tính phân hóa cao. Mặt khác vì hình thức thi trắc nghiệm khách quan nên phần lớn bài toán tích phân yêu cầu phải suy luận logic và hầu như ít sử dụng được máy tính cầm tay, đặc biệt là các câu hỏi ở mức độ vận dụng thường làm cho giáo viên và học sinh gặp khó khăn trong việc tìm tòi lời giải. Ngoài ra, các tài liệu tham khảo cho những dạng toán trên hầu như chưa có và chỉ xuất hiện rời rạc ở những bài toán đơn lẻ và trong các đề thi thử. Do đó việc tổng hợp và đưa ra phương pháp giải nhanh các dạng toán trên là rất cần thiết cho học sinh trong quá trình ôn thi THPT quốc gia. Xuất phát từ thực tế trên, với một số kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và tham khảo một số tài liệu, tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải nhanh một số dạng bài tập tích phân ở mức độ vận dụng” nhằm giúp các em hiểu và có kỹ năng giải quyết tốt các bài tập để đạt kết quả tốt nhất trong các kì thi.
1.2. Mục đích nghiên cứu
	Thông qua việc nghiên cứu các bài toán giúp học sinh hiểu, định hướng được cách làm bài tập, biết vận dụng lý thuyết để giải quyết một số bài toán tích phân mức độ vận dụng một cách chính xác và nhanh chóng. Từ đó kích thích khả năng tư duy, sự ham hiểu biết của học sinh đối với môn học.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Kiến thức chương nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong chương trình toán THPT.
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương pháp đổi biến
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh một số bài toán tích phân bẳng phương pháp tích phân từng phần
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh một số bài toán tích phân liên quan đến đồ thị và diện tích hình phẳng
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm.
- Phương pháp tổng hợp.
- Phương pháp thống kê, so sánh.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Những kiến thức cơ bản về tích phân
1. Khái niệm tích phân
Cho hàm số liên tục trên K và là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu là một nguyên hàm của trên K thì hiệu số: được gọi là tích phân của từ đến và kí hiệu là: 
2. Tính chất của tích phân
Giả sử các hàm số , liên tục trên K và là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) với 
6) Nếu trên thì 
7) Nếu trên thì 
3. Một số phương pháp tính tích phân
a. Phương pháp đổi biến số:
Trong đó có đạo hàm liên tục trên K, hàm số liên tục và sao cho hàm hợp xác định trên K; là hai số thuộc K 
b. Phương pháp tích phân từng phần:
Trong đó các hàm số có đạo hàm liên tục trên K, và là hai số thuộc K 
4. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
* Nếu hàm số liên tục trên đoạn thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là: 
* Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số , liên tục trên đoạn và hai đường thẳng là: 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Đối với giáo viên
	- Trước đây tích phân trong chương trình thi quốc gia (từ năm 2009 – 2016) chỉ là một bài áp dụng phương pháp đổi biến số hoặc tích phân từng phầnvà đặc biệt là các em học sinh có thể kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay
- Hiện tại với đề án thi mới của bộ giáo dục. Thông qua các đề minh họa của Bộ đưa ra và các đề thi thử của các sở, các trường, các câu hỏi trong phần tích phân đã xuất hiện nhiều hơn, rộng hơn. Đặc biệt những câu khó, hoặc rất khó và lạ (mức độ vận dụng cao) mà trước đây chưa xuất hiện thì nay xuất hiện tương đối nhiều. Tuy nhiên lại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu về vấn đề này vì vậy nguồn tham khảo của giáo viên còn hạn chế.
- Các giáo viên chưa có nhiều thời gian nghiên cứu những dạng toán mới, vì vậy chưa có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy và định hướng cho học sinh giải những bài toán tích phân ở mức độ vận dụng
2.2.2. Đối với học sinh
	- Trường THPT Hậu Lộc 3 đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn về kinh tế, khó khăn trong việc học tập vì vậy kiến thức cơ sở về môn toán của các em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình.
- Với lớp bài toán vận dụng, các em thường thụ động trong việc tiếp cận và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa có ý thức tìm tòi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải các bài toán.
- Số lượng tài liệu tham khảo cho các em còn ít.
- Việc thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh không chỉ hiểu đúng bản chất bài toán mà còn phải tìm ra cách giải nhanh nhất để đạt kết quả tối đa.
- Học sinh còn lúng túng nhiều vì các dạng bài toán tích phân ở mức độ vận dụng các em chưa được tiếp xúc nhiều, cũng như chưa được định hướng phương pháp đúng đắn nên chưa có nhiều kĩ năng giải loại bài tập này.
Trước tình hình đó tôi muốn đưa ra một ý tưởng giải quyết các bài toán vận dụng phần tích phân bằng cách “ định hướng” cho học sinh cách giải một số bài tập tích phân một cách “chính xác” và “nhanh chóng”, giúp các em phát triển tư duy và kích thích sự ham học tập của các em.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Bài 1: Nếu f(x) liên tục trên [0;3] và .Tính:
A. B. 2 C. D.3
* Phân tích:
Bài toán yêu cầu tính , nhưng giả thiết lại cho biểu thức liên quan đến và , vì vậy ta có thể định hướng cho học sinh tạo mối liên hệ giữa và bằng cách đổi biến: 
Giải:
Tính:. Đặt: 
Đổi cận: 
 (*) (tích phân không phụ thuộc vào biến)
Mặt khác: 
 (**)
Từ (*) và (**) Chọn D
Bài2: Nếu f(x) > 0 thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.	B.	C.	D. 
* Phân tích:Giả thiết bài toán cho mối liên hệ giữa và nhưng lại cho nên ta có thể định hướng cho học sinh biến đổi về tỉ số quen thuộc trong tích phân là . Mặt khác đề bài yêu cầu tính nên ta có thể tính tích phân 
* Giải: Ta có 
 Chọn C
Bài 3: Cho . Tính 
A. 6 B. 2 C. 3 D. 1
* Phân Tích:
Đề bài cho nhưng lại yêu cầu tính vì vậy ta có thể định hướng cho học sinh đổi biến 
* Giải:Đặt 
Đổi cận: 
 (tích phân không phụ thuộc vào biến)
Mặt khác: 
 Chọn A
Bài4: Cho y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [ 1; 2] thỏa mãn . Tính 
A. -20 	B. -10 	C. 10 	D. 
* Phân tích:
Đề bài đã cho vì vậy ta có thể nghĩ ngay đến việc đổi biến 
* Giải:
Đặt 
Đổi cận: . Ta có: 
 (Vì )
 Chọn C
Bài5: Cho . Khi đó phương trình có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 	B. 3 	C. 7 	D. 1
* Phân tích:Để xác định được số nghiệm của phương trình thì ta phải xác định được hàm số . Như vậy từ giả thiết bài toán ta phải chuyển về bài toán tìm nguyên hàm. Mặt khác ta có: nên ta có thể định hướng cho học sinh tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến 
* Giải:
Ta có: 
Mặt khác 
Phương trình có hai nghiệm Chọn A
2.3.2. Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Bài 1: (Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018) Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn , và . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
* Phân Tích: Nếu chưa tiếp xúc với bài toán thì thực chất đây là bài toán khó định hướng. Nhưng nếu ta phân tích kỹ bài toán thì ta có thể có hướng giải quyết bài toán như sau:
- Giả thiết cho: nên ta có thể sử dụng tích phân từng phần bằng cách đặt (vì đề cho )
- Sau sử dụng tích phân từng phần ta tính được . Như vậy ta đã biết và nên ta biến đổi đến hằng đẳng thức . Tuy nhiên không ngẫu nhiên ta lại có được biểu thức mà ta phải có kỹ thuật làm xuất hiện như sau:
+ Ta muốn có dạng: 
Vậy ta có: 
* Giải: Xét tích phân: ta có:
Đặt khi đó Mặt khác ta có: 
Vì: 
 Đẳng thức phải xảy ra nên ta có: 
mà 
 Chọn A
* Nhận xét: Như vậy không tự nhiên mà ta có được tích phân , cũng không phải đề cho mà xuất hiện hệ số 7 ở tích phân . Bản chất của vấn đề là hướng dẫn kỹ thuật cho học sinh xác định hệ số để xuất hiện để áp dụng tích chất: Nếu trên thì 
Bài 2:Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn , và . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
* Phân tích: 
- Đây cũng là dạng của bài bài 1, tuy nhiên đề bài cho nên sử dụng tích phân từng phần ta tính được , từ đó sử dụng kỹ thuật tìm hệ số như bài 1 ta sẽ có tích phân dạng: 
- Cụ thể như sau: Đặt khi đó: 
- Ta muốn có dạng: 
Vậy ta có: 
* Giải: Xét tích phân: ta có:
Đặt 
Mặt khác ta có: 
Vì: 
 Đẳng thức phải xảy ra nên ta có: 
mà 
 Chọn B
* Nhận xét: Với định hướng biến đổi và kỹ thuật thêm đưa về tích phân dạng để đánh giá và xác định hàm từ đó suy ra hàm số và tính được tích phân mà không phải suy luận phức tạp hay sử dụng đến bất đẳng thức tích phân (không nêu trong chương trình THPT).
Bài 3: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn , và . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
* Phân tích: Bài toán này tương tự như bài 2, chỉ có một khác biệt nhỏ là tính tích phân từ đến , nhưng giả thiết vẫn cho nên về cơ bản vẫn là tương tự bài 2 vì vậy ta có thể giải quyết hoàn toàn tương tự
- Từ giả thiết ta tính được 
- Ta muốn có dạng: 
Vậy ta có: 
* Giải: Xét tích phân: ta có:
Đặt 
Mặt khác ta có: 
Vì: 
 Đẳng thức phải xảy ra nên ta có: 
mà 
 Chọn C
Bài 4: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn , và . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
* Phân tích: Bài toán này tương tự các bài trên, chỉ có một khác biệt nhỏ là giả thiết cho nên về cơ bản vẫn là tương tự như trên vì vậy vấn đề ở chỗ chỉ cần ta tính được và đưa ra được biểu thức là có thể giải quyết hoàn toàn tương tự
- Ta sẽ đưa về dạng: 
Vậy ta có: 
* Giải: Xét tích phân: ta có:
Đặt khi đó 
Mặt khác ta có: 
Vì: Đẳng thức phải xảy ra nên ta có: 
mà Chọn D
* Nhận xét chung: Qua bốn bài tập trên ta thấy bài toán được dễ dàng giải quyết nếu ta biết được kỹ thuật đưa về tích phân dạng .
2.3.3. Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân liên quan đến đồ thị và diện tích hình phẳng
Bài 1: Cho hàm số có đồ thị như hình bên (với ). Biết và Tính 
A.	B. 	C. 	D. 
* Phân tích: Đề bài yêu cấu tính nên ta nghĩ ngay đến việc tính 
, hơn nữa giả thiết bài toán cho nên ta phải tính dựa 
vào đồ thị, vì vậy ta giải bài toán như sau:
* Giải: Ta có:
Mặt khác từ đồ thị ta có: là diện tích hình chữ nhật có hai kích thước là 1 và 2 nên: 
Chọn C
Bài 2:(Đề thi thử THPT Chuyên Hà Tĩnh) Đồ thị của hàm số trên đoạn như hình vẽ dưới đây (phần cong của đồ thị là một phần của Parabol ). Tính 
.
A. .	B. .	C. .	D. .
* Phân Tích:Từ đồ thị ta thấy là diện tích hình phẳng giới hạn bởi qua , ; qua , và Parabol qua và có đỉnh . Vì vậy chỉ cần tìm được và là bài toán sẽ được giải quyết
* Giải:Ta có bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi , , Parabol , , .Với qua , nên có pt:; qua , nên có phương trình: ; qua và có đỉnh nên .
 Vậy .
 Chọn B
Bài 3: (Đề thi THPTQG 2017)Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
	A. .
	B. .
	C. .
 D. .
* Phân tích:Đề bài yêu cầu so sánh các giá trị nên ta có thể nghĩ đến việc xét hiệu hoặc lập bảng biến thiên của hàm số. Mặt khác và đồng thời Một điều nữa ta cần phải nhận ra là các điểm thể hiện trên đồ thị gồm thẳng hàng và nằm trên đường thẳng . Vì vậy ta hoàn toàn có thể áp dụng diện tích hình phẳng để so sánh các giá trị 
Giải:
Ta có .Ta vẽ đường thẳng .
Như vậy ta có:
Chọn đáp án C.
* Nhận xét: Bài toán này cũng có thể giải quyết 
bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số ,
tuynhiên lập bảng biến thiên ta chỉ xác định được giá trị 
lớn nhất là , còn việc so sánh vẫn còn phải suy luận thêm vì vậy chọn hướng giải áp dụng tích phân sẽ so sánh được triệt để
Bài 4: (Đề thi THPTQG 2017)Cho hàm số . 
Đồ thị của hàm số như hình bên. 
Đặt .Mệnh đề nào dưới 
đây đúng?
A. .	B. 
C. .	D. 
* Phân tích: Về cơ bản bài toán này vẫn cùng dạng với bài 3 ở trên chỉ có một khác biệt không đáng kể đó là các điểm đề bài thể hiện trên đồ thị là , nằm trên đường thẳng , đồng thời trên khoảng thì đồ thị nằm bên dưới còn trên khoảng đồ thị nằm ở trrn đường thẳng . Vì vậy ta chỉ cần lưu ý khi tính tích phân dựa vào đò thị đã cho là sẽ giải được bài toán
Giải: Ta có: 
Ta vẽ đường thẳng .
+) 
Như vậy ta có: Chọn đáp án A.
Bài 5:Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
A. và B. và 
C. và D. và 
* Phân Tích: 
Về phương pháp thì để tìm giá trị lớn nhất, 
nhỏ nhất ta phải giải phương trình 
trên đoạn và so sánh các giá trị hàm
số tại các điểm vừa tìm được và các giá trị
. Ở bài này thì phương trình 
. Như vậy nghiệm của 
phương trình chính là hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng . Các nghiệm này có thể nhận ra bằng trực quan trên hình vẽ vì các điểm , thể hiện trên đồ thị nằm trên đường thẳng . Như vậy bài toán trở thành so sánh các giá trị , nghĩa là bài toán trở về dạng quen thuộc như hai bài 3 và bài 4.
Giải:
Ta có: Ta vẽ đường thẳng 
 hoặc hoặc 
Ta có: +) 
Như vậy ta có: Chọn đáp án B
* Nhận xét chung: Để giải được dạng toán này ta phải vận dụng linh hoạt định nghĩa tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng cũng như khả năng đọc đồ thị một cách linh hoạt
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng thành công ở lớp 12 trường THPT Hậu Lộc 3 và đã mang lại những kết quả tích cực đối với học sinh cũng như đồng nghiệp giáo viên. 
- Đối với bản thân tôi sau khi nghiên cứu kĩ những kiến thức liên quan phần tích phân, đặc biệt là những bài toán tích phân mức độ vận dụng, giúp tôi có những kiến thức mới và kinh nghiệm hơn trong việc giảng dạy cho các em. Từ đó định hướng cho các em cách phát hiện và tư duy trong việc giải các bài toán ở mức độ vận dụng cao.
- Với các đồng nghiệp, việc sử dụng tài liệu nhỏ này như một tài liệu để tham khảo và hướng dẫn cho học sinh khi giải các bài toán tích phân ở mức độ vận dụng
- Đối với học sinh sau khi được áp dụng cách tiếp cận mới trong việc giải toán giúp học sinh phát triển tư duy hơn. Học sinh có khả năng định hướng được cách làm với những dạng bài tập khó khác. Học sinh tự tin hơn trong quá trình làm bài, tạo hứng thú cho các em trong quá trình học tập. Việc làm các bài tập tích phân nói chung và tích phân ở mức độ vận dụng cao ở các em trở nên nhanh chóng và chính xác. Cụ thể. tôi cho các em một số bài kiểm tra phần tích phân trong từng quá trình trước và sau khi áp dụng phương pháp giải mới bài tập số phức, kết quả như sau:
Bài kiểm tra số 1: ( Trước khi áp dụng sáng kiến)
Đề bài: 
Câu 1: Cho . Tính 
A.	B. 	C. 	D. 
Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn , và . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 3: Cho hàm số . Đồ thị của hàm số 
như hình bên. Đặt . Mệnh đề 
nào dưới đây đúng? 
A. .
B. .	
C. .
D. .
Kết quả:
Lớp
Sĩ số
Đúng 0 câu
Đúng 1 câu
Đúng 2 câu
Đúng 3 câu
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
12B2
40
8
20%
25
62.5 %
7
17.5 %
0
0 %
12B6
41
23
56.1%
14
34.1 %
4
9.8%
0
0 %
Bài kiểm tra số 2: ( Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm)
Câu 1:Cho . Tính bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn , và . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 3: Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình vẽ. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. .	B. .
C. .	D. .
Kết quả:
Lớp
Sĩ số
Đúng 0 câu
Đúng 1 câu
Đúng 2 câu
Đúng 3 câu
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
12B2
40
0
0%
2
5 %
7
17.5 %
31
77.5 %
12B6
41
0
0%
13
31.7 %
17
41.4%
11
26.9%
So sánh kết quả thu được từ hai bảng ta thấy sau khi áp dụng phương pháp giải nhanh thì học sinh làm bài tốt hơn và khả năng tư duy phát triển hơn. Điển hình là có những câu khó dạng mới gặp các em vẫn làm tốt.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
	Qua việc vận dụng đề tài đã nghiên cứu vào trong quá trình giảng dạy và học tập của học sinh đã thu đươc những kết quả tích cực như bảng số liệu đã phân tích. Đề tài đã giúp cho giáo viên rất nhiều trong việc truyền đạt tư tưởng, phương pháp và kiến thức cho học sinh. Bản thân học sinh khi được giảng dạy thông qua đề tài đã giúp các em phát triển được tư duy, biết định hướng để giải một bài toán. Khơi dậy ở các em niềm thích thú, sự ham học hỏi và đặc biệt giúp các em đạt hiệu quả cao nhất khi làm bài tập cũng như thi THPT quốc gia.
	Việc áp dụng đề tài không chỉ dừng lại ở một số bài toán số phức ở mức độ vận dụng cao, mà còn có thể mở rộng hơn nữa ở nhiều dạng toán khác. Bản thân đề tài là động lực cho mỗi giáo viên và học sinh tìm tòi phát triển hơn nữa để có được những phương pháp cách truyền thụ kiến thức và cảm hứng cho học sinh tốt hơn. 
3.2. Kiến nghị
	Đối với sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa: Thông qua việc chấm sáng kiến kinh nghiệm hàng năm, lựa chọn những đề tài có chất lượng và cần phổ biến rộng rãi cho các trường trong tỉnh để những trường có điều kiện tương đồng triển khai áp dụng hiệu quả. Nên đưa những SKKN có chất lượng vào mục “tài nguyên” của sở để các giáo viên toàn tỉnh có thể tham khảo một cách rộng rãi.
	Đối với trường THPT Hậu lộc 3: Mỗi sáng kiến kinh nghiệm được lựa chọn cần được phổ biến rộng rãi trong phạm vi tổ, nhóm. Cần có những bản lưu trong thư viện để giáo viên và học sinh tham khảo.
	Đối với tổ chuyên môn: Cần đánh giá chi tiết những mặt đạt được, những hạn chế và hướng phát triển của đề tài một cách chi tiết cụ thể để hoàn thiện sáng kiến hơn nữa.
	Đối với đồng nghiệp: Trao đổi ý tưởng, kinh nghiệm và hỗ trợ trong việc áp dụng rộng rãi sáng kiến trong mỗi lớp học của mình. Phản hồi những mặt tích cực. những mặt hạn chế của sáng kiến.
	Đề tài nghiên cứu trong thời gian hạn chế, rất mong Hội đồng khoa học Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa nghiên cứu, góp ý bổ sung để sáng kiến hoàn thiện hơn nữa.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 16 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của tôi, không sao chép nội dung của người khác
 Người viết sáng kiến
 Phạm Văn Quí
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục 2009
2. Bài tập 13trang 153, SGK giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục 2009
3. Đề thi THPT Quốc gia năm 2017, Đề minh họa của bộ giáo dục và đào tạo năm học 2017-2018
4. Website: 
5. Website: 
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Phạm Văn Quí
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên, Trường THPT Hậu Lộc 3
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Một số phương pháp giải phương trình không mẫu mực
Cấp Sở
C
2007-2008
Một số cách giải bà